Obliczanie wewnętrznej stopy zwrotu

Każdy projekt inwestycyjny można opisać serią przepływów pieniężnych (Cash Flow, CF). Dla inwestycji tworzy się specjalną prognozę przepływów na wiele lat. Na roczny przepływ pieniężny netto składa się suma wypływów i wpływów. Wypływy to wydatki na zakup środków produkcji, materiałów, gruntów, itp., które będą liczbami ujemnymi, z kolei wpływy będą przycho-dami ze sprzedaży produktów, wpływów z udzielonych usług, bądź innymi wpływami gotówki do kasy przedsiębiorstwa. Z początku przepływy netto będą więc wielkościami ujemnymi, stopniowo przechodząc w wielkości dodat-nie. Wartość zaktualizowana netto (Net Present Value, NPV) stanowi róż-nicę pomiędzy zdyskontowanymi przepływami pieniężnymi (Discounted cash flow, DCF) a nakładami początkowymi. Przy dyskontowaniu posługujemy się stopą dyskontową, gdy zastosujemy odpowiednio wysoką, uzyskamy NPV

= 0.

Wewnętrzna stopa zwrotu (Internal Rate of Return, IRR) jest taką stopą dyskontową, dla której wartość zdyskontowanych przepływów jest równa war-tości inwestycji, lub inaczej, przy której wartość zaktualizowana netto jest równa 0. IRR jest wskaźnikiem pomocnym przy podejmowaniu decyzji in-westycyjnej przez inwestorów. Znając IRR projektu inwestycyjnego inwestor może jednoznacznie stwierdzić, czy projekt przekracza, wyznaczony przez niego próg minimalnej rentowności.

Sformułujmy problem na początek dla liczb rzeczywistych. Niech hory-zontem czasowym przyszłej inwestycji będzie n lat. Oznaczmy przez a₀, a1, ..., a_n−1przepływy gotówkowe w kolejnych latach, zaczynając od początkowego roku, dla którego przepływ oznaczamy przez a₀ i nazywamy go zerowym przepływem. Przyjmujemy następujące, oczywiste założenia:

1. zerowy przepływ ma wartość ujemną,

2. suma przepływów gotówkowych powinna być większa od zera.

Jeśli przez r oznaczymy wewnętrzną stopę zwrotu, zaś przepływ gotów-kowy w roku k = 0, 1, 2, ..., n − 1 wynosi a_k, to liczbę (_1+r¹ )^k nazywamy współczynnikiem dyskonta. Natomiast produkt a_k(_1+r¹ )^k będzie zdyskonto-wanym przepływem w roku k. Stąd suma przepływów zdyskontowanych po n latach, przy stopie zwrotu r, oznaczana dalej przez S(n, r) (czyli war-tość zaktualizowana netto), ma postać (24). Jeśli wprowadzimy oznaczenie X = _1+r¹ , to S(n, r) możemy zapisać jako wielomian W_n zmiennej X jak w (25). Wtedy założenia 1 i 2 oznaczają, że W_n(1) > 0 oraz W_n(0) < 0, gdyż Wn(0) = a₀. Z ciągłości W_n wynika istnienie pierwiastka wielomianu X₀ w przedziale otwartym (0, 1), tzn. W_n(X₀) = 0. Wnioskujemy zatem, że istnieje dodatnia wewnętrzna stopa zwrotu r₀ dana przez r₀= _X¹

0 − 1.

6.2.1. Przykład ze schodkowymi liczbami rozmytymi Dla oma-wianego problemu przedstawimy najpierw przykład numeryczny, dla inwe-stycji 10-letniej, tzn. n = 10. Rokiem startowym będzie 2010, a ostatnim

ro-kiem symulacji 2019. Przepływy pieniężne netto fikcyjnego przedsiębiorstwa przyjęto w postaci schodkowych skierowanych liczb rozmytych o 4 schod-kach każdej gałęzi i podziale odcinka [0, 1] na równe części. Znajdziemy pier-wiastki wielomianu W₁₀(X) o współczynnikach w postaci skierowanych 4-schodkowych liczb rozmytych.

Na bazie 10 liczb rozmytych przygotowano 6 wariantów, które różnią się skierowaniem poszczególnych przepływów:

wariant A: wszystkie liczby mają skierowanie dodatnie (Rysunek 3),

wariant B: przepływy ujemne mają skierowanie ujemne, a przepływy dodat-nie skierowadodat-nie dodatdodat-nie,

wariant C: przepływy ujemne mają skierowanie dodatnie, a przepływy do-datnie skierowanie ujemne,

wariant D: wszystkie przepływy mają skierowanie ujemne,

wariant E: poczynając od 2016 roku skierowanie przepływów jest ujemne, wariant F: w latach 2010 2013 skierowanie przepływów jest ujemne, 2014 -2015 skierowanie jest dodatnie i od 2016 skierowanie jest ujemnie (Rysunek 4- dla lepszego zobrazowania użyliśmy zmodyfikowanej reprezentacji liczby schodkowej, jej ujemne skierowanie zostało przedstawione jako liczby poniżej osi).

