Gªówn¡ cech¡ ksztaªtu obracaj¡cych si¦ planet jest spªaszczenie równikowe wy-woªane siª¡ od±rodkow¡. Postawmy wi¦c pytanie, jak wygl¡da potencjaª takiej niesferycznej planety ? Dla uproszczenia przyjmiemy zaªo»enie, »e planeta po-siada o± symetrii prostopadª¡ do pªaszczyzny równika, oraz »e ±rodek ukªadu wspóªrz¦dnych pokrywa si¦ ze ±rodkiem masy jednorodnej planety.
Poniewa» symetria osiowa wyklucza zale»no±¢ od λ, równanie Laplace'a we wspóªrz¦dnych biegunowych przybiera (po pomno»eniu przez r2) posta¢
∂
Przypomnijmy, »e jego rozwi¡zanie musi mie¢ warto±ci sko«czone i d¡»¡ce do zera gdy r → ∞. Jest to równanie ró»niczkowe liniowe o pochodnych cz¡st-kowych. Jego lewa strona jest sum¡ dwóch wyrazów, z których ka»dy zawiera pochodne wzgl¦dem jednej tylko zmiennej. Pierwsza wªasno±¢ (liniowo±¢) ozna-cza, »e peªne rozwi¡zanie tego równania b¦dzie liniow¡ kombinacj¡ wszystkich
liniowo niezale»nych wyrazów speªniaj¡cych to równanie. Z drugiej za± wªa-sno±ci wynika, »e ka»dy z tych wyrazów mo»na przedstawi¢ jako iloczyn trzech funkcji zale»nych wyª¡cznie od r, od λ i od ϕ. Mo»emy wi¦c posªu»y¢ si¦ metoda separacji zmiennych i przyj¡¢, »e V∗ skªada si¦ z wyrazów o postaci
V0 = R(r) F (ϕ). (7.47)
Podstawiaj¡c V0 zamiast V∗ w równaniu Laplace'a (7.46), otrzymamy
F d
Zuwa»my, »e symbol pochodnej cz¡stkowej mo»na ju» zast¡pi¢ zwykªym sym-bolem pochodnej, gdy» funkcje R i F s¡ funkcjami jednej zmiennej. Je±li teraz pomno»ymy obie strony przez 1/(RF ), to otrzymamy
1 jako sum¦ dwóch wyrazów zktórych ka»dy zale»y tylko od jednej ze zmiennych.
Mo»emy wi¦c rozbi¢ (7.49) na dwa osobne równania: jedno dotycz¡ce zmien-nej r i jedno dla ϕ. Wprowadza si¦ przy tym staª¡ separacji, któr¡ oznaczymy β
Jest to kluczowy etap metody separacji zmiennych: β musi by¢ staª¡ niezale»n¡
od zmiennych; gdyby byªa funkcj¡ ϕ, to nie mo»na by speªni¢ równania (7.50), a gdyby byªa funkcj¡ r, to równanie (7.51) nie miaªoby rozwi¡zania.
Aby rozwi¡za¢ równanie (7.51), wprowad¹my wygodniejsz¡ od ϕ zmienn¡
pomocnicz¡
σ = sin ϕ, cos ϕ =p
1 − σ2. (7.52)
Pochodn¡ wzgl¦dem ϕ mo»emy wtedy zast¡pi¢ przez d
i równanie (7.51) przybiera posta¢
1
Je±li teraz przyjmiemy, »e
β = l (l + 1), (7.54)
to otrzymamy znane z zyki matematycznej równanie Legendre'a
¡1 − σ2¢ d2F
dσ2 − 2 σdF
dσ + l (l + 1) F = 0, (7.55) którego rozwi¡zaniem jest znany ju» nam wielomian Legendre'a Pl(σ). Wie-lomiany Pl(σ)s¡ ograniczone na przedziale −1 ≤ σ ≤ 1 tylko dla caªkowitych warto±ci indeksu l. Wprowadzaj¡c staªe dowolne El, otrzymujemy ogóln¡ posta¢
rozwi¡zania dla funkcji F
Fl(ϕ) = ElPl(σ). (7.56)
Pozostaªo ju» tylko rozwi¡zanie równania (7.50), w którym podstawimy β = l (l + 1). Po drobnych przeksztaªceniach przyjmuje ono posta¢
r2d2R
dr2 + 2 rdR
dr − l (l + 1) R = 0. (7.57) Jest to proste równanie liniowe i jego rozwi¡zania mo»na poszukiwa¢ w postaci R =const rk. Podstawiaj¡c j¡ do (7.57) otrzymujemy
k (k − 1) rk+ 2 k rk− l (l + 1) rk = 0, czyli
k2+ k − l (l + 1) = 0.
