Minimalizacja kosztu przy zadanej macierzy informacyjnej

Rozważany w tym rozdziale problem ma cechy zarówno pierwszej, jak i trze-ciej z wymienionych klas zadań. Załóżmy, że wybraliśmy pewną symetryczną i dodatnio określoną macierz D o r wierszach i kolumnach. Macierz ta pełnić będzie dalej rolę macierzy informacyjnej, którą chcielibyśmy osiągnąć poprzez odpowiedni dobór planu eksperymentu, o ile przy zadanej strukturze funkcji re-gresji i zadanym zbiorze dopuszczalnych wymuszeń X jest to możliwe. Jedną z podstawowych własności macierzy informacyjnej jest jej symetria i nieujemna określoność. Dlatego też macierz D musi je spełniać. Dodatkowo założymy, że macierz ta jest nieosobliwa, aby zapewnić estymowalność wszystkich parametrów funkcji regresji. Innymi słowy, zadajemy macierz kowariancji D−1 oszacowań pa-rametrów modelu i chcemy ją osiągnąć przez dobór planu. Jednocześnie chcieliby-śmy minimalizować całkowity koszt eksperymentu, na który składają się koszty zastosowania poszczególnych zestawów wejść. Będziemy zakładać, że dana jest ciągła w X i nieujemna funkcja w(x), która określa koszt pojedynczego ekspery-mentu wykonanego w punkcie x ∈ X.

Kolejnym elementem potrzebnym do sformułowania zadania jest klasa eks-perymentów, które chcemy brać pod uwagę. W poprzednich rozdziałach

ogra-niczaliśmy się zwykle do klasy eksperymentów Ξ, będących dyskretnymi miara-mi probabilistycznymiara-mi określonymiara-mi na X. Tutaj będziemy potrzebować jeszcze szerszego pojęcia planu, po to, by uzyskać możliwie „duży” zbiór osiągalnych macierzy informacyjnych. W rozdziale tym jako plan eksperymentu traktować będziemy dowolną miarę skończoną, określoną na zbiorze X ⊂ Rs dopuszczal-nych zestawów wejść. Plan taki oznaczać będziemy przez F , a klasę wszystkich takich planów określonych na X oznaczymy przez F. Nie wskazujemy jawnie zależności klasy planów F od X, aby nie komplikować dalszych oznaczeń. Warto zwrócić uwagę na to, czym różnią się plany z klasy F od tych, które rozważaliśmy dotychczas. W istocie zrezygnowaliśmy z warunku sumowania się wag planu do 1. W szczególności klasa F zawiera plany o postaci

F_N =   x₁, x₂, . . . , x_m N p₁, N p₂, . . . , N p_m  , (9.1.1)

gdzie x_i oraz p_i są takie jak w planach z klasy Ξ(X), natomiast N > 0 pełni rolę liczby eksperymentów, przy czym w rozdziale tym nie wymagamy, by N było liczbą naturalną.

Nie muszą być liczbami naturalnymi także iloczyny N pj, j = 1, 2, . . . , m. Dopiero na etapie realizacji będziemy zaokrąglać wartości N p_j, j = 1, 2, . . . , m do najbliższych liczb naturalnych.

Dla podkreślenia różnic między nieunormowanymi planami z klasy F a unor-mowanymi planami używanymi dotychczas w całym tym rozdziale stosować bę-dziemy inny niż dotąd zapis całki Lebesgue’a, a mianowicie ^R_Xw(x) dF (x). Pod-kreślamy, że rozumienie pojęcia całki pozostaje bez zmiany, tyle że liczymy ją względem innej klasy miar.

Sformułowanie problemu

Po tych objaśnieniach możemy zdefiniować koszt I(F ) eksperymentu F ∈ F I(F ) =

Z

X

w(x) dF (x), (9.1.2)

gdzie całka rozumiana jest w sensie Lebesgu’a. Dla planów o postaci (9.1.1) koszt ten obliczyć możemy następująco

I(F_N) =

m

X

j=1

N p_jw(x_j) . (9.1.3)

Jako koszt eksperymentu w(x) możemy wybrać funkcję charakterystyczną zbioru X, to znaczy w(x) =    1, x ∈ X, 0, x 6∈ X.

