Przestrzenie Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu

Dla 1 ¶ i ¶ m mamy uⁱ_p,s= u⁰_p,s◦ η⁻¹i , wi˛ec nierówno´s´c

|uⁱ_p,s(w)| ¾1 4

jest spełniona, gdy w∈ Aⁱ_p,s:= {z ∈ Ω: |ai+ rip− z| ¶ (1 − s)r}, gdzie r = min1¶i¶mr_i. Zapisuj ˛ac z∈ Ω w postaci z = ai+ ((1 − s)r + ri)¯p, otrzymujemy

1

4 ¶ |uⁱ_p,s(z)| ¶ kδzkH^Φ(Ω)^∗kuⁱ_p,skH^Φ(Ω)¶kδzkH^Φ(Ω)^∗

Φ⁻¹(_1−s¹ ) . Zauwa˙zmy teraz, ˙ze

Φ⁻¹

 1 1− s

‹

= Φ⁻¹

 r

(1 − s)r

‹

= Φ⁻¹ r

|ai+ rip− z|

‹

¾ rΦ⁻¹

 1

dist(z, ∂ Ei)

‹ .

St ˛ad ju˙z łatwo wynika druga z nierówno´sci.

Przypomnijmy, ˙ze przestrze´n Banacha X funkcji analitycznych naΩ ⊂ C posiada własno´s´c Fatou, je´sli inkluzja j : X 7→ H(Ω) jest ci ˛agła, gdzie H(Ω) wyposa˙zona jest w naturaln ˛a topologi˛e zbie˙zno´sci niemal jednostajnej oraz je´sli posiada nast˛epuj ˛ac ˛a własno´s´c: dla dowolnego ci ˛agu{ fn} ograniczonego w X zbie˙znego niemal jednostajnie naΩ do funkcji f , mamy f ∈ X .

Stwierdzenie 2.8. NiechΦ b˛edzie wypukł ˛a funkcj ˛a Orlicza. Wówczas przestrze´n H^Φ(Ω) ma własno´s´c Fatou.

Dowód. Teza łatwo wynika z twierdzenia 2.3 i faktu, ˙ze przestrze´n H^Φ(D) ma własno´s´c Fatou.

2.3. Przestrzenie Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu

Rozdział 3 niniejszej rozprawy opisuje wyniki bada´n dotycz ˛acych powłok Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pier´scieniu. Istotn ˛a rol˛e w prowadzonych tam rozumo-waniach pełni´c b˛ed ˛a wyniki reprezentacyjne (analogon twierdzenia 2.3 w przypadku przestrzeni quasi-Banacha) dla przestrzeni Hardy’ego–Orlicza przedstawione w tej cz˛e´sci rozprawy.

Na wst˛epie podamy definicj˛e przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pier´scieniu A = {z ∈ C : r0< |z| < 1}, gdzie 0 < r0< 1. Chocia˙z jest ona równowa˙zna ogólnej definicji z poprzedniego podrozdziału, to wydaje si˛e by´c bardziej naturalna. Nie u˙zywamy tu poj˛ecia miar harmonicznych, norm˛e tej przestrzeni definiujemy radialnie, analogicznie, jak w pracy Sarasona[58], w której badane były klasy Hardy’ego na pier´scieniu.

2.3. Przestrzenie Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 30

Przypomnijmy, ˙ze dowolna funkcja holomorficzna f ∈ H(A) posiada rozwini˛e-cie w szereg Laurenta f = f1+ f2, gdzie f₁(z) = P^∞_n=0fb(n)zⁿ ∈ H(D) za´s f2(z) = P_∞

n=1fb(−n)z⁻ⁿ∈ H(E), gdzie E = C^∗\ r0D. Funkcja η : D → E zdefiniowana wzorem η(z) =

(_r

0

z dla z∈ D \ {0},

∞ dla z = 0

jest konforemnym odwzorowaniem dysku D na zbiór E. Dla f ∈ H(E) zdefiniujmy funkcj˛e

fe= f ◦ η.

Przestrzeni ˛a Hardy’ego–Orlicza H^Φ(A) jest zbiór tych wszystkich funkcji analitycznych f ∈ H(A), dla których k f kH^Φ(A)< +∞, gdzie

k f kH^Φ(A):= sup

r₀<r<1k frkL^Φ(T).

W podobny sposób zdefiniowa´c mo˙zemy przestrze´n H^Φ(E). Oznaczmy przez H₀^Φ(E) podprzestrze´n przestrzeni H^Φ(E) zawieraj ˛ac ˛a funkcje znikaj ˛ace w niesko´nczono´sci. Jest oczywiste, ˙ze f ∈ H^Φ(E) wtedy i tylko wtedy, gdy ef ∈ H^Φ(D). Ponadto odwzorowanie

f 7→ ef jest izometrycznym izomorfizmem przestrzeni H^Φ(E) na H^Φ(D).

Przypomnijmy, ˙ze gdyΦ jest wypukł ˛a funkcj ˛a Orlicza, to przestrze´n H^Φ(D), jest izometryczna z podprzestrzeni ˛a przestrzeni Orlicza L^Φ(T), zawieraj ˛ac ˛a te funkcje f^∗∈ L^Φ(T), których współczynniki Fouriera cf^∗(n) = 0 dla n < 0. W przypadku uogólnionych obszarów kołowychΩ opis podprzestrzeni L^Φ(∂ Ω, ω) (gdzie ω jest miar ˛a harmoniczn ˛a na∂ Ω) izomorficznej do H^Φ(Ω) (patrz twierdzenie 2.6) mo˙ze by´c trudny do uzyskania.

Sytuacja upraszcza si˛e jednak dlaΩ = A. Przypomnijmy, wynik uzyskany przez Sarasona [58].

Twierdzenie 2.9 ([58, Theorem 1]). Załó˙zmy, ˙ze f ∈ H^p(A), p ∈ [1, ∞) i niech f^∗ b˛edzie funkcj ˛a brzegow ˛a funkcji f . Je´sli f(z) = P^∞_n=−∞a_nzⁿjest rozwini˛eciem f w szereg Laurenta w A, to f^∗|_{∂ D}ma rozwini˛ecie w szereg Fouriera postaci

X∞ n=−∞

a_ne^int, t ∈ T,

za´s funkcja f^∗|r₀∂ Dma nast˛epuj ˛ace rozwini˛ecie w szereg Fouriera X∞

n=−∞

a_nr₀ⁿe^int, t∈ T.

Korzystaj ˛ac z powy˙zszego twierdzenia (dla p = 1) ci ˛agło´sci inkluzji L^Φ(µ) ,→

L¹(µ) dla miary sko´nczonej oraz równowa˙zno´sci miary harmonicznej i miary łukowej otrzymujemy rozszerzenie powy˙zszego rezultatu Sarasona dla przestrzeni Hardy’ego–

–Orlicza H^Φ(A).

