Modelowanie numeryczne ruchu jonów w obszarze kolumny

Założenie o istnieniu wewnętrznej strukturze kolumny plazmowej zostało potwierdzone wielokrotnie w różnych doświadczeniach [78-81]. Na podstawie zdjęć wyładowań w promieniach X, obrazów interferencyjnych plazmy oraz pomiarów anizotropii emisji jonowej stwierdzono występowanie filamentów (włókien) prądowych w kolumnie plazmy, zarówno w fazie akceleracji osiowej, jak i podczas kompresji radialnej plazmy. Integralne obrazy w promieniowaniu X pokazują, że struktury takie mogą istnieć na tyle długo, by dały się zarejestrować na detektorze. Wiele z otrzymanych obrazów pokazuje wyraźny kształt filamentów, co świadczy o tym, że podczas emisji promieniowania włókna prądowe zmieniają się jedynie w niewielkim zakresie.

Aby zbadać wpływ struktury pinchu na emisję jonową postanowiono przeprowadzić symulacje komputerowe dynamiki jonów w obszarze kolumny plazmowej. Modelem teoretycznym obliczania trajektorii jonów był model jednocząstkowy. Pozwala on na wykreślenie ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym wytwarzanym przez prąd płynący przez plazmę. W symulacjach posłużono się kartezjańskim, prawoskrętnym układem współrzędnych, w którym osią OZ była oś symetrii urządzenia.

102

Równania ruchu miały postać (7.1). Korzystano z praw mechaniki nierelatywistycznej, gdyż przy energiach dochodzących do 1,5 MeV prędkość deuteronu wynosi około 0,04c i czynnik Lorentza jest mniejszy niż 1,001.

(

^{v B E}

)

Ze a m_{i i}

r r r

r = × + (7.1)

Pole elektromagnetyczne pochodzące od włókien prądowych wyznaczono z prawa Biota-Savarta (7.2), znając położenie jonu i zakładając pewne rozmieszczenie i kształt włókien.

( )

⁼

∫

^×

L r

r l I d r

B ⁰ ₂

4 r r r r

π

µ (7.2)

Program do obliczania trajektorii został napisany w języku FORTRAN95.

Całkowanie równań ruchu wykonano metodą Adamsa-Bashfortha-Moultona, z inicjalizacją metodą Rungego-Kutty[82-83].

Przy konstruowaniu modelu założono, że prąd płynący przez plazmę rozdziela się na pewną liczbę włókien prądowych, o wybranym kształcie. Następnie, w obrębie jednego filamentu następuje generacja jonu deuteru o wybranej energii. Jon taki pod wpływem pól elektromagnetycznych porusza się po torze krzywoliniowym, a dodatkowo jest hamowany przez plazmę. Stratę energii jonu obliczono na podstawie prac [84-85]. Opisywana jest ona wzorami (7.3)-(7.4)

( ) _{( ) ( ) ( )}

 





 



  + ∆ + ∆ + + −





  Ψ 

−

=

 

 



 π γ

2 ln 4 1

4 ln

2 1

0 2 2

x k x

x k V

m Ze n dt

dE

D e

e C

(7.3) dla niskiej temperatury plazmy (T_e << 13,6 eV), lub

( ) _{( ) ( ) ( )}

 





 



  + ∆ + ∆ +





  Ψ 

−

=

 

 





2 1 2

1 ln 4

4

2 1

0 2 2

x k x

x k V

m Ze n dt

dE

D e

e Q

π

(7.4)

dla wysokiej temperatury plazmy (Te > 13,6 eV).

W powyższych formułach posłużono się następującymi oznaczeniami:

( ) ( ) ^{( )}

¹²

( )

²

0

2 2 2

1

exp d erf 2 exp

4 s s s x x

x

x

−

−

=

−

≡

Ψ ^π

⁻

∫ ^π

^{− (7.5a)}

( ) ^{s = − s} ( ) ( ) ^{− s} ∫

^s

^{t t}

X

0

2

2

exp d

exp 2

1

_(7.5b)

( ) ^{s s exp} ( ) ^s

²

Y = π −

^(7.5c)

103

( ) [ ( ) ] ( ) 



 



 



 

 + 

+ Ψ

−

≡

∆ ^{x 1 x}

⁻

∫

^x

^{s d s Y ln X}

²

^Y

²

^{2 X arctan} _X ^Y

0 1

1

π

^(7.5d)

( ) ^{x x}

²

[ ( ) ^x ]

¹

^{G ( ) x}

2

1 4

2

ln 1  − + Ψ

⁻



 



≡ 

∆ π

(7.5e)

( ) ( )

( ) ^s

s x x

s x s s

s

x s s s x

s x G

x x

2 d ln

exp

d ln

exp

2 2

0

2 2 2 2

2

∫

∫

∞

 

 



  −



 





−

− + +

 +





 

 −

−

≡

(7.5f)

Wzory te są słuszne dla wielkości wyrażonych w układzie CGS. Aby otrzymać wartości w [eV/s] należy otrzymany wynik przemnożyć przez czynnik 6,2415×10¹¹.

