W II i III rozdziale zajmowaliśmy się zbieżnością ciągów i szeregów liczbowych. Ale czy można mówić o zbieżności w przypadku ciągów, których wyrazami są nie liczby lecz funkcje (takie ciągi nazywamy ciągami funkcyjnymi )? No cóż, o tym że można, świadczy choćby tytuł tego rozdziału. Co więcej, w odróżnieniu od sytuacji jaką mieliśmy dla ciągów liczbowych, poznamy nie jeden, ale dwa, a właściwie nawet trzy rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych.
Zbieżność punktowa
Niech f, fn : D → R 95) dla n n0. Naturalne wydaje się określenie, że ciąg funkcyjny {fn} jest zbieżny do funkcji f wtw
∀
x∈D fn(x) → f (x). (VI.1)Taki rodzaj zbieżności nazywamy zbieżnością punktową i oznaczamy symbolem96) fn → f.
A zatem fn→ f wtw zachodzi (VI.1). Gdy taka zbieżność zachodzi, to funkcję f nazywamy granicą ciągu {fn}, mówimy o niej także granica punktowa. Oczywiście, jeśli granica ta istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie (bo mamy taką jednoznaczność dla ciągów liczbowych {fn(x)}).
Przyjrzyjmy się nieco głębiej punktowej zbieżności. Gdy skorzystamy z definicji granicy ciągu liczbowego {fn(x)}nn0, to powyższą definicję możemy w sposób równoważny zapisać w postaci
∀
x∈D∀
>0∃
N n0∀
nN |fn(x) − f (x)| < (VI.2) W warunku (VI.2) indeks N możemy zatem dobierać w sposób zależny zarówno od jak i od x ∈ D.Zbieżność jednostajna
Gdy przypomnimy sobie pojęcie ciągłości jednostajnej (patrz podrozdział IV.3) oraz to, co odróżnia jej definicję od definicji „zwykłej” ciągłości, naturalny wyda nam się pomysł, by zmo-dyfikować warunek (VI.2) i dopuścić jedynie „ jednostajny po x” (tzn., taki sam dla wszystkich x, niezależny od x) dobór N do . Otrzymamy wtedy warunek następujący 97)
∀
>0∃
N n0∀
nN∀
x∈D |fn(x) − f (x)| < (VI.3)95)Na ogół w tym rozdziale D oznacza dziedzinę rozważanych funkcji; zazwyczaj będziemy tak przyjmować bez przypominania.
96)Ten zapis przy pomocy „→” jest nieco dwuznaczny, bo tego samego symbolu używaliśmy przy rozważaniu granicy ciągu liczbowego (choćby przed chwilą, w (VI.1)).
97)Pamiętajmy o tym, że sąsiadujące ze sobą kwantyfikatory ogólne „
∀
” możemy przestawiać — dotyczy to zarówno (VI.2) jak i (VI.3). Zmianą istotną jest dopiero przestawienie „∀
” i „∃
”.104 [VI.1]
(patrz rys. 13 — wykres fn dla wszystkich n N jest zawarty cały w „pasie” pomiędzy f − a f + ). I takim właśnie warunkiem definiujemy drugi rodzaj zbieżności — zbieżność jednostajną, którą oznaczamy symbolem
fn ⇒ f.
Tzn., fn ⇒ f wtw zachodzi (VI.3). Przy tej zbieżności, o funkcji granicznej f mówimy często granica jednostajna.
f − f f + fn
Rysunek 13. Wykres fn jest cały zawarty w pasie pomiędzy f − a f + .
Uwagi. a
1. Zbieżność jednostajna to „lepszy” rodzaj zbieżności, tzn., fn⇒ f ⇒ fn→ f
(implikacji w przeciwną stronę nie ma — przykład będzie niedługo). W szczególności granica jednostajna jest więc też granicą punktową.
2. Granica jednostajna, jeśli istnieje dla danego ciągu funkcyjnego, to jest wyznaczona jednoznacznie. Wystarczy użyć uwagę 1. oraz jednoznaczność dla granicy punktowej.
Norma supremum i wygodne kryterium zbieżności jednostajnej
W warunku (VI.3), ze względu na „dowolność” > 0, nierówność „< ” można oczywiście zastąpić przez „¬ ”. Korzystając teraz z definicji kresu górnego możemy ten warunek zapisać równoważnie w postaci
∀
>0∃
N n0∀
nN supx∈D
|fn(x) − f (x)| ¬ , 98)
co (analogicznie jak przed chwilą) równoważne jest warunkowi z „< ”, a to z kolei oznacza dokładnie, że
n→+∞lim (sup
x∈D
|fn(x) − f (x)|) = 0
czyli, że ciąg liczbowy99) {supx∈D|fn(x) − f (x)|}nn0 ma granicę 0.
Jeżeli więc dla g : D → R oznaczymy
kgk := sup
x∈D
|g(x)|,
Fakt.
fn⇒ f wtw kfn− f k → 0.
Jest to wygodna „alternatywna definicja” zbieżności jednostajnej, bowiem sprowadza ona problem do badania zbieżności pewnego ciągu liczbowego.
