Miary ryzyka

Istnieją dwa podejścia do ryzyka rozumianego z punktu widzenia jego efektów. W pierw-szym  określa  się  ryzyko  jako  możliwość  poniesienia  szkody  lub  straty  (traktując  ryzyko  jako zagrożenie). W drugim ryzyko traktuje się jako możliwość wystąpienia efektu działania  warunkach  niepewności  różne  podmioty  mogą  podejmować  decyzje  o  różnym  natężeniu  ryzyka, starając się je optymalizować w kontekście swojej awersji do ryzyka. Tak określone  subiektywne ryzyko mierzone jest na gruncie teorii użyteczności (Engles 2004; Ganczarek  2008; Kienzle i in. 2007; Kutner 2009a).

Pojęcie ryzyka jest wysoce subiektywne, ponieważ każdy podmiot ma swoją własną per-cepcję ryzyka. Balzer (2001) stwierdza, iż nie ma jednej powszechnie akceptowalnej miary  ryzyka.  Sugeruje  on,  że  miary  ryzyka  inwestycyjnego  powinny  uwzględniać  względność  ryzyka,  wielowymiarowość  ryzyka,  asymetrię  ryzyka  i  jego  nieliniowość.  Rachev  i  inni 

— miary wrażliwości (ang. sensitivity measures) (analiza luki, Greeks, bpv, duration, co-nvexity) – odzwierciedlające wpływ czynników ryzyka na kształtowanie się zmiennych, 

— miary zmienności (ang. volatility measures) (wariancja, semiwariancja, współczyn-niki  zmienności,  rozstęp,  asymetrie) –  odzwierciedlające  zmiany  rozpatrywanych  zmiennych lub ich stóp zwrotu,

— miary zagrożenia (ang. downside risk measures) (Value at Risk, stress test, crash test,  expected shortfall) – odzwierciedlające możliwe niekorzystne odchylenia od oczeki-wanych wartości zmiennych oraz ich stóp zwrotu.

Analiza wrażliwości daje pewne spojrzenie na kwestie ryzyka, ale posiada ogranicze-nia.  Przede  wszystkim  w  analizie  wrażliwości  zmienia  się  tylko  wartość  jednej  zmiennej  a wartości wszystkich innych zmiennych przyjmowane są jako stałe, to znaczy że pozostają 

— wybór zmiennych, których wpływ na efektywność projektu będzie podlegał analizie,

— ustalenie przedziału zmienności wielkości niepewnych,

— wyznaczenie, na podstawie zbudowanego modelu, przedziału wahań przy założonej  zmienności. czyli ocenie ryzyka na podstawie analizy zmienności rozumianej jako typowy rozrzut war-tości zmiennej wokół wartości oczekiwanej wyrażony np. za pomocą dyspersji lub kurto-zy, są niewystarczające przynajmniej z kilku powodów (Kutner 2009b). Pomimo prostoty  obliczeń, zakładają normalność, a w tym symetryczność rozkładów gęstości prawdopodo- bieństwa stóp zwrotu aktywów oraz że modelują preferencję inwestora do ryzyka za pomo-cą kwadratowej funkcji użyteczności. Pierwsze z tych założeń (o normalności rozkładów)  jest szczególnie istotne dla tej pracy, ponieważ uzyskiwane rozkłady gęstości prawdopodo-bieństwa  stóp  zwrotu  w  przypadku  modelu  opcyjnego  okazały  się  rozkładami  innymi  od  normalnego. Ponadto tego typu podejście oznacza założenie, że najistotniejsze informacje  statystyczne zawarte są w tzw. przedziale trzysigmowym. Znaczy to, że „ogon” rozkładu  gęstości  prawdopodobieństwa  nie  zawiera  istotnych  informacji  statystycznych  (Fuss  i  in. 

2012; Kutner 2009b).

