4.1. X r 1 K -algebry
Niech h będzie C-wartościowę funkcję zsdanę w jfx iP tekę , Ze Cl) ¡h(n,n) = O dla n > n l , (n e K M) ,
Ci i)
V A S M
I h ("-n ) | < < * • offcR + n e ^"«•N-(M)
Przez X oznaczmy zbiór wszystkich funkcji h spełniajęcych warunki
r (M)
(i) i (II). Łatwo zauważyć, że X jest przestrzenię li n i o w ę , a po wpro
wadzeniu normy
1 h | = sup m I h(n,n)| (4.1.1)
"«■W n f J f
staje się przestrzenię Banacha.
TWIERDZENIE 4.1.1
Operator przyczynowy h określony wyrażenie®A
[h(x)](n) « ^ h ( n , n ) x ( n ) (4.1.2) neiTM
(M) (1), (M)
odwzorowuje przestrzeń w £ wtedy i tylko wtedy, gdy h € K r . (M)
Dowód. Oeżeli h e X . t o istnieję takie liczby oę./ófeR* , że dla dowol-(M)
nego x e ¿6“* i dowolnego n i jf zachodzi nierówność
I [h(x)](n) I = I S h ! n , n ) x ( n ) U ^ | h ( n , n ) U o f (&.
n e K M
A (1) (M)
a więc h(x)e <£“° . Zatem warunek h e 3C jest wys tar czaj ęcy.
A ( M ) (1) Dowód konieczności trzeba rozpoczęć od wykazania, że jeżeli h: £ T ’— £ to szereg M h(n,n) jest absolutnie zbieżny przy dowolnym n t j f . Za
li (m)
łóżmy, że jest przeciwnie i wybierzmy sygnał x e £ °° taki, że
{
1 gdy h(n,!Y) > O -1 gdy h(n ,n) < OWówczas:
[h(x)] (n) = S | h ( n . n ) | , nej/1
A ( 1 )
skęd wynika, że h(x) j! ¿6°° , a więc szereg M h ( n , n ) musi być absolut
nie zbieżny przy dowolnym n. Aby wykazać, Se funkcja ^ ' M |h(*,n)| jest nejtf
ograniczona, skorzystamy z twierdzenia Banacha-Steinhausa (np. fil], par.
1°,9 ) :
Niech J u n {. będzie cięgiem funkcjonałów liniowych zadanych w przestrze
ni Banacha i niech ||un || oznacza normę funkcjonału un . Oeżeli lim |un fx)]
jest skończona dla dowolnego x^ to cięg |||u n ||j J e s t ograniczony.
Funkcjonał un zadany na ¿6”° określmy następujęco:
u (x) = "S h(n,n)x(n).
n ¿— i M
n e K
Wówczas jego normę oblicza się z wyrażenia:
|| u || = sup -J— 2---- = sup | u (x ) I “ ^ M | h (n , n) I . (4.1.3)
n llxl|( « r 1 * *
A ( M ) ( 1 ) (. , A
Oeżeli h: <£~— , to cięg j|u^(x)|j jest ograniczony od góry i z twierdzenia Banacha-Steinhausa oraz ze wzoru (4.1.3) wynika, że
V A ■
ofcR,+ n « x
Z twierdzenia 4.1.1 wynika
W n i o s e k ,
,
(m)
Każdemu elementowi h przestrzeni CK p odpowiada wzajemnie
jedno-a t y
znacznie element h przestrzeni Banacha O C _ przyczynowych operatorów liniowych odwzorowujęcych (ML w , z normę
lA(x)I (11
S^ M ) I»»(m'? llhV ' ( 4 *1 ’ 4 )
x e r r
56
r jest więc zbiorem wszystkich czasowo wielowymiarowych sygnałów ogra
niczonych i zbieżnych przy n.— -=*■ ,... ,n — -«*■. Będziemy stosować zapis
. V (M)
? = lim(x(il), lub x(n)-~j . Nietrudno przekonać się, że T jest pod-
° n — ~ (m )
przestrzeni? przestrzeni £ ° ° z niezmieniona norma.
(M) (M)
strzenię przestrzeni Banacha X r -TWIERDZENIE 4.1.2
Operator przyczynowy h określony wyrażeniem (4.1.2).odwzorowuje prze-
(M) (1) (M)
( M )
W szczególnym przypadku, gdy M=1.twierdzenie 4.1.2 przechodzi w twier
dzenie Kojimy-Schura ( [li] par. 4.1).
