A. Porównanie informacji klasycznej i kwantowej
A.8. Protokoły kwantowe
2(|1 >A⊗|2 >B −|2 >A⊗|1 >B), |Φ+> = 1 √ 2(|1 >A⊗|1 >B +|2 >A⊗|2 >B), |Φ−> = 1 √2(|1 >A⊗|1 >B −|2 >A⊗|2 >B). (A.25)
Wektory te nazywane są stanami Bella, a baza — bazą Bella. Działania na sta-nach splątanych mogą prowadzić do nieklasycznych (wykorzystujących kwantowe splątanie) efektów dotyczących informacji kwantowej, które nie mają swojego klasycznego odpowiednika. Do takich efektów należy zaliczyć procedury super-gęstego kodowania [10–12] i teleportacji kwantowej [98, 99], które przedstawimy skrótowo w następnym podrozdziale.
A.8. Protokoły kwantowe
Supergęste kodowanie kwantowe
Łatwo zauważyć, że z postaci stanów Bella (podanych równaniami (A.25) wy-nika, że wykonując tylko lokalne operacje na qubicie B można otrzymać wszystkie stany Bella z jednego, a mianowicie:
|1 >B→ |1 >B , |2 >B→ |2 >B =⇒ |Ψ+>→ |Ψ+>, |1 >B→ −|1 >B , |2 >B→ |2 >B =⇒ |Ψ+ >→ |Ψ−>, |1 >B→ |2 >B , |2 >B→ |1 >B =⇒ |Ψ+ >→ |Φ+>, |1 >B→ −|2 >B , |2 >B→ |1 >B =⇒ |Ψ+>→ |Φ−> . (A.26)
Taka sytuacja oznacza podwojenie możliwości kodowania informacji w stosun-ku do klasycznej pary bitów: 00, 01, 10, 11. W przypadstosun-ku pary klasycznych bitów, w celu otrzymania wszystkich czterech stanów pary bitów, konieczne były zmiany (kodowanie) obydwu bitów. Odnosi się to również do bazy przestrzeni, złożonej z niesplątanych stanów, tj. bazy: |1 >A ⊗|1 >B, |2 >A ⊗|1 >B, |1 >A ⊗|2 >B, |2 >A ⊗|2 >B (w tym przypadku także należy kodować na obu qubitach). Jeśli jednak wykorzystać kwantowe splątanie i posłużyć się bazą (A.25), to kodowanie
można przeprowadzić tylko na jednym qubicie z pary qubitów. Ten kwantowy efekt nazywany jest supergęstym kodowaniem i może być wykorzystywany do przetwarzania informacji kwantowej [9–13].
Teleportacja kwantowa
Drugim ważnym przykładem prostego wykorzystania splątania kwantowego jest zjawisko teleportacji kwantowej [98, 99]. Można opisać je w następujący spo-sób. Załóżmy, że mamy cząstkę A (qubit A) w stanie czystym: |Φ >A= a1|1 >A
+a2|2 >A, |a1|2+ |a1|2 = 1, i chcemy przesłać (teleportować) ten stan na cząst-kę C (qubit C), odległą od cząstki A. W tym celu można posłużyć się cząstką pomocniczą B (qubitem B), w taki sposób, że przygotowujemy parę cząstek CB w stanie splątanym. Może to być jeden z maksymalnie splątanych stanów Bella — np. stan |Ψ− >CB= √1
2(|1 >C ⊗|2 >B −|2 >C ⊗|1 >B). Realizację tego stanu splątanego można przeprowadzić, posługując się przyrządem pomiarowym realizującym pomiar na parze cząstek (w tym przypadku CB), tak zorganizo-wanym, że jego operator hermitowski ma przedstawienie spektralne w postaci operatorów rzutowania na cztery stany Bella qubitów C i B. Taki pomiar, czyli rzutowanie von Neumanna, na stany Bella (A.25), wiąże się z oddziaływaniem cząstek (qubitów) C i B, w wyniku którego powstaje kwantowe splątanie. Jed-nakże i w tym przypadku, podobnie jak w każdym pomiarze kwantowym, nie wiadomo z góry, który ze stanów Bella zostanie wybrany, ponieważ rzutowanie von Neumanna jest przypadkowe.