W tym przypadku, jeśli plan jest postaci (9.1.1), to całkowity koszt równy jest liczbie pomiarów I(FN) = N. Innym przykładem wyboru funkcji kosztu jest w(x) = ^Ps_l=1|x(l)|, którą możemy interpretować jako sumę amplitud wymuszeń zastosowanych na poszczególnych wejściach x(l), l = 1, 2, . . . , s.

Kolejnym elementem potrzebnym do sformułowania zadania planowania eks-perymentu są ograniczenia. Zdefiniujmy podzbiór F(D) zbioru wszystkich planów F poprzez nałożenie wymagania, by plan F ∈ F był elementem F(D) tylko wów-czas, gdy zapewnia on spełnienie równości D = R

Xv(x)·vT(x)dF (x). Badanie czy zbiór F(D) zawiera choćby jeden element jest dość trudne. Pewne komentarze na ten temat podamy w dalszej części tego rozdziału.

Możemy teraz sformułować problem rozważany w tym rozdziale. Zadanie po-lega na znalezieniu I^∗ = inf F ∈F (D)   Z X w(x) dF (x)  , (9.1.4)

Oczywiście interesuje nas nie tylko koszt „najtańszego” planu I∗, ale także plan F^∗ ∈ F(D), dla którego infimum w (9.1.4) jest osiągane, jeśli taki plan istnieje.

Warto odnotować, że jeśli

a) zbiór X jest domknięty i ograniczony,

b) funkcje v(x) oraz w(x) są na tym zbiorze ciągłe,

c) dla pewnego planu F∗ ∈ F(D) zachodzi I∗ = I(F∗) < ∞, d) zbiór macierzy

Z

Xv(x) v^T(x) dF (x) : F ∈ F(D)^

jest domknięty i ograniczony, to istnieje plan, powiedzmy ˆF ∈ F(D), który jest miarą dyskretną skupioną w skończonej liczbie punktów zbioru X i taką, że I(F∗) = I( ˆF ). Dowód tego faktu jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Carathodory’ego.

W następnych podrozdziałach przedstawiamy dwie klasy problemów, które są szczególnymi przypadkami zadania (9.1.4), a jednocześnie wpisują się w klasyczne nurty teorii planowania eksperymentu.

Plany ortogonalne

Wybierzmy jako pożądaną macierz informacyjną D = Ir, czyli macierz jed-nostkową r ×r. Wówczas zadanie (9.1.4) interpretować można jako zadanie znale-zienia ortogonalnego planu, ale nie dowolnego – jak w klasycznym sformułowaniu planowania ortogonalnego – lecz planu o minimalnym koszcie.

Jest jeszcze jedna różnica między naszym sformułowaniem zadania a klasycz-nym planowaniem orotogonalklasycz-nym. Mianowicie, w tym ostatnim wymaga się, by macierz informacyjna była macierzą diagonalną, lecz – w przeciwieństwie do na-szego zadania – nie precyzuje się dokładnie wartości diagonalnych elementów tej

macierzy. Z tego powodu rozważane przez nas zadanie nazywać będziemy zada-niem planowania ortogonalnego z ograniczeniami. Ograniczenia takie warto nało-żyć, gdyż, w przypadku gdy macierz informacyjna jest diagonalna, odwrotności diagonalnych elementów macierzy informacyjnej są proporcjonalne do wariancji oszacowań parametrów. Uzyskanie oszacowań o wariancji mniejszej niż niezbędna może się zatem okazać nadmiernie kosztowne.

Plany o symetrii obrotowej

Wybierzmy macierz D w ten sposób, by spełniony był warunek

v^T(x) D−1v(x) = h(kxk), x ∈ X (9.1.5) gdzie kxk = ^xT x^1/2 natomiast h(·) jest pewną nieujemną i niemalejącą funk-cją, którą także my wybieramy. Warunek (9.1.5) oznacza, że pożądana macierz informacyna ma zapewniać tę samą wariancję oszacowania wyjścia we wszystkich punktach, które są równoodległe od centrum1 eksperymentu. Cechę tę posiadają klasyczne plany o symetrii obrotowej (por. [29]). W klasycznym sformułowaniu zadania planowania o symetrii obrotowej zwykle nie zadaje się funkcji h(·). My będziemy funkcję tę traktować jako zadaną i dlatego zadanie doboru planu o mi-nimalnym koszcie i takiego, który zapewnia spełnienie (9.1.5) nazywać będziemy planowaniem o symetrii obrotowej z ograniczeniami.