Metody wyznaczania macierzy odwrotnej

4.2. Metody wyznaczania macierzy odwrotnej

Poniżej zostaną zaprezentowane 3 metody wyznaczania macierzy odwrotnej:

1) Metoda wyznaczania macierzy odwrotnej z definicji.

2) Metoda wyznaczania macierzy odwrotnej za pomocą wyznaczników.

3) Metoda Gaussa-Jordana (z wykorzystaniem operacji elementarnych).

4.2.1. Wyznaczanie macierzy odwrotnej z definicji

Niech dana będzie kwadratowa macierz 𝐀𝐀 stopnia 𝑛𝑛 i det 𝐀𝐀 ≠ 0:

Korzystając z definicji macierzy odwrotnej, z której wynika, że 𝐀𝐀 ∙ 𝐀𝐀^−𝟏𝟏= 𝐈𝐈, wy-znaczymy jej macierz odwrotną 𝐀𝐀^−𝟏𝟏.

Macierz 𝐀𝐀^−𝟏𝟏 jest również stopnia 𝑛𝑛 (ma tyle samo wierszy i kolumn co macierz 𝐀𝐀) postaci:

Podstawiając macierz 𝐀𝐀 oraz 𝐀𝐀^−𝟏𝟏 do wzoru 4.1, otrzymamy:

�

Wyliczając iloczyn 𝐀𝐀 ∙ 𝐀𝐀^−𝟏𝟏 (lewą stronę równania), a następnie porównując po-szczególne elementy macierzy będącej wynikiem tego iloczynu do odpowiadających im elementów macierzy jednostkowej, otrzymamy układ równań postaci:

∑^𝑛𝑛_𝑘𝑘=1𝑎𝑎_{𝑖𝑖𝑘𝑘}𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑗𝑗} = 𝛿𝛿_{𝑖𝑖𝑗𝑗}, dla 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {1, 2, … , 𝑛𝑛},

przy czym 𝛿𝛿_{𝑖𝑖𝑗𝑗} (delta Kroneckera) przyjmuje wartość 1 dla 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 oraz wartość 0 dla 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗.

Rozwiązanie uzyskanego układu równań pozwala na znalezienie niewiadomych 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑗𝑗, które są elementami szukanej macierzy odwrotnej 𝐀𝐀^−𝟏𝟏.

Wyznacz macierz odwrotną do 𝐀𝐀 = � 1 −2−3 4 �, korzystając z definicji macierzy od-wrotnej.

Rozwiązanie:

Zanim zaczniemy wyznaczać macierz odwrotną, należy sprawdzić, czy jest ona od-wracalna.

Sprawdzamy, czy macierz 𝐀𝐀 jest macierzą nieosobliwą, czyli liczymy jej wyznacznik:

det 𝐀𝐀 = 1 ∙ 4 − (−2) ∙ (−3) = 4 − 6 = −2.

Wyznacznik macierzy 𝐀𝐀 jest różny od zera, zatem można przejść do wyznaczania macierzy odwrotnej.

Zakładamy, że szukana macierz odwrotna jest macierzą kwadratową stopnia drugiego, czyli przyjmie postać 𝐀𝐀^−𝟏𝟏= �𝑥𝑥11 𝑥𝑥12

𝑥𝑥₂₁ 𝑥𝑥₂₂�. Dokonujemy podstawienia do wzoru 4.1:

� 1 −2−3 4 � ∙ �

𝑥𝑥₁₁ 𝑥𝑥₁₂

𝑥𝑥₂₁ 𝑥𝑥₂₂� = �1 00 1�.

Po wymnożeniu macierzy 𝐀𝐀 i 𝐀𝐀^−𝟏𝟏 otrzymujemy:

� 𝑥𝑥¹¹− 2𝑥𝑥21 𝑥𝑥12− 2𝑥𝑥22

−3𝑥𝑥₁₁+ 4𝑥𝑥₂₁ −3𝑥𝑥₁₂+ 4𝑥𝑥₂₂� = �1 00 1�.

