Przestrzenie zwarte

Definicja 10.1. Przestrze´n metryczna (X, ρ) jest zwarta , gdy ka˙zdy cia

‘^{g punkt´ow w X ma podcia}‘^{g zbie˙zny w X.} Przyk lad 10.1.

(1) Ka˙zda przestrze´n sko´nczona jest zwarta.

(2) Niesko´nczona przestrze´n dyskretna nie jest zwarta. (3) Prosta euklidesowa nie jest zwarta.

(4) PrzedziaÃl domknie

‘^{ty [α, β] na prostej euklidesowej jest zwarty.} Jest to konsekwencja_‘znanego z kursu analizy matematycz-nej, podstawowego twierdzenia Bolzano-Weierstrassa gÃlosza_‘ ce-go, ze ka˙zdy ograniczony cia

‘^{g liczb rzeczywistych ma podcia}‘^g zbie˙zny. Je´sli cia

‘^{g zawiera sie}‘ ^{w przedziale [α, β], to i granica} jego podcia

‘^{gu zbie˙znego jest w tym przedziale.}

Aby m´oc poda´c dalsze przykÃlady przestrzeni zwartych, sformuÃlujemy kilka og´olnych wÃlasno´sci.

Stwierdzenie 10.1. Podprzestrze´n domknie

‘^{ta przestrzeni} metry-cznej zwartej jest zwarta.

Dow´od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze X jest przestrzenia

‘^zwarta‘^{, Y jej podzbiorem} domknie_‘tym i yn ∈ Y , dla n ∈ N. Istnieje podcia_‘g (ykn)n∈N zbie˙zny w

X, tzn. maja_‘cy granice_‘ y ∈ X. Z domknie_‘to´sci zbioru Y wynika, ˙ze

y ∈ Y (zob. uwage_‘ 3.1), czyli podcia_‘g (ykn) jest zbie˙zny w Y . ¤ Stwierdzenie 10.2. Je´sli przestrze´n zwarta Y jest podprzestrzenia

‘ przestrzeni metrycznej X, to Y jest podzbiorem domknie

‘^{tym w X.}

Dow´od. Zgodnie z uwaga

‘^{3.1 sprawdzimy, ˙ze ka˙zdy cia}‘^{g punkt´ow} przestrzeni Y , kt´ory jest zbie˙zny w X, ma granice

‘ ^{w Y . Niech yn∈ Y ,} dla n ∈ N, be

‘^{dzie cia}‘^{giem zbie˙znym do punktu y ∈ X. Na mocy} zwarto´sci Y istnieje podcia

‘^{g (yk}n)_n∈N zbie˙zny w Y . Poniewa˙z podcia ‘^g cia

‘^{gu zbie˙znego ma te}‘ ^sama‘^granice‘^{, co caÃly cia}‘^{g, to y ∈ Y . ¤} Uwaga 10.1. WÃlasno´s´c przestrzeni metrycznych zwartych, o kt´orej jest mowa w stwierdzeniu 10.2, jest czasami nazywana ich absolutna_‘

domknie_‘to´scia_‘.

Stwierdzenie 10.3. Ka˙zda przestrze´n metryczna zwarta jest

og-raniczona.

Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze przestrze´n metryczna zwarta (X, ρ) nie jest ograniczona, tzn. diam X = sup{ρ(x, y) : x, y ∈ X} = ∞. Przy-pomnijmy, ˙ze w´owczas X nie zawiera sie_‘ w sumie sko´nczenie wielu kul (´cwiczenie 3 z rozdziaÃlu 2). Zdefiniujemy cia

‘^{g (xn)n∈N bez podcia}‘^gu zbie˙znego. Niech x₁ be

‘^{dzie dowolnym punktem przestrzeni X.} Ist-nieje punkt x₂ ∈ X taki, ˙ze ρ(x₁, x₂) ≥ 1, bo w przeciwnym razie