Istotą współczesnej teorii ryzyka jest traktowanie zdarzeń ekstremalnych jako posiada-jących decydujący wpływ na charakter i wielkość ponoszonego ryzyka. Jest to zasadnicza  różnica w stosunku do podejść tradycyjnych, w których tego typu zdarzenia są po prostu  ignorowane.  Prowadzi  to  bezpośrednio  do  nowej,  współczesnej  definicji  ryzyka  wyrażo-nego  za  pomocą  prawdopodobieństwa  ekstremalnych  strat  (probability of extreme losses)  i związanych z tym miar zagrożenia, z których najpopularniejszą jest VaR (Value at Risk),  czyli Wartości Narażonej na Ryzyko lub inaczej Wartości Zagrożonej Ryzykiem (Ganczarek  Wartość Zagrożona Ryzykiem VaR w chwili t jest to taka strata wartości rynkowej port-fela,  że  prawdopodobieństwo  jej  osiągnięcia  lub  przekroczenia  w  rozpatrywanym  okresie  (t, t + 1) równe jest zadanemu poziomowi tolerancji (Best 2000; Piontek 2001; Piontek 2007).

Powyższą definicję można zapisać w następujący sposób:

( _t 1 _{t t})

P W₊ ≤W VaR− =  q (2.1)

gdzie:

P    –  prawdopodobieństwo, 

VaR_t  –  wartość zagrożona ryzykiem w chwili t, W_t    –  obecna wartość portfela instrumentów,

W_t+1 –  wartość portfela na koniec analizowanego okresu, q    –  poziom tolerancji VaR. 

Nie zakładając wartości portfela W_t, powyższą zależność można zapisać wykorzystując  pojęcie stopy zwrotu r_t+1 (Piontek 2001, 2007):

1 ,1

(r_{t r t}( ))

P ₊ ≤F⁻ q =q  (2.2)

gdzie:

r_t+1   –  stopa zwrotu z portfela instrumentów na koniec analizowanego okresu,

,1( )

Fr t⁻ q  –  obecna wartość kwantyla rozkładu gęstości prawdopodobieństwa stopy zwrotu, q    –  poziom tolerancji VaR.

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, iż stopa zwrotu z portfela w danej perspektywie  czasu nie przekroczy wartości równej odpowiedniemu kwantylowi rozkładu gęstości praw-dopodobieństwa stopy zwrotu F_{r t}⁻_,¹( )q wynosi q. Zasadniczo jest to statystyczne oszacowa-nie przyszłych, potencjalnych zmian wartości portfela, które mogą wyniknąć ze zmian stóp  zwrotu (czyli ryzyka).

Definicja zapisana wzorami (2.1) i (2.2) nie precyzuje, jak należy tę wartość zagrożoną  wyznaczyć. Prowadzi to do różnorodności możliwych podejść. Do najbardziej popularnych  zalicza się metody: historyczną, symulacyjną i wariancji-kowariancji (w tym metodę Risk Metrics).  Inne,  nieco  mniej  popularne  metody,  to  metoda  oparta  na  wektorach  warunko- wych wartości oczekiwanych i warunkowych macierzach kowariancji (model klasy VAR-MA-MGARCH), a także metody bazujące na teorii wartości ekstremalnych (Kozłowski i in. 

2003; Piontek 2007).

Metodę  wariancji-kowariancji  (nazywaną  czasem  delta-normalną)  można  zaliczyć  do  klasycznych metod analitycznych. Opiera się ona na założeniu o normalności rozkładu gę-stości prawdopodobieństwa stóp zwrotów, tzn. wykorzystuje zasadę mówiącą, że jeśli stopy  zwrotu aktywów w portfelu mają rozkład normalny, to stopa zwrotu portfela ma również  rozkład normalny z wariancją równą średniej ważonej kowariancji ze stóp zwrotu poszcze-gólnych aktywów (Kozłowski i in. 2003).

W  metodzie  historycznej  wykorzystuje  się  dane  historyczne  do  skonstruowania  empi-rycznego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa stóp zwrotu z portfela. Nie analizuje się  który  najlepiej  opisuje  mechanizm  kształtowania  się  stóp  zwrotu  portfela.  Następnie  ge-neruje  się  kilka  lub  kilkadziesiąt  tysięcy  obserwacji  (możliwych  trajektorii  procesu)  i  na  ich podstawie wyznacza się rozkład gęstości prawdopodobieństwa stóp zwrotów oraz jego  kwantyle w wybranej chwili w przyszłości. Metoda symulacji Monte Carlo jest niewątpliwie  najlepszą z metod wyznaczania wartości VaR, gdyż może brać pod uwagę różne źródła ryzy-ka, zależność czasową stóp zwrotów oraz niestacjonarny charakter zmienności (Kozłowski  i in. 2003).

