Gdy w danym ośrodku częstość fali zależy liniowo od liczby falowej, to ośrodek ten nazywamy ośrodkiem bezdyspersyjnym.
Gdy ośrodek jest dyspersyjny związek (5.1) jest bardziej złożony. Ośrodki dyspersyjne znacznie komplikują obliczanie paczek falowych. Gdy wszystkie fale poruszają się z tą samą prędkością, to ich suma ”przesuwa” się z tą samą prędkością. Paczka falowa zachowuje swój kształt, tylko że przesuwa się z prędkością równą prędkości fazowej składowych. Gdy fale poruszają się z różną prędkością, w każdej następnej chwili czasu sumują się w inny sposób.
Jako przykład rozpatrzę środowisko z następującym związkiem dyspersyjnym.
ω(𝑘) = √𝑎 𝑘 5.2
Związek dyspersyjny tej postaci znajdziemy przykładowo w teorii fal na wodzie. Teraz jednak nie będę próbował wiązać tego przykładu z konkretną sytuacją fizyczną. Przyjmę nadto, że główna liczba falowa wynosi k0=100 1/m, a stała a jest równa a=10m/s2. Przebieg funkcji (k) ilustruje rysunek (5.1).
Korzystając ze wzorów (5.2) zakładałem, że fazy początkowe fal składowych w chwili t=0 i punkcie x=0 są takie same wynoszą zero. Oznacza to, że w chwili t=0 maksimum paczki przypada w punkcie x=0. Chwilę potem punkt zgodność faz przesunie się do położenia x i tam będzie znajdować się maksimum paczki.
Tak będzie w ośrodku bezdyspersyjnym. W ośrodku z dyspersją chwilę później każda z fal przesunie się w innym stopniu i zgodność faz zostanie zburzona.
87
Rysunek 5.1. a) Krzywa dyspersji dla przykładu danego wzorem (5.2).
Odstępstwo od przebiegu liniowego nie jest duże, ale ma istotne znaczenie;
b) prędkość fali dla różnych wartości wektora falowego. Z wykresu widać, że różnym częstościom (długościom fali) odpowiadają różne prędkości fazowe.
W efekcie paczka zmniejszy maksymalną wartość amplitudy, co ilustruje rysunek (5.2) i (5.3)
Rysunek 5.2. W punkcie x=0 wszystkie fale harmoniczne są w fazie. Jak widać w okolicy dwudziestego metra fale o bliskich sobie częstościach są już względem siebie przesunięte – ich maksima nie pokrywają się. Na rysunku pokazano pięć fal o niewiele różniących się liczbach falowych 99,96; 99,98; 100;
100,2; 100,4 1/m.
Widać, że w wyniku dyspersji paczka zmienia kształt. Pojawia się również trudne pytanie o prędkości przesuwania się paczki falowej. Nie możemy stwierdzić, że paczka przesuwa się z prędkością fazową fal składowych, bo każda fala składowa ma inną prędkość. Jak obliczyć prędkość przesuwania się maksimum amplitudy paczki falowej? Wykorzystując notację zespoloną wzór (4.2.7b) możemy zapisać w postaci
u(𝑡, 𝑥) = ∫ B(𝑘)e𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)
∞
−∞
d𝑘 5.3
88
Przyjmujemy, że (k) jest funkcją ciągłą opisującą relacje pomiędzy częstością drgań a liczbą falową. Przyjmiemy ponadto, że paczka falowa ma małą szerokość spektralną, to znaczy, że tylko dla małego przedziału k liczb falowych, funkcja B(k) jest znacząco różna od zera. Poza tym przedziałem B(k) musi być równe zeru lub prawie równe zeru. Możemy wtedy rozwinąć funkcję B(k) w szereg potęgowy wokół wartości głównej k0 i w pierwszym przybliżeniu odrzucić wszystkie człony rozwinięcia oprócz stałego i liniowego
ω(𝑘) ≈ 𝜔0+ (𝑘 − 𝑘0)𝜔′0 5.4
Przez 0 oznaczyłem wartość (k0), a znak prim oznacza pochodną funkcji.
