Opracowano model matematyczny, algorytm obliczenia i program komputerowy do symulacji w przestrzeni dwuwymiarowej procesu tworzenia się mikrostruktury podczas krystalizacji żeliwa z grafitem sferoidalnym. Cechą charakterystyczną modelu jest to, że zarówno kształt poszczególnych ziaren każdej fazy, jak i ich ilość nie są założone z góry.
W modelu wykorzystuje się metodę różnic skończonych dla opisu procesów dyfu-zyjnych i cieplnych. Do modelowania tworzenia się kształtu dendrytów i kulek grafitu uży-to auuży-tomatu komórkowego z opracowanymi własnymi regułami przechwytywania komó-rek.
Zaproponowany algorytm opisu procesu zarodkowania (ALGP1) oparty jest na dys-trybuancie rozkładu statystycznego Weibulla. Jego zaletą, w porównaniu do znanego wcześniej algorytmu opisanego w pracy jako ALGP2 jest to, że wykorzystuje tylko jedną serię liczb losowych.
Opracowana maska, służąca do wyznaczania lokalnej konfiguracji fazy stałej obok komórki interfejsu, pozwala za pomocą jednej liczby na jednoznaczne określenie konfigu-racji lokalnej granicy międzyfazowej.
Przedstawione metody testowania sposobów wyliczania kierunku normalnego frontu oraz równań na przyrost udziału fazy stałej pozwalają na ilościową ocenę i na wybranie na jej podstawie metody modelowania zapewniającej najlepszą dokładność.
Do wyliczenia krzywizny zastosowano własną metodę, wykorzystującą geometrycz-ną definicję krzywizny. Oparta jest ona na iloczynie skalarnym i wektorowym dwóch wek-torów na płaszczyźnie.
Za pomocą stworzonego oprogramowania przeprowadzono symulacje tworzenia się mikrostruktury żeliwa sferoidalnego o składzie nadeutektycznym, eutektycznym i podeutektycznym. Dla żeliwa podeutektycznego przeprowadzono weryfikację doświad-czalną. Wykonano dwa wytopy z odlaniem wlewka typu Y i próby prętowej.
Zarejestrowane doświadczalne krzywe chłodzenia i wykresy zmian szybkości sty-gnięcia wykazują jakościową zgodność w wykresami uzyskanymi w eksperymentach wir-tualnych.
Mikrostrukturę uzyskaną w doświadczeniu wirtualnym skonfrontowano z mikro-strukturą rzeczywistych próbek. W obu przypadkach krystalizacja austenitu pierwotnego ma charakter dendrytyczny. Wielkość kulek grafitu uzyskana w modelowaniu jest zgodna z wielkością cząstek grafitu tuż po zakończeniu krystalizacji ostatnich porcji cieczy.
W symulacjach dla składu nadeutektycznego i eutektycznego pokazano, że austenit w tych stopach krystalizuje w postaci dendrytycznej, co jest zgodne z najnowszymi bada-niami dotyczącymi mechanizmu tworzenia się mikrostruktury tego tworzywa.
Model, w odróżnieniu od innego, pozwala na symulację tworzenia się cząstek grafitu o kształcie odróżniającym się od kulistego na skutek oddziaływania pól dyfuzji w przestrzeni pomiędzy blisko rosnącymi cząstkami tej fazy.
Dodatkowej weryfikacji modelu dokonano na podstawie jakościowej analizy krysta-lizacji układu CBr4-C2Cl6 krystalizującego z przemianą eutektyczną. Podczas krystalizacji faz w takiej substancji obserwuje się przyśpieszenie wzrostu fazy α w kierunku fazy β. Ziarna fazy β zostają otoczone przez warstwę fazy α i odizolowane od zanikającej cieczy. Taki sam efekt uzyskano w symulacji.
Literatura
[1] 44th Census of World Casting Production. Staff Report. Modern Casting, December 2010, pp. 23-27.
[2] 43th Census of World Casting Production. Staff Report. Modern Casting, December 2009, pp. 17-21.
