3. Detekcja energii
3.4. Ograniczenia w detekcji energii nieznanych sygnałów
(rys. 3.5). Współcześni badacze zaproponowali szereg rozwiązań problemu oszacowania mo-cy szumu, w oparciu o różne właściwości bazowe algorytmów estymamo-cyjnych. Najczęściej cytowanymi w literaturze są rozwiązania maksymalizacji prawdopodobieństwa i minimaliza-cji warianminimaliza-cji, oparte na zasadzie uśredniania wydzielonych prążków gęstości widmowej mocy szumu [59], [60]. Zakres proponowanych rozwiązań jest jednak znacznie szerszy i obejmuje m.in. metody odwołujące się do kryterium informacji [61], [62] estymatory oparte na właści-wościach macierzy kowariancji [63], [64] czy bardziej wyspecjalizowane rozwiązania wyko-rzystujące relacje statystyczne jak estymator oparty na minimalizacji błędu średniokwadrato-wego [65]. Wszystkie te metody, choć dedykowane podobnym zastosowaniom, różnią się pod względem dokładności oraz złożoności, wpływając na metryki wydajności osiągane przez detektor energii.
Rys. 3.5. Realizacja detektora energii w formie ślepej
Niewątpliwą zaletą detektora energii jest jego prosta implementacja w przypadku znajo-mości a priori mocy szumu. Brak stosownych informacji wymusza zastosowanie detektora naprzemiennie z bardziej złożonymi metodami wykluczając jego samodzielne działanie. Al-ternatywnym rozwiązaniem jest doposażenie detektora w algorytm estymacji mocy szumu, który znacznie wydłuża i komplikuje proces detekcji, ponieważ większość procesów estyma-cji ma złożoność co najmniej 𝑂(𝑛 ). Konieczność znajomości mocy szumu 𝜎 do poprawne-go wyznaczenia progu detekcji 𝛾, jest zatem główną słabością detektora energii, niwelującą korzyści wynikające z prostoty jego reguły decyzyjnej.
3.4. Ograniczenia w detekcji energii nieznanych sygnałów
Analiza schematu blokowego detekcji energii (rys. 3.1) wykazuje, że funkcja decydująca o obecności nieznanego sygnału w szumie wymaga wcześniej zdefiniowanego progu. Określa on wszystkie wskaźniki wydajności detektora tj. 𝑃 , 𝑃 oraz 𝑃 , które mogą przyjmować wartości w zakresie od 0 do 1. W konsekwencji, stosując wzajemną zależność, próg operacyj-ny można określić na podstawie wartości docelowej metryki rezultatów, która jest przedmio-tem zainteresowania. Dobrze uwidacznia to równanie (3.14), w którym wartość 𝛾 jest bezpo-średnio uzależniona od zakładanej metryki 𝑃 . Próg wyliczony w oparciu o dobrane metryki nie zawsze może jednak zagwarantować, że detektor osiągnie docelowe prawdopodobieństwo wykrywania sygnału. Wybór wartości progowej jest silnie zależny od mocy szumu, która mo-że zmieniać się w czasie oraz jest wyznaczana z ograniczoną dokładnością [9], [48], [66].