Załóżmy, że w wyniku pomiaru w bazie Bella na parze qubitów C i B po-wstanie w wyniku rzutowania von Neumanna stan |Ψ− >CB. Wtedy cały układ trzech qubitów ABC znajdzie się w stanie czystym
|Ω >ABC = |Φ >A⊗|Ψ−>CB = (a1|1 >A+a2|2 >A) ⊗ (√1 2(|1 >C ⊗|2 >B −|2 >C ⊗|1 >B)) = |Ψ+>AB ⊗(−a1|1 >C +a2|2 >C) + |Ψ− >AB ⊗(−a1|1 >C −a2|2 >C) + |Φ+ >AB ⊗(a1|2 >C −a2|1 >C) + |Φ− >AB ⊗(a1|2 >C +a2|1 >C). (A.27)
Równość A.27 jest tożsamościowym algebraicznym związkiem wynikającym z możliwości zapisu tego samego wektora w przestrzeni liniowej poprzez zamianę bazy w ośmiowymiarowej przestrzeni HA⊗ HB⊗ HC. W szczególności, wektor |Ω >ABC może być przedstawiony w bazie tej przestrzeni o postaci: |Ψ+ >AB ⊗|1 >C, |Ψ− >AB ⊗|1 >C, |Φ+ >AB ⊗|1 >C, |Φ− >AB ⊗|1 >C, |Ψ+ >AB
⊗|2 >C, |Ψ−>AB ⊗|2 >C, |Φ+>AB ⊗|2 >C, |Φ− >AB ⊗|2 >C. Przy takim wy-borze bazy współczynniki ai znajdą się jednak przy qubicie (cząstce C), chociaż początkowo były przy qubicie A. Znajdują się one przy qubicie C, ale w wielu różnych kombinacjach. Należy zauważyć, że jest to wynik możliwości zmiany bazy w przestrzeniach Hilberta wielocząstkowych (wieloqubitowych) układów, przy wy-korzystaniu stanów splątanych. Następnie można zbliżyć do siebie cząstki A i B i dokonać na tej parze pomiaru stanów Bella, tzn. wprowadzić ich oddziaływanie za pośrednictwem takiego pomiaru. W wyniku tego pomiaru zostanie wybrany w sposób przypadkowy (niemożliwy do przewidzenia z góry) jeden z czterech sta-nów Bella pary AB. Równocześnie jednak, zgodnie z (A.27) zostanie także wtedy wybrany stan czysty cząstki C, już tylko z jedną kombinacją nieznanych współ-czynników a1 i a2 (które zamierzaliśmy przeteleportować z qubitu A na qubit C). W szczególności, gdy na przykład po rzutowaniu von Neumanna na stany Bella pary AB znajdzie się ona w stanie |Φ−>AB, cząstka C będzie wtedy z pew-nością w stanie a1|2 >C +a2|1 >C. Wystarczy wtedy na cząstce C (odległej) dokonać już tylko lokalnej zamiany stanów |1 >C i |2 >C, po to, by otrzymać taki sam stan, jaki na początku miała cząstka A. Z góry nie wiadomo było jednak, który z wyników rzutowania na stany Bella się zrealizuje. Dla przykładu założy-liśmy, że czwarty, ale rzutowanie von Neumanna jest przypadkowe i dopiero po jego zrealizowaniu wiadomo co należy zrobić lokalnie na qubicie C, żeby otrzymać pożądany stan, taki jakim był wejściowy stan na qubicie A.
Aby możliwe było przeprowadzenie skutecznej teleportacji z A na C, koniecz-ne jest przekazanie klasyczkoniecz-nej informacji, który ze stanów Bella zrealizował się w pomiarze von Neumanna na parze AB. Tę klasyczną informację należy przesłać do obserwatora przy qubicie C (Bob) za pomocą klasycznych kanałów łączności (informację tę może wysłać obserwator qubitu A, który dokonał pomiaru stanów
Bella na parze AC — Alice).
Konieczność przesłania dodatkowej klasycznej informacji powoduje, że w cza-sie całego procesu występuje ograniczenie prędkości teleportacji kwantowej przez prędkość światła (w kanale klasycznym), chociaż kwantowa informacja znalazła się na cząstce B natychmiastowo, ale w nieczytelny dla Boba sposób. Fakt ten zwraca uwagę, że układ z informacją klasyczną oznacza zatem coś innego, niż układ bez tej informacji klasycznej.
Ważne jest też zauważenie, że pomiar dokonany przez Alice na parze AB powoduje splątanie cząstek A i B, ale równocześnie rozplątanie cząstek C i B — po tym pomiarze cząstka C jest już w stanie czystym, chociaż nie wykonywano na niej pomiaru. Równocześnie jednak cząstka A splątuje się z B (i para AB nie ma już żadnej informacji o współczynnikach a1 i a2 — ta informacja znajduje się już w całości na qubicie C). W wyniku dokonania pomiaru, czyli w wyniku oddzia-ływania, można zatem odplątywać cząstki (qubity), działając tylko na jednym ze
Rysunek A.2. Schematyczne przedstawienie procesu teleportacji