Symulacje przeprowadzono dla różnych geometrii plazmy. Na początku założono jednorodny przepływ prądu w kolumnie plazmowej. Następnie ustalono, że prąd przepływał przez ustaloną liczbę włókien, jednorodnie rozłożonych na okręgu o średnicy pinchu plazmowego. Wybrano dwa kształty włókien: liniowy i paraboliczny.

Dodatkowo włókna te traktowano jako nieruchome, bądź poruszające się w kierunku osi symetrii z pewną ustaloną prędkością. Miejscem generacji jonów wybrano obszar leżący wzdłuż jednego z filamentów. Założono, że prędkość początkowa jonu stanowi sumę pewnej początkowej prędkości wzdłuż osi Z i prędkości termicznej w losowym kierunku.

W wyniku obliczeń otrzymywano położenia i prędkości jonów opuszczających obszar kolumny plazmowej. Na tej podstawie można określić charakter emisji jonowej, tj. czy jony były emitowane jednorodnie, w szerokich bądź wąskich wiązkach, w kierunku zgodnym lub przeciwnym do kierunku ruchu warstwy prądowej. Rezultaty obliczeń przedstawione są w postaci zbioru punktów, których położenie odpowiada miejscu opuszczenia obszaru obliczeń, a kolorem zaznaczony jest kierunek rzutu prędkości na płaszczyznę XY (kąt azymutalny), lub kąt między prędkością a osią OZ (kąt zenitalny). Wyjaśnienie sposobu prezentacji pokazane jest na Rys. 7.4.

Na obrazku przedstawiającym rzuty prędkości na płaszczyznę XY ruchowi w prawo (wzdłuż osi OX) odpowiada kolor czerwony, a w lewo – kolor błękitny. Na drugim obrazku ruchowi w górę osi OZ odpowiada kolor czerwony, w dół – błękitny, a prostopadle – zielonożółty. Na przedstawionym przykładzie (rys. 7.2 b-c) widać jony

104

wylatujące pod różnymi kątami do osi OX, od zera (czerwone punkty) do ponad trzystu stopni (fioletowe punkty) oraz od kilkunastu (pomarańczowe punkty) do ponad stu stopni do osi OZ (zielone punkty).

a) b)

c)

Rys. 7.4. Sposób prezentacji wyników symulacji ruchu jonów w kolumnie pinchu:

a) Przyporządkowanie kolorów do kątów, b) Przedstawienie kątów tworzonych między rzutem prędkości jonu na płaszczyznę XY i osią OX (kąt azymutalny), c) Przedstawienie

kątów między prędkością jonu i osią Z (kąt zenitalny).

Wyniki symulacji ruchu jonów uporządkowano według energii jonu i kształtu filamentów prądowych. Parametry wykorzystane do obliczeń przedstawia tabela 7.1.

W poniższych symulacjach początek pinchu znajdował się w centrum układu współrzędnych, a obszar generacji jonów był kulą o promieniu 1,5 mm, umieszczoną wzdłuż jednego filamentu, na współrzędnych X = 1 cm, Y = 0 cm, na wysokości Z = 5 cm. Prędkość jonu była sumą prędkości odpowiadającej energii początkowej,

15°

120°

220°

X (Z)

Y kąt azymutalny

kąt zenitalny

105

skierowanej wzdłuż osi OZ, w kierunku ruchu warstwy prądowej, i prędkości ruchu termicznego, skierowanej w losowo wybranym kierunku.

Tabela 7.1.

Parametry użyte w programie do symulacji ruchu jonów w obszarze kolumny plazmowej.

Długość kolumny plazmowej

Promień kolumny plazmowej

Prąd plazmy

Liczba filamentów

Koncentracja elektronowa

plazmy

Temperatura elektronowa

plazmy

10 cm 1 cm 1 MA 6 10²⁴ m^-3 2 eV

Symulacje ruchu deuteronów o energii początkowej 200 keV.