Twierdzenie 2.10. Załó˙zmy, ˙ze f ∈ H^Φ(A), gdzie Φ jest wypukł ˛a funkcj ˛a Orlicza i niech f^∗ b˛edzie funkcj ˛a brzegow ˛a funkcji f . Je´sli f(z) = P^∞_n=−∞a_nzⁿjest rozwini˛eciem f w szereg Laurenta w A, to f^∗|∂ Dma rozwini˛ecie w szereg Fouriera postaci

X∞ n=−∞

a_ne^int, t ∈ T,

2.3. Przestrzenie Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 31

za´s funkcja f^∗|r₀∂ Dma nast˛epuj ˛ace rozwini˛ecie w szereg Fouriera X∞

Przypomnijmy tak˙ze, ˙ze dla dowolnej funkcji z klasy∆(α, β) istnieje równowa˙zna jej funkcja z klasy∆(α, β), sk ˛ad wynika, ˙ze przestrzenie Orlicza generowane przez te funkcje b˛ed ˛a równowa˙zne. Zauwa˙zmy, ˙ze dla f ∈ H(A), funkcja Φ(| f |) jest subharmoniczna, gdy Φ ∈ ∆(α, β). Łatwo równie˙z sprawdzi´c, ˙ze dla Φ ∈ ∆(α, β) prawdziwa jest nierówno´s´c Φ(x + y) ¶ 2^β(Φ(x) + Φ(y)), x, y ¾ 0. (2.11)

Je´sliΦ ∈ ∆(α, β), to H^Φ(A) ⊂ H^α(A), zatem granice radialne f^∗(e^{i t}) = limr→1⁻ f(re^{i t}) i f^∗(r0e^{i t}) = limr→r₀⁺f(re^{i t}) istniej ˛a dla prawie wszystkich t∈ T = [0, 2π), przy dowol-nym f ∈ H^Φ(A) (patrz [3]).

Twierdzenie 2.11. Je˙zeli funkcja OrliczaΦ ∈ ∆(α, β), to nast˛epuj ˛ace zbiory s ˛a równe H= H^Φ(A) =¦

Z dowolno´sci" > 0 otrzymujemy

k f kH^Φ(A)¶ 2^(1+β)/α(kf1kH^Φ(D)+ kf2kH^Φ₀(E)).

2.3. Przestrzenie Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 32 jest spełniona dla wszystkich r∈ (0, 1), gdy liczba " spełnia warunek

" ¾ 2^(1+β)/αmax na D oraz na E, odpowiednio. Oznaczmy te funkcje przez uf₁ oraz u_f

2. Wobec tego, dowodzona inkluzja wynika z nierówno´sci (2.11). Istotnie,

Φ(|f (z)|) ¶ 2^β(Φ(|f1(z)|) + Φ(|f2(z)|)), dla z ∈ A = D ∩ E,

co pokazuje, ˙ze harmoniczn ˛a majorant ˛a funkcjiΦ(|f |) na pier´scieniu A jest funkcja u_f = 2^β(uf₁+ uf₂).

(K⊂ L). Niech f = f1+ f2∈ K, gdzie f1∈ H(D) i f2∈ H0(E). Je´sli uf jest harmoniczn ˛a majorant ˛a funkcjiΦ(|f |), a s ustalon ˛a liczb ˛a rzeczywist ˛a z przedziału(r0, 1), to z (2.11) oraz faktu, ˙ze f₂jest ograniczona dla|z| > s dostajemy nierówno´s´c

Φ(|f |) ¶ 2^βu_f + C,

gdzie C ¾ 0 jest pewn ˛a stał ˛a. Zauwa˙zmy, ˙ze u_f = u1+ u2, gdzie u₁ jest harmoniczna w D za´s u2jest harmoniczna w E. Poniewa˙z u₂jest ograniczona dla|z| ¾ s, wi˛ec

Φ(|f1|) ¶ 2^βu₁+ C1 (2.12)

dla s ¶ |z| < 1 i dla pewnej nieujemnej stałej C1. Z drugiej stronyΦ(|f1|) jest subhar-moniczna na D, wi˛ec nierówno´s´c (2.12) zachodzi dla wszystkich z ∈ D. Ostatecznie

f₁∈ H^Φ(D). Podobne rozwa˙zania pokazuj ˛a, ˙ze f₂∈ H₀^Φ(E), a zatem f ∈ L.

Zauwa˙zmy, ˙ze odwzorowanie(f1, f₂) 7→ f jest bijekcj ˛a liniow ˛a z H^Φ(D) ⊕ H₀^Φ(E) na H^Φ(A). W dowodzie pierwszej inkluzji L ⊂ H udowodnili´smy, ˙ze operator ten jest ograniczony. St ˛ad, z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym otrzymujemy nast˛epuj ˛acy wynik.

Wniosek 2.12. NiechΦ b˛edzie tak ˛a funkcj ˛a Orlicza, ˙zeΦ ∈ ∆(α, β). Wówczas H^Φ(A) ∼= H^Φ(D) ⊕ H₀^Φ(E) z równowa˙zno´sci ˛a norm.

R ozdział 3

Powłoki Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu

W

^{tej cz˛}e´sci rozprawy przedstawimy opis powłok Banacha przestrzeni Hardy’ego–

–Orlicza na pier´scieniu, generowanych przez wkl˛esłe funkcje Orlicza, nale˙z ˛ace do klasy∆(α, β). W podrozdziale 3.1 badane b˛ed ˛a wagowe przestrzenie Bergmana – celem b˛edzie uzyskanie reprezentacji w postaci sumy prostej, z którego w szczególno´sci wyni-ka´c b˛edzie uogólnienie nierówno´sci Hardy’ego–Littlewooda na przypadek przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pier´scieniu. W podrozdziale 3.2, metody z prac[60] oraz [48], przedstawimy główne twierdzenie rozdziału. Opisane wyniki pochodz ˛a z pracy[56].

3.1. Wagowe przestrzenie Bergmana

Niechϕ, ω: [0, 1) → (0, +∞) b˛ed ˛a funkcjami ci ˛agłymi spełniaj ˛acymi nast˛epuj ˛ace wa-runki

r→1lim⁻ω(r) = 0, (3.1)

oraz

Z 1 0

ϕ(r)dr < +∞. (3.2)

Funkcj˛eω nazywamy normaln ˛a, je´sli istniej ˛a takie liczby k> " > 0 oraz 0 < s < 1, ˙ze ω(r)

(1 − r)^" & 0, ω(r)

(1 − r)^k % +∞, r ¾ s, r → 1⁻. 33

3.1. Wagowe przestrzenie Bergmana 34

Mówimy, ˙ze zbiór{ω, ϕ} funkcji okre´slonych na przedziale [0, 1) jest par ˛a normaln ˛a, gdyω jest funkcj ˛a normaln ˛a i dla pewnego k spełniaj ˛acego powy˙zszy warunek istnieje takieα > k − 1, ˙ze

ω(r)ϕ(r) = (1 − r²)^α, 0 ¶ r < 1.

Zauwa˙zmy, ˙ze gdyω jest funkcj ˛a normaln ˛a, wówczas istnieje taka funkcjaϕ, ˙ze para {ω, ϕ} jest normalna.

Dla funkcjiω, ϕ spełniaj ˛acych warunki (3.1) i (3.2) A. L. Shields i D. L. Williams zdefiniowali w[64] nast˛epuj ˛ace przestrzenie funkcji holomorficznych

B_∞^ω (D) :=¦

3.1. Wagowe przestrzenie Bergmana 35

Przez B_1,0^ψ (E) oznacza´c b˛edziemy podprzestrze´n przestrzeni B^ψ₁(E) zawieraj ˛ac ˛a funkcje znikaj ˛ace w niesko´nczono´sci. Podobnie definiujemy B^υ_∞,0(E) ⊂ B^υ_∞(E). Dla f ∈ B₁^ψ(E) odwzorowanie f 7→ ef jest izometrycznym izomorfizmem przestrzeni B₁^ψ(E) na B₁^ϕ(D), gdzie

ψ(|z|) = ϕ(η(|z|)) r₀

|z|², z∈ E.