[3] Fraś E., Górny M., Lopez HF.: Thin wall ductile and austempered iron castings as substitutes for aluminum alloy castings. International Foundry Research/Giessereiforschung, Vol. 61, 2009, No. 3, pp. 2-10.
[4] Fraś E., Górny M., Lopez HF.: Thin wall ductile and austempered iron castings. AFS Transactions, Vol. 116, 2008, pp. 601-610.
[5] Jackson K.A., Hunt J.D.: Lamellar and Rod Eutectic Growth. Transaction of the Metallurgical Society of AIME, Vol. 236, 1966, pp. 1129-1142.
[6] Tiller W.A.: in Recent Research on Cast Iron. Edited by Harish D. Merchant. New York, NY, 1968, pp. 129.
[7] Wetterfall S.E., Fredriksson H., Hillert M.: Solidification Process of Nodular Cast Iron. J. Iron Steel Inst., Vol. 210, 1972, No. 5, pp. 323-333.
[8] Dardati P.M., Celentano D.J., Godoy L.A., Chiarella A.A., Schulz B.J: Analysis of ductile cast iron: numerical simulation and experimental validation. International Journal of Cast Metals Research, Vol. 22, 2009, No 5, pp. 390-400.
[9] Lesoult G., Castro M., Lacaze J.: Solidification of spheroidal graphite cast iron – I. Physical Modelling. Acta Materialia, Vol. 46, 1998, No 3, pp. 983-995.
[10] Charbon Ch., Rappaz M.: Shape of grain boundaries during phase transformations. Acta Materialia, Vol. 44, 1996, No. 7, pp. 2663-2668.
[11] Chen Q.: Influence of C, Si on volume change of SG iron during solidification – computer modelling for hypereutectic and hypoeutectic compositions. Journal of Materials Science Letters, Vol. 16, 1997, pp. 1288-1290.
[12] Oldfield W.: A Quantitative Approach to Casting Solidification: Freezing of Cast Iron. ASM Trans Quart., Vol. 59, 1966, No. 4, pp. 945-961.
[13] Fredriksson H., Svensson L.: Computer Simulation of the Structure Formed During Solidification of Cast Iron. The Physical Metallurgy of Cast Iron. Edited by Fredriksson H., and Hillert M., Elsevier, New York, NY, 1985, pp. 273-284.
[14] Fredriksson H., Svensson L.: A Comparison Between the Growth Processes of Cast Iron by Thermal Analysis. Solidification Processing of Eutectic Alloys. Edited by Stefanescu D.M., Abbaschian G.J., and Bayuzick R.J. TMS, Cincinnati, Ohio, 1988, pp. 153-162.
[15] Su K.C., Ohnaka I., Yamauchi I., Fukusako T.: Computer Simulation of Solidification of Nodular Cast Iron. The Physical Metallurgy of Cast Iron, Stockholm, Sweden, 1985, pp. 181-189.
[16] Rappaz M., Richoz J.D., Thevoz P.: Modelling of Solidification of Nodular Cast Iron. Advenced Materials and Processes – Proceedings of the First European Conference, Aachen, EUROMAT `89, Vol. 1, 1989, pp. 135-140.
[17] Chen Q., Langer E.W., Hansen P.N.: Volume change during the solidification of SG iron: comparison between experimental results and simulation. Journal of Material Science, Vol. 32, 1997, pp. 1825-1833.
[18] Zhao H., Liu B.: Simulation of microstructure formation of spheroidal graphite iron casting. International Journal of Cast Metals Research, Vol. 16, 2003, pp. 281-286.
[19] Charborn Ch., Rappaz M.: 3D Stochastic Modelling of Nodular Cast Iron Solidification. Advanced Materials Research, Vols. 4-5, 1997, pp. 453-460.
[20] Charbon Ch., Rappaz M.: 3D probabilistic modeling of equiaxed eutectic solidification. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, Vol. 1, 1993, pp. 455-466.
