Metody strumieniowe

Mocną stroną tej metody jest to, że umożliwia ona nie tylko znalezienie rozkładu pola elek-tromagnetycznego przy rozpraszaniu niekoherentnym, ale także przy rozpraszaniu kohe-rentnym. Przejrzyste omówienie tych równań można znaleźć w książce [200].

W analizie propagacji promieniowania optycznego w ośrodkach silnie rozpraszających najszersze zastosowanie znalazły różne metody oparte na teorii transportu i dlatego będą one szerzej omówione w dalszych punktach. Teoria wielokrotnego rozpraszania, z uwagi na ograniczoną ilość do kilku rozproszeń fali, jaką się daje w praktyce przy analizie osiągnąć, ma tutaj ograniczone zastosowanie. Teorię tę można wykorzystać w rozpraszaniu koherent-nym (patrz rozdział 6), kiedy chcemy uwzględnić efekty interferencji promieniowania optycznego przy jedno- lub kilkukrotnym rozpraszaniu.

3.2. Metody strumieniowe

Najbardziej znaną i najczęściej stosowaną metodą strumieniową jest metoda dwustru-mieniowa, zwana też od twórców metodą Kubelka-Munka. Zakłada ona, że propagację pro-mieniowania optycznego przez warstwę ośrodka silnie rozpraszającego, w której nie wy-stępuje odbicie Fresnela promieniowania na granicy ośrodków (czyli gdy współczynnik za-łamania warstwy równy jest współczynnikowi zaza-łamania otaczającego ośrodka), można opisać za pomocą dwóch strumieni promieniowania rozproszonego dyfuzyjnie L₊(z) i L_–(z), gdzie z jest głębokością, propagujących w przeciwnych kierunkach [16, 242–245] (patrz rys. 3.1). Zakładamy też, że na warstwę pada promieniowanie rozproszone dyfuzyjnie, a proces propagacji promieniowania odbywa się na skutek dyfuzji fotonów, co jest słuszne, jeżeli grubość warstwy jest większa od odwrotności zredukowanego współczynnika rozpra-szania μ^s' (patrz definicja (2.188)) (sugeruje się, by ta grubość była co najmniej pięć razy większa od tej odwrotności [295]). W metodzie tej strumienie L+(z) i L–(z) są osłabiane na skutek absorpcji i rozpraszania. Każdy z tych strumieni może też być wzmocniony w wyni-ku rozpraszania strumienia propagującego w przeciwnym kierunwyni-ku. Proces osłabiania i wzmacniania strumieni można zapisać za pomocą pary równań różniczkowych:

⎩⎨

gdzie S_KM jest współczynnikiem wstecznego rozpraszania Kubelka-Munka, a K_KM jest współczynnikiem absorpcji Kubelka-Munka.

Jak widać z zależności (3.1), współczynniki SKM i KKM mówią nam, jaka część strumienia optycznego przypadająca na dystans dz jest odpowiednio wstecznie rozpraszana lub po-chłaniana w warstwie ośrodka silnie rozpraszającego. Jeżeli dla danej warstwy o grubości d zdefiniujemy współczynniki odbicia R_d i transmisji T_d promieniowania rozproszonego dy-fuzyjnie jako:

R_d =L_0–/L₀₊, (3.2)

T_d =L₁₊/L₀₊, (3.3)

gdzie L₀₊ jest natężeniem wiązki padającej, L_0– jest natężeniem wiązki odbitej, a L₁₊ jest na-tężeniem wiązki przechodzącej przez warstwę, wówczas współczynniki SKM i KKM można zdefiniować następująco:

3. Metody analizy propagacji promieniowania optycznego w ośrodkach silnie rozpraszających

52

( )

d d S R

d d KM lim0

= → , (3.4)

( ) ( )

[ ]

d d T d K R

d

d d KM 0

lim1− +

= → . (3.5)

z=0

z=d

dz L–(z)

L0–

L0+

L1+

L+(z)

Rys. 3.1. Transfer promieniowania optycznego w warstwie silnie rozpraszającej według modelu Kubelka-Munka. L0+ jest natężeniem wiązki padającej, L0– jest natężeniem wiązki odbitej, L+(z) i L_–(z) są natężeniami wiązek propagujących w przeciwnych kierunkach i wymieniających między sobą energię w wyniku rozpraszania, L1+ jest natężeniem wiązki przechodzącej, z jest głębokością,

a d jest grubością warstwy

Dla rzeczywistej warstwy, dla której znamy grubość d, współczynniki te można wyznaczyć na podstawie zmierzonych współczynników odbicia Rd i transmisji Td promieniowania roz-proszonego dyfuzyjnie z zależności [155]:

( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

=

d d KM

ln 1 1

T b a R

S bd , (3.6)

( )

KM

KM a 1 S

K = − , (3.7)

gdzie:

d 2 d 2 d

2 1

R T

a= +R − , (3.8)

2−1

= a

b . (3.9)

W niektórych wypadkach przy wyznaczaniu współczynników S_KM i K_KM wygodniej jest się posługiwać współczynnikiem Rd dla warstwy o znanej grubości d i współczynnikiem odbi-cia R_∞ definiowanym jako współczynnik R_d przy grubości d dążącej do nieskończoności, czyli:

) ( limR_d d R

d→∞

∞= ^{. (3.10)}

Korzystając z tego współczynnika, otrzymamy:

3.2. Metody strumieniowe 53

Dzieląc stronami równanie (3.12) przez (3.11), otrzymamy:

( )

wykonana jest warstwa, i natężenie wiązki padającej L₀₊, a także przyjmując warunki brze-gowe L₊(0)=L₀₊ i L_–(d)=0 oraz zakładając, że każda z tych wiązek jest superpozycją dwóch eksponencjalnych funkcji głębokości z, natężenia wiązek L₊(z) i L_–(z) można łatwo znaleźć dla dowolnej wartości z przez rozwiązanie układu równań (3.1). Stąd znając L–(0) i L+(d) oraz dzieląc te wielkości przez L₀₊, otrzymamy [74, 433]:

( )

gdzie wielkość b dana jest zależnością (3.9), a wielkość a wyznaczamy z zależności (3.7), co daje:

KM KM/

1 K S

a= + . (3.16)

Przy grubości warstwy dążącej do nieskończoności otrzymamy [293]:

KM wyzna-czenie współczynników materiałowych badanego ośrodka, jakimi są współczynniki SKM

i KKM, na podstawie pomiaru współczynników odbicia Rd i transmisji Td promieniowania rozproszonego dyfuzyjnie warstwy o znanej grubości d.

Dla obiektów o innym kształcie niż pojedyncza warstwa lub przy dowolnym pobudze-niu (w tym pobudzepobudze-niu impulsowym) znacznie bardziej przydatne od współczynników SKM

i KKM są: współczynnik absorpcji μ^a i zredukowany współczynnik rozpraszania μ^s' (patrz punkt 2.3). Wyznaczenie tych współczynników na podstawie współczynników SKM i KKM

nie jest proste, gdyż nie istnieją jawne związki między współczynnikami μa i μs' a współ-czynnikami SKM i KKM, co jest jedną z największych wad metody Kubelka-Munka. Istnieje

3. Metody analizy propagacji promieniowania optycznego w ośrodkach silnie rozpraszających

54

jednak wiele metod przybliżonych, pozwalających na wyznaczenie współczynników μa i μs' na podstawie znajomości współczynników SKM i KKM i na odwrót. Pierwsze takie przybli-żenie podał jeden z twórców metody Kubelka-Munka – mianowicie M. Kubelka w 1948 roku przyjął, że: SKM =2μs' oraz KKM =2μa [243], co – jak zobaczymy dalej – jest przybliż e-niem bardzo niedokładnym. W 1972 roku K. Klier zaproponował, aby współczynnik ab-sorpcji μ^a i zredukowany współczynnik rozpraszania μ^s' były proporcjonalne do współ-czynników SKM i KKM, to jest, by [234]:

KM a ηK

μ = , (3.19)

KM s' χS

μ = , (3.20)

gdzie współczynniki η i χ zależą od stosunku KKM/SKM w taki sposób, by metoda Kubelka-Munka dawała rozwiązania identyczne z rozwiązaniami otrzymywanymi z równania trans-portu (2.191). Współczynniki η i χ można wyznaczyć ze współczynników μa i μs', korzysta-jąc z tablic zawartych w pracy [234] lub wykresów zawartych w pracy [155]. Z tych tablic i wykresów wynika, że jeżeli stosunek KKM/SKM zmieniać będziemy od zera do nieskoń czo-ności, wówczas współczynnik η będzie się zmieniać od ¾ do 3,2589, natomiast współczyn-nik χ będzie się zmieniać od ½ do 1. Dla konkretnych wartości KKM/SKM współczynniki η i χ można też wyznaczyć, korzystając z modelowania numerycznego opartego na metodzie Monte Carlo (patrz punkt 3.4), metodą dopasowywania współczynników μa i μs' tak, by współczynniki Rd i Td uzyskane za pomocą tego modelowania były identyczne ze współ-czynnikami uzyskanymi na podstawie zależności odpowiednio (3.14) i (3.15).

Udaną próbę wyznaczenia współczynników η i χ dla ośrodków silnie rozpraszających dla izotropowego rozpraszania (to jest, gdy funkcja fazowa rozpraszania p(s₂, s₁) nie zależy od kierunków fali padającej s₁ i rozproszonej s₂ – patrz punkt 2.2.2) uzyskali w 1979 roku W. E. Meador i W. R. Weaver [285]. Wychodząc z równania dyfuzji (które będzie omó-wione w następnym punkcie), otrzymali oni na drodze analitycznej następujące zależności:

) 3 16 ( 15

) 3 16 )(

1 ( 2

a 2

a

−

−

−

= −

η η

η χ η

c

c , (3.21)

224

49 121 35 1 2 35 55 77

2 a a a

c

c + + c +

+

η= ^{, (3.22)}

gdzie:

s'

a a

a μ μμ

= +

c . (3.23)

Dla ośrodków silnie rozpraszających dobrym przybliżeniem są zależności:

a s

KM 4

' 1 4

3μ ⁻ μ

=

S , (3.24)

a KM⁼2μ

K , (3.25)

podane w 1987 roku przez M. J. C. van Gemerta i W. M. Stara [156]. Zależności te mogą być podstawą do wyznaczenia pierwszego przybliżenia współczynników μa i μs' we wspo-mnianej wyżej metodzie dopasowywania.

3.3. Metoda dyfuzji 55

W dokumencie Optyka nieuporządkowanych ośrodków silnie rozpraszających (Stron 52-56)