Proponowane miary odległości szeregów

W IG 2 0 1/01/08 0 1 2 3 4 5 O p o z n ie n ie 1/01/08 1150 1200 1250 W a rt . S P 5 0 0 1/01/08 0 1 2 3 4 5 O p o z n ie n ie 1/01/08 180 200 220 240 W a rt . U S D 1/01/08 0 1 2 3 4 5 O p o z n ie n ie 1/01/08 50 100 150 200 250 W a rt . U S C o a l 1/01/08 0 1 2 3 4 5 O p o z n ie n ie

Rys. 4.6 Przebiegi odległości (rysunek górny – linia niebieska) badanej pomiędzy szeregiem PEKAO

(przebieg w kolorze magenta, linia cienka), a WIG20, SP500, USD oraz USCoal (przebiegi w kolorze czarnym), liczonej zgodnie ze wzorem 4.12 (dla wykładnika m = 3) z zastosowaniem tolerancji 5 próbek (wzór 4.25). Dolna cześć rysunku obrazuje dobrane opóźnienie, dla którego uzyskano najniższą wartość

D_yx. Pionowymi liniami naniesiono początek roku (linia ciągła) oraz pierwszy kwartał (linia przerywana).

Przebiegi szeregów znormalizowano do najmniejszych oraz największych wartości D_yx.

4.6.4 Proponowane miary odległości szeregów

Z uwagi na charakterystykę finansowych szeregów czasowych, podobieństwo szeregów o stosunkowo niewielkiej liczbie próbek (kilkanaście, kilkadziesiąt) może być interpretowane jako podobieństwo ich krótkich charakterystyk (kształt, obecność krótkoterminowych skoków itp.), czyli zdarzeń. Zgodnie z tezami pracy (rozdział 2.4.3) zakłada się, że chwilowe podobieństwo szeregów może być wykorzystane jako detektor zmian w szeregach (inspiracja działaniem limfocytów). W tym celu przy projektowaniu nowych metod duży nacisk położono na:

− skuteczność detekcji specyficznych wzorców (zdarzeń o określonych charakterystykach);

− komplementarność rozumianą jako (a) możliwość wykrycia danego wzorca zdarzenia przez co najmniej jedną metodę oraz (b) selektywność metod

w odniesieniu do wykrywania zmian określonego typu (współbieżnych, przesuniętych, pojedynczych, seryjnych itp.).

Z uwagi na powyższe, skonstruowano i zaprezentowano pięć dedykowanych miar odległości szeregów, których działanie jest ukierunkowane na badanie:

a) występowania wzorców w szeregach (określone konfiguracje odchyłek); b) podobieństwa kształtu szeregów;

c) współwystępowania w szeregach podobnych sekwencji o różnych długościach.

4.6.4.1 Odległość Fouriera (miara S

F

)

Jako miarę chwilowej odległości szeregów komórki w pracy proponuje się zastosowanie odległości widm amplitudowych, zwanej dalej odległością Fouriera d_F. Odległość d_F nie zależy od wzajemnych opóźnień porównywanych szeregów, a zatem pozwala wyeliminować wpływ zmienności opóźnień reakcji badanego szeregu na zdarzenia w szeregach należących do jego otoczenia.

Niech Axi, Ayi dla i = 1,...,kF oznaczają amplitudy kF niższych harmonicznych szeregów o długości N danych (długość N jest rzędu miesiąca, tzn. N =Ld_yx ≈22). Parametr k_F nazywa się rzędem metody (kF < int(N / 2)). Odległości dF definiuje wzór:

∑

= − = ^kF i yi xi F A A d 1 2 2 (4.26)

Powyższa metoda pomiaru odległości w dalszej części określana będzie symbolem S_F.

4.6.4.2 Podobieństwo spektralne determinizowane (Sd)

Istotą metody, określanej w dalszej części pracy symbolem Sd (miara spektralna determinizowana), jest niwelowanie informacji o wzajemnym opóźnieniu zdarzeń w dwóch badanych szeregach, przez:

a) obliczenie transformat Fouriera obu badanych szeregów w oknie analizy o długości N (metodą FFT³⁶),

b) obliczenie determinizowanych sygnałów diagnostycznych o długości k_d próbek (kd określa się jako rząd metody, kd≤ N) przez zastosowanie transformaty

36

odwrotnej dla widma amplitudowego (z wyzerowaniem przesunięcia fazowego wszystkich harmonicznych),

c) obliczenie odległości Minkowskiego (w badaniach stosowano odległość Euklidesa) dla uzyskanych w (b) sygnałów diagnostycznych.