[21] Zhao H.L., Zhu M.F., Stefanescu D.M.: Modeling of the Divorced Solidification of Spheroidal Graphite Cast Iron. Key Engineering Materials, Vol. 457, 2011, pp. 324-329.
[22] Gurgul D., Burbelko A.: Simulation of Austenite and Graphite in Ductile Iron by Means of Cellular Automata. Archives of Metallurgy and Materials, Vol. 55, No. 1, 2010, pp. 53-60.
[23] Burbelko A.A., Gurgul D., Fraś E., Guzik E.: Multiscale modeling of ductile iron solidification with continuous nucleation by a cellular automaton. 30th Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2010, August 15-18, 2010, Montreal, Quebec, Canada.
[24] Burbelko A., Fraś E., Gurgul D., Kapturkiewicz W., Sikora J.: Simulation of the Ductile Iron Solidification Using a Cellular Automaton. Key Materials Engineering, Vol. 457, 2011, pp. 330-336.
[25] Kułakowski K.: Automaty komórkowe. Kraków, OEN 2000.
[26] Chopard B., Droz M.: Cellular Automata Modeling of Physical Systems. Cambridge University Press. Cambridge 2005.
[27] Zhu M.F., Stefanescu D.M.: Virtual front tracking model for the quantitative modeling of dendritic growth in solidification of alloys. Acta Materialia, Vol. 55, 2007, pp. 1741–1755.
[28] Juric D., Tryggvason G.: A front-tracking for dendritic solidification. Journal of Computational Physics, Vol. 23, 1996, pp. 127-148.
[29] Danger J., Friedrich J., Müller G.: Numerical study on the prediction of microstructure parameters by multi-scale modeling of directional solidification of binary aluminum-silicon alloys. Computational Materials Science, Vol. 43, 2008, pp. 872-885.
[30] Zhao P., Vénere M., Heinrich J.C., Poirier D.R.: Modeling dendritic growth of a binary alloy. Journal of Computational Physics, Vol. 188, 2003, pp. 434-461. [31] Hoffman J.D.: Numerical methods for engineers and scientists. New York – Basel,
Marcel Decker 2001.
[32] Taler J., Duda P.: Rozwiązywanie prostych i odwrotnych zagadnień przewodzenia ciepła. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2003.
[33] Dantzig J.A., Rappaz M.: Solidification. EPFL Press, Lausanne, Switzerland, 2009. [34] Zhu M.F., Hong C.P.: A modified cellular automation model for the simulation of
dendritic growth in solidification of alloys. ISIJ International, Vol. 41, 2001, No. 5, pp. 436–445.
[35] Nastac L.: Numerical modeling of solidification morphologies and segregation patterns in cast dendritic alloys. Acta Mater., V. 47, 1999, 4253-4262.
[36] Beltran-Sanchez L., Stefanescu D.M.: Growth of solutal dendrites: a cellular automaton model and its quantitative capabilities. Metall. and Materials Trans. A, Vol. 34A, 2003, No. 2, pp. 367–382.
[37] Kapturkiewicz W.: Modelowanie krystalizacji odlewów żeliwnych. Kraków, Wydawnictwo Naukowe AKAPIT, 2003.
[38] Burbiełko A.A.: Optymalizacja obliczeń numerycznych w komputerowej symulacji krystalizacji odlewów. Praca doktorska. Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Kraków 1993.
[39] Marek M.: Modelowanie krzepnięcia dendrytycznego w obszarach o ustalonym odbiorze ciepła z wykorzystaniem automatów komórkowych. Praca doktorska. Politechnika Częstochowska. Częstochowa 2006.
[40] Burbelko A.: Mezomodelowanie krystalizacji metodą automatu komórkowego. Kraków, UWND AGH, 2004.
[41] Beltran-Sanchez L., Stefanescu D.M.: A quantitative dendrite growth model and analysis of stability concepts. Metall. and Materials Trans. A, Vol. 35A, 2004, pp. 2471-2485.
[42] Jacot A., Rappaz M.: A pseudo-front tracking technique for the modelling of solidifiction microstructures in multi-components alloys. Acta Materialia, Vol. 50, 2002, pp. 1909-1926.