Niechϕ, ψ, ω, υ b˛ed ˛a zdefiniowane jak wcze´sniej. Definiujemy

B₁^ϕ,ψ(A) :=¦

Jest oczywiste, ˙ze B₁^ϕ,ψ(A) oraz B_∞^ω,υ(A) s ˛a unormowanymi przestrzeniami wektorowymi.

Stwierdzenie 3.1. Funkcja f ∈ B^ϕ,ψ₁ (A) wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ˛a takie f₁∈ B₁^ϕ(D) i f₂∈ B^ψ_1,0(E), ˙ze f = f1+ f2.

Dowód. Załó˙zmy, ˙ze f₁∈ B^ϕ₁(D) i f2 ∈ B_1,0^ψ (E). Niech s ∈ (r0, 1). Wówczas f = f1+ f2

jest funkcj ˛a holomorficzn ˛a w A, a ponadto Z 1

Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zda z powy˙zszych całek jest sko´nczona, zatem f ∈ B^ϕ,ψ₁ (A).

Odwrotnie, je´sli f = f1+ f2∈ B₁^ϕ,ψ(A), to

Łatwo wida´c, ˙ze pierwsza i trzecia całka s ˛a sko´nczone. Aby udowodni´c, ˙ze równie˙z druga całka jest sko´nczona, połó˙zmy q := inf{ψ(r) : s < r < 1}. Wówczas

Z 1 s

ϕ(r)M1(f , r)dr ¶ q⁻¹k f k_B^ϕ,ψ

1 (A), sk ˛ad wynika prawdziwo´s´c drugiej implikacji.

Stwierdzenie 3.2. Je´sli F jest ograniczonym podzbiorem w przestrzeni B^ϕ,ψ₁ (A), to funkcje nale˙z ˛ace do F s ˛a niemal jednostajnie ograniczone w A.

Dowód. Dla 0< r < s, niech A(r, s) = {z ∈ C : r ¶ |z| ¶ s}. Bez straty ogólno´sci załó˙zmy,

˙ze F ⊂ B_B^ϕ,ψ

1 (A). Niech A(r⁰, r⁰⁰) b˛edzie zwartym podzbiorem A. Podobnie zdefiniujmy

3.1. Wagowe przestrzenie Bergmana 36

A(s⁰, s⁰⁰) oraz A(t⁰, t⁰⁰), przy czym o liczbach s⁰, s⁰⁰, r⁰, r⁰⁰, t⁰, t⁰⁰ załó˙zmy dodatkowo, ˙ze spełniaj ˛a one nierówno´sci

r₀< s⁰< s⁰⁰< r⁰< r⁰⁰< t⁰< t⁰⁰< 1.

Wyra˙zenie po prawej stronie powy˙zszej nierówno´sci jest stał ˛a zale˙zn ˛a od wyboru zwar-tego podzbioru A(r⁰, r⁰⁰) pier´scienia A. Pokazali´smy zatem, ˙ze rodzina F jest niemal jednostajnie ograniczona w A.

Stwierdzenie 3.3. Przestrze´n B₁^ϕ,ψ(A) jest przestrzeni ˛a Banacha. Zbie˙zno´s´c w B₁^ϕ,ψ(A) implikuje zbie˙zno´s´c niemal jednostajn ˛a w A.

Dowód. Niech{ fn} b˛edzie ci ˛agiem Cauchy’ego w B^ϕ,ψ₁ (A). Zauwa˙zmy, ˙ze B₁^ϕ,ψ(A) zawie-ra si˛e w przestrzeni L¹(A, µ) z miar ˛aµ =_2π¹ ϕ(r)ψ(r) dr dw. Z zupełno´sci przestrzeni L¹(A, µ) wnioskujemy, ˙ze fn→ f dla pewnego f ∈ L¹(A, µ). St ˛ad istnieje podci ˛ag{ fn_k} ci ˛agu{ fn} zbie˙zny p.w. do f . Poniewa˙z { fnk} jest ograniczony w B^ϕ,ψ₁ (A), z poprzedniego stwierdzenia i twierdzenia Montela wnioskujemy, ˙ze{ fn_k} jest rodzin ˛a normaln ˛a. Zatem istnieje podci ˛ag ci ˛agu{ fn_k} zbie˙zny niemal jednostajnie do funkcji g ∈ H(A). Zauwa˙zmy,

˙ze f = g p.w., a poniewa˙z g jest holomorficzna oraz g ∈ L¹(A, µ), wi˛ec g ∈ B^ϕ,ψ₁ (A) oraz f_n→ g w B^ϕ,ψ₁ (A). St ˛ad B₁^ϕ,ψ(A) jest przestrzeni ˛a Banacha. Zauwa˙zmy, ˙ze z zastosowanej argumentacji wynika równie˙z, ˙ze ci ˛ag{ fn} d ˛a˙zy do g niemal jednostajnie w A.

Zauwa˙zmy, ˙ze podobna reprezentacja do tej ze stwierdzenia 3.1 zachodzi w przy-padku przestrzeni B_∞^ω,υ(A).

Stwierdzenie 3.4. Funkcja f ∈ B_∞^ω,υ(A) wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ˛a takie f₁∈ B^ω_∞(D) i f₂∈ B^υ_∞,0(E), ˙ze f = f1+ f2.

3.1. Wagowe przestrzenie Bergmana 37

Dowód. Przypu´s´cmy, ˙ze f₁∈ B_∞^ω (D). Wówczas supz∈D| f1(z)|ω(|z|) < +∞, a st ˛ad

sup

z∈A| f1(z)|υ(|z|)ω(|z|) < +∞.

Analogicznie w przypadku, gdy f₂∈ B^υ_∞,0(E) dostajemy, ˙ze sup_z∈A| f2(z)|υ(|z|)ω(|z|) <

+∞, sk ˛ad łatwo wynika, ˙ze sup_z∈A| f (z)|υ(|z|)ω(|z|) < +∞.

Niech f = f1+ f2∈ B_∞^ω,υ(A). Ustalmy s ∈ (r0, 1), wówczas

sup

z∈D| f1(z)|ω(|z|) = sup

|z|<1| f1(z)|ω(|z|) ¶ sup

|z|¶s| f1(z)|ω(|z|) + max

|z|¾sυ(|z|) sup

s¶|z|<1| f (z)|ω(|z|) + sup

s¶z¶1| f2(z)|ω(|z|) < +∞.

W podobny sposób dowodzimy, ˙ze f₂∈ B^υ_∞,0(E).

Twierdzenie 3.5. Załó˙zmy, ˙ze funkcjeϕ, ψ, ω, υ spełniaj ˛a warunki(3.1)–(3.4). Wówczas prawdziwe s ˛a nast˛epuj ˛ace izomorfizmy mi˛edzy odpowiednimi przestrzeniami Banacha:

(i) B₁^ϕ,ψ(A) ∼= B^ϕ1(D) ⊕ B_1,0^ψ (E), (ii) B_∞^ω,υ(A) ∼= B^ω_∞(D) ⊕ B_∞,0^υ (E).

