Równanie hydrodynamiki Navier-Stokesa opisuje nam ruch cieczy newtonowskiej. Dla cieczy nieściśliwej, przy pominięciu sił masowych, przyjmuje postać:
v v gradp v t v 1 2 (B.1)gdzie v, ρ, p i η oznaczają prędkość, gęstość, ciśnienie i lepkość cieczy.
Dla przepływów przez rurę o stałym przekroju w kartezjańskim układzie współrzędnych, w którym oś x kierujemy w kierunku prędkości v(zgodnym z kierunkiem rury) oraz przy założeniu przepływu stacjonarnego z równania (B.1), otrzymujemy p y0i p z0, tzn. że ciśnienie jest stałe na przekroju rury, wówczas równanie dla x-owa składowa równania B.1 przyjmuje postać: dx dp z v y vx x 1 2 2 2 2 (B.2)
Równanie może być spełnione tylko wówczas, gdy lewa i prawa strona są wielkościami stałymi, więc dp/dx = const, zatem gradient ciśnienia można zapisać w postaci Δp/l , gdzie Δp różnicą ciśnień na końcach rury o długości l.
B.1R
URA O PRZEKROJU KOŁOWYMRozwiązaniem równania (B.2), dla rury o przekroju kołowym we współrzędnych biegunowych, jest funkcja prędkości:
) ( 4 ) ( R2 r2 l p r vx (B.3)
gdzie R jest promieniem rury. Zatem masa cieczy Q, przepływająca w ciągu 1 s przez poprzeczny przekrój rury, wynosi:
4 0 8 2 R l p rdr v Q R x
(B.4)Jest to równanie Poiseuille’a. W przypadku gazu, uwzględniając jego ściśliwość, prawo spadku ciśnienia wzdłuż rury, w której zachodzi izotermiczny przepływ lepkiego gazu idealnego, jest określone równaniem:
l mR QkT p p 2 4 1 2 2 16 (B.5)
w którym: T – temperatura, m – masa cząsteczki gazu, k – stała Boltzmanna, p2, p1 – ciśnienie odpowiednio na początku i na końcu rury.
Względna różnica pomiędzy obliczonymi spadkami ciśnień, przy założeniu stałej gęstości gazu – przy pomocy równania B.4, a przy zastosowaniu równania B.5, wynosi maksymalnie +/- 3.43%, w zakresie ciśnień wyjściowych p2, występujących w eksperymencie 985 – 1055 hPa. Różnica ta nie zależy od przekroju i długości rury, a jedynie od zakresu analizowanych ciśnień. Należy podkreślić, że różnica +/-3.43% istnieje w wyznaczeniu spadku ciśnienia, przy danym przepływie przez zadany profil. Natomiast stosunki spadków ciśnienia przy przepływie przez różne profile są zachowane w zakresie analizowanych ciśnień. W związku z tym, w analizie badania różnic w rozpływie gazu przez poszczególne komory w danej gałęzi gazowej, nie popełniamy znaczącego błędu, stosując liniową zależność spadku ciśnienia od wielkości przepływu:
Q G p
(B.6)
gdzie G jest współczynnikiem proporcjonalności.
Założenie takie umożliwia nam analizę rozpływu gazu w poszczególnych komorach jedynie zbiorem równań liniowych. Obliczone współczynniki G dla elementów o przekroju kołowym, istotnych przy analizie równomierności rozpływu gazu, znajdują się w tabeli 5.1.
B.2R
URA O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYMRównanie B.2 jest dwuwymiarowym równaniem różniczkowym Poissona 2vx f o znanej funkcji f=const. Warunki brzegowe dla przepływu laminarnego cieczy lepkiej są warunkami brzegowymi Dirichleta z vx=0. Równanie to zostało rozwiązane metodą
numeryczną, wykorzystując pakiet obliczeniowy Poisson Superfish, dystrybuowany przez Los Alamos National Laboratory. Pakiet ten służy do rozwiązywania problemów elektrostatyki, magnetostatyki oraz emisji i propagacji fal elektromagnetycznych. Dwuwymiarowe zagadnienia rozkładu potencjału elektrycznego, a więc dwuwymiarowe równanie Poissona, rozwiązuje metodą relaksacji, liczoną w węzłach siatki regularnej, trójkątnej, modyfikowanej na brzegach zadeklarowanego obiektu. Przy pomocy tego pakietu
obliczeniowego, dedykowanego dla problemów elektrostatyki w celu rozwiązania równania B.2, należy jedynie zadeklarować odpowiednie warunki brzegowe i liczbowo zgodną z prawą jego stroną, powierzchniową gęstość ładunku. Obliczone w ten sposób potencjały elektryczne (elektrostatyka) odpowiadają wartościom prędkości przepływu przez rurę ( hydrodynamika) w danym punkcie na powierzchni przekroju.
Otrzymane przykładowe rezultaty w formie graficznej zaprezentowane są na rysunkach B.1 i B.2. Punkty węzłowe siatki do obliczeń zostały zadeklarowane co 0.05mm.
