Poniżej przytoczono krótkie charakterystyki osób (por. tab. 1.16), które szczególnie przyczyniły się do powstania i popularności prawa Benforda. Należy do nich zaliczyć przede wszystkim nieżyjących już twórców prawa – S. Newcomba oraz F. Benforda. Jak się wydaje, do tej listy można dołączyć także T. Hilla oraz M. Nigriniego, którzy od wielu lat prowadzą najbardziej intensywne badania nad prawami rozkładu cyfr znaczących.
Simon Newcomb (1835–1909)
Studiowal frenologię, naukę o powiązaniu kształtu czaszek z osobowo-ścią.
W wieku 21 lat zatrudniony jako „computer” (osoba ds. obliczeń) w Na-utical Almanac Office, Cambridge, Massachusetts.
Później dyrektor Nautical Almanac Office.
Profesor matematyki i astronomii w John Hopkins University.
Przyczynił się do pomiaru szybkości światła, ustalenia dokładnej orbity Księżyca.
Stworzył system stałych astronomicznych.
Założyciel i prezes: American Astronomical Society, American Mathe-matical Society, American Association for the Advancement of Science, Philosophical Society of Washington.
Najbardziej znany amerykański astronom. Otrzymał najwyższe nagro-dy naukowe w zakresie astronomii w USA, Wielkiej Brytanii, Holandii i Niemczech.
W Kanadzie przyznawana jest przez Royal Astronomical Society nagroda jego imienia – Simon Newcomb Award.
Praca na temat rozkładu pierwszych cyfr znaczących ze wzorem p(d)=log(1+1/d)
liczyła 2 strony i nie została przez 60 lat przez nikogo zauważona. W 1885 r. przyczynił się do powstania prawa Irvinga Fishera (1911)
w zakresie ilościowej teorii pieniądza (Quantity Theory of Money) wyrażo-nej wzorem MV=PT, gdzie M – liczebność pieniądza w obiegu, V – szyb-kość obiegu pieniądza (transakcji), P – poziom cen, T – liczba transakcji. Z podanego wzoru wynika, że jeżeli relacja T do V jest stała, to wzrost pieniądza w obiegu powoduje wzrost cen (inflację).
42
Rozdział 1 Geneza i historia wybranych praw liczbowych
Frank Benfrod (1883–1948)
Amerykański inżynier, fizyk, elektrotechnik.
Po ukończeniu Uniwersytetu w Michagan w 1910 r., pracował w firmie General Electric, najpierw przez 18 lat w Illuminating Engineering Lab, a potem przez 20 lat w Research Lab.
W 1937 r. skonstruował instrument pomiaru załamywania światła. Ekspert pomiarów optycznych, autor 109 dokumentów z zakresu optyki
i matematyki.
Opracował 20 patentów na przyrządy optyczne.
W 1938 r. opublikował jedyną w swoim dorobku pracę na temat roz-kładu cyfr znaczących. W swojej pracy nie wykorzystał informacji wyni-kających z wcześniejszej pracy S. Newcomba z 1881 r. Publikacja ta nie została zauważona przez 30 lat.
Tab. 1.16. Odkrywcy prawa Benforda
43
Geneza i historia wybranych praw liczbowych
Theodore Hill (1943- ...) Mark Nigrini (1957 - …)
Źródło: opracowanie własne.
Theodore Preston Hill (1943– ...)
Matematyk zatrudniony w George Institute of Technology, specjalizujący się w teorii prawdopodobieństwa, a w szczególności w prawie Benforda. Absolwent Akademii West Point (1966), rocznika o największym
procen-cie ofiar wojny w Wietnamie, uczestnik tej wojny.
Autor prac dotyczących wyboru najlepszego obiektu (problem łowcy po-sagu, problem sekretarki) ze skończonego zbioru istotnie różnych pro-pozycji, prezentowanych w losowej kolejności (reguła zatrzymywania,
optimal stopping theory).
Autor prac związanych z problemem sprawiedliwego podziału (fair
divi-sion problem) oraz strategią Cut-And-Choose.
Twórca serwisu internetowego benfordonline.net, zawierającego biblio-grafię prac związanych z prawem Benforda, a także dwóch innych por-tali motherfunctor.org oraz earlyamericanmathbooks.org
Pełna dokumentacja dorobku naukowego znajduje się na witrynie tphill.net.
Mark Nigrini (1957– ...)
Profesor w St. Michael’s College of New Jersey, specjalizacja: rachunko-wość finansowa, rachunkorachunko-wość zarządcza, audyt, zastosowania mate-matyki, systemy informatyczne, wykrywanie oszustw finansowych. Członek American Accounting Assotiation, Institute of Internal Auditors. W 1992 r. obronił pracę doktorską (University of Cincinnati) na temat
The Detecion of Income Tax Invasion Through an Analysis of Digital Distri-butions.
44
Rozdział 1 Geneza i historia wybranych praw liczbowych
Analiza zwrotów podatków Billa Clintona w latach 1977–1992.