Sygnał diagnostyczny (b) agreguje informację o kształcie i mocy dominujących serii odchyłek, a przez to pozwala wychwycić ich podobieństwo w porównywanych szeregach, ze znaczną redukcją wpływu tła losowego i wzajemnych przesunięć serii.

4.6.4.3 Elastyczna miara podobieństwa wzorców (miara typu W)

Metoda pomiaru odległości typu W jest dedykowana do wykrywania w szeregach wzorców (sekwencji próbek) o określonej długości L_w (L_w jest podstawowym parametrem metody). Badane są dwa szeregi: szereg otoczenia x o długości N + L_tol (L_tol jest założoną tolerancją opóźnienia, Ltol > Lw) z indeksacją próbek od 1 do N + Ltol oraz szereg bazowy

y o długości N, zawierający próbki o indeksach n = Ltol +1,…,N + Ltol. Najwyższy indeks oznacza dla obu szeregów najnowszą daną. W szeregu y jest to ostatnia zarejestrowana próbka, a w szeregu x – również ostatnia lub opóźniona.

Miarę odległości W oblicza się w następujący sposób:

a) Przyjmuje się jako wzorzec Wyk ciąg kolejnych próbek szeregu y o zadanej długości

Lw, {yN+Ltol-k-Lw+1, …., yN+Ltol-k} dla k = 0, …,N – Lw lub k = N – 1,…,Lw (kierunek analizy ustala się parametrem BW metody).

b) Dla danego k poszukuje się w szeregu x sekwencji próbek Wxkmin najbliższych do wzorca Wyk (w sensie przyjętej metryki, np. euklidesowej) w segmencie o długości

Lw + Ltol, biorąc jako próbkę najnowszą (koniec sekwencji) xN+Ltol-k-i, dla i = 0,…,Ltol. Odległość ta może być obliczana dla oryginalnych wzorców Wxk, Wyk lub ich wartości bezwzględnych (co eliminuje wpływ znaków dużych odchyłek). Określa to parametr binarny A_W metody (A_W = 0 – wzorce oryginalne; A_W = 1 – moduły wzorców).

c) Sekwencji Wxkmin przypisuje się takie indeksy jakie ma wzorzec Wyk w szeregu y. d) Po przebadaniu wzorców W_yk dla wszystkich k oblicza się ciąg diagnostyczny x_w

zawierający próbki o indeksach od L_tol + 1 do N + L_tol (takich jak y) uśredniając wszystkie próbki szeregu x przypisane do danego indeksu wskutek przesunięć wzorców W_xkmin dokonanych w punkcie (c).

e) Jako miarę odległości W przyjmuje się odległość szeregów y i x_w według

przyjętej metryki, takiej samej jak stosowana w punkcie (b) (np. euklidesowej). Miara W jest bardzo tolerancyjna na lokalne przesunięcia podobnych sekwencji występujących w obydwu szeregach, co jest jej ważną zaletą, ze względu na zmienne opóźnienia hipotetycznych reakcji przyczynowo-skutkowych w badanych szeregach. Jednak nie jest tolerancyjna na różnice kształtu profili występujących w szeregu x. W związku z tym opracowano również bardziej rygorystyczną wersję detektora W, w której w punkcie (b) analizuje się tylko te sekwencje Wx szeregu x, których próbki nie były wcześniej przesuwane (przypisane w punkcie (c) do innych indeksów niż oryginalne). Wynik analizy zależy wówczas od kierunku przeszukiwania wzorców w punkcie (a). Taki wariant, z blokowaniem próbek Wxkmin dopasowanych do wcześniejszych wzorców Wyk, wybiera się przyjmując niezerową wartość trójwartościowego parametru BW, określającego również kierunek przeszukiwania wzorców: BW = 0 oznacza wariant bez blokady wzorców Wxkmin, BW = –1 – blokada wzorców z przeszukiwaniem od najstarszej danej y w punkcie (a) (k = N − 1, N – 2,…);

B_W = 1 – blokada z przeszukiwaniem od najnowszej danej (k = 0, 1, ...) w punkcie (a). Parametrami metody W są zatem: N – długość porównywanych szeregów (tak jak dla każdej metody), L_tol – tolerancja opóźnienia (wykorzystywana również w innych

metodach), L_w – długość wzorców od 2 do N, A_W – binarna opcja sposobu dopasowywania wzorców (A_W = 0 – wzorce oryginalne; A_W = 1 – moduły wzorców),