Podstawiając to wyrażenie do wzoru (5.5) otrzymujemy u(𝑡, 𝑥) ≈ e𝑖𝑡(𝑘0𝜔0′−𝜔0) ∫ B(𝑘)e𝑖𝑘(𝑥−𝜔0′𝑡)
wyznacza prędkość przemieszczania się maksimum paczki falowej. Obliczoną tu prędkość nazywamy prędkością grupową i oznaczamy przez vg.
𝜔0′ = 𝑣𝑔 = d𝜔
d𝑘 5.6
Trzeba pamiętać, że jest to wzór przybliżony, który daje sensowne wynik, gdy możemy korzystać z rozwinięcia (5.4). Prędkość grupowa paczki falowej o dyspersji danej wzorem (5.2) wynosi.
𝑣𝑔 =d𝜔 maksimum paczki powinno się przesunąć w pobliże punktu
𝑥 = 4000s ∙ 0,158m
s = 632m 5.8
Dokładnie w obliczonym punkcie wypada maksimum sumy fal. Przypominam, że wykres (5.3) nie przedstawia faktycznej paczki, gdyż uzyskany został przez zsumowanie skończonej liczby fal. Wiemy już, że w takim przypadku maksima główne będą się odtwarzały. Nie mniej dyspersja spowoduje, że poszczególne składowe harmoniczne rozchodzą się z różnymi prędkościami i w efekcie
„paczka” również w tym przypadku rozmywa się.
89
Rysunek 5.3. a) Rysunek przedstawia sumę stu fal harmonicznych o głównej liczbie falowej k0=100 1/m, w chwili t=0. Sąsiednie fale różnią się liczbą falową o k=0.02 1/m, zatem szerokość spektralna paczki to k=2 1/m. Każdej składowej przypisałem amplitudę 1. Ponieważ wszystkie składowe są w fazie, w punkcie x=0 i w chwili t=0, amplituda sumy, w początku układu współrzędnych, wynosi 100; b) Ta sama suma obliczona dla chwili t=4000s, przy czym przyjąłem związek dyspersyjny dany wzorem (4.3.2), oraz a=10m/s2. Suma obliczona jest wokół punktu x=632mm, w którym zgodnie ze wzorem (5.7) powinno się znaleźć maksimum paczki. Obliczenia zostały zrobione w obszarze o takiej samej szerokości jak w przypadku rysunku (a). Widać, że amplituda zmalała prawie dwukrotnie. Centralna część sumy stała się bardziej rozmyta. Rysunki te nie przedstawiają paczki falowej, gdyż dodana została skończona liczba składowych. Nie mniej przestawiona suma dobrze ilustruje efekty jakie napotykamy przy propagacji paczek falowych w ośrodkach dyspersyjnych.
Założyłem, że mimo zmiany kształtu paczki falowej, zachowuje ona swoje dobrze określone maksimum. Prędkość grupowa określa jak szybko przemieszcza się to maksimum. Nie zawsze jest to jednak prawda. Gdy
90
przybliżenie przyjęte we wzorze (5.4) nie da się utrzymać, paczka może na tyle zmienić swój kształt, że śledzenie maksimum amplitudy może stać się kłopotliwe. Zagadnienie prędkości rozchodzenia się takiej paczki falowej jest delikatną kwestią. Pozostańmy więc na razie w sferze paczek, które mogą być opisane przybliżeniem (5.4).
Zjawisko dyspersji występuje również w drgających układach dyskretnych o czym świadczy poniższy przykład.
5.5.11.. UUkkłaładd NN cciięężżaarrkkóóww
Rozważmy N-ciężarków połączonych sprężystą linką. Rysunek (5.1.1) pokazuje odcinki linki jako sprężyny aby zaznaczyć, że odcinki te, dla zakresu wychyleń, które nas interesują zachowują się jak idealne sprężyny.