[43] Kessler D., Krüger O., Rappaz J., Scheid J.F.: A phase-field model for isothermal solidification process of a binary alloy. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, Vol. 7, 2000, No. 3, pp. 279-288.
[44] Zhao H.L., Zhu M.F., Stefanescu D.M.: Modeling of the Divorced Eutectic Solidification of Spheroidal Graphite Cast Iron. Key Engineering Materials, Vol. 457, 2011, pp. 324-329.
[45] Burbelko A.A., Fraś E., Kapturkiewicz W., Gurgul D.: Modelling of Dendritic Growth During Unidirectional Solidification by the Method of Cellular Automata. Materials Science Forum, Vol. 649, 2010, pp. 217-222.
[46] Dithley U., Pavlik V.: Numerical simulation of dendrite morphology and grain growth with modified cellular automata. Modeling of Casting, Welding and Advanced Solidification Processes VIII. The Minerals, Metals & Materials Soc. 1998, pp. 589–596.
[47] Burbelko A.A., Gurgul D.: Testing of the growth rate governing equations for cellular automata solidification modeling. Simulation Designing and Control of Foundry Processes. AGH, Kraków, 2006, 21-32.
[48] Burbelko A.A., Kapturkiewicz W., Gurgul D.: Problem of the artificial anisotropy in solidification modeling by cellular automata method. Computer Methods in Materials Science – Informatyka w Technologii Materiałów. Vol. 7, 2007, No. 1, 182-188.
[49] Sasikumar R., Sreenivasan R.: Two dimensional simulation of dendrite morphology. Acta Metall. Mater, Vol. 42, 1994, 2381-2386.
[50] Umancev R.A., Vinogradov V.V., Borisov V.T.: Matematićeskoje modelirovanieje rosta dendritov v pereohlazhdennom rasplave. Kristallografija, Vol. 30, 1985, 455-460 (in Russian).
[51] Beltran-Sanchez L., Stefanescu D.M.: Growth of solutal dendrites – A cellular automaton model. Int. J. Cast Metals Res., Vol. 15, 2002, pp. 251-256.
[52] Bronsztejn I.N., Siemiendiajew K.A.: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Warszawa, PWN 1995.
[53] Burbelko A.A., Kapturkiewicz W., Gurgul D.: Computation of interface curvature in modelling of solidification by the method of cellular automaton. Archives of Foundry Engineering, Vol. 7, 2007, No. 1, pp. 41-46.
[54] Kubaschewski O.: Iron – binary phase diagrams. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1982
[56] Hoyt J.J., Asta M.: Atomistic computation of liquid diffusivity, solid-liquid interfacial free energy, and kinetic coefficient in Au and Ag. Phys. Rev. B, Vol. 65, 2002, No. 21, art. 214106, 1-11.
[57] Al-Rawahi N., Tyrggevason G.: Numerical simulation of dendritic solidification with convenction: two-dimensional geometry. Journ. of Comp. Physics, Vol. 180, 2002, No 2, 471-496.
[58] Rappaz M.: Modeling of micorstucture formation in solidification processes. Int. Mater. Reviews. Vol. 34, 1989, No. 3, pp. 93-123.
[59] Fraś E., Wiencek K., Górny M., Lopez H.: Nucleation and grains density - a theoretical model and experimental verification. Archives of Metallurgy. Vol. 46, 2001, No 3, p. 317-333.
[60] Fraś E., Wiencek K., Burbelko A.A., Górny M.: The application of some probability density function of heterogeneous nucleation. Materials Science Forum, Vol. 508, 2006, pp. 425-430.
[61] Gandin Ch.A., Rappaz M.: A coupled finite element-cellular automaton model for the prediction of dendritic grain structures in solidification processes. Acta metall. mater., Vol. 42, 1994, No. 7, pp. 2233-2246.
[62] Iwasiewicz A., Paszek Z.: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania procesów. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004.