Dowód. (i). Odwzorowanie B^ϕ₁(D) ⊕ B_1,0^ψ (E) 3 (f1, f₂) 7→ f := f1+ f2 ∈ B₁^ϕ,ψ(A) jest liniow ˛a bijekcj ˛a. Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym wynika, ˙ze je´sli jest ono ci ˛agłe, to równie˙z odwzorowanie odwrotne jest ci ˛agłe, zatem problem redukuje si˛e do udowodnienia nierówno´sci

k f1k_B^ϕ,ψ

1 (A)¶ C k f1kB^ϕ₁(D), f₁∈ B₁^ϕ(D), k f2k_B^ϕ,ψ

1 (A)¶ C⁰k f2k_B^ψ

1,0(E), f₂∈ B_1,0^ψ (E), gdzie C, C⁰s ˛a pewnymi stałymi zale˙znymi jedynie odϕ, ψ.

Niech f₁∈ B^ϕ₁(D). Ustalmy t, s ∈ (r0, 1) przy czym s < t, wówczas

Z s r₀

ϕ(r)ψ(r)dr ¶ max

r∈[r0,s]ϕ(r) Z s

r₀

ψ(r)dr =: K.

Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja M₁(g, ·) jest niemalej ˛aca na[0, 1), zatem dla dowolnego g ∈ H(D) mamy

Z s r₀

M₁(f1, r)ϕ(r)ψ(r)dr ¶ K M1(f1, s),

3.1. Wagowe przestrzenie Bergmana 38

Drug ˛a z nierówno´sci dowodzimy u˙zywaj ˛ac tej samej techniki.

(ii). Podobnie jak w poprzednim podpunkcie, problem redukuje si˛e do nierówno´sci k f1kB^ω,υ_∞(A)¶ C k f1kB_∞^ω(D), f₁∈ B_∞^ω(D),

k f2kB^ω,υ_∞(A)¶ C k f2kB_∞,0^υ (E), f₂∈ B^υ_∞,0(E), które w tym przypadku s ˛a oczywiste.

Zauwa˙zmy, ˙ze twierdzenie 3.5 mo˙zna udowodni´c tak˙ze w inny sposób. Z po-przednich rozwa˙za´n wynika, ˙ze topologie przestrzeni B₁^ϕ,ψ(A), B^ϕ₁(D) oraz B^ψ_1,0(E) s ˛a mocniejsze ni˙z topologie zbie˙zno´sci niemal jednostajnej. Ten fakt jest oczywisty tak˙ze dla przestrzeni B^ω,υ_∞ (A), B_∞^ω(D) i B_∞,0^υ (E). Łatwo pokaza´c, ˙ze odwzorowanie (f1, f₂) 7→ f1+ f2 mi˛edzy badanymi przestrzeniami ma domkni˛ety wykres w topologii zbie˙zno´sci niemal jednostajnej. Zatem z twierdzenia o domkni˛etym wykresie dostajemy ci ˛agło´s´c tego operatora.

3.2. Powłoki Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 39

3.2. Powłoki Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu

W podrozdziale tym zaprezentujemy główny wynik rozdziału – opis powłok Mackeya w przypadku przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pier´scieniu generowanych przez funkcje Orlicza, które mo˙zna „dobrze przybli˙za´c” wkl˛esłymi funkcjami pot˛egowymi. Twierdzenie to zastosujemy do wyznaczenia przestrzeni dualnych do przestrzeni Hardy’ego–Orlicza.

Zauwa˙zmy, ˙ze rezultat ten rozszerza w znaczny sposób wynik Boyda z pracy[3], w której zaprezentowany został opis powłok Mackeya w przypadku przestrzeni Hardy’ego H^p(A) dla 0< p < 1.

Twierdzenie 3.6. Niech funkcja Orlicza Φ ∈ ∆(α, β), β < 1 oraz niech ϕ(r) = (1 − r)⁻²/Φ⁻¹(_1−r¹ ), ψ(r) = (ϕ ◦ η⁻¹)(r)^rr⁰² dla r∈ (r0, 1). Wówczas powłoka Banacha prze-strzeni H^Φ(A) jest izomorficzna z przestrzeni ˛a Banacha B^ϕ,ψ₁ (A).

Aby udowodni´c twierdzenie 3.6 nale˙zy pokaza´c, ˙ze topologia indukowana przez norm˛ek · kB₁^ϕ,υ(A)jest słabsza ni˙z topologia przestrzeni H^Φ(A) oraz ˙ze H^Φ(A)-domkni˛ecie absolutnie wypukłej powłoki ka˙zdego H^Φ(A)-otoczenia zera zawiera pewne B1^ϕ,ψ (A)--otoczenie zera. Pierwszy warunek jest spełniony. Istotnie, z wniosku 2.12 oraz twier-dzenia 3.5 otrzymujemy, ˙ze H^Φ(A) ∼= H^Φ(D) ⊕ H₀^Φ(E) oraz B₁^ϕ,ψ(A) ∼= B1^ϕ(D) ⊕ B_1,0^ψ (E).

Poniewa˙z H^Φ(D) ,→ B^ϕ₁(D) (patrz [48, Lemma 5]), wi˛ec

H^Φ(A) ∼= H^Φ(D) ⊕ H₀^Φ(E) ,→ B^ϕ₁(D) ⊕ B_1,0^ψ (E) ∼= B^ϕ,ψ1 (A).

Dowód drugiego z warunków jest oparty na metodach z pracy[60] (w przypadku H^p(D), gdzie 0 < p < 1). Udowodnimy, ˙ze dla dowolnego f ∈ H^Φ(A) spełniaj ˛acego warunekk f k_B^ϕ,ψ

1 (A)¶ C istnieje zespolona miara borelowska µ na A oraz rodzina {F^ξ} funkcji holomorficznych F^ξ: A → C, gdzie ξ ∈ A, dla których nast˛epuj ˛ace warunki s ˛a spełnione:

f(z) = Z

A

F^ξ(z)dµ(ξ), z ∈ A, (3.7)

kF^ξkH^Φ(A)¶ M , (3.8)

|µ|(A) ¶ 1. (3.9)

przy pewnej stałej M> 0. Zauwa˙zmy, ˙ze warunki (3.7)–(3.9) wyra˙zaj ˛a f jako „uogól-nion ˛a kombinacj˛e wypukł ˛a” funkcji F^ξ.

Dowód twierdzenia 3.6. Niechγ >_α¹−2 oraz niech ξ ∈ A. Zdefiniujmy funkcj˛e K(ξ, ·) :=

K₁(ξ, ·) + K2(ξ, ·), gdzie

K₁(ξ, z) :=

X∞ n=0

(1 − |ξ|²)^γ(B¹r₀(n + 1, γ + 1))⁻¹(ξ)ⁿzⁿ,

K₂(ξ, z) :=

X∞ n=0

€1− r₀²

|ξ|²

Šγ

(B¹_r0(n + 1, γ + 1))⁻¹r₀²ⁿ⁺²|ξ|⁻⁴(ξ)⁻ⁿz⁻ⁿ,

3.2. Powłoki Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 40

dla dowolnego z∈ A oraz

B¹_r

Istotnie, funkcja ta jest analityczna na wi˛ekszym pier´scieniu, gdy˙z promienie zbie˙zno´sci funkcji K₁ i K₂s ˛a odpowiednio równe _|ξ|¹ > 1 i_|ξ|^r02 < r0. Ponadto dla f ∈ B^ϕ,υ₁ (A) mamy

3.2. Powłoki Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 41

pokazuj ˛a, ˙ze warunek (3.7) jest równie˙z spełniony. Aby udowodni´c nierówno´s´c (3.8) po-ka˙zemy, ˙zekF₁^ξkH^Φ(A)¶ C dla pewnej stałej C (niezale˙znej odξ). Analogicznie pokazuje si˛ekF₂^ξkH^Φ(A)¶ C⁰. Nast˛epnie stosuj ˛ac twierdzenie 2.12 dostajemy oszacowanie (3.8).