Rys. 7.5-7.7 pokazują rozkłady przestrzenne jonów opuszczających kolumnę plazmową, w płaszczyźnie oddalonej o 14 cm od końca elektrod. Przedstawione wyniki dotyczą jonu deuteru o energii 200 keV.

a) b)

Rys. 7.5. Położenia jonów i kierunki prędkości: a) azymutalne, b) zenitalne, dla deuteronów opuszczających jednorodną kolumnę plazmy.

kąt azymutalny kąt zenitalny

106

[m]

[m]

kąt azymutalny

[m]

[m]

[m]

kąt zenitalny

a) b)

Rys. 7.6. Położenia jonów i kierunki prędkości: a) azymutalne, b) zenitalne,dla deuteronów opuszczających kolumnę plazmy zawierającą równoległe , nieruchome

filamenty.

a) b)

Rys. 7.7. Położenia jonów i kierunki prędkości: a) azymutalne, b) zenitalne, dla deuteronów opuszczających kolumnę plazmy zawierającej nieruchome filamenty o

kształcie parabolicznym (kielichowym).

[m]

[m]

kąt azymutalny

[m]

[m]

kąt zenitalny

107

Symulacje ruchu deuteronów o energii początkowej 700 keV

Obliczone numerycznie rozkłady przestrzenne deuteronów o energii 700 keV, opuszczających kolumnę plazmową w płaszczyźnie z oddalonej o 14 cm od końca elektrod, przedstawiono na Rys. 7.8-7.10.

a)

b)

Rys. 7.8. Położenia jonów i kierunki prędkości: a) azymutalne, b) zenitalne, dla deuteronów opuszczających jednorodną kolumnę plazmy.

kąt azymutalny

kąt zenitalny

108

a) b)

Rys. 7.9. Położenia jonów i kierunki prędkości: a) azymutalne, b) zenitalne, dla deuteronów opuszczających kolumnę plazmy zawierającą równolegle i nieruchome

filamenty.

a) b)

Rys. 7.10. Położenia jonów i kierunki prędkości: a) azymutalne, b) zenitalne, deuteronów opuszczających kolumnę plazmy zawierającej nieruchome filamenty o

kształcie parabolicznym.

Symulacje przeprowadzone dla deuteronów o energii 200 keV przy założeniu jednorodności kolumny plazmowej pokazują, że deuterony opuszczające obszar plazmy

[m]

[m]

kąt zenitalny [m] [m]

kąt azymutalny

[m]

[m]

kąt azymutalny

[m]

[m]

kąt zenitalny

109

poruszają się pod bardzo małymi kątami do osi OZ, przy czym kąty azymutalne nie są wyraźnie powiązane z miejscem emisji. Obecność filamentów i związany z nimi wybór miejsca generacji sprawiają, że jony opuszczają kolumnę plazmy w obszarze leżącym po przeciwnej stronie osi Z niż źródło oraz poruszają się w większości w jednym kierunku. Układ prostych filamentów prowadzi do powstania wiązki o średnicy około 2 cm, a jony na jej lewym brzegu kierują się w stronę osi X (na co wskazuje zielony kolor – odpowiadający kątowi około 120° - na dole i granatowy - odpowiadający kątowi około 240° - na górze). Oznacza to, że wiązka ta jest zbieżna. Trochę inne zachowanie zaobserwowano dla filamentów parabolicznych. Obszar emisji jonów ma średnicę około 3,5 cm, a wiązka wykazuje lekką rozbieżność. Wskazuje na to jaśniejszy kolor na górze i ciemniejszy na dole wiązki, co mówi o tym, że jony z górnej części kierują się w górę, a z dolnej – w dół. Opierając się na powyższych przykładach można stwierdzić, że jony o niskich energiach (około 200 keV) opuszczając kolumnę pinchu oddalają się od osi OZ. Jeśli umieścimy kamerę otworkową na osi symetrii układu, jony te mogą do niej dotrzeć w wyniku rozpraszania i zmiany kierunku ruch na gazie wypełniającym komorę.

Wyniki obliczeń ruchu deuteronów o energii 700 keV wykazują odmienny charakter. Jony opuszczają kolumnę plazmy z obszaru leżącego ponad miejscem generacji, przy czym kierunki prędkości są znacznie bardziej zróżnicowane niż w poprzednim przypadku. Rozkład pól w jednorodnej kolumnie plazmy prowadzi do powstania wiązki jonów poruszających się pod małymi kątami do osi OZ (patrz Rys.