Następnie dokonano wyliczenia wewnętrznej stopy zwrotu dla poszcze-gólnych wariantów. Na Rysunku 5 przedstawiamy wyliczenia dla wariantów D i F.

W końcu na uzyskane rozwiązania nałożono cztery operacje wyostrzania:

COG, - Max - maksimum jądra, - Min - minimum jądra, - MOM - śred-nia z maksimum (ang. mean of maxima). Tabela 1 zawiera zbiorcze wyniki liczbowe tych operacji wyostrzania. Jak z niej widać, wynik wyostrzania nie tylko zależy od wyboru operacji wyostrzania, ale mocno od wariantu wyboru skierowania liczb.

6.2.2. Wyznaczenie IRR dla wymiernych rozmytych przepły-wów

Wyrażając problem wyznaczania wewnętrznej stopy zwrotu dla wymier-nych skierowawymier-nych liczb rozmytych zakładamy, że przepływy gotówkowe A₀, A₁, ..., A_n−1∈ R_w oraz wewnętrzna stopa zwrotu R należy do OFN. Równanie (24) przyjmuje wówczas postać:

S(n, R) =

n−1

X

k=0

A_k^ 1^‡ 1^‡+ R

k

.

Wprowadzając oznaczenie X = ₁‡¹+R^‡ , otrzymamy wielomian Wn(X) =

n−1

X

k=0

A_kX^k.

Twierdzenie 2 W przedziale (0^‡, 1^‡) ⊂ R istnieje skierowana liczba roz-myta X₀ ∈ R_BV taka, że W_n(X₀) = 0^‡. Zatem istnieje dodatnia wewnętrzna stopa zwrotu dana wzorem R₀= _X^1‡

0 − 1^‡.

Dowód. Dowolny element zbioru R_w można przedstawić w postaci A_k =

_W

Wielomian W_n(X) możemy zatem zapisać w następującej postaci:

W_n(X) =^n−1P

Musimy wykazać, że istnieje funkcja o skończonym wahaniu f_X0 speł-niająca równanie (33) oraz funkcja o skończonym wahaniu g_X0 spełniająca równanie (34).

Oczywiście oba te problemy są niezależne i ich rozwiązania są analogiczne.

Rozwiążemy równanie (33) mnożąc na początek obie strony równania przez iloczyn wielomianów P₀P1...Pn−1:

Zgodnie z przyjętymi założeniami każdy N_k będzie z góry zadanym wie-lomianem. Natomiast z przyjętych przy formułowaniu problemu założeń wy-nika, że A₀ < 0^‡, czyli W₀ < 0^†, co implikuje N₀ < 0^†. Ponadto, A₀+A₁+...+

A_n> 0^‡, zatem ^W_P⁰

0 +^W_P¹

1 + ... +^W_Pⁿ⁻¹

n−1 > 0^†. A stąd N₀+ N₁+ ... + N_n−1> 0^†. Przejdźmy teraz do funkcji wielomianowej, musimy wykazać istnienie funkcji f_X0 o skończonym wahaniu spełniającej warunek:

∀x ∈ [0, 1] zmienną, ponieważ nie znamy funkcji f_X0). Rozważmy wielomian (37). Zgod-nie z założeniami S(0) = N₀(x₀) < 0 oraz S(1) = N₀(x₀) + N₁(x₀) + ... + Nn−1(x₀) > 0. Zatem istnieje co najmniej jeden y₀∈ (0, 1) taki, że S(y₀) = 0.

Współczynniki poszczególnych wielomianów są wartościami funkcji wie-lomianowych, ponadto wiadome jest, że zespolone pierwiastki wielomianu są ciągłymi funkcjami jego współczynników [43]. Chociaż twierdzenie to nie zawsze jest prawdziwe dla pierwiastków rzeczywistych, to istnieje funkcja f_X0 przyporządkowująca elementom ze zbioru [0, 1] odpowiednie pierwiastki

wielomianu (37) mająca co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju.

Wykazaliśmy zatem ,że istnieje szukana funkcja f_X0 o skończonym waha-niu, przyjmująca wartości z przedziału (0, 1).

Analogicznie znajdziemy funkcję g_X spełniającą równanie (34). Zatem w przedziale (0^‡, 1^‡) istnieje skierowana liczba rozmyta X₀= (f_X0, gX0) ∈ R_BV spełniająca równanie W_n(X₀) = 0^‡. Czyli istnieje dodatnia wewnętrzna stopa zwrotu dana wzorem R₀ = _X^1‡

0 − 1^‡, R₀∈ R_BV.

Interesują nas plany inwestycji, które posiadają odpowiednio dużą wewnęt-rzną stopę zwrotu, powiedzmy nie mniejszą niż pewna graniczna stopa r_c, bę-dąca oczywiście liczbą rzeczywistą. Zatem po wykonaniu obliczeń na danych rozmytych, będziemy nakładać na otrzymane rozwiązanie odpowiednie opera-tory wyostrzania i porównywać ich wartości z tą graniczną stopą φ_G(R₀) ­ r_c. Inwestycje, które przejdą w tym porównaniu proponowany test, będą zali-czane do inwestycji zalecanych. W ten sposób budujemy system wspomagania decyzji dla inwestorów oceniających plany biznesowe. Korzystając z relacji częściowego porządku (1) można też uszeregować te inwestycje.

