ZMIANA POŁOŻENIA UKŁADU ODWRÓCONEGO WAHADŁA PRZY UŻYCIU STEROWANIA ŚLIZGOWEGO
ODWRÓCONEGO WAHADŁA
Układ odwróconego wahadła składa się z wózka z zamocowanym na przegubie prętem, który schematycznie pokazany został na rysunku 1. Przemieszczanie się wózka
2.1. Analiza sił oraz równania ruchu
Równania różniczkowe opisujące układ odwróconego wahadła, wyprowadzone zostały dla schematu pokazanego na rysunku 2. W celu dokładniejszej analizy sił działających na obiekt, model wahadła przedstawiony został w postaci dwóch swobodnych brył. Zarówno wózek jak i wahadło mają po jednym stopniu swobody (odpowiednio x i θ).
Równania różniczkowe zostaną wyprowadzone w oparciu o drugą zasadę dynamiki Newtona (F = ma).
Rys. 2. Ilustracja wahadła w postaci dwóch brył
Dla ruchu wzdłużnego, po zsumowaniu sił działających na bryłę wózka w kierunku poziomym, otrzymuje się Dynamika ruchu obrotowego wahadła związana jest z momentami, działającymi skręcająco na pręt wahadła
θ odwróconego wahadła, konieczne jest określenie interakcji sił P i N, działających pomiędzy wózkiem i wahadłem. Siły te związane są z przemieszczaniem się środka pręta wahadła w kierunku poziomym x i pionowym y. Dynamika przemieszczania się środka pręta wahadła w kierunku poziomym x, opisana jest wzorem
N x
m⋅&&p = (4) natomiast w kierunku pionowym y
mg wyprowadzone zostaną pochodne w osi x
θ
następnie pochodne w osi y θ
Podstawiając wyrażenie (8) do zależności (4), otrzymuje się równanie opisujące siłę N
)
natomiast po podstawieniu wyrażenia (11) do równania (5), otrzymuje się zależność na siłę P
)
Równanie opisujące dynamikę ruchu wózka w osi poziomej uzyskuje się po podstawieniu wyrażenia na siłę N, opisaną wzorem (12) do zależności (2)
F Ostateczne równanie opisujące dynamikę zmian kąta obrotu wahadła uzyskiwane jest przez podstawienie wyprowadzonych zależności na siły N (12) i P (13) do 2.2. Nieliniowe równania dynamiczne
W celu zamodelowania w programach symulacyjnych, uzyskanego modelu matematycznego układu odwróconego wahadła, opisanego równaniami (14) i (15), wyprowadzone zostały nieliniowe równania dynamiczne. W pierwszej kolejności z równania (14) wyznaczona została druga pochodna współrzędnej x wózka (&x&) i uzyskane wyrażenie podstawione zostało do równania (15). W ten sposób uzyskano następujące nieliniowe równanie drugiego rzędu
1
W podobny sposób uzyskane zostało drugie nieliniowe równanie drugiego rzędu. Z równania (15), wyznaczona została druga pochodna kąta wychylenia wahadła (
θ
&&)i uzyskane wyrażenie podstawione zostało do równania (14).
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 40/2014
121
stanowią podstawę do wyprowadzenia nieliniowych równań stanu. W tym celu przyjęto następujący wektor stanu, który reprezentuje położenia i prędkości wahadła oraz wózka.T
Na podstawie równań (16) oraz (17) wyprowadzone zostały nieliniowe równania stanu, opisujące zależności zachodzące pomiędzy wahadłem a wózkiem.
2 sterowaniem polegającym na przyłożeniu określonej siły do wózka.
2.3. Równania zlinearyzowane
Linearyzacja równań stanu pozwala na zapisanie ich w postaci następującego układu macierzowo- wektorowego
)
Linearyzacja nieliniowych równań różniczkowych (19)-(22) dokonana została wokół punktu równowagi wahadła θ = π. W tym celu z powyższych, nieliniowych równań stanu usunięte zostały składniki zawierające zmienne stanu występujące w kwadratach, natomiast funkcje
trygonometryczne zastąpione zostały funkcjami liniowymi w następujący sposób: sinθ ≈−θ, cosθ≈−1, równania stanu zapisano w postaci macierzowej (25). Takiej samej linearyzacji poddane zostały pojedyncze równania różniczkowe opisujące model matematyczny układu odwróconego wahadła opisane wzorami (13) i (14). W tym przypadku uzyskane zostały następujące równania zlinearyzowane wyznaczone zostały transmitancje operatorowe opisujące zależności pomiędzy przyłożoną siłą wzdłużną do wózka F, a zmianą jego współrzędnych położenia x i zmianą kąta uzyskanej zależności do równania (28) uzyskano pierwszą transmitancję została druga transmitancja opisująca zależność pomiędzy siłą wzdłużną przyłożoną do wózka, a zmianą jego położenia. W tym celu z równania (28) wyznaczona została zależność na θ(s) i podstawiona do równania (29) wykorzystane zostały wartości parametrów układu odwróconego wahadła uzyskane ze strony internetowej [3]
i parametry te znajdują się w tablicy 1.
