Model umocnienia materiału

6.2.1. Model umocnienia materiału

Modelowanie zależności między naprężeniem a odkształceniem jest istotnym elementem w obliczeniach trwałości zmęczeniowej. Spośród wie-lu powszechnie stosowanych w literaturze przedmiotu modeli umocnienia materiału w wyniku odkształceń plastycznych można wyróżnić modele li-niowe Pragera i Zieglera [47], modele nielili-niowe Armstronga-Fredericka [18, 88, 102], Chaboche’a [18, 88, 102], Ohno-Wanga [88], modele dwupo-wierzchniowe Dafaliasa-Popova [24], McDowella [88, 89], modele wielopo-wierzchniowe Mroza [91], Mroza-Garuda [42, 134], Chu [16, 51, 75] oraz mo-dele endochroniczne np. Valanisa [135]. Przy tak dużej liczbie stosowanych

modeli umocnienia pojawia się problem, który z modeli powinien być zasto-sowany w obliczeniach. Większość modeli plastyczności wymaga przeprowa-dzenia specjalnych testów eksperymentalnych w celu wyznaczenia licznych stałych materiałowych kalibrujących model plastyczności danego materia-łu. Do modelowania naprężeń i odkształceń w niniejszej pracy wybrano modele, w których używa się tylko standardowych charakterystyk materia-łu. Do standardowych charakterystyk materiału należy krzywa cyklicznego odkształcenia opisywana najczęściej równaniem Ramberga-Osgooda

ε_a= ^σa E ⁺  σ_a K0 _1/n0 . (6.1) Model Mroza-Garuda

Model Mroza należy do przyrostowych modeli plastyczności [103]. Mróz [91] wprowadził pojęcie pola plastycznego modułu. Według tej koncepcji, nieliniowa krzywa cyklicznego odkształcenia (σ_a − ε_a) - wzór (6.1) jest zastąpiona ciągiem związków liniowych. Każdy segment liniowy ma swój własny moduł plastyczności (H⁽⁰⁾, H⁽¹⁾, ..., H^(m−1)). Punkty na nowej zli-nearyzowanej krzywej cyklicznego odkształcenia wyznaczają pola w prze-strzeni naprężeń, w których moduły plastyczności są stałe (pola modułów plastyczności). Dla początkowo izotropowych materiałów środki tych pól zbiegają się w jednym punkcie (koncentryczność powierzchni). W przy-padku płaskiego stanu naprężenia, wybrania odpowiedniej skali i zasto-sowania warunku plastyczności Hubera-Misesa-Hencky’ego (H-M-H), po-wierzchnie (f(1), f(2), ..., f(m)) o stałych modułach plastyczności redukują się do okręgów (rys. 6.14). Model Mroza zakłada, że materiał jest jednorod-ny, izotropowy i wpływ prędkości obciążenia jest pomijalnie mały, ponadto nie uwzględnia zjawisk termicznych oraz przyjmuje niezmienność modu-łu Younga i liczby Poissona. Wszystkie przyrostowe modele plastyczności składają się z trzech podstawowych składników:

— warunku plastyczności (Yield criterion), — prawa plastycznego płynięcia (Flow rule), — prawa umocnienia (Hardening rule).

Warunek plastyczności

Warunek plastyczności decyduje, dla jakiego stanu naprężenia pojawią się odkształcenia plastyczne, określając w ten sposób jednocześnie kształt i wielkość powierzchni plastyczności. W obliczeniach dla metali

najczę-Rys. 6.14. Pola stałych modułów plastyczności wynikające z krzywej cyklicznego odkształcenia

ściej stosuje się powierzchnię plastyczności według hipotezy Hubera-Misesa--Hencky’ego (H-M-H), która dla wielopowierzchniowego modelu Mroza przyj-muje postać

f^(k)(s_ij, a^(k)_ij , R^(k)) = ³

2^{(sij− a}

(k)

ij )(s_ij− a^(k)_ij ) − (R^(k))², (6.2)

gdzie: k jest kolejną powierzchnią plastyczności (k = 1, 2, , m), R(k) jest promieniem (k)-tej powierzchni plastyczności, a_ij określa środek (k)-tej po-wierzchni plastyczności, s_ij jest tensorem dewiatora naprężenia. W modelu Mroza równanie (6.2) definiuje warunek pojawienia się odkształceń pla-stycznych w przypadku gdy k = 1 (pierwsza powierzchnia plastyczności). Dla k > 1 równanie (6.2) wyznacza pola o różnych wartościach modułów plastyczności H(k) (rys. 6.14).