35 Zatem właściwy wybór progu jest możliwy tylko wtedy, gdy moc szumu jest dokładnie esty-mowana w odbiorniku.
Błąd estymacji mocy szumu, który może poważnie pogorszyć wydajność detektora ener-gii, jest nazywany niepewnością szumu. W przypadku niepewności zakłada się, że szacowa-na moc szumów mieści się w przedziale 𝜎 , 𝜌𝜎 , gdzie 𝜌 > 1 jest parametrem, który kwantyfikuje niepewność szumów [52]. Drugim ograniczeniem jest spadek wydajności detek-tora dla niskich SNR, wynikający z analizy skończonej liczby próbek. W wyniku tego zbyt duża wariancja mocy stanów 𝐻 i 𝐻 uniemożliwia skuteczne rozgraniczenie nanoszących się rozkładów. W konsekwencji, gdy SNR maleje, liczba próbek niezbędnych do przeprowadze-nia detekcji wzrasta. Oznacza to, że w przypadku sygnałów słabych zadane wartości 𝑃 i 𝑃 można osiągnąć jedynie przy użyciu dużej liczby próbek. Odwołując się do przybliżeń stoso-wanych dla niskich SNR oraz efektu niepewności szumów, liczba próbek wymagana do osią-gnięcia przez konwencjonalny detektor energii założonego 𝑃 i 𝑃 jest definiowana jako [52]
𝑁 ≈ ( ) . (3.15)
W powyższym modelu istnieje minimalna wartość SNR, przy której przeprowadzenie sku-tecznego procesu detekcji dla dowolnych metryk wydajności nie jest możliwe. Osiągnięcie zadanego prawdopodobieństwa fałszywego alarmu i prawdopodobieństwa detekcji, wymaga nieskończenie dużej liczby próbek (𝑁 → ∞). Próg ten nosi nazwę ściany SNR [9], [48], [52], [57], [58], [66]. Zjawisko ściany SNR jest nieuniknionym problemem w zastosowaniach praktycznych: estymowana moc szumu zawsze będzie się różnić od rzeczywistej wartości, a zatem zawsze będzie pewien stopień niepewności dla skończonej liczby próbek, który wy-wołuje ścianę.
Liczba próbek jest również ważnym parametrem projektowym warunkującym spełnianie wymogów dotyczących maksymalnego dopuszczalnego czasu detekcji. Przykładowo specyfi-kacja IEEE 802.22 wyraźnie zaznacza, że czas wykrywania powinien być mniejszy niż 2 se-kundy [9], [67]. Ze względu na ograniczenie maksymalnego dopuszczalnego czasu wykrywa-nia, jego wzrost wraz ze wzrostem 𝑁, jest jedną z głównych wad stosowania detekcji energii przy niskim współczynniku SNR. Warto zaznaczyć, że ze względu na monotonicznie maleją-cą właściwość funkcji 𝑄 równania (3.15), sygnał można wykryć nawet w bardzo niskim obszarze SNR przez zwiększenie 𝑁, gdy niepewność mocy szumu jest znana. Przybliżona liczba próbek wymagana do osiągnięcia docelowej wydajności dla prawdopodobieństwa fał-szywych alarmów 𝑃 i prawdopodobieństw detekcji 𝑃 jest rzędu 𝑂(𝑆𝑁𝑅 ). Dlatego wybór odpowiedniej liczby próbek 𝑁 jest również problemem optymalizacyjnym.
Reasumując, pomimo potencjalnie małej złożoności i prostej struktury, detektor energii nie jest pozbawiony wad:
36 Realizacja detektora energii w formie ślepej wymaga estymacji mocy szumu. Proces esty-macji znacząco zwiększa całkowitą złożoność detektora. Niedokładne oszacowanie mocy np. z powodu gwałtownych fluktuacji czy nieznanych zakłóceń tła wprowadza niepew-ność pomiarową rzutującą na jego wydajniepew-ność.
Wydajność detektora pogarsza się z powodu niskiego SNR. Aby tego uniknąć, wymagane jest wydłużenie czasu detekcji w celu zebrania wystarczającej liczby próbek odbieranego sygnału. Optymalizacja wykrywania w dużym zakresie SNR nie jest możliwa bez dyna-micznej zmiany liczby przetwarzanych próbek.
37 4. Estymacja mocy szumu w procesie detekcji energii
4.1. Wybrane metody estymacji mocy szumu
Estymacja mocy szumu, ze względu na powiązanie z powszechnie stosowaną detekcją energii nieznanych sygnałów, znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach cyfrowego prze-twarzania sygnałów. Badania szczególnie bogate w literaturę przedmiotu są prowadzone w dziedzinie komunikacji bezprzewodowej, w której wykrywanie wolnych zasobów w mocno zajętym i dynamicznie zmieniającym się środowisku radiowym jest niezbędne do ustanowie-nia skutecznej transmisji [52], [57], [68]. Świadomość otoczeustanowie-nia radiowego jest szczególnie ważna dla urządzeń działających w paśmie ISM, w którym wykorzystanie widma nie jest jed-norodne. W rozważanym przypadku, dokładność estymacji mocy szumu można uznać za klu-czową w skutecznym przydziale współdzielonych zasobów radiowych.