u
122
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 40/2014 Tablica 1. Wartości parametrów układu odwróconego wahadłaZmienna Parametr Wartość Jednostka
M Masa wózka 0.5 kg
m Masa wahadła 0.2 kg
b Współczynnik tarcia 0.1 N/m/s
L Długość wahadła 0.3 m
I Bezwładność wahadła 0.006 kgm2 g Przyśpieszenie ziemskie 9.81 m/s2 3. REGULATORY NOMINALNE
W podrozdziale tym przedstawiona została synteza regulatorów nominalnych, wypracowujących równoważną część składową sygnału sterującego ueq, dla projektowanego regulatora ślizgowego działającego w oparciu o wzór (1).
3.1. Regulator LQR
W literaturze można znaleźć różne metody wykorzystane do sterowania układem odwróconego wahadła. W tym podrozdziale opisany zostanie regulator LQR (Linear Quadratic Regulator). Do wyznaczenia wzmocnień regulatora LQR
pozwalającego na przemieszanie wózka przy utrzymywaniu pionowego położenia pręta wahadła (Rys. 3), przyjęto następujący model matematyczny układu odwróconego wahadła:
Problem regulatora LQR rozwiązywany jest przy następujących założeniach [5]:
1. Wszystkie stany x(t) są dostępne, tzn. że są mierzone przez czujniki;
2. Układ jest sterowalny i obserwowalny.
W celu sprawdzenia sterowalności i obserwowalności zastosowane zostały funkcje Matlaba obsv(A,C) i ctrb(A,B). Wyniki tych badań wypadły pozytywnie.
Regulator LQR zaliczany jest do tzw. sterowania optymalnego i wyznaczany jest w oparciu o liniowe równania dynamiczne oraz kwadratowy wskaźnik jakości, zapisywany w postaci następującej funkcji
Rys. 3. Schemat blokowy regulatora LQR, wyznaczającego sterowanie równoważne zmiennych stanu oraz sygnałów sterujących i zarazem stroją regulator. W oparciu o posiadane liniowe równania dynamiczne wyznacza się macierz wzmocnień regulatora LQR
S B R
K= −1 T (36)
która pozwala na minimalizację kwadratowego wskaźnika jakości (35). Macierz S wyznaczana jest w wyniku rozwiązania algebraicznego równania Riccati’ego
1 =0
− +
+A S Q PBR−B S
SA T T (37)
Proces minimalizacji kwadratowego wskaźnika jakości (35) obejmuje rozwiązanie równania Riccati’ego, które to zadanie może zostać wykonane przy użyciu funkcji lqr znajdującej się w Matlabie (K = lqr(A,B,Q,R)). Wartości parametrów macierzy Q i R zostały wyznaczone przy użyciu reguły Bryson’a ([6], strona 493)
Zastosowanie funkcji Matlaba lqr pozwoliło na wyznaczenie następujących wartości parametrów regulatora
]T
Dodatkowo jeszcze wyznaczone zostało wzmocnienie skalujące sygnał zadany położenia wózka, w oparciu
Zaprojektowany układ sterowania został zamodelowany w Simulinku w układzie pokazanym na rysunku 3. Blok oznaczony jako ‘Układ odwróconego wahadła’ zawiera model matematyczny obiektu opisany równaniami (19)-(22).
