7. Podsumowanie i wnioski
W pracy przedstawiono zmodyfikowany funkcjonał Hu–Washizu, pozwalający na wyprowadzenie równań MES stosowanych do zagadnień teorii plastyczności. Jest to pierwszy tego typu funkcjonał i stanowi oryginalny wkład naukowy w dziedzinie metody elementów skończonych. Pokazano metodę wyprowadzania równań MES dla zadanego elementu skończonego i warunku plastyczności, jak również algorytm, pozwalający na praktyczne zastosowanie funkcjonału. Przedstawiono rozwiązania szeregu przykładów (w tym weryfikacyjnych) z zastosowaniem różnych elementów skończonych (tarczowych, płytowych, belkowych) oraz różnych warunków plastyczności (kryterium HMH w przypadkach idealnej plastyczności, wzmocnienia kinematycznego i wzmocnienia izotropowego). Przykłady te świadczą o poprawności podejścia i efektywności algorytmu. Ponadto dokonano optymalizacji algorytmu poprzez zmniejszenie rozmiaru równania MES, co zostało ilustrowane stosowną analizą porównawczą.
Warto przypomnieć główne zalety zastosowanego podejścia. Niewątpliwie najważniejszą z nich jest uniwersalność funkcjonału, ponieważ może on służyć wyprowadzeniu równań teorii plastyczności dla dowolnego elementu skończonego oraz dowolnego warunku plastyczności przy spełnieniu omówionych w pracy ograniczeń. Przedstawione podejście jest czytelne i stosunkowo proste, ponieważ nie wymaga dodatkowych zabiegów algorytmicznych w celu spełnienia wszystkich równań teorii plastyczności – równanie MES bezpośrednio wynika z założonego elementu skończonego i warunku plastyczności. Ponadto opracowany na bazie funkcjonału algorytm MES jest zbieżny i stabilny niezależnie od liczby kroków przyrostowych. Dzięki temu, że równanie MES zawiera wszystkie równania teorii plastyczności, return-mapping nie generuje błędu rozwiązania, co czynią dotychczas stosowane inne algorytmy – błąd musi być w nich niwelowany poprzez dodatkowe operacje wydłużające czas obliczeń.
Niniejsza rozprawa nie stanowi jednak hermetycznego rozwiązania, które nie mogłoby zostać ulepszone lub rozszerzone. W pierwszej kolejności warto byłoby pomyśleć nad modyfikacją funkcjonału, pozwalającą na uwzględnienie dużych przemieszczeń, jak również niestowarzyszonego prawa plastycznego płynięcia. Poza kwestiami teoretycznymi, ciekawym doświadczeniem mogłoby być oprogramowanie algorytmu MES w języku niższego poziomu niż Mathematica (np. C++, Delphi, Java) i porównanie czasu obliczeń z czasami uzyskiwanymi w komercyjnym oprogramowaniu.
- 72 -
Literatura
1 Belytschko T., Liu W. K., Moran B., Elkhodary K., Nonlinear finite elements for continua and
structures 2nd ed., John Wiley & Sons, Chichester 2014.
2 Borst R., Crisfield M. A., Remmers J. J. C., Verhoosel C. V., Non-linear finite element analysis
of solids and structures 2nd ed., John Wiley & Sons, Chichester 2012.
3 Bhatti M. A., Advanced topics in finite element analysis of structures : with Mathematica and
MATLAB computations, John Wiley & Sons, Hoboken 2006.
4 Brunarski L., Kwieciński M., Wstęp do teorii sprężystości i plastyczności wyd. piąte, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1976.
5 Brzoska Z., Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa 1983.
6 Cao Y. P., Hu N., Fukunaga H., Lu J., Yao Z. H., Finite Elements in Analysis and Design, 2003, 39, pp. 1155-1171, A highly accurate brick element based on a three-field variational principle
for elasto-plastic analysis.
7 Cao Y. P., Hu N., Lu J., Fukunaga H., Yao Z. H., International Journal for Numerical Methods
in Engineering, 2002, 53, pp. 2529-2548, A 3D brick element based on Hu–Washizu variational principle for mesh distortion.
8 Cook R., Journal of the Structural Division ASCE, 1974, 100, pp. 1851-1861, Improved
two-dimensional finite element.
9 Garstecki A., Dębiński J., Wytrzymałość materiałów , witryna edukacyjna Almamater www.ikb.poznan.pl/almamater/, 2004/2005.
10 Gelfand I. M., Fomin S. V., Calculus of Variations, Prentice Hall, Englewood Cliffs 1963. 11 German J., Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych, Politechnika Krakowska, Kraków
2001.
12 Hill R. A., Proceedings of The Royal Society, 1948, 193, pp. 281-297, A Theory of the Yielding
and Plastic Flow of Anisotropic Metals.