B_W – trójwartościowa opcja blokady wzorców i kierunku przeszukiwania. Różne wartości tych pięciu parametrów implikują wychwytywanie podobieństwa wzorców o różnym charakterze. Można zatem wykorzystywać wiele alternatywnych wariantów tej metody. Najistotniejsze znaczenie ma długość wzorca, w związku z tym w dalszych analizach wartość parametru Lw będzie uzupełniała symbol metody (przykładowo W6 oznacza szukanie wzorców o długości 6 próbek).

4.6.4.4 Miara podobieństwa zunifikowanych wzorców (U)

Proponowana metoda badania podobieństwa szeregów (określana jako metoda typu U) ukierunkowana jest na analizę występowania serii skoków w szeregach komórki, identyfikowanych jako zmiany przekraczające arbitralnie ustaloną progową wartość

ρ

U

(główny parametr metody), o różnej długości serii (1,2,...,N) w porównywanych szeregach o długości N. Specyfiką tej metody jest detekcja zmian unikalnych, a więc

takiej charakterystyki szeregu, która – z punktu widzenia analizy istotnych zmian – nie ma odniesienia w drugim analizowanym szeregu.

Detekcja przebiega w następujących etapach:

a) Analiza występowania serii istotnych odchyłek (o wysokości przekraczającej ustaloną progową wartość

ρ

U) w dwóch badanych szeregach: x oraz y. Zliczane jest występowanie serii o różnych długościach i znakach (zmiana znaku oznacza przerwanie aktualnej serii), a następnie dla każdego szeregu zapamiętywana jest informacja o długości kolejnej serii oraz jej liczności (w dalszym etapie znaki poszczególnych serii są ignorowane).

b) Zliczenie krotności występowania serii istotnych odchyłek o różnych długościach w szeregu x (liczbę serii o długości k oznacza się jako Lkx) oraz y (odpowiednio – Lky), przy czym k = 1,2,…,Kk, gdzie Kk oznacza największą długość serii wykrytej w obydwu szeregach.

c) Obliczenie procentu zgodności wpzg wykrytych serii skoków w szeregach, uwzględniającego krotność występowania poszczególnych serii w szeregach oraz ich długość (L_kx, L_ky):

∑

= ⋅ = ^Kk k ky kx p pzg w k L L w 1 ) , min( (4.27)

gdzie współczynnik obliczany jest jako =

(

∑

K₌k ⋅

)

k ^{kx ky}

p k L L

w 1/ ₁ max( , ) ;

w_p przyjmuje wartości z przedziału <0;1>. d) Końcowe obliczenie miary odległości d_U jako:

pzg

U w

d =1− (4.28)

Proponowana metoda pomiaru odległości winna umożliwiać wykrycie zdarzeń o podobnym kształcie, ale niekoniecznie wykazujących koincydencje w szeregach komórki. W przypadku występowania podobnych (co do długości) serii w obu szeregach, dU będzie miała wartość zbliżoną do 0 (wpzg zbliżony do 1). Jako wartość

progową odchyłki można przyjąć odchylenie standardowe sygnału w oknie komórki lub jego wielokrotność. Niemniej zakłada się, że metoda może być adaptowana poprzez stosowanie progów wybranych spośród arbitralnie dobranego zestawu.

4.6.4.5 Podobieństwo zdarzeniowe (Z)

Kolejną proponowaną w pracy metodą analizy chwilowego podobieństwa szeregów komórki jest selekcja zdarzeń (miara Z).

Dla obydwu szeregów x i y oblicza się oddzielnie wartości średnie wartości bezwzględnych odchyłek dodatnich i ujemnych o module większym od założonej wartości progowej

ρ

zd, przyjmując zero dla odchyłek o module mniejszym niż

ρ

zd. W wyniku uzyskuje się dwie pary dodatnich wartości (x_dsr, y_dsr) oraz (x_usr, y_usr). Wskaźnik chwilowego podobieństwa oblicza się według wzoru:

( ) (

2

)

2 usr usr dsr dsr Z x y x y d = − + − (4.29)

4.6.5 Badanie skuteczności proponowanych miar odległości

W dokumencie Index of /rozprawy2/10161 (Stron 99-104)