Powy»szy trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki: k = l oraz k = −(l + 1).
A zatem, peªne rozwi¡zanie dla R ma posta¢ sumy wyrazów R = Glrl+ Hlr−(l+1).
Poniewa» jednak potencjaª ma d¡»y¢ do zera gdy r → ∞, musimy przyj¡¢
albo l < 0 i wszystkie staªe dowolne Hl = 0, albo l ≥ 0 i wszystkie staªe dowolne Gl = 0. Obydwa wyj±cia s¡ równoprawne, ale drugie wymaga mniej przeksztaªce«, wi¦c ostatecznie przyjmujemy
Rl(r) = Hl
rl+1, l = 0, 1, 2, . . . . (7.58) Zestawmy teraz otrzymane przy rozwi¡zywaniu równania Laplace'a funk-cje, aby otrzyma¢ rozwi¡zanie ogólne V∗. Ka»dej warto±ci caªkowitych staªych separacji l i m odpowiada wyraz w postaci iloczynu
Rl(r) Fl(ϕ) = Hl
rl+1ElPl(σ).
Oczywi±cie, staªe dowolne H i E mo»na poª¡czy¢ i je±li przyjmiemy cl= HlEl,
to otrzymamy
V∗=1 r
X∞ l=0
clr−lPl(sin ϕ) = c0
r +c1
r2sin ϕ +1 r
X∞ l=2
clr−lPl(sin ϕ). (7.59)
Je±ªi przyjmiemy c0= −k2mp= −µ, to pierwszy wyraz odpowiada¢ b¦dzie po-tencjaªowi jednorodnej kuli o masie mp. Mo»na udowodni¢, »e dla jednorodnej planety musimy przyj¡¢ c1 = 0, gdy» inaczej ±rodek masy nie znalazªby si¦ w centrum ukªadu wspóªrz¦dnych. Dla pozostaªych staªych dowolnych wprowa-dzamy bezwymiarow¡ posta¢
Jl= cl
µalp, (7.60)
gdzie ap jest ±rednim promieniem planety. Otrzymujemy wi¦c znowu V∗ jako sum¦ wyrazu keplerowskiego V0= −µ/ri funkcji perturbacyjnej
R = µ r
X∞ l=2
Jl
³ ap r
´l
Pl(sin ϕ). (7.61)
Funkcja perturbacyjna przybiera warto±ci du»o mniejsze od V0gªównie ze wzgl¦du na maªe warto±ci Jl (zazwyczaj najwi¦kszy jest J2, który dla Ziemi wynosi ok.
0.001), lecz tak»e maleje ze wzrostem odlegªo±ci od planety. W tak zwanym zagadnieniu gªównym sztucznych satelitów ograniczmy funkcj¦ perturbacyjn¡
do
R = µ J2
2 r
³ ap r
´2
(1 − 3 sin2ϕ), (7.62) gdzie sin ϕ = z/r.
Rozdziaª 8
Zaburzony ruch keplerowski
8.1 Uzmiennianie staªych
Jak wiemy, Wszech±wiat skªada si¦ z wi¦cej ni» dwóch ciaª i »adne z nich nie jest izotropow¡ kul¡. Zapiszmy wi¦c równania ruchu
˙r = v,
˙v = − µ
r3r + P . (8.1)
S¡ to równania wzglednego zagadnienia dwóch ciaª z dodatkow¡ siª¡ P uwzgl¦d-niaj¡c¡ wpªyw reszty ±wiata.
Postawmy pytanie: co si¦ stanie z caªkami ruchu zagadnienia wzgl¦dnego pod wpªywem siªy P czyli zaburzenia ? Zapewne, dotychczasowe staªe ruchu przestan¡ by¢ staªe. Sprawd¹my.
Caªka siªy »ywej
Przypomnijmy caªk¦ siª »ywych vel energii h = 12v· v − µ
√r· r. (8.2)
Je±li wzór ten ma by¢ wa»ny w zagadnieniu zaburzonym, to oczywi±cie staªa energii h przestaje by¢ staªa i mamy ˙h 6= 0 a dokªadniej
˙h = d dt
µ
1
2v· v − µ (r· r)12
¶
= v· ˙v + µ
(r· r)32 r· ˙r.