Z pracy[60] wiemy, ˙ze funkcja I^ξokre´slona na A wzorem I^ξ(z) = 1 dla pewnej stałejκ > 0. Zauwa˙zmy, ˙ze dla pewnych stałych C1, C₂, C₃(zale˙znych jedynie od r₀orazγ) i n ¾ 1 prawdziwe s ˛a zale˙zno´sci Jedynie pierwsza nierówno´s´c w formule (3.12) oraz nierówno´s´c (3.13) s ˛a nietrywialne.

Przypu´s´cmy, ˙zeγ ¶ 0. Wówczas (1 − u)^γjest niemalej ˛ac ˛a funkcj ˛a na przedziale[0, 1),

Mno˙z ˛ac nierówno´s´c stronami przez r₀²oraz dodaj ˛ac obustronnieR1

r₀²uⁿ(1 − u)^γdu otrzy-mujemy nierówno´s´c (3.13) ze stał ˛a ^r20

1−r²₀ + 1. Je´sli γ > 0 wówczas funkcja (1 − u)^γ jest ci ˛agła na przedziale[0, 1] oraz dodatnia dla u ∈ [0, 1). Istnieje wi˛ec taka stała c, ˙ze

1

3.2. Powłoki Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 42

U˙zywaj ˛ac tych samych argumentów, jak w poprzednim przypadku, dostajemy nierówno´s´c (3.13). Przypomnijmy, ˙ze

B(n + 1, γ + 1) = Γ (γ + 1) Γ (n + 1) Γ (n + 1 + γ + 1).

Korzystaj ˛ac z zale˙zno´sci ^{Γ (z+k)}_kzΓ (k) → 1, gdy k → ∞ dla z = γ + 1 oraz dla k = n + 1 otrzymujemy nierówno´s´c (3.12).

Z warunków (3.11) i (3.13) otrzymujemy  wi˛ec z oszacowania (3.10) mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze

1 Aby zako´nczy´c dowód rozwa˙zmy funkcje h, h₁: A → C okre´slone wzorami

h(z) = (1 − |ξ|)^γ+2

Całkuj ˛ac ostatni ˛a nierówno´s´c stronami otrzymujemy

ρΦ(F₁^ξ) ¶ κ⁰⁰khk^α_α(1 − |ξ|)⁻¹, ξ ∈ A,

gdzie przez ρΦ oznaczamy modular. Z oszacowania (3.15) wnioskujemy, ˙ze khk^α_α ¶ κ⁰(1 − |ξ|), ξ ∈ A. Ostatecznie dostajemy ρΦ(F₁^ξ) ¶ κ⁰κ⁰⁰dla ka˙zdegoξ ∈ A, co dowodzi nierówno´sci (3.8).

Twierdzenie 3.6 mo˙zemy zastosowa´c do opisu przestrzeni dualnych do H^Φ(A).

Twierdzenie 3.7. Niech funkcja Orlicza Φ spełnia warunek Φ ∈ ∆(α, β) dla β < 1.

Wówczas H^Φ(A)^∗∼= B^ω,υ_∞ (A), gdzie

3.2. Powłoki Banacha przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu 43

Dokładniej, je´sli f ∈ B^ω,υ_∞ (A), to funkcjonał x^∗_f ∈ B^ϕ,ψ(A)^∗, gdzie

x^∗_f(g) = Z

A

g(z)f (z)ϕ(|z|)ψ(|z|)ω(|z|)υ(|z|)dλ2(z), g ∈ H^Φ(A).

Odwrotnie, je´sli x^∗∈ H^Φ(A)^∗, to istnieje jedyna funkcja f ∈ B^ω,υ_∞ (A), ˙ze x^∗= x^∗_f.

Dowód. Na mocy twierdzenia 3.6 mamy H^Φ(A)^∗ = B₁^ϕ,ψ(A)^∗. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze x^∗_f ∈ B₁^ϕ,ψ(A). Przypu´s´cmy wi˛ec, ˙ze x^∗ ∈ B₁^ϕ,ψ(A)^∗. Wówczas na mocy twierdzenia 3.5 istniej ˛a takie jedyne funkcjonały x₁^∗∈ B₁^ϕ(D)^∗oraz x^∗₂∈ B^ψ_1,0(E)^∗, ˙ze x^∗= x₁^∗+ x^∗₂. Korzystaj ˛ac z opisu przestrzeni dualnych do B₁^ϕ(D) oraz B_1,0^ψ (E) wnioskujemy istnienie funkcji f₁∈ B^ω_∞(D) i f2∈ B^υ_∞,0(E), które odpowiadaj ˛a funkcjonałom x^∗₁i x^∗₂odpowiednio.

Korzystaj ˛ac ponownie z twierdzenia 3.5 otrzymujemy f = f1+ f2∈ B_∞^ω,υ(A). St ˛ad wynika,

˙ze x^∗= x^∗f.

R ozdział 4

Operatory kompozycji na przestrzeniach Hardy’ego–Orlicza

W

rozdziale tym zaprezentujemy wyniki bada´n dotycz ˛acych operatorów kompozycji na przestrzeniach Hardy’ego–Orlicza na obszarach kołowych. Cz˛e´s´c rezultatów za-warta jest w pracy[57]. W tym celu zastosujemy pewne metody z prac [32, 29, 31, 33, 53]

do badania operatorów kompozycji mi˛edzy przestrzeniami Banacha funkcji holomorficz-nych za pomoc ˛a operatorów inkluzji z przestrzeni funkcji holomorficznych do przestrzeni funkcji mierzalnych nad przestrzeniami miar borelowskich na obszarach w C. W zwi ˛azku z tym b˛edziemy bada´c zwarto´s´c operatora inkluzji j_µ: H^Φ(Ω) → H^Φ(Ω), gdzie µ jest miar ˛a borelowsk ˛a na domkni˛eciuΩ obszaru kołowego Ω płaszczyzny zespolonej. Podana zostanie charakteryzacja porz ˛adkowo ograniczonych operatorów generowanych przez operatory kompozycji. Ponadto udowodnimy twierdzenia o słabej zwarto´sci i zupełnej ci ˛agło´sci operatorów kompozycji na przestrzeniach Hardy’ego–Orlicza na obszarach kołowych.