Na podstawie otrzymanych wartości vx, w poszczególnych punktach zostały obliczone numerycznie wartość całki:
ds v Q S x
(B.7)gdzie S- powierzchnia pola przekroju poprzecznego, ds – element tej powierzchni.
Wyznaczone tą metodą współczynniki proporcjonalności G dla przekrojów prostokątnych zamieszczone są w tabeli 5.1.
Rysunek B.1 Rozkład prędkości przepływu
vx przez kolektor zasilający o przekroju wewnętrznym 1.8x1.6 cm2, przy różnicy ciśnień 1.78·10-4 Pa na odcinku 0.135 m dla argonu. Pokazane linie, łączące punkty o jednakowej prędkości, rysowane są co 6,13·10-5 m/s. Warunki te odpowiadają przepływowi gazu przez kolektor dla 1 komory o długości 4.5 m przy jednej wymianie na dobę, przy ciśnieniu gazu 1020 hPa.
Rysunek B.2 Rozkład prędkości przepływu
vx przez kolektor zasilający o przekroju wewnętrznym 0.8x0.8 cm2, przy różnicy ciśnień 8.72·10-2 Pa na odcinku 0.135 m dla argonu. Pokazane linie, łączące punkty o jednakowej prędkości, rysowane są co 6,41·10-3 m/s. Warunki te odpowiadają przepływowi gazu przez kolektor dla 19 komór o długości od 3.2m do 1.8 m przy dwóch wymianach na dobę, przy ciśnieniu gazu 1020 hPa (maksymalny stosowany przepływ w gałęzi end-cup’u).
LITERATURA
[1] Korytov A. Muon detectors for colliders, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 598, 2009
[2] Sauli F. Principles of operation of multiwire proportional and drift chambers, CERN 77-09
[3] Fourme R. Position-sensitive gas detectors: MWPCs and their gifted descendants, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 392, 1997
[4] Attie D. TPC review, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 598, 2009
[5] Bochenek M., Koperny S., Kowalski T. Z. Modern micropattern gas detectors, Nukleonika vol. 53 supp. 2, 2008
[6] CERN Internal report of research and development RD51 collaboration development of micropattern gas detectors technologies, LHCC, RD51, 2008
[7] Titov M. New developments and future perspectives of gaseous detectors, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 581, 2007
[8] Oed A. Position-sensitive detector with microstrip anode for electron multiplication
with gases, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 263, 1988
[9] Oed A. Properties of microstrip gas chambers (MSGC) and recent developments, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 367, 1995
[10] Giomataris Y., Rebourgeard Ph., Robert J.P., Charpak G. MICROMEGAS: a
high-granularity position-sensitive gaseous detektor for high particle flux enviroments, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 376, 1996
[11] Sauli F. GEM: A new concept for electron amplification in gas detectors, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 386, 1997
[12] Abat E. et al., The ATLAS Transition Radiation Tracker (TRT) proportional drift tube:
design and performance, JINST 3 P02013, 2008
[13] Golutvin A. Review of calorimeters, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 453, 2000 [14] Ceccucci A. Calorimeters for present and future accelerators: astatus report, Nucl.
Instr. and Meth. Phys. Res. A 461, 2001
[15] Nigmanov T.S. et al., Electromagnetic and hadron calorimeters in the MIPS
experiment, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 598, 2009
[16] Adinolfi Falcone R. et al., The hadron calorimeter of EAS-TOP: operation, calibration
[17] Pestov Yu.N. Review on counters with localized discharge, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 494, 2002
[18] Cerron Zebalos E. et al., A new type of resistive plate chamber: The multigap RPC, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 374, 1996
[19] Czyrkowski H., Ćwok M., Dąbrowki R., Dominik W., Górski M., Królikowski J., Majewski P. New developments on resistive plate chambers for high rate operation, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 419, 1998
[20] Iarocci E. Plastic streamer tubes and their applications in high energy phisics, Nucl. Instr. and Meth. 217, 1983
[21] The ALICE Collaboration, The ALICE experiment at the CERN LHC, JINST 3 S08002, 2008
[22] Proposal for a Large Elektron Proton Colliding Beam Facility at DESY, DESY, HERA 81-10, 1981
[23] Voss G. A., Wiik B. H., The Elektron-Proton Collider HERA, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 44, 414, 1994
[24] ZEUS Collaboration, The ZEUS Detector Technical Proposal, DESY, 1986 [25] ZEUS Collaboration, The ZEUS Detector Status Report 1993, DESY, 1993
[26] Fabian Ch. W.,Gianotti F., Calorymetry for particle physics, Rev. of Modern Phys. 75, 2003