Rysunek 5.1.1. a) Dwa ciężarki na jednakowych sprężynach, stan równowagi;
b) przykład możliwego wychylenia ciężarków z położenia równowagi.
Ciężarki drgają w kierunku poprzecznym. Długość lewej sprężyny (rys. 5.1.1b) w stanie wychylenia wynosi
𝑙0 = √𝑥12+ 𝑎2 = 𝑎√1 + 𝜀0 ⟹ 1 𝑙 = 1
𝑎 1
√1 + 𝜀0 5.1.1
𝜀0 = 𝑥12
𝑎2 5.1.1a
Dla małego wychylenia z położenia równowagi lewego ciężarka możemy długość linki, co za tym idzie również odwrotność tej długości, wyrazić w postaci przybliżenia szeregiem potęgowym (§DB 3)
1 𝑙0 =1
𝑎 1
√1 + 𝜀1 ≈ 1
𝑎(1 −1
2𝜀0+3
8𝜀02+ ⋯ ) 5.1.2
Dla małych wychyleń 0 jest małe, zatem możemy pominąć wyrazy z 0
w potędze 2 i wyższych
91
Gdzie as jest długością swobodną linki. Siła ta działa wzdłuż osi linki. Wartość siły działającej w kierunku wychylenia jest równa
𝐹0𝑥 = −𝐹0sin(𝛼) = −𝑘(𝑙 − 𝑎𝑠)𝑥1
𝑙0 = −𝑘𝑥1(1 −𝑎𝑠
𝑙0) 5.1.5
Za 1/l0 podstawię wyrażenie (5.1.3) 𝐹0𝑥 ≈ −𝑘𝑥1(1 −𝑎s Konsekwentnie, dla małego wychylenia odrzucamy wyraz x1 potędze 3
𝐹0𝑥 ≈ −𝑘
𝑎(𝑎 − 𝑎𝑠)𝑥1 = −𝐹𝑠
𝑎 𝑥1 5.1.7
𝐹𝑠 = 𝑘(𝑎 − 𝑎𝑠) 5.1.7a
Jest to siła charakterystyczna dla drgań harmonicznych. Zatem przy małych wychyleniach możemy spodziewać się, że ruch ciężarków w układzie z rysunku (5.1.1) będzie z dobrym przybliżeniem ruchem harmonicznym. Dla sprężyny z prawej strony ciężarka wyrażenie na siłę, przez analogie będzie równe (rys. 5.1.2)
𝐹1𝑥 ≈ −𝐹𝑠
𝑎 (𝑥2− 𝑥1) 5.1.8
Rysunek 5.1.2. Ilustracja do wzoru (5.1.8)
Ogólnie siłę działająca na n-ty ciężarek w łańcuch N-ciężarków (na rysunku 5.1.1 mamy N=2) wyrazi się, w przybliżeniu małych wychyleń, wzorem
92
𝑚d2𝑥𝑛 d𝑡2 =𝐹𝑠
𝑎 (𝑥n+1 − 𝑥n) −𝐹𝑠
𝑎 (𝑥n − 𝑥𝑛−1) 5.1.9
Z dyskusji ruchu dwóch ciężarków wiemy (§TVIII 3), że drgania układu złożonego możemy rozłożyć na superpozycję drgań harmonicznych (modów).
Można przy tym wzbudzić tak układ, że będzie drgał w jednym z wybranych modów. Założę, że układ N ciężarków wykonuje drgania własne o częstości i przesunięciu fazowym . Częstość jest jedną z częstości własnych. Ruch poszczególnych ciężarków mogę opisać wzorem
xi(𝑡) = 𝐴𝑖cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 5.1.10
Druga pochodna xi po czasie wyniesie 𝑚d2𝑥𝑖
d𝑡2 = −𝜔2𝐴𝑖cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 5.1.11
Wstawię teraz (5.1.11) i (5.1.10) do (5.1.9)
−𝜔2𝐴𝑖 = 𝐾(𝐴𝑖+1 − 2𝐴𝑖 + 𝐴𝑖−1) 5.1.12
Stąd mamy
𝐴𝑖+1 + 𝐴𝑖−1 = 𝐴𝑛(2 −𝑚
𝐾𝜔2) 5.1.13
Układ N równań (5.1.13) nie jest układem równań różniczkowych tylko algebraicznych, to dobra wiadomość; niemniej jego rozwiązanie nie jest proste.