Termin funkcja Orlicza zarezerwowany b˛edzie w tym rozdziale dla wypukłych funkcji Orlicza. Ponadto symbolΩ oznacza´c b˛edzie obszar kołowy, cho´c w przypadku kilku twierdze´n ograniczenie to nie b˛edzie konieczne. Przypomnijmy, ˙ze gdy ϕ jest holomorficznym odwzorowaniem obszaru Ω w siebie, tj. ϕ : Ω → Ω (fakt ten zapisy-wa´c b˛edziemy nast˛epuj ˛aco:ϕ ∈ ΥΩ), wówczas dla f ∈ H(Ω) operator Cϕ definiujemy wzorem:

(Cϕf)(z) := (f ◦ ϕ)(z), z ∈ Ω.

Na wst˛epie uzasadnimy, ˙ze C_ϕ: H^Φ(Ω) → H^Φ(Ω) jest operatorem liniowym. Liniowo´s´c jest oczywista. Aby udowodni´c, ˙ze C_ϕ jest ograniczony, niech f ∈ H^Φ(Ω), przy czym k f kH^Φ(Ω)= λ, gdzie λ = inf{" > 0 : vf,"(z0) ¶ 1} oraz vf," jest najmniejsz ˛a harmoniczn ˛a

44

4.1. Zwarte operatory kompozycji 45

majorant ˛a funkcjiΦ ^{| f |}_"
w zbiorze Ω. Wówczas mamy Φ€| f ◦ ϕ|

"

Š

¶ vf,"◦ ϕ

oraz v_f,"◦ ϕ jest funkcj ˛a harmoniczn ˛a wΩ. Ponadto Φ ^{| f (ϕ(z}_"^0))|

¶ vf,"(ϕ(z0)). Połó˙zmy w₀= ϕ(z0), wówczas z nierówno´sci Harnacka istnieje taka stała c > 0, ˙ze vf,"(w0) ¶ c v_f,"(z0). St ˛ad dla C= max{c, 1} mamy

kCϕfkH^Φ(Ω)¶ C k f kH^Φ(Ω), f ∈ H^Φ(Ω).

Ograniczono´s´c operatora kompozycji C_ϕ: H^p(D) → H^p(D) została wykazana przez Littlewooda w 1925 roku (patrz [40]). Klasyczne metody mo˙zna zastosowa´c tak˙ze w przypadku klas Hardy’ego–Orlicza na dysku. Okazuje si˛e jednak, ˙ze w przypadku przestrzeni na obszarach wielospójnych pojawia si˛e istotny problem wynikaj ˛acy z braku pewnych narz˛edzi (np. lematu Schwarza). Aby zobaczy´c, jak u˙zyteczna jest terminologia

„harmonicznych majorant” przytoczmy wynik Boyda [3], który w kilkustronicowym dowodzie wykazał, ˙ze norma operatora kompozycji C_ϕ: H^p(A) → H^p(A), gdy p ¾ 1, spełnia nierówno´s´c

kCϕk ¶

•1+ tgh(π|t|/(2q)) + tg(π| log(|w|/pr0)|/(2q))[1 − tgh(π|t|/(2q))]

1− tgh(π|t|/(2q)) − tg(π| log(|w|/pr₀)|/(2q))[1 + tgh(π|t|/(2q))]

˜1/p

,

gdzieϕ(pr0) = w = |w|e^{i t} i q= − log r0, 0< r0< 1.

Nasze dalsze rozwa˙zania dotyczy´c b˛ed ˛a opisu zwartych operatorów kompozycji na przestrzeniach Hardy’ego–Orlicza na obszarach.

4.1. Zwarte operatory kompozycji

Studia dotycz ˛ace zwartych operatorów kompozycji rozpoczniemy od przypomnienia znanego twierdzenia, którego dowód znale´z´c mo˙zna w pracy [32, Proposition 3.8].

Dodajmy, ˙ze w klasycznym przypadku (dla X = Y = H^p) twierdzenie to nosi nazw˛e kryterium Schwartza.

Stwierdzenie 4.1. Niech X , Y b˛ed ˛a przestrzeniami Banacha funkcji analitycznych na obszarzeΩ ⊂ C, przy czym o X załó˙zmy, ˙ze ma własno´s´c Fatou. Niech ϕ ∈ Υ_Ω b˛edzie takie, ˙ze C_ϕf ∈ Y , o ile f ∈ X . Wówczas Cϕ: X → Y jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ci ˛agu{ fn} ograniczonego w X i zbie˙znego niemal jednostajnie do 0, mamy kCϕf_nkY → 0.

Stosuj ˛ac stwierdzenie 4.1 dla X= Y = H^Φ(Ω) (o których wiemy, ˙ze maj ˛a własno´s´c Fatou), otrzymujemy warunek konieczny na zwarto´s´c operatora C_ϕ.

Stwierdzenie 4.2. NiechΩ b˛edzie obszarem kołowym i niech ϕ ∈ ΥΩ. Je´sli C_ϕ: H^Φ(Ω) → H^Φ(Ω) jest operatorem zwartym, to dla ka˙zdego 0 ¶ i ¶ m mamy

slim→1⁻sup

p∈TΦ⁻¹€ 1 1− s

ŠkCϕuⁱ_p,skH^Φ(Ω)= 0. (4.1)

4.1. Zwarte operatory kompozycji 46

na zwartych podzbiorachΩ. Na mocy stwierdzenia 4.1 otrzymujemy

C_ϕf_n

H^Φ(Ω)→ 0, co ko´nczy dowód.

4.1.1. Miary Carlesona i operatory inkluzji

NiechΩ b˛edzie obszarem kołowym w C oraz niech ϕ ∈ ΥΩ. Poniewa˙zϕ jest odwzo-rowaniem ograniczonym wi˛ec z twierdzenia 2.6 wynika, ˙ze istnieje funkcja brzegowa ϕ^∗∈ L^Φ(∂ Ω, ω) (= L^Φ(∂ Ω, ds)). W dalszym ci ˛agu dla ustalonegoϕ ∈ Υ_Ωdefiniujemy miar˛eµϕ naσ-algebrze B(Ω) zbiorów borelowskich w Ω wzorem

µϕ(B) := s((ϕ^∗)⁻¹(B)), B ∈ B(Ω).

Powy˙zsza zale˙zno´s´c pokazuje, ˙ze pewne własno´sci operatora kompozycji C_ϕ: H^Φ(Ω) → H^Φ(Ω) mog ˛a by´c wyra˙zone w terminach operatora inkluzji j_µϕ: H^Φ(Ω) ,→ L^Φ(Ω, µϕ).

4.1. Zwarte operatory kompozycji 47

W szczególno´sci mo˙zemy zastosowa´c ten operator do badania zwartych operatorów kompozycji, gdy˙z jak wiadomo operatory zwarte maj ˛a własno´s´c ideału. Operatory inkluzji bada´c b˛edziemy tak˙ze w ogólnym przypadku – nie tylko w przypadku miar µϕ, ale równie˙z dla sko´nczonych miar borelowskich.

Lemat 4.3. NiechΩ b˛edzie obszarem kołowym, Φ funkcj ˛a Orlicza i niechµ b˛edzie sko´nczon ˛a miar ˛a borelowsk ˛a. Załó˙zmy, ˙ze j_µ: H^Φ(Ω) ,→ L^Φ(Ω, µ) jest operatorem zwartym. Wówczas µ(∂ Ω) = 0.