Moc szumu jest wykorzystywana nie tylko w procesie oceny zajętości kanałów radio-wych. Ma również bezpośredni wpływ na dokładność estymacji wartości SNR, w oparciu o którą regulowana jest moc nadawcza w procesie komunikacji [69], [70]. W związku z po-wyższym stosowane metody estymacji muszą być nie tylko dokładne, ale również stabilne, gdyż płynność regulacji zależy od stabilności wyników estymacji. Gwałtowne zmiany mocy, oprócz pogorszenia efektywności energetycznej, mogą powodować zakłócenia transmisji w sąsiednich kanałach komunikacyjnych.
Mając na uwadze ograniczenia czasowe detekcji w procesie oceny zajętości zasobów ra-diowych oraz często ograniczone zasoby sprzętowe urządzeń bezprzewodowych, ważnym aspektem jest również złożoność metod estymacji. Aby sprostać rosnącym wymaganiom, techniki estymacji mocy szumu muszą być nie tylko dokładne i niezawodne, ale również pro-ste w implementacji i wykonaniu.
Przedstawienie wybranych metod es-tymacji mocy szumu wymaga wprowa-dzenia pojęcia bloku zasobów czasowo-częstotliwościowych (rys. 4.1). Tworze-nie bloku następuje w wyniku rejestro-wania ramka po ramce sygnału w dziedzinie czasu, a następnie przeno-szenia poszczególnych ramek do dzie-dziny częstotliwości przez zastosowanie FFT. Blok obejmuje zatem określoną liczbę podnośnych (𝑁) w pewnej liczbie przedziałów czasowych (𝑀). Niech 𝑆
i 𝑊 będą zespolonymi współczynnikami widmowymi reprezentującymi odpowiednio sy-gnał i szum, gdzie 𝑛 jest wskaźnikiem podnośnej, a 𝑚 wskaźnikiem ramki czasowej. Przyj-mując, że sygnał i szum są addytywne w dziedzinie częstotliwości, próbki złożonej obserwa-cji widmowej będą opisane sumą
𝑋 𝑋 𝑋 … 𝑋
Rys. 4.1. Blok zasobów czasowo-częstotliwościowych
38
𝑋 = 𝑆 + 𝑊 . (4.1)
Wzór 4.1. stanowi podstawowy opis sygnału w dziedzinie częstotliwości, wykorzystywany w dalszych podrozdziałach podczas omawiania wybranych metody estymacji mocy szumu.
4.1.1. Estymacja mocy szumu w oparciu o maksymalizację prawdopodobieństwa Najprostszą i zarazem najczęściej stosowaną techniką estymacji mocy szumu jest estyma-tor maksymalnego prawdopodobieństwa (ML, ang. maximum likelihood). Popularność meto-dy wynika z jej wyjątkowo prostej implementacji. W przypadku białego, admeto-dytywnego szumu Gaussowskiego, estymator ML sprowadza się do uśrednienia próbek szumu w wybranym paśmie widma mocy [57], [59]. Energia szumu zawarta w paśmie będącym przedmiotem za-interesowania może być opisana wzorem
𝜎 = 1
𝑁 |𝑊 | , (4.2)
gdzie 𝑊 stanowi 𝑛-ty prążek częstotliwości widma, a 𝑁 jest całkowitą liczbą składowych widmowych obliczoną dla próbek szumu wydzielonych z odbieranego sygnału. Podczas wy-znaczania mocy szumu metodą ML ważne jest uwzględnienie w uśrednianiu (4.2) jedynie próbek szumu. W rezultacie dokładność metody pozostaje silnie zależna od techniki precy-zyjnego wydzielenia próbek 𝑊 z odbieranego sygnału 𝑋 .