7.8). Układ kątów azymutalnych wskazuje na tendencję do skupiania się wiązki (np.

przewaga koloru zielonego – oznaczającego 135° - w prawym dolnym rogu wiązki i fioletowego - 315° - w lewym górnym rogu). Nieruchome filamenty, zarówno proste jak i paraboliczne, prowadzą do powstania wiązki rozszerzającej się we wszystkich kierunkach, a kąty do osi Z sięgają kilkunastu stopni. Interesujące jest porównanie kształtów wiązek wytwarzanych przy różnych kształtach włókien. Wiązka jonowa emitowana przy układzie parabolicznych filamentów charakteryzuje się dużą symetrią i jest prawie dokładnie kolista, natomiast w drugim wypadku ma ona kształt eliptyczny, z osią długą równoległą do osi X. Różnice te wyraźnie widoczne są również na Rys. 7.11 przedstawiającym kształty trajektorii jonów.

110 a) E_D = 200 keV

b) ED = 700 keV

c) E_D = 700 keV

Rys. 7.11. Trajektorie deuteronów w układzie parabolicznych (a-b) i prostych (c) filamentów prądowych. Początkowe energie jonów zaznaczone są na wykresie.

1 cm

1 cm

1 cm

111 a)

b)

Rys. 7.12. Położenia jonów i kierunki prędkości (a) azymutalne, b) zenitalne) dla 200-keV deuteronów opuszczających kolumnę plazmy zawierającej równolegle i nieruchome

filamenty, w wypadku gdy miejsce jony były generowane w odległości z = 8 cm od końca elektrod.

Jak pokazuje Rys. 7.12, położenie miejsca generacji ma znaczący wpływ na wynik symulacji. Umieszczenie źródła deuteronów w odległości 8 cm od czoła elektrod sprawiło, że opuszczająca obszar plazmy wiązka pojawia się z lewej strony pinchu, kieruje się w lewą stronę oraz jest wyraźnie zbieżna do płaszczyzny XZ.

Następnym krokiem jaki wykonano było uwzględnienie ruchu filamentów podczas wyładowania. Na podstawie zdjęć rentgenowskich ukazujących struktury

[m]

kąt azymutalny

[m]

kąt zenitalny

112

kąt zenitalny kąt azymutalny

plazmowe [79-80] można sądzić, że w czasie ich istnienia (wynoszącym kilkanaście nanosekund) szerokość włókien zawiera się w granicach poniżej 1 mm. Maksymalna prędkość radialna wynosi wówczas 10⁵ m/s, a rzeczywista może być wielokrotnie mniejsza. Taka wartość prędkości nie wpływa w istotny sposób na wielkości i rozkłady pól podczas ruchu jonu, który ma prędkość rzędu 5×10⁶ m/s. Potwierdzenie tego stwierdzenia można znaleźć porównując Rys. 7.13 i 7.9, na których nie widać istotnych różnic między obrazem wiązki z i bez uwzględnienia ruchu filamentów.

a) b)

Rys. 7.13. Położenia i kierunki prędkości jonów: a) azymutalne, b) zenitalne, dla 700-keV deuteronów opuszczających kolumnę plazmy zawierającą równolegle filamenty

poruszające się w kierunku osi symetrii z prędkością 10⁵ m/s.

Interesujące zachowanie się jonów zaobserwowano przy założeniu, że ruch filamentów jest znacznie szybszy niż obserwowany eksperymentalnie (patrz Rys. 7.14).

W tym wypadku można zauważyć, że duża część jonów porusza się w ujemną stronę osi OZ (jasnozielone punkty na Rys. 7.14b). Porównanie z danymi doświadczalnymi (rozdział 6.1.3) pozwala sądzić, że szybki ruch filamentów mógłby być jedną z przyczyn emisji jonowej w kierunku przeciwnym do ruchu warstwy prądowej.

113

kąt azymutalny kąt zenitalny

a) b)

Rys. 7.14. Położenia i kierunki prędkości jonów: a) azymutalne, b) zenitalne, dla 700-keV deuteronów opuszczających kolumnę plazmy zawierającą równoległe filamenty

poruszające się w kierunku osi symetrii z prędkością 10⁶ m/s.

W dokumencie PLAZMY W UKŁADACH PF-360 I PF-1000 (Stron 101-113)