Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2.
W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 31 / 56
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący.
Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔
x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 31 / 56
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔
x (x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. W takich zadaniach rysunek jest przydatny, ale pełni tylko rolę pomocniczą i może być mylący. Dlatego ZANIM się za niego zabierzemy, musimy wykonać obliczenia dotyczące punktów, w których dane krzywe się przecinają. W tym wypadku:
x = x2 ⇔ x2− x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 31 / 56
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2.
Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania.
Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 32 / 56
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”?
Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2
lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 32 / 56
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12)
- zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym przedziale, a dopiero potem szukać innych błędów).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 32 / 56
Obliczanie pola - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Zatem krzywe przetną się dla x = 0 i x = 1 i [0, 1] będzie
przedziałem całkowania. Która z krzywych w tym przedziale jest
„wyżej”? Wystarczy rozwiązać nierówność między x i x2 lub też (na podstawie własności Darboux dla funkcji ciągłych) sprawdzić wartość w jednym z punktów pośrednich np. f (12) = 12 > 14 = g (12) - zatem funkcja f przyjmuje większe wartości i, obliczając pole, trzeba obliczać całkę z f − g , a nie na odwrót.
Gdybyśmy się pomylili w tym miejscu, wynik byłby ujemny, a pole takie nie może być (dlatego, jeśli wynik ujemny nam wychodzi w zadaniu na wyznaczenie pola, należy najpierw sprawdzić, czy dobrze wyznaczyliśmy, która z funkcji ma większe wartości na danym
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2.
Teraz możemy wykonać rysunek...
...i obliczyć pole:
P =
Z 1 0
x − x2dx .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 33 / 56
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Teraz możemy wykonać rysunek...
...i obliczyć pole:
P =
Z 1 0
x − x2dx .
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
Przykład
Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f (x ) = x i g (x ) = x2. Teraz możemy wykonać rysunek...
...i obliczyć pole:
P =
Z 1 0
x − x2dx .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 33 / 56
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 34 / 56
Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.Całka oznaczona i pole pod wykresem - przykład
gdzie zapis w nawiasie kwadratowym oznacza, że do tej funkcji musimy za x wstawić 1, a potem 0 i odjąć wyniki.Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)7. Całka oznaczona i jej zastosowania 34 / 56