Następnie porównujemy poszczególne elementy powyższych macierzy i uzysku-jemy następujący układ równań:

Przykład 4.3

�� 𝑥𝑥¹¹− 2𝑥𝑥21 = 1

−3𝑥𝑥₁₁+ 4𝑥𝑥₂₁= 0

� 𝑥𝑥¹²− 2𝑥𝑥₂₂ = 0

−3𝑥𝑥₁₂+ 4𝑥𝑥₂₂= 1

Rozwiązując powyższy układ równań, otrzymujemy elementy macierzy odwrotnej:

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝑥𝑥₁₁ = −2 𝑥𝑥₂₁= −3 𝑥𝑥12 = −12 𝑥𝑥₂₂= −1 2

A zatem macierz odwrotna do macierzy 𝐀𝐀 ma postać:

𝐀𝐀⁻¹= �−2 −1

−3 2 −

1 2�.

Po wyznaczeniu macierzy odwrotnej warto sprawdzić poprawność wyliczeń. Aby to zrobić, należy obliczyć iloczyn macierz 𝐀𝐀 i 𝐀𝐀⁻¹ oraz sprawdzić, czy uzyskamy w ten sposób macierz jednostkową.

Dokonujemy sprawdzenia:

𝐀𝐀 ∙ 𝐀𝐀⁻¹= � 1 −2−3 4 � ∙ �

−2 −1

−³₂ −¹₂� = �1 00 1� = 𝐈𝐈.

W wyniku wymnożenia macierzy 𝐀𝐀 i 𝐀𝐀⁻¹ uzyskaliśmy macierz jednostkową, czyli możemy być pewni, że macierz odwrotna została wyznaczona poprawnie.

☺ 4.2.2. Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą wyznaczników

Jeżeli macierz kwadratowa 𝐀𝐀 jest macierzą nieosobliwą, to istnieje do niej macierz odwrotna 𝐀𝐀⁻¹, przy czym:

𝐀𝐀⁻¹=_{det 𝐀𝐀}¹ 𝐀𝐀^d=_{det 𝐀𝐀}¹ 𝐃𝐃^T, (4.2) gdzie:

𝐃𝐃 – macierz, której elementami są dopełnienia algebraiczne elementów macierzy 𝐀𝐀 (macierz dopełnień algebraicznych).

Twierdzenie

Macierz 𝐀𝐀^d = 𝐃𝐃^T nazywamy macierzą dołączoną.

Macierz dołączona, będąca transpozycją macierzy dopełnień algebraicznych, przyjmuje postać:

𝐀𝐀^d= 𝐃𝐃^T= �

𝐷𝐷₁₁ 𝐷𝐷₂₁ … 𝐷𝐷_𝑛𝑛1 𝐷𝐷12 𝐷𝐷22 … 𝐷𝐷𝑛𝑛2

… … … … 𝐷𝐷_1𝑛𝑛 𝐷𝐷_2𝑛𝑛 … 𝐷𝐷_{𝑛𝑛𝑛𝑛}

�.

Przypomnijmy, że dopełnienia te wyznaczamy ze wzoru 3.3:

𝐷𝐷_{𝑖𝑖𝑗𝑗} = (−1)^{𝑖𝑖+𝑗𝑗}𝑀𝑀_{𝑖𝑖𝑗𝑗} dla 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {1, 2, … , 𝑛𝑛},

gdzie 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑗𝑗 jest minorem macierzy kwadratowej 𝐀𝐀, czyli wyznacznikiem macierzy stopnia 𝑛𝑛 − 1 powstałej z macierzy 𝐀𝐀 przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Znajdź macierz odwrotną do 𝐀𝐀 = � 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� za pomocą wyznaczników.

Rozwiązanie:

Na początku sprawdzamy, czy macierz 𝐀𝐀 jest nieosobliwa. Liczymy więc jej wyznacznik:

det 𝐀𝐀 = � 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = −69 ≠ 0.

Wyznacznik macierzy 𝐀𝐀 jest różny od zera, więc możemy przejść do wyznaczania macierzy odwrotnej. Wykorzystamy wzór 4.2.

