Nieliniowe wygładzenie obrazu bazujące na funkcji Gaussa

Pomimo tego, że rozmycie funkcją Gaussa lepiej sobie radzi z zachowaniem granic między obiektami niż zastosowanie średniej arytmetycznej, to w rzeczywistości każdy punkt jest tak samo przetwarzany, niezależnie od tego czy leży wewnątrz obiektu, czy też w pobliżu jego granicy. Jest to znana cecha filtrów liniowych. Skuteczniejszym rozwiązaniem mogłoby się okazać indywidualne traktowanie każdego punktu w zależności od jego lokalizacji, tak aby proces filtracji był wzmocniony na obszarach jednolitych, a zahamowany w pobliżu krawędzi.

Jedną z pierwszych prac w tym zakresie był artykuł Perona i Malika [53]. Opisana w nim metoda nosi od nazwisk autorów nazwę modelu Perona-Malik2. Proponuje się w nim wprowadzenie zmiennego współczynnika g decydującego o stopniu rozmycia w zależności od wartości estymatora krawędzi E. Jako przykład estymatora krawędzi autorzy proponują gradient jasności obrazu w punkcie zdefiniowany jako:

E(x, y) = k 5 u(x, y)k (3.2)

W cytowanej pracy podane zostały również dwie postacie funkcji g, wpływającej na stopień rozmycia obrazu (wykresy funkcji pokazane na rysunku3.3):

g₁(E) = exp(−(^E K⁾ 2) (3.3) g2(E) = ¹ 1 + (_K^E)2 (3.4) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 g₁(E) g₂(E)

Rysunek 3.3: Wykres zależności współczynników wygładzenia obrazu g₁ i g₂ od wartości estymatora krawędzi E (opracowanie własne).

Dodatkowy parametr K > 0 wskazuje na minimalną wartość potrzebną do zakwalifikowania wybranego punktu do krawędzi bądź też jego odrzucenia. Może być on rozumiany jako różnica jasności pomiędzy krawędzią, a otoczeniem. Parametr ten może być eksperymentalnie wyznaczany przez użytkownika lub też może być zależny od histogramu szumu wyznaczonego z obrazu [53].

2W artykule została przedstawiona matematyczna interpretacja algorytmu z użyciem procesu dyfuzji ciepła, która tutaj zostanie pominięta jako wykraczająca poza ramy niniejszej pracy. Bardziej szczegółowy opis tej oraz innych metod nieliniowych filtracji obrazu można znaleźć w pracy [30].

W odróżnieniu od wcześniej opisywanych filtrów liniowych, model Perona-Malik operuje tylko na punktach z bezpośredniego otoczenia (promień filtru = 1). Aby umożliwić regulację stopnia rozmycia zaleca się wielokrotne filtrowanie obrazu3 (algorytm zalicza się do algorytmów iteracyjnych). Przykład działania omawianego filtru nieliniowego

(a) 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 0 10 20 30 40 50 60 Wartość pikseli

Odległość (liczba pikseli) Profil

rozmycie funkcją Gaussa, sigma=1 rozmycie nieliniowe, Perona-Malik, 60 iter.

(b)

Rysunek 3.4: Wyniki działania nieliniowego filtru rozmycia obrazu opartego o model Perona-Malik : (a) obraz po filtracji (60 iteracji), (b) profil wartości dla wybranej linii

porównany z profilem obrazu po rozmyciu funkcją Gaussa (opracowanie własne).

przedstawiono na rysunku 3.4. Tutaj również powiększono wybrany fragment obrazu i utworzono wykres z profilem wartości. Profil dodatkowo porównano z profilem z obrazu po filtracji Gaussa (Rys. 3.1f). Profile te pomimo tego, że w przeważającej części wydają się podobne, wykazują pewne różnice w sąsiedztwie krawędzi obiektów. Profil dla obrazu po filtracji nieliniowej charakteryzuje się w tych miejscach wyższymi skokami wartości pikseli, aniżeli profil obrazu po filtracji funkcją Gaussa. Obserwując również wizualnie wyniki filtracji na obrazie 3.4a widać, że granice poszczególnych obiektów nie zostały rozmyte, a dzięki temu, że został usunięty szum z obrazu sprawiają one nawet wrażenie ostrzejszych niż na obrazie źródłowym 3.1a.

3Jest to bezpośrednio związane z naturą procesu dyfuzji ciepła, na której autorzy opierali się podczas tworzenia algorytmu, a której efekty zależą od czasu.

W przedstawionym modelu nieliniowej filtracji obrazu bazującej na modelu Perona-Malik słabym ogniwem może okazać się sposób obliczania estymatora krawędzi. Przykładowa metoda bazująca na lokalnym gradiencie jest bardzo czuła na szum i w miejscach gdzie jego poziom jest bardzo wysoki może się okazać, że punkt zostanie zakwalifikowany do krawędzi, zamiast do obszaru jednorodnego i te obszary nie zostaną wygładzone. Aby temu zaradzić w pracy [8] proponuje się wprowadzenie dodatkowego

etapu regularyzacji modelu. Może się to odbywać z wykorzystaniem liniowych funkcji

rozmycia obrazu (zalecane rozmycie Gaussa), które wygładzą nadmierne skoki wartości punktów. Dopiero na tak przygotowanym obrazie wyliczenie estymatora krawędzi nie będzie zależne od lokalnych zakłóceń i umożliwi bardziej wiarygodne wygładzenie obrazu właściwą metodą Perona-Malik. Warto również zwrócić uwagę na to, że regularyzacja modelu wykonywana jest tylko przed pierwszym wyliczeniem estymatora krawędzi i w kolejnych iteracjach nie musi być już stosowana, aby nie prowadzić do niepotrzebnej utraty informacji o położeniu krawędzi.