X ⊂ K(x₁; 1). Indukcyjnie okre´slamy kolejne punkty cia

‘^{gu: zaÃl´o˙zmy,} ˙ze punkty x₁, x₂, . . . , x_n zostaÃly zdefiniowane. Istnieje wtedy punkt

x_n+1 ∈ X taki, ˙ze ρ(x_n+1, x_i) ≥ 1 dla wszystkich i = 1, 2, . . . , n, gdy˙z w przeciwnym razie X ⊂ n [ i=1 K(x_i; 1),

dla pewnego i ∈ {1, 2, . . . , n}. Ka˙zde dwa r´o˙zne punkty cia

‘^{gu (xn)n∈N} sa

‘ ^{odlegÃle od siebie o co najmniej 1, wie}‘^{c jest jasne, ze ani sam ten} cia

‘^{g, ani ˙zaden jego podcia}‘^{g nie mo˙ze by´c zbie˙zny. ¤} Twierdzenie 10.1. Iloczyn kartezja´nski przeliczalnie wielu

przes-trzeni metrycznych zwartych jest przesprzes-trzenia

‘ ^zwarta‘^.

Dow´od. Udowodnimy twierdzenie najpierw dla iloczynu dw´och przestrzeni zwartych X i Y . Niech (x_n, y_n) ∈ X × Y , n ∈ N . Cia

‘^g (x_n)_n∈N ma podcia

‘^{g zbie˙zny (xk}n)_n∈N do pewnego punktu x ∈ X. Podcia

‘^{g (yk}n)_n∈N nie musi by´c zbie˙zny, ale ma podcia

‘^{g (yk}mn)_n∈N zbie-˙zny do pewnego punktu y ∈ Y . Z twierdzenia 6.1 o zbie˙zno´sci po wsp´oÃlrze

‘^{dnych wynika, ˙ze podcia}‘^{g (xk}mn, y_kmn)_n∈N cia

‘^{gu (xn, yn)n∈N} jest zbie˙zny do punktu (x, y) ∈ X × Y .

Stosuja

‘^{c indukcje}‘ ^matematyczna‘ ^{i prosty fakt, ˙ze iloczyny} karte-zja_‘´nskie (X1× X2× · · · × Xk) × Xk+1 oraz X1× X2× · · · × Xk× Xk+1 sa_‘ izometryczne (zob. ´cwiczenie 6 z rozdziaÃlu 6), dowodzimy twierdzenia dla dowolnej sko´nczonej ilo´sci przestrzeni metrycznych zwartych.

W przypadku iloczynu X niesko´nczenie wielu przestrzeni zwartych

X₁, X₂, , . . . , rozwa˙zmy dowolny cia

‘^{g xn = (xn1, xn2, . . . ) ∈ X, gdzie}

x_ni ∈ X_i. Podobnie, jak wy˙zej, znajdziemy punkt w X, kt´ory be ‘^dzie granica

‘ ^podcia‘^{gu cia}‘^{gu xn. Okre´slenie takiego podcia}‘^{gu jest nieco} bardziej skomplikowane i polega na, tak zwanej, metodzie przeka

‘^tniowej. Cia

‘^{g pierwszych wsp´oÃlrze}‘^{dnych xn1, n ∈ N, ma podcia}‘^{g xk}n1 zbie˙zny do pewnego punktu a₁ ∈ X₁, gdy n → ∞. Podcia

‘^{g drugich wsp´oÃlrze}‘^dnych

x_kn2 ma podcia

‘^{g xm}kn1 zbie˙zny do pewnego punktu a₂ ∈ X₂, gdy

n → ∞. Podcia

‘^{g trzecich wsp´oÃlrze}‘^{dnych xm}kn3 ma podcia

‘^{g xl}mkn³ zbie˙zny do punktu a3 ∈ X3 dla n → ∞, itd. Otrzymujemy w ten

10. PRZESTRZENIE ZWARTE 65

spos´ob punkt (a₁, a₂, a₃, . . . ) ∈ X, be

‘^da‘^{cy, na podstawie twierdzenia o} zbie˙zno´sci po wsp´oÃlrze

‘^{dnych 6.1, granica}‘^cia‘^{gu punkt´ow} (xk11, xk12, xk13, . . . ),

(x_mk21, x_mk22, x_mk23, . . . ),

(xlmk3¹, xlmk3², xlmk3³, . . . ), . . .