Intuicyjny charakter i prostota sprawiły, że Value at Risk (VaR) od początku 1990 roku  stała  się  powszechnie  stosowaną  na  całym  świecie  miarą  ryzyka  rynkowego.  Ta  prosto-ta przyczyniła się do przyjęcia VaR jako standardowej miary ryzyka w świecie finansów.

Oficjalnie stało się to w 1996 roku wraz z opublikowaniem poprawki do tzw. Umowy Ba- zylejskiej z 1988 roku, pierwszej międzynarodowej umowy dotyczącej wymogów kapita-łowych, która ustanawiała równe warunki działalności dla banków i instytucji finansowych  aktywnych  na  rynku  międzynarodowym.  Zaproponowano  wtedy  europejskim  bankom 

wykorzystanie  własnych  modeli  VaR do  pomiaru  ryzyka  rynkowego  (Ganczarek  2008; 

Misiorek, Weron 2012; Weron 2008). VaR jako praktyczna, zintegrowana i funkcjonalna  (wewnętrzna) miara ryzyka została zaakceptowana również przez menedżerów firm (Puelz  1999).

Obecnie  najczęściej  do  pomiaru  ryzyka  (zwłaszcza  ryzyka  rynkowego)  wykorzystuje  się VaR. Miara ta jest rekomendowana przez Generalny Inspektorat Nadzoru Bankowego, 

— jest wspólną, zgodną miarą ryzyka dla różnych pozycji i czynników ryzyka,

— uwzględnia korelacje i zależności pomiędzy różnymi czynnikami ryzyka. 

Główną zaletą związaną z syntetycznym pomiarem ryzyka jest względna łatwość, z jaką  można ją wykorzystać do podejmowania decyzji strategicznych. Biorąc pod uwagę wysoki  poziom ryzyka w początkowej fazie (okres budowy), a także różne rodzaje ryzyka, które  występują później, wykorzystanie syntetycznej miary ryzyka wydaje się być konieczne (Ca-ron i in. 2007).

Na  bazie  VaR  zostało  opracowane  kilka  analogicznych  metod,  będących  adaptacją  VaR na potrzeby pomiaru ryzyka przedsiębiorstwa. Najważniejsze z nich to Wynik (Zysk) Narażony na Ryzyko (EaR – Earnings at Risk) i Przepływy Finansowe Narażone na Ryzyko  (CFaR – Cash Flow at Risk) (Kozłowski i in. 2003; Lang, Madlener 2010; Michalski, Krysta  2007).

EaR  określa  ryzyko  rozumiane  jako  możliwość  niezrealizowania  planowanego  zysku  netto,  natomiast  CFaR  odzwierciedla ryzyko  rozumiane  jako  możliwość  niezrealizowania  planowanego przepływu pieniężnego (Weron 2008). w  ciągu  kilku  lat  wykorzystanie VaR  będzie  powszechną  praktyką,  nie  tylko  dla  instytu-cji finansowych, ale dla wszystkich przedsiębiorstw w obliczu ryzyka cenowego na rynku  (Blanco 1998; Papla, Piontek 2009).

Jednak VaR ma kilka wad szczegółowo omówionych w pracach Rockafellar i Uryasev  (2000) i Palmquist i inni (2002).

Wartość VaR informuje, że z prawdopodobieństwem q wartość rozpatrywanego walo-ru nie będzie niższa od VaR. Nie informuje natomiast, o ile może być niższa (Ganczarek  2008).

Gdy rozkład gęstości prawdopodobieństwa jest normalny, wartość VaR jest proporcjo-nalna do odchylenia standardowego i jest w pełni zadowalającą miarą ryzyka, jednak gdy  rozkład  gęstości  prawdopodobieństwa  nie  jest  normalny,  wartość VaR  nie  jest  poprawna. 