7. Podsumowanie

W pracy przedstawiono model skierowanych liczb rozmytych, którego arytmetyka jest analogiczna do działań na liczbach rzeczywistych. Przykład wykorzystania OFN w ekonomii pokazuje, że skierowane liczby rozmyte poz-walają na jednoczesne prezentowanie kilku wielkości, a także dokładne wy-znaczenie optymalnej wielkości dostaw w zagadnieniu minimalizacji kosztów zapasów przy danych rozmytych. Ponadto w problemie oceny planu bizneso-wego, dla którego znamy tylko rozmyte wydatki i wpływy, jesteśmy w sta-nie wyznaczyć rozmytą wewnętrzną stopę zwrotu. Tym samym rozpatrzone dwa przykłady z rachunkowości zarządczej dowodzą, że wykorzystując skie-rowane liczby rozmyte jesteśmy w stanie zbudować narzędzie wspomagające decydenta.

Ponadto wnioski wyciągane na podstawie działań na liczbach rozmytych są zgodne z wiedzą i analizą ekonomiczną. Sprawia to, że model skierowanych liczb rozmytych może być doskonałym narzędziem w analizie i modelowaniu ekonomicznym.

bers with continuous branches,

R_BV – przestrzeń skierowanych liczb rozmytych o ograniczonym wahaniu, space of Ordered Fuzzy Numbers with branches of bounded variation, R_K – przestrzeń K - schodkowych skierowanych liczb rozmytych, space of Step Ordered Fuzzy Numbers

CF N – klasa wypukłych liczb rozmytych, class of convex fuzzy numbers, OF N – klasa skierowanych liczb rozmytych, class of Ordered Fuzzy Num-bers,

µA – funkcja przynależności, membership function,

A = (fA, gA) – skierowana liczba rozmyta A, Ordered Fuzzy Number, φ – funkcjonał wyostrzania, defuzzzification functional

φF OM – funkcjonał wyostrzania metodą pierwszego maksimum, defuzzifica-tion funcdefuzzifica-tional by method of first of maximum,

φ_{M OM} – funkcjonał wyostrzania metodą środka maksimum, defuzzification functional by method of mean of maxima

φLOM – funkcjonał wyostrzania metodą ostatniego maksimum, defuzzifica-tion funcdefuzzifica-tional by method of last of maximum,

φ_RCOM – funkcjonał wyostrzania metodą losowego wyboru maksimum, de-fuzzification functional by method of random choice of maximum,

φ_COG– funkcjonał wyostrzania metodą środka ciężkości, defuzzification func-tional by method of center of gravity,

ψCOG(µ) – funkcjonał wyostrzania metodą środka ciężkości dla liczby rozmy-tej wypukłej, defuzzification functional method of center of gravity of convex fuzzy number,

φGM(µ) – funkcjonał wyostrzania metodą średniej geometrycznej, defuzzifi-cation method by geometrical mean,

φ_BADD – funkcjonał wyostrzania metodą podstawowego podziału, basic de-fuzzification distribution functional,

ψ_BADD(µ) – funkcjonał wyostrzania metodą podstawowego podziału dla liczby rozmytej wypukłej, basic defuzzification distribution functional of convex fuzzy number.

Anna Chwastyk was born in Nysa, Poland in 1971. She obtained her Ph.D from University of Zielona Góra for the thesis studying some notions of independence in universal algebras. She is an employee of the Faculty of Production Engineering and Logistics, Opole University of Technol-ogy. Her areas of research are universal algebra and its applications and also fuzzy mathematics.

95

Witold Kosiński was born in Kraków, Poland. Head of the Di-vision of Database Systems and Computational Intelligence of the Institute of Mechanics and Applied Computer Science, Faculty of Mathematics, Physics and Technology, Kazimierz-Wielki (Casimir the Great) University in Bydgoszcz. Head of the Intelligent Systems Division of the Department of Com-puter Science of the Polish-Japanese Institute of Information Technology, Warsaw. A graduate of the Department of Mathematics and Mechanics of the University of Warsaw, the title of 1993, mathematician and computer scientist. His research interests include two large areas: ap-plied mathematics in technical sciences, especially in continuum mechanics and thermodynamics, and basic math science with particular emphasis on intelligent systems, fuzzy logic and genetic algorithms.

Anna Chwastyk

Opole University of Technology

Faculty of Production Engeenering and Logistic Prószkowska str. 76, 45-758 Opole, Poland.

E-mail: a.chwastyk@po.opole.pl URL: http://achwastyk.po.opole.pl/

Witold Kosiński

Polish-Japanese Institute of Information Technology Institute of Mechanics and Applied Informatics Koszykowa str. 86, 02-008 Warsaw, Poland.

E-mail: wkos@pjwstk.edu.pl

URL: http://www.users.pjwstk.edu.pl/~wkos/

Communicated by: Krzysztof Szajowski

(Received: 23rd November 2012)