kt´ory jest podcia

‘^{giem cia}‘^{gu xn. ¤}

Mo˙zna teraz poda´c obszerna

‘^klase‘ ^{przestrzeni zwartych.}

Przyk lad 10.2. Kostki euklidesowe, kostka Hilberta (zob. ´cwicze-nie 5b z rozdziaÃlu 6) oraz ich podzbiory domk´cwicze-nie

‘^{te sa}‘^{przestrzeniami} zwartymi. W szczeg´olno´sci domknie

‘^{cia kul w przestrzeniach} euklides-owych sa

‘^{zwarte (istotnie, domknie}‘^{cie takiej kuli zawiera sie}‘ ^{w pewnej} kostce, a wie

‘^{c jest podzbiorem domknie}‘^{tym przestrzeni zwartej).} Twierdzenie 10.2. Podprzestrze´n przestrzeni euklidesowej jest

zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem domknie

‘^{tym i} ograni-czonym.

Dow´od. Niech A ⊂ (Rn, ρ_e). Je´sli podprzestrze´n A jest zwarta, to jest podzbiorem domknie

‘^{tym (stwierdzenie 10.2) i ograniczonym} (stwierdzenie 10.3).

Na odwr´ot, je´sli A jest ograniczony, to zawiera sie

‘ ^{w pewnej kuli K} (stwierdzenie 2.2), kt´orej domknie

‘^{cie cl K jest podzbiorem zwartym} w (R_n, ρ_e) (przykÃlad 10.2). Poniewa˙z A jest domknie

‘^{ty w Rn, to} jest r´ownie˙z domknie

‘^{tym podzbiorem podprzestrzeni cl K, wie}‘^{c jest} podprzestrzenia

‘^zwarta‘^{(stwierdzenie 10.1). ¤}

W powy˙zszym twierdzeniu trzeba zwr´oci´c uwage

‘ ^{na zaÃlo˙zenie, ˙ze A} jest podzbiorem przestrzeni euklidesowej. Jest to istotne, jak wskazuja_‘ naste_‘puja_‘ce przykÃlady.

Przyk lad 10.3. (1) Domknie

‘^{cie kuli K(0; 1) w przestrzeni Hilberta l2 jest} podzbio-rem ograniczonym i domknie_‘tym, ale nie jest podprzestrzenia_‘ zwarta_‘w l2: punkty

x1 = (1, 0, 0, . . . ), x2 = (0, 1, 0, . . . ), x3 = (0, 0, 1, 0, . . . ), . . .

nale˙za_‘do tego domknie_‘cia i tworza_‘cia_‘g bez podcia_‘gu zbie˙znego, bo odlegÃlo´s´c mie_‘dzy nimi wynosi 1.

(2) Na pÃlaszczy´znie z metryka

‘ ^{“centrum” ρc domknie}‘^{cie kuli o} ´srodku (0, 0) i promieniu 1 jest r´owne zbiorowi

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1},

kt´ory oczywi´scie jest domknie

‘^{ty i ograniczony w (R2, ρc), ale} nie jest podprzestrzenia

‘^zwarta‘^{, bo np. cia}‘^{g punkt´ow} (cos ¹

n^{, sin}

1

n⁾

nie ma podcia_‘gu zbie˙znego w tej podprzestrzeni.

(3) Je´sli X jest przedziaÃlem otwartym (0, 1) na prostej euklide-sowej, to X jest podzbiorem ograniczonym i domknie

‘^{tym w} przestrzeni X, ale nie jest przestrzenia

‘^zwarta‘^{, bo cia}‘^g n¹, dla

n = 2, 3, . . . , nie ma podcia

‘^{gu zbie˙znego w X.} PrzeksztaÃlcenia cia

‘^{gÃle okre´slone na przestrzeniach metrycznych} zwa-rtych maja

‘^{wa˙zne wÃlasno´sci, cze}‘^{sto wykorzystywane w analizie} mate-matycznej.

Stwierdzenie 10.4. Przestrze´n metryczna, be

‘^da‘^{ca obrazem cia}‘ -glym przestrzeni metrycznej zwartej, jest zwarta.

Dow´od. Niech X be_‘dzie przestrzenia_‘metryczna_‘zwarta_‘,a f —prze-ksztaÃlceniem cia_‘glym przestrzeni X na przestrze´n metryczna_‘Y .