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 40/2014
123
Rys. 4. Schemat blokowy regulatora PID-PD, wyznaczającego sterowanie równoważne 3.2. Regulator PID-PD
Możliwe jest uzyskanie sterowania położeniem wózka w układzie odwróconego wahadła z wykorzystaniem regulatorów typu PID. Wyjściowy sygnał sterujący regulatora typu PID jest zazwyczaj wyznaczany na podstawie różnicy pomiędzy wartością zadaną i pomierzoną wartością wyjściową. W przypadku układu odwróconego wahadła istnieje konieczność stabilizacji pionowego położenia pręta wahadła θ i zadanego położenia wózka x, do którego na przegubie przytwierdzony jest pręt. Spełnienie tych wymagań wiąże się z zastosowanie dwóch oddzielnych regulatorów typu PID, po jednym dla każdej wartości zadanej, co zostało pokazane na rysunku 4, gdzie KP, KI oraz KD są odpowiednio wzmocnieniami: proporcjonalnym (P), całkującym (I) i różniczkującym (D).
Do stabilizacji pionowego położenia wahadła, zastosowany został regulator PID o transmitancji
s
Synteza wartości parametrów tego regulatora przeprowadzona została z wykorzystaniem linii pierwiastkowych i transmitancji opisanej wzorem (30).
W tym celu transmitancja regulatora (42) została przekształcona do postaci opisanej wzorem (43)
s
Wymagania nałożone na projektowaną odpowiedź skokową były następujące: maksymalne przeregulowanie (MP < 5%), czas regulacji (tR < 2 s). Z porównania współczynników w licznikach wzorów (42) i (43) wyznaczone zostały wartości parametrów regulatora PID służącego do stabilizacji pionowego położenia pręta wahadła KP1 = 22, KI1 = 18 oraz KD1 = 4.
Dobór parametrów regulatora PD do stabilizacji położenia wózka x
przeprowadzony został ręcznie w Simulinku, metodą prób i doświadczeń, na modelu nieliniowym. W tym przypadku okazało się, że dynamika modelu liniowego, opisanego transmitancją (31) bardzo mocno odbiegała od dynamiki modelu nieliniowego (17) w tym torze i nie powiodła się synteza znanymi metodami analitycznymi. W wyniku strojenia ręcznego przyjęte zostały następujące wartości
parametrów regulatora PD: KP2 = 2, KD2 = 1. Po sprawdzeniu stabilności transmitancji wypadkowej układu regulacji w torze x, składającej się z regulatora PD (44) i transmitancji (31) okazało się, że jeden biegun znajduje się w prawej półpłaszczyźnie co sugerowałoby, że zaprojektowany układ regulacji nie powinien pracować stabilnie. Jednak w badaniach symulacyjnych wykazana została poprawna praca regulatora PD z dobranymi parametrami, który zapewniał stabilne przemieszczanie położenia wózka w układzie odwróconego wahadła.
4. REGULATOR PRZEŁĄCZAJĄCY
W podrozdziale tym przedstawiona została synteza sterowania przełączającego ueq, będąca nieliniową częścią składową, projektowanego regulatora ślizgowego, działającego w oparciu o wzór (1). Sterowanie przełączające zazwyczaj stosowane jest w układach nieliniowych drugiego rzędu, które w przestrzeni stanów są zapisywane w następującej postaci kanonicznej
) funkcjami nieliniowymi, u jest sterowaniem.
Jednakże, model matematyczny układu odwróconego wahadła składa się z czterech równań, które w postaci ogólnej można zapisać następująco
)
W podrozdziale tym wykorzystana zostanie idea
”odległości ze znakiem”, wyprowadzona w pracy [4]
(rozdział 3, strona 337).
124
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 40/2014 Rys. 5. Schemat blokowy sterowania przełączającego, wykorzystujący dwuwarstwową powierzchnię ślizganiaDla równania (46) zostaną zdefiniowane dwie linie sterowania jest przeprowadzanie stanu układu do początkowego punktu równowagi. Zmienne linii przełączania s1 i s2 są stopniowo redukowane do zera, w tym samym czasie, przez zmienną pośrednią z.
W równaniu (47) z jest wartością wyprowadzaną z s2,
Φ jest warstwą przełączania zmiennej s2, natomiast definicja funkcji sat(⋅) jest następująca
Sygnał wyjściowy regulatora przełączającego usw
wyznaczany jest w oparciu o poniższy wzór
2
Zaproponowana struktura regulatora przełączającego usw, wykorzystana do sterowania położeniem wózka w układzie odwróconego wahadła, przedstawiona została na rysunku 5.