(M )
Niech r o będzie zbiorem wszystkich czasowo M-wymiarowych sygnałów o- graniczonych i zbieżnych do zera, tJ. t
58
Operator przyczynowy h, określony wyrażeniem (4.1.2), odwzorowuje
( M ) ( i ) ( M )
przestrzeń w r Q wtedy i tylko wtedy, gdy h e X Q . Z twierdzenia 4.1.2 wynika następujące
TWIERDZENIE 4.1.3
Każdemu elementowi h przestrzeni CK odpowiada wzajemnie jednoznacz nie element -h przestrzeni Banacha A 5Ć przyczynowych dperatorów linio-
(M) (l)
wych odwzorowujęcych T w r z normę określonę wzorem (4.1.4). Każdemu (M)
elementowi b przestrzeni CK odpowiada wzajemnie jednoznacznie element h przestrzeni Banacha 3C operatorów przyczynowych liniowych odwzorowu-
(M) ( l )
0
tworzę, każda z osobna, algebry Banacha (dowolna przestrzeń operatorów liniowych ograniczonych z mnożeniem określonym jako złożenie operatorów two
rzy algebrę Banacha). Niech fij,fi2 e cfcp , wówczas
■ V v jest algebrę Banacha. Analogicznie wykazuje się, że algebrami Banacha są 3C i 3C , przy czym 3C c K c 3C ■
(1)-c —
O ’ o
znajduje zastosowanie w teorii Algebra _.r
gdzie h jest operatorem układu elementarnego ment neutralny algebry X
Oak wiadomo, zagadnienie aS -stabilności układu ze sprzężeniem zwrotnym prowadzi do warunków koniecznych i dostatecznych na to, aby e - h e & ( K r ), gdzie h € X r jest jędrem operatora układu z otwartą pętlę. W przypadku algebry 3Cr jest to zagadnienie o wiele trudniejsze niż dla algebry
(paragraf 3.1). Można tu korzystać z warunków dostatecznych podanych przez twierdzenia 2.1, 2.2, 2.8. Podobne zagadnienia dotyczące stabilności cza
sowo zmiennych, czasowo ciągłych układów liniowych ze sprzężeniem zwrot
nym były badane przez WILLEMSA [59] , VIDYASAGARA [62] , ZAMESA i KALLMANA [6 5]. W pracy [52] opisano metodę przybliżonego wyznaczania jądra h za pomocą macierzy o skończonych rozmiarach, dla obwodu elektrycznego ze zmiennymi parametrami. operatora określonego wyrażeniem (4.1.2). Utwórzmy nowe
w z o r e m :
Jądro dane
h'(n,p) = h(n,n-p).
TWIERDZENIE 4.1.5
Operator h, określony wzorem (4.1.2), odwzorowuje przestrzeń P N w siebie wtedy i tylko wtedy, gdy:
(1)
r
'-•fi
Często zachodzi potrzeba wyznaczenia tylko ustalonej odpowiedzi okre
sowej na pobudzenie okresowe. Można tego dokonać za pomocą operatora H:
N-l
[h(x)J (n)
•Z
H(n,m)x(n), 0 < n , m < N - l . (4.1.11) m»0• W
Jak widać, Jadro operatora H Jest maclerzę skończonych rozmiarów. M a parametrach okresowo zmiennych. Pokazano tam, że problem ten sprowadza się do analizy aktywnego drabinkowego obwodu rezystancyjnego o wspólnym poczętku i końcu. Podany algorytm umożliwia zastosowanie maszyny cyfrowej.
W pracy [5o] porównano wyniki obliczeń i eksperymentów przeprowadzonych na rzeczywistym układzie elektronicznym.
4.2. Jednorodne operatory czasowo zmienne (M)
w pełni symetrycznych będziemy oznaczać symbolem X. .Analogicznie
wpro-(m) (m) y
■ f : Analogiczne twierdzenie Jest oczywiście słuszne dla przestrzeni 3C i ~KQ.
Z twierdzenia 4.2.1 wynika, że operator j e d n o r o d n y czasowo
-II h m ( x ) l ( l ) ^ l h mli(m) H | ( l ) '
£°° X,.