Wstawiaj¡c ˙r i ˙v z równa« (8.1) otrzymamy
˙h = v·³
− µ r3r + P
´ + µ
r3r· v
= − µ
r3v· r + v· P + µ
r3r· v = P · v. (8.3)
Caªka momentu p¦du (pól)
Pochodna wzgl¦dem czasu z wektora momentu p¦du G prowadzi do równa«
G =˙ d
Ró»niczkuj¡c de nicj¦ caªki Laplace'a e = const dostaniemy
˙e = d Podstawiaj¡c ˙r i ˙v z równa« ruchu (8.1) dochodzimy do postaci
˙e = 1
a poniewa» jedynym powodem dla którego ˙e 6= 0 jest pojawienie si¦ siªy P i zmienno±¢ G, pozostaje nam (por. de nicja G oraz (8.4))
µ ˙e = P × G + v × ˙G = P × (r × v) + v × (r × P ). (8.5) Dowód, »e reszta wyrazów jest równa 0 zostaª przedstawiony przy omawianiu zagadnienia dwóch ciaª.
Równania dla ˙h, ˙G i ˙e, które otrzymali±my s¡ caªkiem pouczaj¡ce. Wynika z nich, »e na przykªad siªa radialna nie wpªywa na wektor momentu p¦du (staªe pól), a siªa prostopadªa do pr¦dko±ci nie zmienia staªej siª »ywych. S¡ to jednak sytuacje szczególne i nie sposób znale¹¢ niezerowego zaburzenia P , które by nie wpªyn¦ªo na »adn¡ ze staªych ruchu. Uznajemy wi¦c, »e w zagadnieniu zaburzonym staªe ruchu zagadnienia dwóch ciaª staj¡ si¦ zmienne w czasie.
Jak wiemy, elementy keplerowskie orbity s¡ powi¡zane ze staªymi ruchu.
Ruch keplerowski jest opisany jednoznacznie przez 6 staªych dowolnych, które najcz¦±ciej wyst¦puj¡ w postaci elementów keplerowskich E:
a, e, I, ω, Ω, M0= M (t0).
Znamy ju» wzory de niuj¡ce transformacj¦
(r, v)t↔ Et0,
która z jednej strony pozwala wylicza¢ na dowolny moment czasu t poªo»enie i pr¦dko±¢ ciaªa, dla którego podali±my elementy keplerowskie E w momencie t0, a z drugiej pozwala wyliczy¢ z poªo»enia i pr¦dko±ci w momencie t elementy
E dla epoki odniesienia t0. Poniewa» E s¡ staªymi ruchu, to bior¡c (r, v) w dowolnym momencie t i wyliczaj¡c z nich elementy otrzymamy zawsze te same warto±ci E.
Je±li pojawi si¦ dodatkowa siªa i ruch ciaªa nie jest ju» ruchem keplerowskim, to nadal mo»emy wylicza¢ elementy keplerowskie wedªug znanych ju» wzorów, ale teraz w ka»dej epoce t mo»emy otrzyma¢ inne warto±ci elementów Et0 dla epoki odniesienia t0. Zgodnie z zasad¡ metody uzmienniania staªych zaczynamy traktowa¢ elementy orbity jako funkcje czasu i nazywamy je elementami osku-lacyjnymi.
Nale»y wyra¹nie odró»ni¢ dwa momenty czasu pojawiaj¡ce si¦ w tym opi-sie. Epoka oskulacji t jest momentem czasu w którym mamy dane poªo»enie i pr¦dko±¢ sªu»¡ce do wyliczenia elementów E. Jednym z tych elementów jest anomalia ±rednia epoki odniesienia M0= M (t0), któr¡ otrzymujemy co-faj¡club popychaj¡c warto±¢ anomalii ±redniej M z epoki t do epoki t0. Po-niewa» uzmiennili±my staªe, to M0mo»e by¢ zmienn¡ i w ogólno±ci dla ró»nych epok oskulacji t1 i t2 b¦dziemy mieli M0(t1) 6= M0(t2). U»ywamy wi¦c poj¦cia M0(t) anomalii ±redniej epoki odniesienia t0 dla epoki oskulacji t. Czasami mo»na upro±ci¢ sobie »ycie przyjmuj¡c, »e t = t0. W przypadku pozostaªych ele-mentów nie mamy tego problemu i wystarcza u»ywanie poj¦cia epoki oskulacji dla a(t), e(t), itd.
Mówi¡c najkrócej, elementy oskulacyjne epoki t to warto±ci elementów ke-plerowskich wyliczone dla dowolnej trajektorii wzorami pochodz¡cymi z zagad-nienia dwóch ciaª. Je±li w poprzednim rozdziale traktowali±my wahadªo jak oscylator o zmiennej w czasie amplitudzie i fazie, to teraz b¦dziemy traktowa¢
dowoln¡ trajektori¦ jak orbit¦ keplerowsk¡ o zmiennych w czasie elementach.
Czasem u»ywa si¦ te» innej, równowa»nej de nicji: elementy oskulacyjne epoki t, to elementy keplerowskie orbity po której poruszaªoby si¦ ciaªo, gdyby w tym momencie przestaªa dziaªa¢ siªa zaburzaj¡ca.