Jak zwykle w takiej sytuacji dojdziemy do rozwiązanie poprzez zgadywanie jego postaci i dopasowanie współczynników zapostulowanego rozwiązania.
Przyjmę, że
Dzieląc powyższe równanie przez An mamy
93
Wykorzystując tożsamości trygonometryczne prawą stronę wyrażenia (5.1.18) możemy przekształcić do postaci (5.1.13) przy spełnieniu warunku (5.1.19) są poprawne.
Warto dodać, że nie jest to ogólne rozwiązanie naszego układu. Jak się można domyśleć ogólne rozwiązanie ma postać
𝐴𝑛 = 𝐴 sin(𝑘𝑛𝑎) + 𝐵cos(𝑘𝑛𝑎) 5.1.20
Zauważ, że wyraz na wyznacza położenie n-tego ciężarka (rys. 5.1.1).
W rozważanym układzie dla „wirtualnego” zerowego ciężarka amplituda jest zerowa: A0=0 i z (5.1.20) mamy B=0. Dla naszego warunku początkowego, to jest gdy lewa część układu jest unieruchomiona otrzymujemy rozwiązanie (5.1.15b). Zmieniając mocowanie układu, a zatem warunek początkowy otrzymamy inne wartości na współczynniki A i B.
Mamy jeszcze drugi warunek początkowy (brzegowy). Prawa część układu jest również nieruchoma. Stąd mamy
𝐴𝑁+1 = 𝐴 sin(𝑘(𝑁 + 1)𝑎) = 𝐴sin(𝑘𝐿) = 0 5.1.21
Skorzystałem z faktu, że (N+1)a=L.
Równanie (5.1.21) ma N rozwiązań. Każde rozwiązanie opisuje jedno drganie własne układu. Mamy więc
94
𝐴1 = 𝐴sin(𝑘1𝐿), … . , AN = 𝐴sin(𝑘𝑁𝐿) 5.1.22a 𝑘𝑖 = 𝑖𝜋
𝐿 5.1.22b
Rysunek (5.1.3) przedstawia możliwe konfiguracje drgań pięciu ciężarków. Jak widać z rysunku układ dozwolonych drgań jest silnie związany ze sposobem zamocowania układu ciężarków, czyli z warunkami początkowymi. Gdyby uwolnić na przykład prawy koniec układu ciężarków dopuszczalne drgania wyglądałyby inaczej.
Rysunek 5.1.3. a) układ pięciu ciężarków na jednakowych sprężynach;
b) pierwszy dozwolony stan drgań (podstawowy stan (mod) drgań) przypomina przybliżoną przez łamaną połówkę sinusoidy. Podstawowy parametr jest równy podwojonej długości sprężyny: 1=2L; b) drugi mod ma dwa razy mniejszy parametr , co odpowiada dwa razy większemu parametrowi k: k2=2k1; c) trzeci mod ma trzy razy mniejszy parametr , co odpowiada trzy razy większemu parametrowi k: k3=3k1; e) czwarty mod ma cztery razy mniejszy parametr , co odpowiada cztery razy większemu parametrowi k: k4=4k1; f) piąty mod ma pięć razy mniejszy parametr , co odpowiada pięć razy większemu parametrowi k: k5=5k1; dozwolone drgania przedstawionego układu tworzy suma tych pięciu modów.