W związku z tym, że macierz 𝐀𝐀 jest stopnia trzeciego, macierz dopełnień algebra-icznych przyjmie postać:

𝐃𝐃 = �𝐷𝐷₁₁ 𝐷𝐷₁₂ 𝐷𝐷₁₃ 𝐷𝐷21 𝐷𝐷22 𝐷𝐷23

𝐷𝐷₃₁ 𝐷𝐷₃₂ 𝐷𝐷₃₃�.

W celu wyznaczenia elementów macierzy 𝐃𝐃 skorzystamy ze wzoru 3.3.

Przykład 4.4

Poniżej przedstawiono sposób wyznaczenia poszczególnych elementów macierzy dopełnień 𝐃𝐃:

𝐷𝐷₁₁ = (−1)¹⁺¹� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)¹⁺¹�0 −15 3� = 5,

𝐷𝐷12 = (−1)¹⁺²� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)¹⁺²�−3 −12 3� = 7,

𝐷𝐷₁₃ = (−1)¹⁺³� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)¹⁺³�−3 02 5� = −15,

𝐷𝐷21= (−1)²⁺¹� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)²⁺¹�−2 45 3� = 26,

𝐷𝐷₂₂= (−1)²⁺²� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)²⁺²�1 42 3� = −5,

𝐷𝐷23= (−1)²⁺³� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)²⁺³�1 −22 5� = −9,

𝐷𝐷₃₁= (−1)³⁺¹� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)³⁺¹�−2 4 0 −1� = 2,

𝐷𝐷32= (−1)³⁺²� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)³⁺²� 1 4

−3 −1� = −11,

𝐷𝐷₃₃= (−1)³⁺³� 1 −2 4

−3 0 −1

2 5 3� = (−1)³⁺³� 1 −2−3 0� = −6.

Uzupełniając macierz 𝐃𝐃 uzyskanymi powyżej wartościami, otrzymujemy macierz dopełnień algebraicznych:

𝐃𝐃 = � 5 7 −15

26 −5 −9

2 −11 −6�.

W kolejnym kroku dokonujemy transpozycji macierzy 𝐃𝐃, czyli wyznaczamy ma-cierz dołączoną:

𝐃𝐃^T= � 5 26 2 7 −5 −11

−15 −9 −6�.

Na koniec do wzoru 𝐀𝐀⁻¹=_det𝐀𝐀¹ 𝐃𝐃^T podstawiamy wartość wyznacznika macierzy 𝐀𝐀 raz macierz dołączoną i wyznaczamy macierz odwrotną:

𝐀𝐀⁻¹= − 1 Powyżej został zaprezentowany przykład wyznaczania macierzy odwrotnej do macierzy stopnia trzeciego. W taki sam sposób możemy odwracać także macierze stopnia drugiego, z tym że w ich przypadku możemy wyznaczyć wzór, który nam to ułatwi.

Dana jest następująca macierz kwadratowa stopnia drugiego:

𝐀𝐀 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑�,

która jest macierzą nieosobliwą, czyli det 𝐀𝐀 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐 ≠ 0.

Wówczas macierz odwrotną 𝐀𝐀⁻¹ wyznacza się w następujący sposób:

𝐀𝐀⁻¹=_{det 𝐀𝐀}¹ �(−1)¹⁺¹∙ 𝑑𝑑 (−1)¹⁺²∙ 𝑐𝑐

(−1)²⁺¹∙ 𝑏𝑏 (−1)²⁺²∙ 𝑎𝑎�^𝑇𝑇 =_{det 𝐀𝐀}¹ � 𝑑𝑑 −𝑐𝑐−𝑏𝑏 𝑎𝑎 �

𝑇𝑇 =_{det 𝐀𝐀}¹ � 𝑑𝑑 −𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑎𝑎 �.

Zatem możemy zapisać następujący wzór na macierz odwrotną do macierzy 𝐀𝐀 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑�:

𝐀𝐀⁻¹=_{det 𝐀𝐀}¹ � 𝑑𝑑 −𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑎𝑎 �. (4.3)

Dana jest macierz 𝐀𝐀 = � 1 2−3 4�. Wyznacz jej macierz odwrotną, korzystając ze wzoru 4.3.