ZaÃl´o˙z-my, ˙ze (y_n) jest dowolnym cia

‘^{giem punkt´ow przestrzeni Y . Dla ka˙zdego}

n ∈ N wybierzmy punkt x_n ∈ f−1(y_n). Cia

‘^{g (xn)n∈N ma podcia}‘^g zbie-˙zny (x_kn)_n∈N do pewnego punktu x ∈ X. Z cia

‘^{gÃlo´sci przeksztaÃlcenia f} wynika, ˙ze

lim_n→∞y_kn = lim_n→∞f (x_kn) = f (x) ∈ Y,

wie_‘c podcia_‘g (ykn)n∈N jest zbie˙zny w Y . ¤

Przyk lad 10.4.

(1) Stwierdzenie 10.4 pozwala natychmiast uzasadni´c niehomeo-morficzno´s´c przestrzeni podanych na ko´ncu poprzedniego roz-dziaÃlu: pierwsza jest zwarta, a druga nie.

(2) Prosta euklidesowa nie jest zwarta, wie

‘^{c nie mo˙ze by´c obrazem} cia

‘^{gÃlym domknie}‘^{tego przedziaÃlu euklidesowego.} Naste

‘^puja‘^{cy wniosek daje podstawe}‘ ^{do badania maksimum i} mini-mum funkcji rzeczywistych wielu zmienych.

Wniosek 10.1. Ka˙zde przeksztaÃlcenie cia

‘^{gÃle okre´slone na} przes-trzeni metrycznej zwartej o warto´sciach w prostej euklidesowej przyj-muje swoje oba kresy.

10. PRZESTRZENIE ZWARTE 67

Dow´od. Obrazem przestrzeni zwartej jest podprzestrze´n zwarta, a wie

‘^{c podzbi´or domknie}‘^{ty i ograniczony prostej. Istnieja}‘^wie‘^{c kresy} takiego podzbioru, a z jego domknie_‘to´sci wynika, ˙ze kresy do niego

nale˙za_‘. ¤

Stwierdzenie 10.5. Ka˙zde przeksztaÃlcenie cia

‘^{gÃle mie}‘^dzy przestrze-niami metrycznymi okre´slone na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciagÃle i domknie

‘^te.

Dow´od. Niech f : (X, ρ_X) → (Y, ρ_Y) be

‘^{dzie cia}‘^{gÃle, a przestrze´n} metryczna (X, ρ_X)—zwarta.

Przypu´s´cmy najpierw, ˙ze f nie jest jednostajnie cia

‘^{gÃle, czyli istnieje} liczba ² > 0 taka, ˙ze dla ka˙zdej liczby δ > 0 znajdziemy punkty x, y ∈

X takie, ˙ze ρ_X(x, y) < δ oraz ρ_Y(f (x), f (y)) ≥ ². Przyjmuja ‘^{c δ =}

1

n, dla n = 1‘, 2, . . . , znajdziemy wie

‘^{c punkty xn, yn ∈ X odlegÃle od} siebie o mniej ni˙z 1

n i takie, ˙ze ρ_Y(f (x_n), f (y_n)) ≥ ². Poniewa˙z iloczyn kartezja´nski X × X jest przestrzenia

‘ ^zwarta‘ ^{(twierdzenie 10.1) wie}‘^c cia

‘^{g par (xn, yn) ∈ X × X, dla n = 1, 2, . . . , ma podcia}‘^{g zbie˙zny} ((x_kn, y_kn))_n∈N zbie˙zny do pewnego punktu (x, y) ∈ X × X. Z nier´ow-no´sci

ρ_X(x_kn, y_kn) < ¹

kn

i z cia

‘^{gÃlo´sci metryki ρX (stwierdzenie 6.2) wynika, ze}

ρ_X(x, y) = lim_n→∞ρ_X(x_kn, y_kn) = 0. Z drugiej strony, z cia

‘^{gÃlo´sci metryki ρY i przeksztaÃlcenia f , mamy}

ρ_Y(f (x), f (y)) = ρ_Y(lim_n→∞f (x_kn), lim_n→∞f (y_kn)) =

limn→∞ρY(f (xkn), f (ykn)) ≥ ² > 0, co daje sprzeczno´s´c.