[27] Czyrkowski H., Derlicki A., Krzyżanowski M., Kudła I., Kuśmierz W., Nowak R., Pawlak J.M., Rajca A., Stopczyński A., Walczak R., Żarnecki A., Abramowicz H., Kowalski T., Tests of the BAC prototype, ZEUS Note 90-099, 1990
[28] Jeleń K., Lawinowe mnożenie elektronów w mieszaninach gazów i par, AGH zeszyty naukowe (matematyka-fizyka-chemia) nr 45, 1980
[29] Average Energy Required To Produce An Ion Pair, ICRU Report No 31, 1979
[30] Kelly R. L., Atomic and ionic spectrum lines of hydrogen through krypton, J.Phys.Chem.Ref.Data, Vol. 16, Supl. 1, 1987
[31] Fulbright H. W., Ionization chambers in nuclear physics, in Encyclopedia of Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1958
[32] Stopczyński A., Komory proporcjonalne z mieszaniną Ar/CO2 w kalorymetrze uzupełniającym detektora ZEUS, Praca doktorska, IFD Uniwersytet Warszawski, 1993
[33] Bobrowski M., Jeleń K., Koperny S., Kowalski T.Z., Machowski W., Rulikowska-Zarębska E., Zając J. Proportional counters as monitoring detectors of BAC chambers
[34] Machowski W., Ustalenie i monitorowanie warunków pracy komór proporcjonalnych
w kalorymetrze uzupełniającym detektora ZEUS, praca doktorska, 1992
[35] Deptuch M, Koperny S., Kowalski T.Z., Mundur B., The temperature coefficient of the
gas gain in the chamber of BAC Calorimeter, Internal Report, DESY, ZEUS Note
03-025, 2003
[36] L.Landau, F.Lifszyc Hydrodynamika, PWN, Warszawa 1994
[37] Tablice fizyczno-astronomiczne, Wydawnictwo Adamantan, Warszawa 2002
[38] Bobrowski M., Jeleń K., Koperny S., Kowalski T.Z., Machowski W., Rulikowska-Zarębska E., Zając J. Proportional counters as monitoring detectors of BAC chambers
at the ZEUS experiment, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 323, 1992
[39] Kessler G. Electronic Gasflowmeters for High Energy Physics, Internal Report, DESY B2-91-01, 1991
[40] Bednarek, Jeleń K., Koperny S., Kowalski T.Z., Zając J. Control of Gas Flow in BAC
Calorimeter at the ZEUS Experiment, Internal Report, DESY, ZEUS Note 93-093,
1993
[41] Bednarek B., Jeleń K., Koperny S., Kowalski T.Z., Rulikowska-Zarębska E., Zając J.
The Temperature Distribution in the Iron Yoke at the ZEUS Experiment. Internal Report, DESY, ZEUS Note 95-033, 1995
[42] Va’vra J. Review of wire chamber aging, Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. A 252, 1986
[43] Butle G.B. Fundamentals of Organic Chemistry, Berlin, Yasuda H. Plasma polimerization, p 74.
[44] Mizerski W. Tablice chemiczne, Wydawnictwo Adamantan,Warszawa 1997
[45] Miszczenko K.P. Rawoliel A.A. Zbiór wielkości fizykochemicznych, PWN, Warszawa 1974
[46] Linde D. R. Handbook of Chemistry and Phisics, 85 Edition 2004-2005, CRC Press [47] den Boggende A.J.F., Brinkman A.C., de Graaff W., Coments on Ageing Effect of Gas
Filled Proportional Counters, J. Phys. E. Series 2, vol. 2, 1969
[48] Bawdekar V.S. IEEE Trans Nucl. Sci. NS-22, 1975 [49] Sauli F. When Everything Was Clear, LBL Workshop [50] Yasuda H. Plasma Polimerization, New York, 1985
[51] Diethorn W. A Methane proportional counter systems for natural radiocarbon
[52] Zastawny A. On a new formula for the gas amplificationin a proportional counter, J. Sci. Instrum., 44, 1967
[53] Hendriks R. W. Space charge effects in proportional counters, Rev. Sci. Instrum. 40, 1969
[54] Mahesh K. On the counting rate-dependent ampiltude shifts in proportional counters, Nucl. Inst.. and Meth. 133, 1976
[55] Spielberg N., Tsarnas D. I. Counting rate dependent gain in flow proportional
counters, Rev. Sci. Instrum. 46, 1975
[56] Bednarek B. Eksperimental results of count rate effect in some X-ray proportional
counters, Nucl. Instr. and Meth. 175, 1980
[57] Bednarek B. On a new interpretation of the count rate effect in gas proportional
detectors, Nucl. Instr. and Meth. 178, 1980
[58] Deptuch M., Jeleń K., Koperny S., Kowalski T.Z., Mindur B. Some remarks on Ageing
Effects in ZEUS-BAC Multicell Chambers, ZEUS-Note 02-003, 2002
[59] Kadyk J. A. Wire chamber aging, Nucl. Instr. and Meth. A 300, 1991
[60] Algier A., Fisher H.G., Holmgren S. Szeptycka M. Anode wire ageing in proportional
counetrs: the problem of analog response, CERN-PPE/93-76, 1993
[61] Murzin V.S. and Savycheva L.I. Cosmic Rays and Their Interactions, Atompress, Moscow 1968
[62] Massey H.S., Burhop E.H., Gilbidy H.B. Electronic and Ionic Impact Phenomena, Claredon Press, Oxford 1969
[63] Fano U. Ionization Yield of Radiations. The Fluctuactions of the Numer of Ions, Physical Review 72, 1947