Rozwiązanie:

Obliczamy wyznacznik macierzy 𝐀𝐀:

det 𝐀𝐀 = 1 ∙ 4 − 2 ∙ (−3) = 4 + 6 = 10.

Stosując wzór 4.3, wyznaczamy macierz odwrotną do macierzy 𝐀𝐀:

𝐀𝐀⁻¹=₁₀¹ ∙ �4 −23 1� = � 4.2.3. Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą operacji elementarnych Metoda wyznaczania macierzy odwrotnej z wykorzystaniem wyznaczników jest re-komendowana do liczenia macierzy odwrotnych stopnia co najwyżej czwartego.

Dla macierzy wyższych stopni pracochłonne jest bowiem wyznaczanie minorów (wyznaczników).

Macierz odwrotną do macierzy 𝐀𝐀 można również wyznaczyć metodą przekształ-ceń elementarnych, zwaną algorytmem Gaussa. Procedura polega na sprowadzeniu macierzy blokowej [𝐀𝐀 ∣ 𝐈𝐈] do postaci �𝐈𝐈 ∣ 𝐀𝐀^−𝟏𝟏� wyłącznie za pomocą operacji ele-mentarnych na wierszach:

[𝐀𝐀 ∣ 𝐈𝐈] ~ … ~ �𝐈𝐈 ∣ 𝐀𝐀^−𝟏𝟏�.

operacje elementarne na wierszach

W pierwszym etapie omawianej metody budujemy macierz blokową składającą się z macierzy 𝐀𝐀 oraz macierzy jednostkowej 𝐈𝐈 tego samego stopnia co macierz 𝐀𝐀.

Istotna jest tu kolejność ustawienia tych macierzy. Wyjściowa macierz przyjmuje za-tem postać [𝐀𝐀 ∣ 𝐈𝐈], czyli:

Następnie macierz 𝐀𝐀 przekształcamy do macierzy jednostkowej 𝐈𝐈, wykonując następujące operacje elementarne na jej wierszach:

• zamianę dwóch dowolnych wierszy między sobą,

• mnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera,

• dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną liczbę różną od zera.

Procedurę przekształcania macierzy 𝐀𝐀 w macierz 𝐈𝐈 rozpoczynamy od sprowadze-nia pierwszej kolumny macierzy 𝐀𝐀 do postaci pierwszej kolumny macierzy jednost-kowej. Jeśli element 𝑎𝑎₁₁≠ 0, wiersze 𝑤𝑤₁, 𝑤𝑤₂, … , 𝑤𝑤_𝑛𝑛 przekształcamy kolejno w

Jeśli zaś 𝑎𝑎₁₁= 0, wówczas przestawiamy wiersze macierzy tak, aby element 𝑎𝑎₁₁ był różny od zera. Następnie stosujemy powyższe wzory.

Kolejne kolumny macierzy 𝐀𝐀 przekształcamy w analogiczny sposób jak przy prze-kształceniu kolumny pierwszej (każdy element 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 sprowadzamy do 1, a następnie „zerujemy” pozostałe elementy 𝑗𝑗-tej kolumny, 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑛).

Gdy macierz blokowa przyjmie postać �𝐈𝐈 ∣ 𝐀𝐀^−𝟏𝟏�, za kreską otrzymujemy macierz 𝐀𝐀^−𝟏𝟏. Zatem po przekształceniach otrzymamy macierz blokową postaci:

�

co umożliwia zapisanie macierzy odwrotnej:

𝐀𝐀^−𝟏𝟏 = �

Analogiczne postępowanie można także wykonać, zapisując macierz jednost-kową 𝐈𝐈 poniżej macierzy 𝐀𝐀. Wówczas, wykonując operacje elementarne wyłącznie

na kolumnach, przekształcamy macierz 𝐀𝐀 w macierz jednostkową 𝐈𝐈, a dopisana ma-cierz jednostkowa staje się mama-cierzą odwrotną 𝐀𝐀^−𝟏𝟏.

Wyznacz macierz odwrotną do macierzy 𝐀𝐀 = �

2 1 0 1

1 2 1 2

1 −1 0 1

−1 0 1 1

�, korzystając z operacji elementarnych.

