Postulaty metod numerycznych

Dyskredytacja zmiennych przestrzennych i czasu, wnosi pewne niedokładności do

modelu matematycznego rozpatrywanego procesu. Powoduje pewne implikacje dotyczące właściwości rozwiązań.

Najważniejszym wymaganiem stawianym metodzie numerycznej jest efektywność. Należy przez to rozumieć możliwość jej praktycznej realizacji, np. za pomocą maszyny cyfrowej. Ważne są tu dwie wielkości charakteryzujące komputer: pamięć operacyjna i czas wykonywania operacji matematycznych. Co prawda dzięki rozwojowi techniki komputerowej problem ten nie jest już tak istotny, jak w latach ubiegłych, ale zwłaszcza przy rozwiązywaniu wielowymiarowych zadań konwekcyjnej wymiany ciepła możliwości maszyny cyfrowej mogą stanowić poważne ograniczenie. Efektywność metody numerycznej maleje ze zwiększeniem złożoności metody, ale z drugiej strony większa złożoność na ogół prowadzi do większej dokładności. Istnieje tu zatem potrzeba pewnego kompromisu. W problemach wielowymiarowych należy przede wszystkim wykorzystywać możliwość częściowej dyskretyzacji problemu.

Trudno byłoby wskazać, która z metod numerycznych jest najbardziej efektywna. Najczęściej zależy to od konkretnego przypadku. Metody bilansów elementarnych lub elementów skończonych prowadzą zwykle do układów równań ze znacznie większą liczbą niewiadomych niż np. metoda elementów brzegowych. Z drugiej strony macierz układu równań dla metody bilansów elementarnych lub elementów skończonych jest macierzą pasmową i to często symetryczną, co pozwala istotnie zmniejszyć liczbę operacji matematycznych niezbędnych do rozwiązania układu równań. Metoda elementów brzegowych prowadzi natomiast do pełnych, niesymetrycznych macierzy, co wymaga znacznie większej liczby operacji.

Kolejnym wymaganiem stawianym metodzie numerycznej jest zgodność aproksymacji różnicowej. Jest to wymaganie najbardziej podstawowe. Chodzi o to, by operator różnicowy, opisujący rozpatrywane zagadnienie dyskretne w granicy małych kroków w przestrzeni i czasie, był zgodny z operatorem różniczkowym opisującym odpowiadające dyskretnemu zagadnienie ciągłe. Problem ten jest ważny w metodach, które nie wykorzystują równań opisujących problem ciągły, np. w metodzie bilansów elementarnych, która jest oparta w pewnym stopniu na intuicji autora rozwiązania i na jego umiejętności sporządzania bilansów wybranych wielkości fizycznych i może prowadzić do niezgodnych schematów różnicowych (np. w przypadku pominięcia istotnych pozycji bilansu).

Niebezpieczeństwo takie nie istnieje w metodach, w których dyskretyzuje się równania opisujące problem ciągły, np. elementów skończonych lub elementów brzegowych. Należy tu jednak wyraźnie odróżnić zgodność metody numerycznej od zgodności modelu matematycznego z modelem fizycznym.

Od pojęcia zgodności aproksymacji różnicowej należy także odróżnić pojęcie dokładności aproksymacji różnicowej. Stosowanie dyskretnych kroków czasu i przestrzeni wnosi do rozwiązania pewne niedokładności, co sprawia, że rozwiązanie odbiega od dokładnego.

Istnieje kilka przyczyn niedokładności rozwiązania numerycznego. Pierwszą jest

dyskretyzacja równań różniczkowych, całkowych itp., która prowadzi do tzw. błędu metody.

Oszacowanie tego błędu jest bardzo trudne, ale w niektórych przypadkach możliwe. Jeżeli metoda spełnia postulat zgodności, a wielkość błędu maleje ze zmniejszaniem kroku przestrzennego lub czasowego. Dlatego rząd tego błędu często szacuje się w ten sposób, że wykonuje się obliczenia przy różnych długościach kroku i porównuje wyniki. Jednakże zmniejszenie kroku siatki prowadzi zwykle do większej liczby niewiadomych, zatem prowadzi do zmniejszenia efektywności metody.