Identyfikacja układu nieliniowego czasowo zmiennego przy użyciu opera
tora jednorodnego stopnia m niczym istotnym się nie różni od identyfi
kacji układu czasowo niezmienniczego. Polega ona na wyznaczeniu funkcji h( (*),P1 PB ) dla wszystkich wartości drogę pomiaru odpo
wiedzi układu na cięg |A^(i)j pobudzeń, określony w paragrafie 3.4.Funk
cję tę określa się ze wzoru (3.4.12) przy niezmienionych oznaczeniach
^ " •P 5 = ST 2 (_ l)r S p [ A(V ] (,i)- (4-2*4)
r=0 a 6 K m-r *
Rozpatrzmy jeszcze zagadnienia układów z okresowo zmiennymi parametra
mi. Nietrudno spostrzec, że operator ( • )® odwzorowuje w Niech h będzie jędrem operatora określonego wyrażeniem (4.1.2). Utwórzmy nowe jędro h' dane wzorem:
h'(n o) = h(n ,nl-p). (4.2.5)
Uogólnieniem twierdzenia 4.1.5 jest następujące
TWIERDZENIE 4.2.2
(«) Operator h, określony wzorem (4.1.2), odwzorowuje przestrzeń p Nt @
(m) (l)
1
ro " PN ® r o wtedy i tylko wtedy, gdy:
(■) (I) h e 0Co ;
(li) h'(n+N.p) = h'(n ,p) dla dowolnego n ejf i dowolnego ustalonego pej^1.
Dowód przeprowadzamy analogicznie jak dla twierdzenia 4.1.5.
M a m y :
j^h(x)Jin) = h(n,p)x(p) = h(n,ni -p )x (p ),
p e jfB peJT°
skęd
[h(x)j (n+N) - [h(x)] (n) = hr( n + N ,(n+N)lp)x(p) -p c . K ®
.«*
dzenia 4.2.2, to operator jednorodny określony wzorem (4.2.3) odwzorowuje ( 1 )
® r 0 w siebie. Oznacza to, że ustalona odpowiedź układu na pobudze
nie okresowe jest też okresowa. Przestrzeń wszystkich n spełniających wa-( m )
runki twierdzenia 4.2.2 oznaczmy przez J^,.
Przystąpimy teraz do określenia operatora jednorodnego odwzorowującego PN w siebie. Uogólnieniem operatora określonego w z o r e m (4.1.11) jest
4.3. Analityczne operatory czasowo zmienne
Operatorem wielomianowym, czasowo zmiennym stopnia m nazywa się ope
rator S określony następujęco:
sm (x ) ° ' hfe(x), (4.3.1)
k=l
gdzie h, A jest operatorem jednorodnym stopnia k, określonym wzorem
U 2 3) (l2o (l)
' * * Operator wielomianowy jest odwzorowaniem £ lub r r
(1) f1) (1) (1)
lub r Q — rj, lub pN © r 0 —
p n© ^r0 wt®^ 1 "tedfi;) gdy hk dla
k = l " należę odpowiednio do X r s y B . 3Csy„ . X Q s y B , 3Cp.
Normę elementu S B (x) można oszacować za pomocę nierówności:
! S m( x ) l ( l ) ^ ¿ S h k l ( k ) I * l ( l ) • ( 4 - 3 - 2 ) df““ k=l 3Cr
Podobnie jak w paragrafie 3.5 wprowadzamy pojęcie operatora analityczne-
(l) (l) ' f-)
C)0 S: — £ ° " . Oeżeli dla każdego x e Z, gdzie Z jest zbiorem , ^istnie^e granica S(x) cięgu j S g / x )j w sensie normy, to operator S: — £ ° ° nazwiemy operatorem analitycznym. Z wyrażenia (4.3.2) wy
nika, że jeżeli zwykły potęgowy szereg
2 !lh k l ( k ) H I ( i ) k=l 3Cr rf“”
jest zbieżny, to szereg funkcjonalny
S ( x ) = ^k^x ^ k=l
także jest zbieżny. Analogicznie określa się operatory snalityczne
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
S:
r
—r
. S:r 0
—r D.
s=pN © r0—
p n®r0-6 ^Z jest więc obszarem zbieżności cięgu
Is 66 Is