W wyniku przeprowadzonych badań symulacyjnych dobrane zostały parametry regulatora przełączającego c1 = 0.5, c2 = 5, Φ = 0.5, Zu = 1, Ku = 2.
5. BADANIA ZAPROJEKTOWANYCH UKŁADÓW STEROWANIA ŚLIZGOWEGO
Złożenie regulatora nominalnego, pokazanego na rysunku 3 lub 4 oraz regulatora przełączającego pokazanego na rysunku 5, daje w efekcie projektowany regulator ślizgowy. Badania zaprojektowanych regulatorów przeprowadzone zostały w środowisku obliczeniowym Matlab/Simulink, w układzie sterowania przedstawionym na rysunku 6 i obejmowały dwa przypadki: (a) brak zakłóceń Z(t) = 0; (b) obecność zakłóceń stałych Z(t) = 0.2⋅1(t),
oddziałujących na wózek równolegle z siłą sterująca u(t).
Analizowana próba testowa obejmowała zmianę położenia
Rys. 6. Schemat blokowy zaprojektowanych układów sterowania wózka o 1 metr i rozpatrzone zostały cztery typy regulatorów: (a) regulator LQR bez włączonej części przełączającej (LQR); (b) regulator LQR z włączoną częścią przełączającą (LQR+SMC); (c) regulator PID-PD bez włączonej części przełączającej (PID-PD); (d) regulator PID-PD z włączoną częścią przełączającą (PID-PD+SMC).
Z regulatorem ślizgowym ma się do czynienia wówczas gdy włączona jest część przełączająca. Uzyskane wyniki sterowania przy braku zakłócenia przedstawione zostały na rysunku 7, natomiast w obecności zakłócenia pokazane zostały na rysunku 8. Zmienne wykreślone na tych rysunkach (7 i 8) zarejestrowane zostały co 0.01 sekundy, uzyskując w ten sposób N = 1500 pomierzonych próbek w badanym odcinku stabilizacji.
Ocena jakości pracy rozważanych układów regulacji polegała na ocenie wskaźników jakości definiowanych na podstawie odpowiedzi skokowej i były to: maksymalne przeregulowanie M , czas regulacji p t mierzony przy R strefie dokładności ∆ = 2%. Dodatkowo na podstawie zarejestrowanych wartości współrzędnej położenia wózka i sygnału sterującego wyznaczone zostały następujące funkcjonały: w tablicy 2, natomiast z zakłóceniem w tablicy 3.
W badaniach przeprowadzonych w układzie sterowania bez zakłóceń, w próbach przeprowadzonych z dowolnym regulatorem, uchyb w stanie ustalonym był równy zero (eu = 0). Przy czym włączenie części przełączającej do dowolnego regulatora nominalnego (LQR lub PID-PD) spowodowało skrócenie czasu regulacji. Po dodaniu zakłócenia o stałej wartości wyniki badań układu sterowania z regulatorami nominalnymi charakteryzowały się
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 40/2014
125
niezerowym uchybem w stanie ustalonym. Włączenie części przełączającej pozwalało na zredukowanie uchybu w stanie
ustalonym bardzo blisko zera.
Rys. 7. Porównanie wyników sterowania położeniem układu odwróconego wahadła, przy braku zakłóceń
Rys. 8. Porównanie wyników sterowania położeniem układu odwróconego wahadła, w obecności zakłóceń Analizując wyniki zawarte w tablicach 2 i 3, widać że
najkrótszy czas regulacji (tR) i najmniejszy całkowy wskaźnik jakości (JE) związany z dokładnością sterowania, uzyskany został dla regulatora ślizgowego w którym część nominalną reprezentował regulator LQR.
6. WNIOSKI KOŃCOWE
W rozważanej pracy zamieszczone zostało wyprowadzenie modelu matematycznego układu odwróconego wahadła, zarówno w postaci nieliniowych
równań różniczkowych opisujących dynamikę wózka i pręta wahadła, jak również wyprowadzenie nieliniowych równań dynamicznych i ich linearyzacja. W oparciu o model zlinearyzowany wyprowadzone zostały dwie transmitancje operatorowe, pierwsza dla zmian kąta ustawienia wahadła, natomiast druga dla zmian położenia wózka, obydwie pod wpływem siły przyłożonej do wózka układu odwróconego wahadła. Uzyskane nieliniowe równania dynamiczne zamodelowane zostały w Simulinku.