Wyrażenie (5.1.19) opisuje związek dyspersyjny (def. 5.1.1) dla struny obciążonej ciężarkami. Gdy liczba ciężarków rośnie, a odległości między nimi maleją, zbliżamy się do modelu ciągłej struny drgającej. W celu analizy gęsto obsadzonej struny wykorzystam przybliżenie, wnikające z rozwinięcia w szereg potęgowy funkcji sinus (wz. DB 3.3)
95
sin(𝛼) ≈ 𝛼 −1
6𝛼3 5.1.23
Dla małych ka wzór (5.1.19a) przyjmie postać ω(𝑘) ≈ 4√ 𝐹𝑠
𝑎 𝑚(1
2𝑘𝑎 − 1
48(𝑘𝑎)3) = √𝑎 𝐹𝑠
𝑚 𝑘 (1 − 1
24(𝑘𝑎)2) 5.1.24 Człon w nawiasie możemy uznać, dla małych ka, za bliski jedności, stąd
ω(𝑘) ≈ √ 𝐹𝑠
𝑎 𝑚𝑘 5.1.25
Im bardziej ciągły jest rozkład ciężarków na strunie, tym bardziej układ zbliża się do jednorodnej struny. Równanie (5.1.25) opisuje związek dyspersyjny dla idealnie sprężystej ciągłej struny. Zauważ, że aby było ka<<1, musi być a<<, czyli ciężarki muszą być rozłożone tak gęsto, aby na odcinku o długości równej jednej długości fali było ich przynajmniej kilka. Rysunek (5.1.4) przedstawia związek dyspersyjny dla struny z dyskretnym rozkładem obciążeń i ciągłej.
Rysunek 5.1.4. Wykres związku dyspersyjnego dla struny ciągłej (niebieska linia), oraz dla struny obciążonej ciężarkami (zielona linia). Czarna punkty odpowiadają częstością dla pięciu postaci drgań dla struny z pięciona ciężarkami (rys. 5.1.3).
Dla struny ciągłej dyspersja znika (związek (5.1.25) (k) jest liniowy). Wynika z tego, że to dyskretny rozkład mas na strunie powoduje pojawienie się dyspersji. Idealnie sprężysta i jednorodna struna jest bezdyspersyjna.
Rzeczywiste struny nie są idealnymi strunami giętkimi. W przypadku struny fortepianowej częstości podstawowej , towarzyszą wyższe harmoniczne 2, 3, itd., przy czym im wyższa harmoniczna tym mniejszy jest jej wkład w końcową postać drgań struny. Na podstawie rysunku (5.1.4) moglibyśmy się spodziewać, że wyższe częstości są dla struny fortepianowej niższe niż dla
96
struny idealnej. Jest jednak na odwrót. Wyższe harmoniczne mają wyższe częstości niż w przypadku idealnym. Związane jest to z innym mechanizmem odejścia od przypadku idealnego, niż w rozważanym wyżej przykładzie struny obciążonej ciężarkami. W idealnie giętkiej strunie nie powstają naprężenia na skutek zgięć. Siły pojawiają się tylko przy jej rozciąganiu. W strunie fortepianu zgięciom odpowiadają dodatkowe siły. Te dodatkowe siły zmieniają postać związku dyspersyjnego w inny sposób niż dyskretny rozkład ciężarków.
Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej4 ma postać ω(𝑘) ≈ √𝐹𝑠
𝜌0𝑘2+ 𝛽𝑘4 5.1.26
Gdzie jest stałą dodatnią reprezentującą sztywność struny.
Dyspersja jest istotną cechą ruchu falowego. Biorąc pod uwagę, że nie jesteśmy w stanie wzbudzić idealnej fali harmonicznej, każdy realny impuls falowy ma nietrywialne spektrum częstości. Z tym oczywiście wiąże się zjawisko dyspersji i utraty jakości paczki falowej. Od strony technicznej oznacza obniżenie jakości sygnału przenoszonego przez taką paczkę. Dyspersji podlegają również fale materii, czyli te fale na których operuje, w ramach mechaniki kwantowej, równanie Schrödingera. Znak to, że z dyspersją fal będziemy się jeszcze spotykali.
4 Pełniejszą dyskusję na temat drgań strun fortepianu znajdziesz w bardzo dobrym podręczniku wprowadzającym do tematu fal: F.C. Crawford, „Fale”, PWN, 1975