Symbol k · k używany jest do oznaczania normy, czyli wielkości wyrażającej w jakimś sensie długość wektorów
— tu tymi wektorami są funkcje o wartościach w R100). Można definiować rozmaite normy — ta konkretna tu zdefiniowana bywa nazywana „normą supremum” i czasem oznacza się ją przez k · k∞. Każda norma musi spełniać kilka warunków (o tym wspomnimy jeszcze w przyszłości...) i wybierając jakąś normę zawsze możemy w sposób taki jak wyżej zdefiniować pewien „nowy” rodzaj zbieżności. My jednak teraz zadowolimy się tą jedną101) normą.
Obie zbieżności w prostym przykładzie
Przykład. Niech D ⊂ R i fn: D → R niech będą zadane wzorem fn(x) = x
n
dla x ∈ D i n ∈ N. Rozważymy parę rozmaitych dziedzin D. Jednak ponieważ
∀
x∈R x n → 0, zatem niezależnie od wyboru D mamy fn → 0, gdzie tym razem 0 nie oznacza liczby 0 lecz funkcję stałą równą 0 (przypominam też dwuznaczny sens „→” użytej tu przed chwilą w dwóch różnych znaczeniach . . . ). A zatem jeżeli również fn ⇒ f dla pewnej funkcji f , to na mocy uwagi 1 i 2 jedynym „kandydatem” na f jest także f = 0.Niech D = R. Mamy wtedy
kfn− 0k = kfnk = sup
x∈R
|x
n| = +∞ 6→ 0,
zatem fn6⇒ 0, czyli {fn} nie jest ciągiem funkcyjnym zbieżnym jednostajnie!
Teraz rozważmy D = [−5; 7]. Wówczas kfn− 0k = 1
n sup
x∈[−5;7]
|x| = 7 n → 0,
zatem fn⇒ 0 w tym przypadku. Nietrudno uogólnić to na przypadek dowolnego ograniczonego zbioru D — wówczas również fn ⇒ 0, gdyż MD := supx∈D|x| < +∞, skąd kfn− 0k = 1nMD → 0. A zatem by nasz ciąg {fn}n1 był zbieżny jednostajnie zbiór D nie może być „zbyt duży”.
Np. D = R był „za duży” na zbieżność jednostajną, ale ciąg {fn}n1 był jednostajnie zbieżny dla D będącego dowolnym przedziałem [a; b].
Zbieżność niemal jednostajna
Powyższy przykład sugeruje wprowadzenie jeszcze jednego rodzaju zbieżności. Będzie on do-tyczył tylko funkcji określonych na przedziałach 102). Będzie to tzw. zbieżność niemal jedno-stajna, którą będziemy oznaczać symbolem
fn→ 9K f.
Jeśli f, fn: I → R, gdzie I — przedział, to fn →9K f wtw
∀
a,b∈I (fn|[a;b])⇒ (f |[a;b]).100)Wektory — to po prostu elementy przestrzeni liniowej, w naszym wypadku chodzi o przestrzeń wszystkich funkcji f : D → R z naturalnymi działaniami.
101)Tak naprawdę nie jedną, bo każdy zbiór D wyznacza inną normę supremum, „mierzącą” funkcje określone na zbiorze D. W razie potrzeby odróżnienia możemy np. używać oznaczenia k · kD.
102)Można to też uogólnić na funkcje określone na innych zbiorach, ale tu nie będziemy się tym zajmować.
106 [VI.3]
Już samo oznaczenie sugeruje, że ten rodzaj zbieżności jest gdzieś „pomiędzy” zbieżnością punktową a jednostajną, tzn. że
fn ⇒ f ⇒ fn→
9K f ⇒ fn → f
(np. dla dowodu drugiej implikacji wystarczy rozważać sytuację gdy a = b). Przykład takiej sytuacji, że {fn}n1 jest zbieżny niemal jednostajnie, ale nie jednostajnie uzyskamy biorąc D = R w przykładzie powyżej. Oczywiście, także przy tym rodzaju zbieżności granica jest zdefiniowana jednoznacznie i może być nią jedynie granica punktowa. Może się zdarzyć, że to nowe pojęcie zbieżności nie wnosi jednak nic naprawdę nowego. Tak będzie np. wtedy, gdy I samo jest już przedziałem domkniętym — wtedy zbieżność jednostajna i niemal jednostajna są tym samym.
Dla wprowadzonych tu różnych rodzajów zbieżności ciągów funkcyjnych można sformuło-wać nieco twierdzeń analogicznych do odpowiednich twierdzeń dotyczących ciągów liczbowych
— np. do twierdzenia o rachunkowych własnościach granicy, w przypadku zbieżności punk-towej. Nie wszystko jednak przenosi się automatycznie przy innych rodzajach zbieżności. Dla zbieżności jednostajnej, jedną z takich ważnych analogii jest odpowiednik twierdzenia o zu-pełności II.7, w którym zamiast „zwykłego” warunku Cauchy’ego pojawia się „ jednostajny”
warunek Cauchy’ego. Sprawę tę jednak odkładamy do zadań (patrz — zadanie 5).