126
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 40/2014 Tablica 2. Wskaźniki oceny jakości sterowania uzyskane zwykresów czasowych pokazanych na rysunku 7 (bez zakłóceń)
Mp tR JE Ju e u
Typ układu
regulacji [%] [s] [-] [-] [-]
LQR 0 6.81 219.2 104.3 0 LQR + SMC 2.1 3.08 144.5 114.2 0 PID-PD 0 11.36 331.3 105.9 0 PID-PD + SMC 0.5 4.48 176.8 116.6 0 Tablica 3. Wskaźniki oceny jakości sterowania uzyskane
z wykresów czasowych pokazanych na rysunku 8 (z zakłóceniami)
Mp tR JE Ju e u
Typ układu
regulacji [%] [s] [-] [-] [-]
LQR 0 6.81 321.7 95.9 0.08 LQR + SMC 1.69 2.79 171.0 110.3 0.02 PID-PD 0 11.36 448.8 95.3 0.11 PID-PD + SMC 0.36 4.84 210.8 113.0 0.02
W oparciu o zlinearyzowane równania dynamiczne zaprojektowany został pierwszy regulator nominalny którym był regulator liniowy LQR. Drugim regulatorem nominalnym był regulator PID-PD, składający się z połączenia równoległego: regulatora PID do stabilizacji pionowego położenia pręta wahadła i regulatora PD do stabilizacji położenia wózka. Synteza regulatora PID dokonana została z wykorzystaniem transmitancji dla tego toru i z zastosowaniem linii pierwiastkowych. Parametry regulatora PD zostały dobrane ręcznie.
Wyznaczenie części przełączającej wymagało dekompozycji powierzchni ślizgania do dwóch warstw, każda z nich zastosowana została do oddzielnego toru.
Pierwsza warstwa do stabilizacji toru związanego z położeniem wahadła, natomiast druga do stabilizacji położenia wózka.
W pracy zamieszczone zostały badania regulatora ślizgowego zastosowanego do sterowania pozycją wózka
w układzie odwróconego wahadła. Badane były dwie konfiguracje regulatora ślizgowego, w pierwszej z nich regulatorem nominalnym był regulator LQR, natomiast w drugim PID-PD. Uzyskane wyniki badań porównane zostały z równoważnymi wynikami otrzymanymi z zastosowaniem regulatorów nominalnych będących częścią składową regulatorów ślizgowych.
Wyniki przeprowadzonych badań pozwalają stwierdzić, że zastosowanie regulatora ślizgowego pozwala na uzyskanie lepszych wyników sterowania, aniżeli zastosowanie samego regulatora LQR lub układu regulatorów PID-PD. W układzie regulacji z regulatorem ślizgowym z częścią nominalną LQR uzyskano najlepsze wyniki, zarówno w przypadku braku zakłóceń jak i ich obecności uchyb był zawsze prawie równy zero, jak również czas regulacji (tR) był najkrótszy.
7. BIBLIOGRAFIA
1. Banrejee A., Nigam M.J.: Designing of Proportional Sliding Mode Controller for Linear one Stage Inverted Pendulum, Power Engineering and Electrical Engineering, Vol. 9, No. 2, pp. 84-89, 2011.
2. Bhavsar P., Kumar V.: Trajectory Tracking of Linear Inverted Pendulum using Integral Sliding Mode Control, Intelligent Systems and Applications, Vol. 6, pp. 31-38, 2012.
3. Carnegie Mellon, University of Michigan, (http://www.engin.umich.edu/group/ctm)
4. Chen S.-Y., Yu F.-M., Chung H.-Y.: Decoupled fuzzy controller design with single-input fuzzy logic, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 129, No. 3, pp. 335-342, 2002.
5. Eide R., Egelid P.M., Stamso A., Karimi H.R.: LQG Control Design for Balancing an Inverted Pendulum Mobile Robot, Intelligent Control and Automation, Vol. 2, pp. 160-166, 2011.
6. Franklin G.F., Powell D.J., Emami-Naeini A.: Feedback Control of Dynamic Systems, 5th edition, Pearson Prentice Hall, 2006.
7. Nasir A.N.K, Raja Ismail R.M.T., Ahmad M.A.:
Performance Comparison between Sliding Mode Control (SMC) and PD-PID Controllers for a Nonlinear Inverted Pendulum System, World Academy of Science, Enginering and Technology, Vol. 46, pp. 358-363, 2010.