Dowód. Zauwa˙zmy, ˙ze lemat jest prawdziwy w przypadkuΩ = D (patrz [32, Lemma 4.8]). Aby otrzyma´c przypadek ogólny, rozwa˙zmy odwzorowania Ti: H^Φ → H^Φ(Ω), zdefiniowane dla i∈ {0, . . . , m} nast˛epuj ˛aco

Tif = f ◦ η⁻¹i |Ω.

Jest jasne, ˙ze T_ijest ograniczonym operatorem dla ka˙zdego 0 ¶ i ¶ m. Zauwa˙zmy, ˙ze ci ˛ag {en}, gdzie en(z) := zⁿ, dla z∈ D jest ci ˛agiem słabo zbie˙znym do zera w HM^Φ(D). Wynika st ˛ad, ˙ze T_ie_n→ 0 słabo w HM^Φ(Ω) dla ka˙zdego 0 ¶ i ¶ m. Ze zwarto´sci operatora jµ

wynika, ˙ze dla dowolnego" > 0 i odpowiednio du˙zych n Z

Ω

Φ€ r_iⁿ

|z − ai|ⁿ

Š

dµ < ", 1 ¶ i ¶ m oraz

Z

Ω

Φ(|zⁿ|) dµ < ".

W konsekwencji

Z

∂ Ω

Φ(1) dµ ¶ (m + 1)".

St ˛adµ(∂ Ω) = 0.

Niech{Ωn} b˛edzie regularnym wyczerpaniem obszaru Ω oraz niech µ b˛edzie miar ˛a borelowsk ˛a naΩ. Operator In: H^Φ(Ω) → L^Φ(Ω, µ) definiujemy nast˛epuj ˛aco

I_n(f ) := f χ_Ω\Ωn.

Twierdzenie 4.4. NiechΩ b˛edzie obszarem kołowym. Niech µ b˛edzie sko´nczon ˛a miar ˛a borelowsk ˛a naΩ i niech Φ b˛edzie funkcj ˛a Orlicza. Nast˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne:

(i) Operator inkluzji j_µ: H^Φ(Ω) ,→ L^Φ(Ω, µ) jest zwarty.

(ii) Dla dowolnego ograniczonego ci ˛agu{ fn} w H^Φ(Ω) zbie˙znego niemal jednostajnie do 0, mamyk fnkL^Φ(Ω,µ)→ 0.

(iii) Operator j_µ: H^Φ(Ω) ,→ L^Φ(Ω, µ) jest ci ˛agły oraz dla dowolnego regularnego wyczer-pania{Ωn} zbioru Ω

n→∞lim kInkH^Φ(Ω)→L^Φ(Ω,µ)= 0.

4.1. Zwarte operatory kompozycji 48

Dowód. W dowodzie faktu, ˙ze warunek (ii) implikuje warunek (i) korzystamy ze standar-dowych technik, które mo˙zna znale´z´c np. w pracy[53]. Poka˙zemy, ˙ze (i) implikuje (ii).

Z lematu 4.3 wiemy, ˙zeµ(∂ Ω) = 0. We´zmy taki ci ˛ag{ fn} ⊂ BH^Φ(Ω), ˙ze f_n→ 0 jednostajnie na zwartych podzbiorachΩ. W szczególno´sci fn(z) → 0 dla ka˙zdego z ∈ Ω, a poniewa˙z µ(∂ Ω) = 0 mamy wi˛ec fn→ 0 µ-p.w. na Ω. Dla dowodu nie wprost przypu´s´cmy, ˙ze { fn} nie jest zbie˙zny do zera w L^Φ(Ω, µ). Ze zwarto´sci operatora inkluzji jµwnioskujemy, ˙ze istnieje taki podci ˛ag{ fn_k}, ˙ze fn_k → g 6= 0 w L^Φ(Ω, µ). Z drugiej strony fn_k → g µ-p.w.

co daje sprzeczno´s´c.

Przypu´s´cmy teraz, ˙ze zachodzi warunek (iii). Mamy k jµk = lim_n

→∞k jµ− Ink.

Zauwa˙zmy, ˙ze j_µ− Injest operatorem inkluzji z H^Φ(Ω) do L^Φ(Ω, ν) dla sko´nczonej miary borelowskiejν, której no´snikiem jest Ωn. Stosuj ˛ac równowa˙zno´s´c warunków (i) i (ii) do I_νⁿ:= j_µ− Inotrzymujemy, ˙ze I_νⁿjest operatorem zwartym przy dowolnym n∈ N, a st ˛ad j_µjest zwarty jako granica operatorów zwartych.

Przypu´s´cmy, ˙ze spełniony jest warunek (ii). Zauwa˙zmy, ˙ze ci ˛ag{kInk} jest malej ˛acy, wi˛ec je´sli warunek (iii) nie byłby prawdziwy, wówczas istniałaby stała"0> 0, ci ˛ag{ fn} elementów z kuli jednostkowej H^Φ(Ω) oraz takie regularne wyczerpanie {Ωn} zbioru Ω,

˙

zekInf_nkL^Φ(Ω,µ)> "0, dla n∈ N. Zauwa˙zmy, ˙ze ci ˛ag{ fn} jest jednostajnie ograniczony na zwartych podzbiorachΩ. Na mocy twierdzenia 2.3 mo˙zemy rozło˙zy´c fnnast˛epuj ˛aco

f_n(z) = f0,n(z) + f1,n(z) + · · · + fm,n(z), z ∈ Ω, podzbiorachΩ. Wyka˙zemy, ˙ze z warunku (ii) wynika kgnkL^Φ(Ω,µ) → 0. Rzeczywi´scie, zauwa˙zmy, ˙ze je´sli dist(Γi, z) ¶ ¹n, tzn. z∈ Aⁿ_i, gdzie dla 1 ¶ i ¶ m, n ∈ N

Otrzymujemy zatem sprzeczno´s´c, gdy˙zkgnkL^Φ(Ω,µ)→ 0.

4.1. Zwarte operatory kompozycji 49

Oknem Carlesona na i-tej składowej brzeguΓi⊂ Γ = ∂ Ω o ´srodku w punkcie ξ ∈ Γi

i promieniu 0< h < mini6= jdist(Γi,Γj) nazywa´c b˛edziemy zbiór W₀(ξ, h) =¦

z∈ Ω : 1 − h < |z|, | arg(ξz)| < h© , W_i(ξ, h) =¦

z∈ Ω : |z − ai| < r_i

1− h,| arg(ξz)| < h©

, 1 ¶ i ¶ m.

Łatwo sprawdzi´c, ˙ze z∈ W0(ξ, h) wtedy i tylko wtedy, gdy ηi(z) ∈ Wi ηi(ξ), h
, gdzie 1 ¶ i ¶ m. Zauwa˙zmy tak˙ze, ˙ze dwuwymiarowa miara Lebesgue’a λ2okna Carlesona W_i ηi(ξ), h
spełnia zale˙zno´s´c

λ2 W_i(ξ, h)
≈ 2ri²h², przy czym stała 2r_i²jest optymalna dla małych h.

Niech Ω b˛edzie obszarem kołowym, µ sko´nczon ˛a miar ˛a na Ω i niech Φ b˛edzie funkcj ˛a Orlicza. Dla 0 < h < mini6= jdist(Γi,Γj) oraz A > 0 zdefiniujmy nast˛epuj ˛ace funkcje:

(i) ρµ(h) := max0¶i¶msup_ξ∈Γiµ Wi(ξ, h)
, (ii) K_µ(h) := sup0<t¶hρµ(t)

t , (iii) γA(h) := _Φ(AΦ¹₋₁₍1

h)).