Prawo plastycznego płynięcia

Prawo plastycznego płynięcia określa kierunek i wartość przyrostu plastycznego odkształcenia ∆ε^p_ij. Według najczęściej stosowanego prawa płynięcia, tj. stowarzyszonego (normalnego) prawa płynięcia [47] tensor o składowych ∆ε^p_ij jest skierowany wzdłuż normalnej η_ij do powierzchni pla-styczności, czyli (rys. 6.15)

∆ε^p_ij = ¹

gdzie: η_ij wyznacza kierunek normalny do powierzchni plastyczności η_ij = ∂f ∂sij q ∂f ∂sij ·_∂sij^{∂f =} r 3 2 (s_ij− a_ij) R ⁼ s_ij− a_ij q (s_ij− a_ij)(s_ij− a_ij)^{. (6.4)} Prawo plastycznego płynięcia definiuje jednocześnie moduł plastyczności

Rys. 6.15. Schematyczna ilustracja stowarzyszonego prawa płynięcia

H. Na podstawie równania (6.3) można wyprowadzić zależność na moduł

plastyczności w jednoosiowym stanie naprężenia (załącznik C1 w pracy [59])

H = ²

3 ∆σ_xx

∆ε^p_xx^{. (6.5)}

Wykorzystując krzywą cyklicznego odkształcenia (rys. 6.14, rów. 6.1) moż-na określić moż-na podstawie wzoru (6.5) moduł plastyczności H(k)dla każdego liniowego segmentu tej krzywej, a mianowicie

H^(k)= ² 3 " ε(k+1)− ε(k) R(k+1)− R(k) − ¹ E #₋₁ , (6.6)

gdzie: E jest modułem Younga.

Prawo umocnienia

Wyróżnia się dwa podstawowe prawa umocnienia materiału a) kine-matyczne prawo umocnienia, b) izotropowe prawo umocnienia.

Prawo kinematycznego umocnienia polega na translacji powierzchni plastyczności (rys. 6.14). W modelu Mroza translacja powierzchni pla-styczności polega na wyznaczeniu wielkości a^(k)_ij dla każdej przesuwanej po-wierzchni plastyczności. Translacja popo-wierzchni plastyczności musi spełniać

warunek spójności. Warunek spójności wynika z faktu, że każdy bieżący punkt obciążenia s_ij jest punktem zbieżności powierzchni plastyczności, których promień jest mniejszy lub równy aktywnej powierzchni plastyczno-ści (przesuwana powierzchnia o największym promieniu R). W modelu ki-nematycznego umocnienia Mroza translacja powierzchni plastyczności jest zgodna z kierunkiem d_ij wyznaczonym przez prostą łączącą bieżący punkt obciążenia s_ij z tzw. punktem podobieństwa (IP - image point, rys. 6.16a). Punkt IP jest to punkt na kolejnej większej powierzchni plastyczności f(k+1) o takiej samej normalnej η_ij jak punkt bieżący obciążenia s_ij na aktywnej powierzchni plastyczności. Dokładny opis zamieszczono w pracy [59].

(a) (b)

Rys. 6.16. Schematyczna ilustracja kierunku translacji dij powierzchni plastycz-ności f(k)według modelu kinematycznego umocnienia: (a) Mroza, (b) Garuda

Izotropowe prawo umocnienia polega na zmianie wielkości powierzchni plastyczności. Model Mroza nie ujmuje umocnienia izotropowego i z tego względu ten rodzaj umocnienia nie jest tutaj omawiany.

Garud [42] i inni badacze [134] zwrócili uwagę, że umocnienie kinema-tyczne według Mroza w pewnych przypadkach obciążeń może doprowadzić do przecięcia się powierzchni plastyczności (rys. 6.17). Wzajemne nacho-dzenie się kilku powierzchni plastyczności jest niedopuszczalne, ponieważ oznaczałoby to, że w jednym punkcie w przestrzeni naprężeń występuje nie-jednoznaczność wartości modułu plastyczności H i kierunku przyrostu od-kształcenia plastycznego ε^p_ij. Garud [42] zaproponował kierunek

przesunię-IP f (k+1) ∆s_ij s ij a_ij^k
f (k) f (k-1) a_ijk1
a_ijk1
+∆s_ij s ij  ij  ij

Rys. 6.17. Schematyczna ilustracja przypadku obciążenia ∆sij, przy którym umocnienie kinematyczne Mroza dij powoduje przecięcie się po-wierzchni plastyczności

cia powierzchni plastyczności wykluczający możliwość ich przecinania się. Według Garuda kierunek translacji d_ij jest wyznaczony przez dwa punkty: środek aktywnej powierzchni plastyczności a^(k)_ij oraz punkt będący pozor-nym środkiem aktywnej powierzchni plastyczności (rys. 6.16b). Wirtualne położenie aktywnej powierzchni plastyczności a⁰_ij^(k) jest uwarunkowane po-zornym punktem zbieżności s0

ij, który powstaje z przedłużenia przyrostu dewiatora naprężenia ∆s_ij do powierzchni plastyczności f(k+1).

Implementację modelu plastyczności Mroza-Garuda przeprowadzono w programie MATLAB [86].