[63] Fraś E., Górny M., López F.: Eutectic Cell and Nodule Count in Cast Iron. Part I. Theoretical Background. ISIJ International, Vol. 47, 2007, No. 2, pp. 259-268. [64] Fraś E., Górny M., López F.: Eutectic Cell and Nodule Count in Cast Iron. Part II.
Experimental Verification. ISIJ International, Vol. 47, 2007, No. 2, pp. 269-276. [65] Klonecki W.: Statystyka dla inżynierów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
1999.
[66] Burzyński M., Cudny W., Witold K.: Cellular Automata: Scrustures and Some Applications. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, Vol. 42, No. 3, pp. 461-482.
[67] Boduch A.: Kompedium programisty. Delphi 2005. Wydawnictwo HELION, Gliwice 2005.
[68] Baron B., Pasierbek A., Maciążek M.: Algorytmy numeryczne w Delphi. Wydawnictwo HELION, Gliwice 2006.
[69] Rivera G., Boeri R., Sikora J.: Revealing and characterizing solidification structure of ductile cast iron. Materials Science and Technology, Vol. 18, 2002, pp. 691-697. [70] Rivera G., Calvillo P.R., Boeri R., Houbaert Y., Sikora J.: Examination of the
solidification macrostructure of spheroidal and flake graphite cast irons using DAAS and ESBD. Materials Characterization, Vol. 59, 2008, pp. 1342-1348.
[71] Podrzucki C.: Żeliwo. Struktura, właściwości, zastosowanie. Tom I. Wydawnictwo ZG Stop, Kraków 1991.
[72] Kusakawa T.: Behavior of Oxygen and Nucleation of Graphite in Production of Spheroidal Graphite Cast Iron. Advanced Materials Research, Vols. 4-5, 1997, pp. 61-72.
[73] Dryja M., Jankowska J., Jankowski M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Część 2. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1982. [74] Liu G.R., Trung N., T.: Smoothed Finite Element Methods. CRC Press, New York
2010.
[75] Chapra S., Canale R.: Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill International Edition, 2006.
[76] Tabele wielkości fizycznych. Ed. Kikoin I.K., Moskwa, Avtomizdat, 1976.
[77] Magnin P., Mason J.T., Trivedi R.: Growth of Irregular Eutectic and the Al-Si System. Acta Metallurgia et Materialia, Vol. 39, No. 4, 1991, pp. 469-480.
[78] Fraś E.: Krystalizacja metali i stopów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992.
[79] Fraś E., Kapturkiewicz W., Burbielko A.: Computer Modeling of Primary Structure Formation in Ductile Iron. Advanced Materials Research, Vols. 4 - 5, 1997, pp. 499-504.
[80] Liu L., Elliott R.: The influence of cast structure on the austempering of ductile iron. I. Modelling of the influence of nodule count on microsegregation. International Journal of Cast Metals Research, Vol. 10, No. 6, 1998, pp. 301-305. [81] Rivera G., Boeri R., Sikora J.: Revealing the solidification structure of nodular
iron. Cast Metals, Vol. 8, No. 1, 1995, pp. 1-5.
[82] Megry J., Faivre G., Guthmann C., Mellet R.: Quantitive determination of physical parameters relevant to the thin-film directional solidification of the CBr4-C2Cl6 eutectic alloy. Journal of Crystal Growth, Vol. 134, 1993, pp. 353-368.
[83] Üstüm E., Çadɪrh E., Kaya H.: Dendritic solidification and characterization of a succinonitrile-acetone ally. Journal of Physics Condensed Matter, Vol. 18, 2006, pp. 7825-7839.
[84] Palmer M., Rajan K., Glicksman M., Fradkov V., Nordberg J.: Two-Dimensional Grain Growth in Rapidly Solidified Succinonitrile Films. Metallurgical and Materials Transactions A, Vol. 26A, 1995, pp. 1061-1066.
[85] Melendez Ramirez A.J.: Experimental investigation of free dendritic growth of succinonitrile-acetone alloys. Theses and Dissertations. University of Iowa. Iowa 2009.