Opisana powyżej filtracja nieliniowa pomimo tego, że daje lepsze wyniki aniżeli tradycyjny filtr uśredniający oraz klasyczny filtr Gaussa, nie jest wolna od wad. Głównym problemem w jej stosowaniu jest przede wszystkim długi czas działania, wynikający z iteracyjnej natury tego typu algorytmów. Dla przykładu, aby uzyskać rezultat podobny do tego przedstawionego na rysunku 3.4a, należało wykonać 60 iteracji algorytmu dla całego obrazu. Jest to nieporównywalnie więcej od tradycyjnych filtrów takich jak średnia, lub mediana, które potrzebują wyłącznie raz ustalić wartość każdego punktu obrazu. Dodatkowym problemem w stosowaniu omawianych filtrów nieliniowych może być odpowiednie dopasowanie liczby iteracji do otrzymania dobrego rezultatu. Pomimo tego, że algorytm ten nie jest podatny na niewielkie zmiany liczby iteracji, to i tak dla osoby, która nie ma dużego doświadczenia w posługiwaniu się tego typu metodami może nie być jasne, czy liczba iteracji powinna wynosić 60, czy też 120, czy z drugiej strony powinna zostać zmniejszona do 30. Inny problem, o którym warto tutaj wspomnieć, jest mniejsza popularność tego typu algorytmów, przez co może się okazać, że nie znajdziemy ich w wykorzystywanych przez nas do tej pory narzędziach. Natomiast próba ich samodzielnej implementacji może być kłopotliwa, ponieważ są one bardziej skomplikowane algorytmicznie, aniżeli tradycyjne filtry liniowe.

Jeśli tego typu wady (długi czas działania, kwestia doboru liczby iteracji i problemy w implementacji) okażą się problematyczne, to rozwiązaniem może okazać się zastosowanie innego algorytmu nieliniowego, o którym była mowa na początku tego rozdziału, czyli mediany. Wybierając ten algorytm, który też nie jest bez wad (napisano o tym na początku

(a) 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 0 10 20 30 40 50 60 Wartość pikseli

Odległość (liczba pikseli) Profil

obraz oryginalny rozmycie obrazu filtrem medianowym, promieniń=3

(b)

Rysunek 3.5: Wyniki działania filtru medianowego: (a) obraz po filtracji, (b) profil wartości dla wybranej linii (opracowanie własne).

tego rozdziału) może okazać się, że otrzymamy w zupełnie satysfakcjonujące rezultaty. Wystarczy tylko spojrzeć na rysunek3.5a, aby upewnić się, że po zastosowaniu tej filtracji granice obiektów ciągle pozostają ostre. Potwierdza to również znajdujący się obok na rysunku 3.5b profil przebiegający po tych samych punktach co poprzednio (Rys. 3.1a,

3.1c,3.1ei3.4a). W odróżnieniu od filtracji średniej (porównanie profili mediany i średniej przedstawiono na rysunku 3.6) usunięcie skrajnych wartości nie powoduje nadmiernego rozmycia obrazu i pozwala na zachowanie ostrości brzegu poszczególnych obiektów. Natomiast zestawiając profile wyników filtracji medianowej i filtracji Perona-Malik z obrazem oryginalnym (porównanie profili zamieszczono na rysunku 3.7) trudno wydać jednoznaczny werdykt, który z tych algorytmów jest lepszy4. Pomimo tego, że oba filtry dobrze radzą sobie w miejscach pojedynczych skoków wartości pikseli, to wydaje się, że profil filtru Perona-Malik lepiej pokrywa się ze z profilem obrazu oryginalnego w miejscach, gdzie następuje rzeczywista zmiana jednego obiektu w drugi.

4Dokładne porównanie tych dwóch filtracji obrazu wymaga opracowania odpowiednich miar jakości wygładzenia obrazu, przy jak najlepszym zachowaniu ostrości granic, a następnie wykonaniu szeregu porównań dla obrazów o różnym poziomie zaszumienia. Tego typu badania, mimo iż są bardzo ważne z punktu widzenia komputerowej analizy obrazu, wykraczają poza ramy niniejszej pracy.

120 140 160 180 200 220 240 0 10 20 30 40 50 60 Wartość pikseli

Odległość (liczba pikseli) Profil

rozmycie obrazu filtrem średnim, promieniń=3 rozmycie obrazu filtrem medianowym, promieniń=3

Rysunek 3.6: Porównanie profilu filtracji średnią arytmetyczną (Rys. 3.1c) z medianą (Rys. 3.5a) (opracowanie własne).

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 0 10 20 30 40 50 60 Wartość pikseli

Odległość (liczba pikseli) Profil

obraz oryginalny rozmycie nieliniowe, Perona-Malik, 60 iter. rozmycie obrazu filtrem medianowym, promieniń=3

Rysunek 3.7: Porównanie profilu filtracji medianowej (Rys. 3.5a) i filtracji Perona-Malik (Rys.3.4a) z obrazem oryginalnym (Rys. 3.1a) (opracowanie własne).