Aby pokaza´c domknie

‘^{to´s´c przeksztaÃlcenia f , zaÃl´o˙zmy, ˙ze A jest} domknie_‘tym podzbiorem w X. Trzeba uzasadni´c, ˙ze f (A) jest dom-knie_‘ty w Y . W tym celu rozwa˙zamy dowolny cia_‘g punkt´ow yn ∈ f (A)

zbie˙zny do punktu y ∈ Y i poka˙zemy, ze y ∈ f (A) (zob. uwaga 3.1). Wybierzmy punkt x_n ∈ f−1(y_n) dla ka˙zdego n ∈ N. Cia

‘^{g (xn)n∈N ma} podcia

‘^{g (xk}n)_n∈N zbie˙zny do pewnego x ∈ X. Poniewa˙z x_kn ∈ A oraz A jest domknie

‘^{ty, wie}‘^{c x ∈ A, ska}‘^{d, na mocy cia}‘^{gÃlo´sci f , otrzymujemy}

y = f (x) ∈ f (A).

Ze stwierdze´n 10.5 i 4.7 wynika bardzo po˙zyteczny wniosek: aby stwierdzi´c, ˙ze przeksztaÃlcenie cia

‘^{gÃle i wzajemnie jednoznaczne f} okre-´slone na przestrzeni zwartej jest homeomorfizmem, nie trzeba sprawdza´c cia_‘gÃlo´sci przeksztaÃlcenia odwrotnego f−1!

Wniosek 10.2. PrzeksztaÃlcenie cia

‘^{gÃle i wzajemnie jednoznaczne} mie

‘^{dzy przestrzeniami metrycznymi o dziedzinie zwartej jest} homeo-morfizmem.

Ciekawa

‘^{i chyba intuicyjnie zrozumiaÃla}‘ ^{wÃlasno´scia}‘ ^zwartych prze-strzeni metrycznych jest to, ˙ze, poza izometriami, nie dopuszczaja ‘ ani przeksztaÃlce´n zwe

‘^˙zaja‘^{cych, ani rozszerzaja}‘^{cych na siebie} (przek-sztaÃlcenie cia

‘^{gÃle jest rozszerzaja}‘^{ce, gdy odlegÃlo´s´c obraz´ow dowolnych}

dw´och punkt´ow nie jest mniejsza od odlegÃlo´sci tych punkt´ow).

Twierdzenie 10.3. 1 Je´sli przestrze´n metryczna (X, ρ) jest zwarta i f : X → X jest rozszerzaja_‘ca_‘ lub zwe_‘˙zaja_‘ca_‘ surjekcja_‘, to f jest izometria_‘.

Dow´od. ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze f jest rozszerzaja

‘^{ce i rozwa˙zmy} do-wolne x, y ∈ X. Zachodzi

ρ(f (x), f (y)) ≥ ρ(x, y).

Udowodnimy nier´owno´s´c odwrotna

‘^{. Niech ² > 0. Okre´slamy} induk-cyjnie dwa cia

‘^{gi punkt´ow:}

x₀ = x, x_n = f (x_n−1) (tzw. orbita punktu x wzgle

‘^{dem f )} oraz

y₀ = y, y_n = f (y_n−1) (orbita punktu y).

Cia_‘g (xn, yn)n∈Nzawiera podcia_‘g (xkn, ykn)n∈Nzbie˙zny do pewnego pun-ktu (a, b) przestrzeni zwartej X × X, zatem podcia_‘g (xkn)n∈N jest zbie˙zny do a, a podcia_‘g (ykn)n∈N do b. Znaczy to, ˙ze prawie wszys-tkie punkty pierwszego podcia

‘^{gu znajduja}‘^sie‘ ^{w kuli K(a;}4^²) i prawie wszystkie punkty drugiego podcia_‘gu sa_‘w kuli K(b;²

4). Wybierzmy taki wska´znik kn, ˙ze x_kn, x_kn+1 ∈ K(a; ^² 4⁾ i y_kn, y_kn+1 ∈ K(b; ^² 4^).

Dla uproszczenia zapisu wska´znik´ow przyjmijmy i = k_n, j = k_n+1− i.