Kolejną przyczyną niedokładności metody jest niedokładność operacji arytmetycznych, wykonywanych przez komputer (błędy zaokrągleń). W rozwiązaniach numerycznych mogą pojawić się błędy z innych jeszcze przyczyn. W metodach statystycznych pojawia się np. błąd

modelowania probabilistycznego. Zbyt małą dokładność aproksymacji różnicowej nazywa

się brakiem zbieżności metody.

Błąd metody numerycznej może narastać w kolejnych krokach obliczeń także z przyczyn związanych z samą strukturą schematu różnicowego. Taka właściwość schematu różnicowego nazywa się niestabilnością metody. Problem może wystąpić w przypadku dyskretyzacji równań typu parabolicznego. Cechę stabilności można określić następująco: metoda numeryczna jest stabilna, jeżeli niewielkie zaburzenia (np. stanu początkowego) lub wystąpienie błędu numerycznego na dowolnym etapie obliczeń przenosi się dalej (tzn. ze wzrostem liczby wykonywanych operacji matematycznych) z malejącą amplitudą.

Każda metoda numeryczna powinna być przynajmniej warunkowo stabilna, tzn. stabilna dla pewnego zakresu parametrów takich jak np. krok czasu lub siatki przestrzennej. Zwykle też ze stabilności metody wynika jej zbieżność. Postulat stabilności nie jest jednak wystarczającym warunkiem przydatności metody.

Osobnym problemem jest rozwiązywanie zagadnień, które ze swej natury dają niestabilne rezultaty. Do tej grupy zagadnień należą zadania odwrotne. Zwykle wymaga się,

aby rozpatrywany problem był dobrze uwarunkowany, co oznacza, że jego rozwiązanie powinno spełniać trzy postulaty: istnienia, jednoznaczności i stabilności. Rozwiązanie problemów odwrotnych na ogół nie spełnia postulatu stabilności.

Przez wiele lat problemy takie nazywano źle sformatowanymi fizycznie i ich rozwiązywaniem nie zajmowano się. Istotnie, trudno byłoby nadać interpretację fizyczną takim niestabilnym wynikom. Dopiero rozwój metod umożliwiających rozwiązywanie zadań źle uwarunkowanych spowodował, że obecnie należą one do klasycznych problemów fizyki matematycznej. W przypadku zadań odwrotnych nie wystarcza zatem przedstawienie rozwiązania w postaci np. układu równań algebraicznych. Należy koniecznie przedstawić dodatkowo algorytm umożliwiający uzyskiwanie stabilnych wyników liczbowych, przynajmniej dla pewnego zakresu danych. W przeciwnym razie niewielkie niedokładności danych mogą spowodować duże niedokładności wyników, czyniąc je zupełnie bezwartościowymi.

Wspomniano już, że spełnienie postulatu stabilności nie jest wystarczającym warunkiem praktycznej przydatności metody numerycznej. Stabilność rozwiązania, np. problemu nieustalonego, oznacza, że oscylacje rozwiązania znikają z upływem czasu. Tymczasem w zagadnieniach przepływu ciepła przedmiotem zainteresowania jest zazwyczaj rozwiązanie w dowolnym momencie czasu, a takie oscylujące rozwiązanie może być pozbawione sensu fizycznego. Wynika stąd kolejny postulat tzw. fizycznej poprawności schematu różnicowego, który można sformułować następująco: równanie różnicowe powinno mieć taką strukturę, aby podwyższenie każdej ze znanych temperatur w sąsiedztwie rozpatrywanego punktu prowadziło do podwyższenia wartości temperatury w tym punkcie w następnym kroku czasu. W wielu przypadkach kontrola fizycznej poprawności schematu jest dość prosta, zwłaszcza wtedy, gdy każde równanie różnicowe zawiera tylko jedną niewiadomą. Kontrola fizycznej poprawności polega na kontroli znaków współczynników występujących w rozpatrywanym równaniu różnicowym po sprowadzeniu go do postaci zawierającej tylko jedną niewiadomą. Postulat fizycznej poprawności jest w wielu przypadkach zgodny z warunkami określającymi stabilność. Bywają jednak przypadki, kiedy warunki określające stabilność są łagodniejsze od warunków określających fizyczną poprawność.

Dowolna metoda numeryczna staje się zatem przydatna praktycznie, jeżeli spełnia wszystkie wymienione w niniejszym rozdziale postulaty.

5. Przegląd metod oceny stanu wytężenia powłok