Pierwszy z naukowców, który próbuje zarobić pieniądze na znajomości prawa Benforda – płatne seminaria naukowe (>150 dol.), książki w ce-nie 32 centy za stronę.
Zebrał wiele przypadków opisujących oszustwa finansowo-księgowe. Wyczerpujące informacje o M. Nigrinim i jego prac znaleźć można w wi-trynie nigrini.com.
W tabeli 1.17 przedstawiono kalendarium ważniejszych wydarzeń, jakie miały miejsce w związku z prawem Benfora przed rokiem 2000. Wskazano tu na rolę odkrywców tego prawa, a także na osiągnięcia kilka innych bada-czy, którzy przyczynili się w początkowym okresie do rozwoju, popularyzacji i zastosowań prawa pierwszych cyfr znaczących.
Tab. 1.17. Kalendarium ważniejszych osiągnięć w zakresie prawa Benforda przed 2000 rokiem
Rok Nazwisko Wyszczególnienie Praca
1881 S. Newcomb Pierwsza praca na temat rozkłdu cyfr znaczących. Niezauważona przez 60 lat.
Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers, American Journal of Math-ematics 4(1)/1881, p. 39–40.
1938 F. Benford Fundamentalna praca dająca początek teorii i analizy rozkładu cyfr znaczących.
The law of anomalous numbers, Proceedings of the American Philosophical Society 78/1938, p. 551–572.
1944 S.A. Goudsmith W.H. Furry Teza, że prawo Benforda wynika ze sposobu zapisu liczb. Significant figure of numbers in statistical tables, Nature, 154/1944, p. 800–801.
1945 G.J. Stigler
Modyfikacja formuły wyznaczania pierwszej cyfry znaczącej oparta na innych założeniach niż formuła Benforda.
The distribution of leading digits in statistical tables (praca nieopublikowana).
1948 L.V. Furlan
Prawo Benforda oddaje harmoniczną istotę rzeczywistości (skala logarytmiczna).
Das Harmoniesgestez der Statistik,Eine Untersuc-hung uber die metrische Interdependenz der sozia-leen Erscheinungen, Bael, Switzerland, Verlag fur Recht und Geselschaft, XIII/1948.
1961 R.S. Pinkham
Dowód na niezmienniczość skali rozkładu Benforda względem dowolnej operacji arytmetycznej (mnożenia, dzielenia, potęgowania).
On the Distribution of First Significant Digits. Annals of Mathematical Statistics 32(4)/1961, p. 1223–1230.
1969 R.A. Raimi
Popularyzacja problematyki
prawa Benforda. The Peculiar Distribution of First Digits. Scientific American 221(6)/1969, 109–119, On Distribution of First Significant Figures. American Mathematical Monthly 76(4)/1969, p. 342–348.
45
Geneza i historia wybranych praw liczbowych
Rok Nazwisko Wyszczególnienie Praca
1988 C. Carslaw
Pierwsze zastosowania prawa Benforda do analizy danych finansowych w poszukiwaniu błędów.
Anomalies in Income Numbers: Evidence of Goal Oriented Behavior,The Accounting Review 63(2)/1988, p. 321–327.
1993 M.J. Nigrini
Pierwsze próby wykorzystania prawa Benforda w audycie księgowym.
Can Benford's law be used in forensic accounting?. The Balance Sheet, VI/1993, 7–8. Using digital frequencies to detect fraud. Fraud Magazine,The White Paper Index 8(2)/1994, 3–6; A taxpayer compliance application of Benford’s law. Journal of the American Taxation Association 18(1)/1996, p. 72–91.
1995 T.P. Hill
Dowód na niezmienniczość podstawy systemu liczbowego, którą to własność rozkład Benforda posiada jako jedyny
Base-Invariance Implies Benford's Law. Proceed-ings of the American Mathematical Society 123(3)/1995, 887–895, The Significant-Digit Phenomenon. American Mathematical Monthly 102(4)/1995, p. 322–327.
1996 T.P. Hill
Prawo Benforda opisuje "rozkład rozkładów" – losowo dobrane próby z losowo dobranych rozkładów.
A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law. Statistical Science 10(4)/1996, 354–363 The first digital phenomenon, American Scientist, 86/1998, p. 358–363.
1996 E. Leo Pierwsze zastosowania prawa Benforda do analizy danych giełdowych.
On the Peculiar Distribution of the US Stock In-dexes' Digits. American Statistician 50(4)/1996, p. 311–313.
1997 M.J. Nigrini
Powstaje digital analysis – system procedur do analizy własności rozkładów cyfr i ich kombinacji w celu poszukiwania nietypowych wartości.
The use of Benford's Law as an aid in analytical pro-cedures. Auditing – A Journal of Practice & Theory 16(2)/1997, 52-67 (M.J. Nigrini, L.J. Mittermaier) Numerology for Accountants. Journal of Accoun-tancy, November 1998, p. 15. Adding value with digital analysis. The Internal Auditor 56(1)/1999, p. 21–23.
47
Istota prawa Benforda