Oczywi´scie mamy i ≥ 0, j > 0 oraz

ρ(x_i, x_i+j) ≤ ρ(x_i, a) + ρ(a, x_i+j) < ^² 2^,

10. PRZESTRZENIE ZWARTE 69

ρ(y_i, y_i+j) ≤ ρ(y_i, b) + ρ(b, y_i+j) < ^² 2^. Poniewa˙z, dla dowolnych m, n ∈ N,

(10.1) ρ(x_m, x_n) ≥ ρ(x_m−1, x_n−1), (10.2) ρ(y_m, y_n) ≥ ρ(y_m−1, y_n−1) (10.3) ρ(xn, yn) = ρ(f (xn−1), f (yn−1)) ≥ ρ(xn−1, yn−1), wie ‘^c (10.4) ρ(x0, xj) ≤ ρ(xi, xi+j) < ^² 2 i

(10.5) ρ(y₀, y_j) ≤ ρ(y_i, y_i+j) < ^² 2^. Otrzymujemy sta ‘^{d nier´owno´sci} (10.6) ρ(f (x), f (y)) = ρ(x₁, y₁) ≤ ρ(x_j, y_j) ≤ ρ(xj, x0) + ρ(x0, y0) + ρ(y0, yj) < ρ(x₀, y₀) + ² = ρ(x, y) + ². Wobec dowolno´sci liczby dodatniej ², otrzymujemy ˙za

‘^dana‘^{nier´owno´s´c}

ρ(f (x), f (y)) ≤ ρ(x, y).

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze f jest zwe

‘^{˙zeniem. Dow´od, ˙ze f jest izometria}‘^jest bardzo podobny do przypadku rozszerzenia. Gdyby f byÃlo wzajemnie jednoznaczne, to wtedy przeksztaÃlcenie odwrotne f−1 byÃloby rozszerze-niem, a wie

‘^{c izometria}‘^{. Te}‘ ^intuicje‘ ^{mo˙zna jednak wykorzysta´c nawet,} gdy f nie jest wzajemnie jednoznaczne. Niech x, y ∈ X i ² > 0. Za-czynamy od indukcyjnego zdefiniowania dw´och cia

‘^gow:

x−1 = f (x), x0 = x, xn∈ f⁻¹(xn−1) (orbita wsteczna punktu f (x)),

y₋₁ = f (y), y₀ = y, y_n∈ f−1(y_n−1) (orbita wsteczna punktu f (y)), dla n ∈ N.

Dla tych cia_‘g´ow mo˙zna powt´orzy´c rozumowanie przeprowadzone w przypadku rozszerzenia (zauwa˙zmy, ˙ze zachodza_‘te same nier´owno´sci 10.1,10.2,10.3 dla m, n ≥ 0, a w 10.4 i 10.5 wska´zniki 0, j zmniejsza

‘^sie‘ o -1).

Otrzymamy nier´owno´s´c

kt´ora, wobec dowolno´sci liczby ² > 0, daje

ρ(x, y) ≤ ρ(f (x), f (y)).

Sta

‘^{d f jest izometria}‘^. _¤

Zwarto´s´c w topologii jest rozwa˙zana znacznie og´olniej dla przes-trzeni topologicznych. Poniewa˙z nie ma w takim wypadku wygod-nego i naturalwygod-nego poje

‘^{cia cia}‘^{gu zbie˙znego, stosuje sie}‘ ^inna‘^definicje‘^, tzw, pokryciowa

‘^{, kt´ora jest r´ownowa˙zna z definicja}‘^{10.1 (zwana}‘^cze‘^sto

cia

‘^gowa‘ ^{w zakresie przestrzeni metrycznych.}

Definicja 10.2. Ka˙zda

‘^rodzine‘ ^{podzbior´ow przestrzeni} topologi-cznej X, kt´orych suma mnogo´sciowa r´owna sie

‘^{X nazywamy pokryciem} przestrzeni X. Pokrycie jest otwarte, gdy skÃlada sie

‘ ^{z podzbior´ow} ot-wartych przestrzeni X.

Rodzina podzbior´ow, be

‘^da‘^{ca pokryciem przestrzeni X i zawarta w} pokryciu U tej przestrzeni, nazywa sie_‘ podpokryciem pokrycia U.