13 Jastrzębski P., Mutermilch J., Orłowski W., Wytrzymałość materiałów cz. 2 wyd. 2 zmienione i
poprawione¸ Arkady, Warszawa 1986.
14 Kączkowski Z., Płyty : Obliczenia statyczne wyd. III zmienione, Arkady, Warszawa 2000. 15 Kojić M., Bathe K. J., Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer, Berlin 2010.
16 Konderla P., Konspekt wykładu : Metoda elementów skończonych : Teoria i zastosowania, 2007. 17 Lewandowski J., Myślecki K., Modified Hu-Washizu principle as a general basis for FEM
plasticity equations, w: Advances in Mechanics: Theoretical, Computational and Interdisciplinary Issuses, CRC Press/Balkema, London 2016, pp. 345-348.
18 Mase G. E., Schaum's outline of theory and problems of continuum mechanics, McGraw-Hill, New York 1970.
- 73 -
20 Myślecki K., Lewandowski J., Kompozyty : konstrukcje warstwowe : VII sympozjon, [Wrocław -
Pawłowice, 15-18 października 2014] : referaty, 2014, pp. 49-50, Plastyczna analiza MES panelu trójwarstwowego z zastosowaniem funkcjonału Hu-Washizu.
21 Owen D. R. J., Hinton E., Finite elements in plasticity : theory and practice, Pineridge Press, Swansea 1980.
22 Reddy J. N., Energy principles and variational methods in applied mechanics 2nd ed., John Wiley & Sons, Hoboken 2002.
23 Reddy J.N., Theory and analysis of elastic plates and shells 2nd edition, CRC Press, New York 2006.
24 Rymarz C., Mechanika ośrodków ciągłych, PWN, Warszawa 1993.
25 Sawczuk A., Wprowadzenie do mechaniki konstrukcji plastycznych, PWN, Warszawa 1982. 26 Skrzypek J., Plastyczność i pełzanie : teoria, zastosowania, zadania, PWN, Warszawa 1986. 27 Simo J. C., Hughes T. J. R., Computational Inelasticity, Springer, New York 1998.
28 Tonti E., International Journal of Engineering Science, 1984, 11/12, pp. 1343-1371, Variational
formulation for every nonlinear problem.
29 Washizu K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity 2nd ed., Pergamon Press, Oxford 1975.
30 Weissman S. L., International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1996, 39, pp. 2337-2361, High-accuracy low-order three-dimensional brick elements.
31 Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method Vol. 1: The Basis 5th ed., Butterworth-Heinemann, Oxford 2000.
32 Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method Vol. 2: Solid Mechanics 5th ed., Butterworth-Heinemann, Oxford 2000.
- 74 -
Streszczenie
W pracy przedstawiono autorski zmodyfikowany funkcjonał Hu–Washizu, będący uniwersalną bazą służącą do wyprowadzania równania MES dotyczącego zagadnienia teorii plastyczności. Jest to pierwszy funkcjonał, który umożliwia sformułowanie równania MES zawierającego wszystkie równania teorii plastyczności. Pozwala to na czytelne i prostsze, w stosunku do dotychczas istniejących rozwiązań, konstruowanie algorytmu MES. Przedstawiona została procedura wyprowadzenia równań MES dla dowolnych elementów skończonych i warunków plastyczności. W celu egzemplifikacji, funkcjonał zastosowano do wyprowadzenia rozmaitych równań MES, obejmujących tarczowe, płytowe, objętościowe i belkowe elementy skończone, jak również różne warunki plastyczności (przypadki: idealnej plastyczności, wzmocnienia kinematycznego oraz izotropowego). Przedstawiono także własny algorytm MES, pozwalający na efektywne przeprowadzanie analiz numerycznych. Algorytm okazał się zbieżny i stabilny niezależnie od liczby iteracji przyrostowych. Nie wykazuje on błędu wynikającego z return-mappingu w przeciwieństwie do wszystkich dotychczas stosowanych algorytmów MES stosowanych do rozwiązywania zagadnień teorii plastyczności, co jest skutkiem wykorzystania omawianego w pracy funkcjonału. Liczne przykłady numeryczne potwierdziły poprawność i skuteczność podejścia.
- 75 -
Summary
This thesis presents a modified Hu–Washizu variational principle which is a general basis for FEM plasticity equation. This is the first functional which offers to derive FEM equation containing all plasticity theory equations. It allows to build FEM algorithms in a clear and simpler way in comparison to other existing solutions. The procedure for deriving FEM equations for any finite element and any yield criterion is described. For exemplification, the functional was applied to derive various FEM equations including different finite elements (plane-stress, plate, tetrahedral, beam) and different yield criteria (ideal plasticity, kinematic and isotropic hardening). An original FEM algorithm was described. It showed stability and convergence irrespectively of incremental iterations number. It produces no return-mapping error which is unusual among FEM algorithms for plasticity and this is the result of the application of the described functional. Many numerical tests confirmed that the proposed approach is valid and effective.