Prosta technika estymacji dokładnie śledzi chwilową wartość mocy szumu i szybko rea-guje na jej tymczasowe zmiany. W konsekwencji jest również wysoce podatna na chwilowe niedokładności. W przypadku niewielkiej liczby uśrednianych próbek każdy błąd pomiarowy może poważnie zniekształcić zwracany przez nią wynik.
4.1.2. Estymacja mocy szumu w oparciu o minimalizację wariancji
Problem podatności estymaty ML na chwilowe zmiany mocy został rozwiązany przez rozszerzenie analizy na więcej przedziałów czasowych. Rozwiązanie nazwane nieobciążonym estymatorem minimalnej wariancji (MVU, ang. minimum variance unbiased) opiera się na uśrednieniu mocy szumu w całym bloku czasowo-częstotliwościowym [60]. MVU jest definiowane równaniem
𝜎 = 1
𝑀𝑁 |𝑊 | , (4.3)
gdzie 𝑋 stanowi 𝑛-ty prążek częstotliwości widma szumu w 𝑚-tej realizacji 𝑁-punktowej FFT. Natomiast 𝑀 stanowi liczbę nienakładających się przedziałów czasowych uwzględnio-nych w bloku czasowo-częstotliwościowym (rys. 4.1). Podobnie jak w poprzednim przypad-ku, zastosowanie estymatora wymaga wydzielenia próbek szumu z odbieranego sygnału
39 lub przeprowadzenia estymacji w czasie, gdy sygnał informacyjny jest nieobecny w odbiera-nym szumie.
Wprowadzone rozszerzenie uśredniania do 𝑀 × 𝑁 próbek minimalizuje wariancję esty-matora i stabilizuje wynik estymacji w dłuższym przedziale czasu. W konsekwencji metoda staje się bardziej odporna na drobne zakłócenia. W zależności od liczby uśrednianych prze-działów czasowych wzrasta jednak opóźnienie odpowiedzi MVU na rzeczywistą zmianę mo-cy szumu.
4.1.3. Estymacja mocy szumu w oparciu o kryterium informacyjne Akaikego Proces estymacji oparty na teorii informacji można podzielić na trzy etapy. Pierwszy za-kłada wyznaczenie posortowanego wektora wartości własnych macierzy kowariancji. Następ-nie na podstawie kryterium informacyjnego Akaikego (AIC ang. Akaike information crite-rion) wektor jest dzielony na dwie grupy, z których jedna reprezentuje sygnał z szumem, a druga tylko szum. Na podstawie wartości własnych przypisanych grupie szumowej wyzna-czana jest estymowana moc szumu. Proces zachodzi bez znajomości a priori jakichkolwiek parametrów odbieranego sygnału, dlatego może być uznany za w pełni samodzielną techniką estymacji mocy szumu. Metoda opisana w pierwotnej postaci m.in. w [61], jako algorytm oparty na wartościach własnych macierzy kowariancji, została znacząco uproszczona w [62].
Wartości własne macierzy zastąpiono wartościami uśrednionego periodogramu.
Przyjmując blok zasobów o rozmiarze 𝑀 × 𝑁, tworzony jest posortowany periodogram, którego wartości 𝜆 = [𝜆 , 𝜆 … 𝜆 ] stanowią substytut wartości własnych macierzy kowarian-cji. Następnie wykorzystując wyrażenie na kryterium informacyjne Akaikego poszukiwany jest argument 𝑛 ∈ 〈1, 𝑁〉 minimalizujący funkcję
𝐴𝐼𝐶(𝑛) = (𝑁 − 𝑛)𝑀𝑙𝑜𝑔 𝛼(𝑛) + 𝑛(2𝑁 − 𝑛), (4.4)
gdzie 𝑁 jest rozmiarem periodogramu, 𝑀 liczbą uśrednionych przedziałów czasowych, a 𝑛 stanowi indeks wektora 𝜆 w 𝑛-tym modelu AIC. Funkcja 𝛼(𝑛) jest opisana wzorem [62]
𝛼(𝑛) = 1
𝑁 − 𝑛 𝜆 𝜆
( )
⁄
, (4.5)
gdzie 𝜆 jest wartością mocy 𝑖-tego przedziału częstotliwości w uśrednionym periodogramie.