Funkcj˛eρµnazywamy funkcj ˛a Carlesona. Zdefiniujmy tak˙ze nast˛epuj ˛ace warunki:

(R₀) lim_h→0+ρµ(h)

γA(h) = 0 dla ka˙zdego A > 0.

(K₀) lim_h→0+

K_µ(h)h

γA(h) = 0 dla ka˙zdego A > 0.

(C₀) Operator inkluzji j_µ: H^Φ(Ω) ,→ L^Φ(Ω, µ) jest zwarty.

Poka˙zemy, ˙ze prawdziwe s ˛a nast˛epuj ˛ace implikacje (K0) ⇒ (C0) ⇒ (R0).

W tym celu skorzystamy z nast˛epuj ˛acego rezultatu[53, Lemma 3.3.].

Stwierdzenie 4.5. Warunek(R0) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

h→0lim⁺

Φ^{−1 1}h

Φ⁻¹ _ρµ¹_(h)
= 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze w [32] (por. [53]) udowodniono, ˙ze warunek (C0) implikuje (R₀) w przypadkuΩ = D. Stosuj ˛ac twierdzenie 4.4 udowodnimy, ˙ze wynik ten jest prawdziwy tak˙ze w przypadku obszarów kołowych.

Twierdzenie 4.6. Warunek(C0) implikuje warunek (R0).

Dowód. Rozumuj ˛ac podobnie jak w dowodzie stwierdzenia 4.2, pokazujemy (stosuj ˛ac twierdzenie 4.4), ˙ze dla 0 ¶ i ¶ m mamy

rlim→1⁻ sup

p∈∂ DΦ⁻¹

 1 1− r

‹

kuⁱ_p,rkL^Φ(Ω,µ)= 0. (4.2)

4.1. Zwarte operatory kompozycji 50

Łatwo sprawdzi´c, ˙ze|u⁰_p,r(z)| ¾¹₉, gdy z∈ W0(p, h) oraz r = 1 − h. St ˛ad 1

Φ⁻¹ _µ(W0¹_(p,h))
¶ 9ku

0

p,rkL^Φ(Ω,µ). Nierówno´s´c

1

Φ⁻¹ _µ(Wi(η¹_i(p),h))
¶ 9ku

i

p,rkL^Φ(Ω,µ),

dla 1 ¶ i ¶ m, otrzymujemy analogicznie, korzystaj ˛ac z faktu, ˙ze z∈ W0(p, h) wtedy i tylko wtedy, gdyηi(z) ∈ Wi ηi(p), h
. Z powy˙zszej nierówno´sci oraz oszacowania (2.7) wynika, ˙ze

0¶i¶mmax sup

p∈∂ D

Φ^{−1 1}h

Φ⁻¹€ ₁

µ(Wi(ηi(p),h))

Š ¶ C Φ

−1€1 h

Škuⁱ_p,1−hkL^Φ(Ω,µ).

Stosuj ˛ac równo´s´c (4.2) otrzymujemy

hlim→0⁺

Φ^{−1 1}h

Φ⁻¹ _ρµ¹_(h)
= 0.

Dlaξ ∈ ∂ Ω i α > 1 rozwa˙zmy rodzin˛e zbiorów

G_ξ^α:= {z ∈ Ω : |z − ξ| < α dist(z, ∂ Ω)}.

Przyjmijmy G_ξ:= G_ξ³. Dla dowolnej funkcji f :Ω → C maksymaln ˛a(niestyczn ˛a) funkcj˛e M_f :∂ Ω → [0, +∞] definiujemy nast˛epuj ˛aco:

M_f(ξ) := sup|f (z)| : z ∈ Gξ , ξ ∈ ∂ Ω, ξ ∈ ∂ Ω.

Przypomnijmy, ˙ze operator maksymalny Hardy’ego–Littlewooda M : L¹(∂ Ω, ds) → L⁰(∂ Ω, ds) okre´slony jest wzorem

(M f )(ζ) := sup

γ3ζ

1

`(γ) Z

γ

| f |ds, ζ ∈ ∂ Ω, f ∈ L¹(∂ Ω, ds),

gdzie supremum jest brane po wszystkich łukachγ zawartych w ∂ Ω, natomiast `(γ) oznacza długo´s´cγ. W dalszej cz˛e´sci pracy b˛edziemy korzystali z wa˙znego twierdzenia, które orzeka, ˙ze M jest operatorem słabego typu(1, 1) i mocnego typu (p, p) dla p ∈ (1, ∞] (patrz [18, str. 49]).

W dalszych rozwa˙zaniach istotny b˛edzie nast˛epuj ˛acy fakt: istnieje taka stała C(Ω) >

0, ˙ze dla dowolnej funkcji f ∈ H¹(Ω) zachodzi nast˛epuj ˛aca nierówno´s´c:

M_f(ξ) ¶ C(Ω) M f^∗(ξ), ξ ∈ ∂ Ω,

gdzie f^∗∈ L¹(∂ Ω, ds) jest funkcj ˛a brzegow ˛a funkcji f . Uzasadnijmy krótko t˛e nierówno´s´c.

Podobnie, jak w klasycznym przypadku (Ω = D) dowodzi si˛e, ˙ze istnieje taka stała C(Ω) > 0, ˙ze dla dowolnej funkcji g ∈ L¹(∂ Ω, ds) zachodzi oszacowanie:

M_P[g](ξ) ¶ C(Ω) M g(ξ), ξ ∈ ∂ Ω,

4.1. Zwarte operatory kompozycji 51

gdzie P[g] jest całk ˛a Poissona funkcji g,

P[g](z) = Z

∂ Ω

P_z(ξ)g(ξ)ds(ξ), z ∈ Ω.

Dyskusj˛e tego faktu mo˙zna znale´z´c w monografii[18, str. 49 oraz Lemma 2.2, str. 9] . Stosuj ˛ac twierdzenie 2.6 otrzymujemy

P[f^∗](z) = f (z), z ∈ Ω, sk ˛ad wynika ˙z ˛adana nierówno´s´c.

W przypadku uogólnionych obszarów kołowych funkcja maksymalna jest porz ˛ adko-wo ograniczona przez operator maksymalny Hardy’ego–Littleadko-wooda M : L¹(∂ Ω, ds) →

L⁰(∂ Ω, ds) (patrz [18, str. 47–49]). Zatem odwzorowanie f 7→ Mf jest operatorem słabego typu(1, 1) oraz mocnego typu (+∞, +∞). Stosuj ˛ac analogiczne rozumowanie mo˙zemy rozszerzy´c wynik z pracy[32, Proposition 3.5] na przypadek wielospójny.

L⁰(∂ Ω, ds) (patrz [18, str. 47–49]). Zatem odwzorowanie f 7→ Mf jest operatorem słabego typu(1, 1) oraz mocnego typu (+∞, +∞). Stosuj ˛ac analogiczne rozumowanie mo˙zemy rozszerzy´c wynik z pracy[32, Proposition 3.5] na przypadek wielospójny.

W dokumencie Operatory kompozycji i miary Carlesona w teorii przestrzeni Hardy’ego-Orlicza na obszarach (Stron 33-81)