Rozwiązanie:

Wyznacznik macierzy 𝐀𝐀⁻¹ jest różny od zera (det 𝐀𝐀⁻¹= −1), więc możemy przy-stąpić do odwracania macierzy. Wyznaczanie macierzy odwrotnej z wykorzystaniem algorytmu Gaussa rozpoczynamy od budowy macierzy blokowej postaci [𝐀𝐀 ∣ 𝐈𝐈]:

�

Przekształcenia zaczynamy od lewego górnego rogu macierzy, gdzie w miejsce 𝑎𝑎₁₁= 2 chcemy uzyskać wartość 1. W tym celu wiersz pierwszy pomnożymy

W kolejnym kroku w pierwszej kolumnie pod wartością 1 chcemy uzyskać zera (wówczas pierwsza kolumna przyjmie postać pierwszej kolumny macierzy jed- nostkowej). Dlatego wykonujemy trzy operacje elementarne na wierszach:

𝑤𝑤2− 𝑤𝑤1, 𝑤𝑤3− 𝑤𝑤1 oraz 𝑤𝑤4+ 𝑤𝑤1:

W podobny sposób uzyskamy kolumnę drugą. Rozpoczynamy od miejsca, w któ-rym chcemy uzyskać wartość 1, czyli od elementu, który znajduje się w drugim wier-szu i drugiej kolumnie. Wiersz drugi mnożymy przez odwrotność ułamka ³₂, czyli wykonujemy przekształcenie ²₃𝑤𝑤2:

⎣⎢

Następnie „zerujemy” pozostałe elementy drugiej kolumny. W tym celu wykonu-jemy następujące operacje elementarne na wierszach: 𝑤𝑤₁−¹₂𝑤𝑤₂, 𝑤𝑤₃+³₂𝑤𝑤₂ oraz

Przechodzimy do kolumny trzeciej i z wykorzystaniem operacji elementarnych na wierszach doprowadzamy ją do postaci kolumny z macierzy jednostkowej. Ponie-waż w trzecim wierszu i trzeciej kolumnie znajduje się już wartość 1, wystarczy tylko

„wyzerować” pozostałe elementy tej kolumny. Zatem wykonujemy następujące dzia-łania: 𝑤𝑤₁+¹₃𝑤𝑤₃, 𝑤𝑤₂−²₃𝑤𝑤₃ oraz 𝑤𝑤₄−²₃𝑤𝑤₃:

Przechodzimy do kolumny czwartej (ostatniej) i postępujemy w analogiczny spo-sób jak w przypadku pierwszych trzech kolumn. Na przecięciu czwartego wiersza i czwartej kolumny chcemy uzyskać wartość 1, zatem wiersz czwarty mnożymy przez

−3, czyli przekształcamy w następujących sposób: −3𝑤𝑤₄:

⎣⎢

Ostatnim krokiem do uzyskania macierzy odwrotnej jest „wyzerowanie” pozo-stałych elementów czwartej kolumny, co uzyskamy, wykonując następujące operacje elementarne na wierszach macierzy: 𝑤𝑤₁−²₃𝑤𝑤₄, 𝑤𝑤₂+¹₃𝑤𝑤₄ oraz 𝑤𝑤₃− 2𝑤𝑤₄: Zatem macierzą odwrotną do macierzy 𝐀𝐀 jest macierz:

𝐀𝐀⁻¹= � Przeanalizujmy poniższy przykład, w którym zaprezentowano sposób zapisu ko-lejno wykonywanych obliczeń.

Znajdź macierz odwrotną do macierzy 𝐀𝐀, wykorzystując metodę operacji elementarnych:

𝐀𝐀 = � 1 −1 0

2 0 4

−1 3 −1�.

Rozwiązanie:

Wyznacznik macierzy 𝐀𝐀 jest różny od zera (det 𝐀𝐀 = −10), więc możemy przystąpić do odwracania macierzy:

� 1 −1 0

~ � 1 −1 0 Zatem macierzą odwrotną do macierzy 𝐀𝐀 jest macierz:

𝐀𝐀⁻¹=

W dokumencie RACHUNEK MACIERZOWY (Stron 58-69)