Po odszukaniu argumentu 𝑛 , dla którego kryterium informacyjne przyjmuje wartość mi-nimalną
𝑛 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛 ∈〈 , 〉 𝐴𝐼𝐶(𝑛) , (4.6)
przyjmuje się, że elementy w posortowanym periodogramie 𝜆 , 𝑛 ∈ 〈1, 𝑛 − 1〉 reprezentu-ją szum z sygnałem informacyjnym, natomiast 𝜆 , 𝑛 ∈ 〈𝑛 , 𝑁〉 reprezentują jedynie szum.
Średnia wartość grupy szumowej periodogramu stanowi estymatę mocy szumu
40
𝜎 = 1
𝑁 − 𝑛 + 1 𝜆 . (4.7)
Opisane w [62] uproszczenie znacząco zmniejsza złożoność techniki estymacji, zachowując jej niezależność od zewnętrznych technik separacji sygnałów.
4.1.4. Estymacja mocy szumu w oparciu o własności macierzy kowariancji Kompleksowy algorytm estymacji mocy szumu w oparciu o wartości własne macierzy kowariancji (CME, ang. covariance matrix eigenvalues) opisano m.in. w pracy [63]. Zasadni-czym działaniem algorytmu jest wyznaczenie macierzy kowariancji
𝑪 = 1
𝑁𝑋𝑋 , (4.8)
gdzie 𝑋 oznacza macierz próbek bloku czasowo-częstotliwościowego o rozmiarze 𝑀 × 𝑁.
Na podstawie macierzy 𝑪 wyznaczany jest uporządkowany wektor wartości własnych 𝜆 = [𝜆 , 𝜆 … 𝜆 ]. Autorzy [63] przyjęli założenie, zgodnie z którym wektor 𝜆 może być podzielony na dwie grupy reprezentujące odpowiednio sygnał z szumem oraz tylko szum.
Podziału należy dokonać zgodnie ze współczynnikiem zajętości analizowanego pasma tj. je-żeli współczynnik wykorzystania widma jest równy 𝑁 𝑆⁄ , w ogólnej liczbie 𝑁 wartości wła-snych 𝑆 reprezentuje sygnał z szumem. W takim przypadku (𝑁 − 𝑆) wartości należy przypi-sać do grupy reprezentującej jedynie szum. Następnie malejąco uporządkowany wektor war-tości własnych 𝜆 macierzy 𝑪 jest wykorzystany do wyznaczenia 𝐾-elementowego przedziału liniowo rozłożonych, potencjalnych wartości mocy szumu [𝜎 , 𝜎 ] o wartościach granicz-nych opisagranicz-nych równaniami
𝜎 =
⁄ , (4.9)
𝜎 =
⁄ . (4.10)
Zakładając, że empiryczny rozkład wartości własnych grupy szumowej 𝑓 (𝜆) może być przy-bliżony rozkładem Marchenko-Pastura, prosty test dopasowania 𝑇(𝜎 ) może być wykorzy-stany do znalezienia najlepszego odwzorowania mocy szumu w przedziale [𝜎 , 𝜎 ]
𝑇(𝜎 ) = ‖𝑓 (𝜆) − 𝑀𝑃((𝑁 − 𝑆) 𝑀⁄ , 𝜎 )‖ , (4.11) gdzie 𝑘 = 1 … 𝐾, a 𝑀𝑃(𝑛, 𝜎 ) oznacza idealny rozkład Marchenko-Pastura dla 𝑛 wartości własnych przy zadanym 𝜎 . W oparciu o przeprowadzone testy wybierana jest wartość wa-riancji szumu osiągająca najmniejszy błąd dopasowania 𝑇(𝜎 ). Wynikiem estymacji mocy szumu jest argument spełniający kryterium
𝜎 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛 ∈〈 , 〉𝑇(𝜎 ). (4.12)
41 W przedstawianych przez autorów badaniach algorytm osiąga wysoką dokładność i nie-zawodność, jednocześnie jest to narzędzie skomplikowane obliczeniowo. Ponadto wymaga a priori znajomości zajętości pasma, co oznacza konieczność rozszerzenia o pomocniczy al-gorytm np. kryterium minimalnej długości opisu (MDL, ang. minimum description length) uwzględniony w [63], [64] lub gromadzenia statystyk dotyczących przewidywanej zajętości badanego kanału.