A co zatem idzie miara ta nie charakteryzuje się właściwościami, które powinna posiadać 

VaR nie posiada pożądanych cech matematycznych takich jak subaddytywność, wypu-kłość, homogeniczność i monotoniczność (Artzner i in. 1997; Dulguerov 2009; Ganczarek  2008; Rockafellar, Uryasev 2000). Brak subaddytywności sprawia, że suma VaR dwóch ak-tywów  może  być  mniejsza  niż VaR  portfela  będącego  sumą  tych  ak2008; Rockafellar, Uryasev 2000). Brak subaddytywności sprawia, że suma VaR dwóch ak-tywów  (Artzner  i  in. 

1999; Artzner i in. 1997; Misiorek, Weron 2012).

Na podstawie badań empirycznych wykazano, że VaR jest miarą niestabilną, ponadto dla  dyskretnych rozkładów gęstości prawdopodobieństwa niegładką, niewypukłą oraz niejedno-modalną funkcją (Artzner i in. 1999; Fortin i in. 2007).

Aby  poradzić  sobie  z  tymi  brakami Artzner  i  inni  (1999)  zaproponował  alternatywną  miarę, która spełnia powyższe założenia. Warunkowa Wartość Zagrożona (Conditional Va-lue at Risk – CVaR) jest warunkową wartością oczekiwaną wyznaczoną ze wszystkich moż-liwych strat przekraczających maksymalną stratę wyznaczoną przez VaR (Ganczarek 2008).

CVaR  wyróżniają  takie  cechy  jak:  przechodniość,  dodatnia  homogeniczność,  monoto-niczność  względem  dominacji  stochastycznych  pierwszego  i  drugiego  rzędu  (Ganczarek  2008). Ponadto CVaR jest koherentną i spójną miarą ryzyka w sensie (Artzner i in. 1997,  1999) (koherencja CVaR zostało udowodnione przez Pflug (Krokhmal i in. 2002)).

Wykorzystanie  wskaźnika  CVaR  jest  poprawne  dla  dowolnego  poziomu  istotności  β z  przedziału  od  0  do  1,  jednak  pomiar  ryzyka  tą  miarą  wykonuje  się  zwykle  dla  niskich  wartości parametrów β, tak aby reprezentować ryzyko ekstremalnych scenariuszy (Kaleta  i in. 2002).

Wybór odpowiednich miar dla ryzyka portfela nadal jest tematem zagorzałych dyskusji  i intensywnych badań w zakresie zarządzania inwestycjami, ponieważ wszystkie propono-wane miary ryzyka mają wady i ograniczone zastosowanie. Rachev i inni (2005) dochodzą  do wniosku, że idealny środek nie istnieje. Jednak, zauważają, że uzasadnione jest, aby szu-kać miary ryzyka, która jest idealna do analizy poszczególnych problemów (Kalicki 2013; 

Sereda i in. 2010).

W analizie ryzyka portfela w sektorze energetycznym stosuje się powszechnie cztery ro-dzaje miar ryzyka są to: wariancja, semiwariancja, Value at Risk i Conditional Value at Risk (Suzuki, Uchiyama 2010). Na rysunku 2.2 przedstawiono różnice pomiędzy tymi miarami  ryzyka.

Choć  w  przeszłości  większość  prac  z  zakresu  analizy  portfelowej  opierała  się  na  wa-riancji  lub  semiwawa-riancji  jako  miarach  ryzyka,  bardziej  aktualne  prace  zwróciły  wyraźną  uwagę na fakt, że rozkłady gęstości prawdopodobieństwa przepływów pieniężnych w sek-torze  elektroenergetycznym  nie  zawsze  są  normalne  (Fuss  i  in.  2012;  Markowitz  1959; 

Rys. 2.2. Różnice pomiędzy czterema miarami ryzyka

a) wariancja, b) semiwariancja, c) wartość narażona na ryzyko VaR (Value at Risk), d) warunkowa wartość narażona na ryzyko CVaR (Conditional Value at Risk)