4.2. Wybrane metody separacji szumu
W odniesieniu do wybranych metod estymacji mocy szumu częstą wadą jest konieczność rozszerzenia opisywanych technik o dodatkowe algorytmy dokonujące wstępnego przetwa-rzania danych. W przypadku kryterium maksymalnego prawdopodobieństwa i silnie z nim związanego kryterium minimalnej wariancji, konieczne jest zastosowanie mechanizmu wy-dzielenia próbek szumu z odbieranego sygnału. Należy jednak zauważyć, że separacja źródeł sygnału jest wykorzystywana w wielu obszarach przetwarzania sygnałów. Zakres propono-wanych rozwiązań jest bardzo szeroki, a proces wyboru próbek może być realizowany na wiele sposobów. W pracy [67] omawianej w rozdziale trzecim, autorzy proponowali tech-nikę hybrydową, łączącą naprzemienne okresy precyzyjnego i szybkiego wykrywania. Od-rębną grupę rozwiązań rozpatrują m.in. autorzy [61], [62], [71] odnosząc się do kryterium minimalnej długości opisu oraz kryterium informacyjnego Akaikego jako efektywnych metod separacji źródeł sygnału. Natomiast autorzy [72], [73] używają liniowego dyskryminatora Fishera do rozdzielenia odebranego sygnału na dwie podgrupy.
4.2.1. Separacja w oparciu o kryterium minimalnej długości opisu
Algorytm separacji źródeł wykorzystujący kryterium minimalnej długości opisu jest me-todą wyboru modelu podziału danych umożliwiającego ich najlepszą kompresję. Technika zaproponowana przez Jorma J. Rissanena w oparciu o teorię informacji wskazuje model naj-lepiej dopasowany do danych poprzez znalezienie argumentu minimalizującego funkcję opi-sową. Podstawowym wskaźnikiem metody jest liczba znaczących wartości własnych anali-zowanej macierzy kowariancji [61], [71].
Bazowym działaniem algorytmu jest utworzenie macierzy kowariancji o rozmiarze 𝑀x𝑁, analogicznie jak w wyrażeniu (4.8). Na podstawie macierzy wyznaczany jest uporządkowany malejąco wektor wartości własnych 𝜆 = [𝜆 , 𝜆 … 𝜆 ]. Analizowaną funkcję opisową definiu-je wyrażenie [61], [62]
𝑀𝐷𝐿(𝑛) = (𝑁 − 𝑛)𝑀𝑙𝑜𝑔 𝛼(𝑛) + 𝑛 2⁄ (2𝑁 − 𝑛)𝑙𝑜𝑔(𝑀), (4.13) gdzie 𝑁 oznacza całkowitą liczbę wartości własnych 𝜆, 𝑀 stanowi liczbę obserwacji wyko-rzystanych do ich wyliczenia, a 𝑛 = 1 … 𝑁 reprezentuje aktualnie wyznaczany model MDL.
Parametr 𝑛 jest równy liczbie znaczących wartości własnych, które przyjmuje się w danym modelu jako odpowiadające wartościom reprezentującym sygnał z szumem. Funkcja we-wnętrzna 𝛼(𝑛) jest zdefiniowana wzorem [61], [62]
42 𝛼(𝑛) = 1
𝑁 − 𝑛 𝜆 𝜆
( )
⁄
, (4.14)
gdzie 𝜆 jest 𝑖-tą wartością własną posortowanego wektora 𝜆. Liczba znaczących wartości własnych jest określana przez wartość 𝑛 , która minimalizuje funkcję opisową
𝑛 = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛 ∈〈 , 〉 𝑀𝐿𝐷(𝑛) . (4.15)
W wyniku zastosowania kryterium minimalnej funkcji opisu uzyskujemy podział wektora wartości własnych macierzy kowariancji na wartości znaczące 𝜆 ∈ 〈𝜆 , 𝜆 〉 reprezentujące sygnał z szumem oraz wartości 𝜆 ∈ 〈𝜆 , 𝜆 〉 reprezentujące jedynie szum.
4.2.2. Separacja w oparciu o dyskryminatora Fishera
Liniowa analiza dyskryminacyjna i związany z nią dyskryminator Fishera są używanie do znalezienia liniowej kombinacji cech, które najlepiej rozróżniają dwie lub więcej klas zda-rzeń. Głównym celem dyskryminatora jest podzielenie odebranych próbek 𝑋 na dwie grupy, z których 𝐼 ma zawierać próbki szumu, a 𝐽 próbki sygnału z szumem. Przy założeniu, że próbki szumu i sygnału z szumem są opisane rozkładami Gaussa, jako cechy wyróżniające można przyjąć 𝑋 i 𝑋 reprezentujące średnie wartości amplitud obu grup oraz 𝜎 i 𝜎 będące wariancjami amplitudy próbek w obu grupach. Dyskryminator Fishera dla rozdzielenia dwóch klas Gaussowskich opisuje równanie [72], [73]
𝑇 = (| | ) (| | )(|𝐼| + |𝐽| − 2), (4.16)
gdzie |𝐼| i |𝐽| reprezentują liczbę próbek przypisanych do każdej grupy. Dyskryminator jest wyznaczany iteracyjnie. Poszukiwana jest optymalna wartość podziału amplitudy próbek, dla której 𝑇 osiąga maksimum. Optymalny podział zostaje osiągnięty, gdy wartości średnie 𝑋 i 𝑋 są maksymalnie oddalone, przy zachowaniu możliwie jak najmniejszych wariancji 𝜎 i 𝜎 . Najbardziej złożonym działaniem w wyznaczaniu dyskryminatora jest poszukiwanie właściwej wartości podziału. Aby zoptymalizować proces maksymalizacji dyskryminatora, autorzy [72] proponują zastosowanie metody przeszukiwania siatki binarnej, która dla 𝑁-elementowego zbioru próbek pozwala na odnalezienie poszukiwanej wartości w 𝑁 krokach.
4.2.3. Separacja w oparciu o filtr erozyjny
Skuteczne przeprowadzenie estymacji mocy z wykorzystaniem algorytmów ML czy MVU wymaga zastosowania techniki wydzielenia próbek szumu z odbieranego sygnału. Ma-jąc na uwadze główną zaletę wymienionych algorytmów, tj. prosta implementacja, ważne jest aby technika separacji również pozostała prosta. Aby sprostać powyższemu oczekiwaniu au-tor w [74] proponuje modyfikację rozwiązania pierwotnie przeznaczonego do redukcji szu-mów impulsowych i wyznaczania podstawy szuszu-mów tła w analizie widmowej [75]. W
zapro-43 ponowanym rozwiązaniu filtracja erozyjna
(rys. 4.2) została zaadaptowana do analizy spadku energii w procesie iteracyjnego fil-trowania. W konsekwencji metoda została dostosowana do rozdzielania próbek wid-mowych, umożliwiając wykonanie estyma-cji mocy na wydzielonej grupie próbek za-kwalifikowanych jako próbki szumu.