Źródło: (Suzuki, Uchiyama 2010)

Fig. 2.2. The differences between the four risk measures

a) variance, b) semivariance c) Value at Risk (VaR), d) conditional value at risk (CVaR) 

Porter 1974; Suzuki, Uchiyama 2010; Yu 2007). Jak wcześniej było wspomniane, według  współczesnej teorii ryzyka zdarzenia ekstremalne posiadają decydujący wpływ na charakter  i wielkość ponoszonego ryzyka (Kutner 2009b). Długie i grube „ogony” rozkładów gęstości  prawdopodobieństwa mogą prowadzić do dużych strat, które nie są uchwycone tradycyjnymi  miarami takimi jak wariancja (Fuss i in. 2012; Suzuki, Uchiyama 2010). Wpływ rzadkich  zdarzeń na profil ryzyka jest często potęgowany przez skończoną płynność. Aktywa rzeczo-we nabywane przez przedsiębiorstwa są o wiele mniej płynne niż aktywa finansowe takie  jak: akcje, obligacje czy kontrakty terminowe (Albanese, Lawi 2004).

Ze względu na wiele niepewności i różne rodzaje ryzyka, które wpływają na podejmo-wane decyzje inwestycyjne w sektorze elektroenergetycznym, próbuje się opracować nowe  metody oceny projektów inwestycyjnych (Fuss i in. 2012).

W celu pomiaru ryzyka odchodzi się od wariancji jako miary ryzyka. Liu i Wu (2007)  oraz Deng i Xu (2009) wykorzystali VaR do pomiaru ryzyka na rynkach energii elektrycz-nej. Fortin i inni (2008) zaproponowali użycie CVaR (Conditional Value at Risk). Uryasev  i  Rockafellar  (1999)  zaproponowali  opartą  na  modelu  scenariuszy  optymalizację  portfela  za pomocą CVaR. Yu i inni (2009) rozszerzyli prace Uryasev i Rockafellar (1999) o nowe  klasy problemów z funkcją CVaR. Również Bartelj i inni (2010) w swoich badaniach wyko-rzystali do pomiaru ryzyka na rynkach energii elektrycznej CVaR, a Szolgayová i in. (2008)  (Szolgayova i in. 2008) posłużyli się tą miarą ryzyka w procesie optymalizacji portfela tech-nologii energetycznych zamiast wariancją i odchyleniem standardowym.

CVaR jako miara ryzyka może być bardziej odpowiednia do pomiaru ryzyka długotrwa- łych aktywów rzeczowych niż wariancja, gdyż inwestycje są nieodwracalne, przez co inwe-stor większą wagę przykłada do negatywnych stóp zwrotu z inwestycji niż do pozytywnych  (wysokie zyski inwestora nie martwią, czego nie można powiedzieć o stratach) (Fuss i in. 

2012). Często także rozkłady gęstości prawdopodobieństwa stóp zwrotu charakteryzują się  dużą  asymetrią  i  standardowe  narzędzia  optymalizacji  bazujące  na  wariancji  lub  VaR  są  niewystarczające. Aby poradzić sobie z tym problemem używa się CVaR jako miary ryzyka  (Andersson i in. 1999).

Porównując optymalne portfele wyznaczone w oparciu o miary ryzyka takie jak: warian- cja, VaR i CVaR można zauważyć, że różnice między portfelami mogą być małe, a efek-tywne granice przy różnych miarach ryzyka leżą blisko siebie pod warunkiem, że wszystkie  zmienne mają normalny rozkład gęstości prawdopodobieństwa (Adam i in. 2008; Artzner  i in. 1999; Artzner i in. 1997; Fortin i in. 2007; Muñoz i in. 2009; Rockafellar, Uryasev 2000; 

Yu 2002).

Bertsimas i inni (2004) wskazują na przewagę CVaR nad VaR z punktu widzenia uzyski-wanych wyników w procesie optymalizacji portfela. Jednak kosztem wykorzystania CVaR  do optymalizacji portfela jest ograniczenie prostoty i uciążliwość obliczeniowa (Leal, Men-des 2010).