Działanie zaproponowanego algorytmu krok po kroku przedstawiono na rysunku 4.3. Proces wydzielania próbek szumu roz-poczyna się od iteracyjnego filtrowania ero-zyjnego 𝐹 (𝑘, 1) wykonywanego na wekto-rze próbek widma mocy 𝑃 (𝑛). Początkowa wartość 𝑘 = 2 jest zwiększana w każdej iteracji, aż osiągnie wielkość wektora wid-mowego 𝑁. Dla kolejnych wartości 𝑘, na podstawie uzyskanego w wyniku erozji wektora 𝑃 , (𝑛), wyznaczana jest aktualna energia 𝐸 , . Konsekwentny wzrost rozmia-ru filtrozmia-ru pozwala na znalezienie wielkości 𝑘 = 𝐾, dla której odnotowany spadek ener-gii w stosunku do wartości uzyskanej w poprzednim procesie filtracji jest naj-większy. Wyznaczony parametr 𝐾 wskazuje szerokość podpasma odbieranego sygnału o najwyższej mocy. Aby uwrażliwić algo-rytm również na możliwe szersze podpasma przenoszące niższe moce, uzyskany indeks 𝐾 jest dodatkowo iteracyjnie zwiększany do momentu, aż analizowany spadek energii 𝐷 , osiągnie wartość niższą niż przyjęta wartość progowa 𝛾 . Wynikowy rozmiar filtra 𝐾 określa najszersze pasmo sygnału
przenoszące znaczącą moc w analizowanym widmie.
SORTUJ ↑
Rys. 4.3. Algorytm separacji próbek oparty na iteracyjnej filtracji erozyjnej
44 W dalszym etapie procesu separacji, próbki widma 𝑃 (𝑛) są przetwarzane z użyciem średniej kroczącej (MAV, ang. moving average) o rozmiarze 𝐾. Długie narastające zbocza wygładzonego widma 𝑃 (𝑛) są wskaźnikami podpasm aktualnie zajętych przez sygnał. Iden-tyfikacja poszczególnych próbek opiera się na ocenie znaku różniczki uśrednionego widma 𝐵 (𝑛) = 𝑠𝑔𝑛{∆𝑃 (𝑛)}. Dodatnie obszary 𝑛 ∈ (𝑛 , 𝑛 ) funkcji 𝐵 (𝑛), które są szersze niż założona wartość progowa 𝛾 , wskazują podpasma sygnałowe. Próbki 𝑃 (𝑛) wskazywane przez indeksy 𝑛 spełniające powyższe warunki przypisane zostają do grupy sygnałowej. Na-tomiast próbki 𝑃 (𝑛) wskazywane przez pozostałe indeksy (𝑛 ) mogą być użyte do wyzna-czenia estymacji mocy szumu σ .
Rys. 4.4. Proces separacji próbek z zastosowaniem iteracyjnej filtracji erozyjnej
Rysunek 4.4 pokazuje działanie algorytmu rozdzielania próbek widma przykładowej ramki odebranego sygnału. Wykres A przedstawia widmo mocy, w którym zawarty jest szum z dwoma podpasmami sygnału informacyjnego. Wykres B przedstawia spadek energii w funkcji wzrostu rozmiaru 𝑘 filtra erozyjnego. Poszukiwany rozmiar 𝐾 został oznaczony na czerwono, natomiast założony próg 𝛾 równy 5% wskazuje niebieska linia. Wykres C przedstawia widmo mocy po zastosowaniu średniej kroczącej 𝑀𝐴𝑉(𝐾). Różniczkę uśrednio-nego widma mocy przedstawiono na wykresie D. Niebieskie linie oznaczają dodatnie obszary
K
𝜸𝟏
𝑛 − 𝑛 > 𝛾 𝑛 − 𝑛 > 𝛾
𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4
45 o szerokości większej od założonego progu 𝛾 równego 5% całkowitej szerokości analizowa-nego pasma. Wynik podziału indeksów próbek na grupę sygnałów i szumów pokazano na wykresie E. Na podstawie grupy próbek zakwalifikowanych jako szum można
45 o szerokości większej od założonego progu 𝛾 równego 5% całkowitej szerokości analizowa-nego pasma. Wynik podziału indeksów próbek na grupę sygnałów i szumów pokazano na wykresie E. Na podstawie grupy próbek zakwalifikowanych jako szum można