Kolejne twierdzenie podaje ciekawa

‘^{wÃlasno´s´c przestrzeni} metrycz-nych zwartych (dla rybak´ow oczywista_‘: z ka˙zdej sieci uciekna_‘ dostate-cznie maÃle rybki).

Twierdzenie 10.4. Je´sli U jest pokryciem otwartym zwartej

przes-trzeni metrycznej (X, ρ), to istnieje liczba λ > 0 taka, ˙ze ka˙zdy podzbi´or w X o ´srednicy mniejszej od λ zawiera sie_‘ w pewnym elemencie pokrycia.

Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze teza nie jest speÃlniona. Zatem dla ka˙zdej liczby λ = 1

n, gdzie n ∈ N, istnieje podzbi´or An ⊂ X o ´srednicy

mniejszej od 1

n, nie zawieraja

‘^{cy sie}‘ ^{w ˙zadnym elemencie pokrycia.} Niech U ∈ U. Dla ka˙zdego n ∈ N istnieje punkt a_n ∈ A_n taki, ˙ze

a_n ∈ X \ U. Z cia

‘^{gu (an)n∈N wybierzmy podcia}‘^{g (ak}n)_n∈N zbie˙zny do pewnego punktu a ∈ X. Poniewa˙z zbi´or X \ U jest domknie

‘^{ty w X, to}

a ∈ X \ U. Wobec tego istnieje zbi´or U0 ∈ U r´o˙zny od U, zawieraja

‘^cy punkt a. Zbi´or U0, jako otoczenie punktu a zawiera prawie wszystkie punkty podcia_‘gu (akn)n∈N—mo˙zemy przyja_‘´c dla prostoty, ˙ze wszystkie. Dla ka˙zdego n ∈ N istnieje punkt a0

kn ∈ A_kn kt´ory nie nale˙zy do U0. Poniewa˙z ρ(a0 kn, a) ≤ ρ(a0 kn, a_kn) + ρ(a_kn, a) ≤ diam Akn + ρ(akn, a) ≤ ¹ k_n ^{+ ρ(ak}n, a) → 0 gdy n → ∞, to cia

‘^{g (a0}kn)_n∈N jest zbie˙zny do a, wie

‘^{c prawie wszystkie jego punkty} nale˙za

10. PRZESTRZENIE ZWARTE 71

Definicja 10.3. Ka˙zda liczba λ > 0, speÃlniaja

‘^{ca teze}‘ ^twierdzenia 10.4 nazywana jest wsp´oÃlczynnikiem Lebesgue’a pokrycia U przestrzeni

X.

Oczywi´scie wsp´oÃlczynnik Lebesgue’a nie jest jednoznacznie wyz-naczony przez pokrycie—liczba dodatnia mniejsza od niego te˙z jest wsp´oÃlczynnikiem Lebesgue’a tego pokrycia.

Lemat 10.1. Je´sli przestrze´n metryczna (X, ρ) jest zwarta, to dla

ka˙zdej liczby ² > 0 istnieje sko´nczone pokrycie przestrzeni X kulami o promieniach ².

Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze teza nie zachodzi, tzn.

(*): istnieje liczba ²₀ > 0, dla kt´orej nie ma sko´nczonego pokrycia

przestrzeni X kulami o promieniach < ²₀. Okre´slimy indukcyjnie cia

‘^{g punkt´ow x1, x2, · · · ∈ X taki, ˙ze dla} dowo-lnych r´o˙znych m, n ∈ N be

‘^{dzie speÃlniona nier´owno´s´c ρ(xm, xn) ≥ ²0.} Taki cia

‘^{g nie ma podcia}‘^{gu zbie˙znego, co przeczy zwarto´sci X.}

Punkt x₁ wybieramy dowolnie. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze punkty x₁, . . . , x_k zos-taÃly okre´slone tak, by ρ(x_m, x_n) ≥ ²₀ dla r´o˙znych m, n ≤ k. Z warunku (*) wynika, ˙ze suma kul S = K(x₁; ²₀) ∪ · · · ∪ K(x_k; ²₀) nie pokrywa X, wie

‘^{c znajdziemy punkt xk+1 ∈ S. Wtedy ρ(x/ k+1, xn) ≥ ²0 dla ka˙zdego}

n ≤ k i konstrukcja cia

‘^{gu jest zako´nczona. ¤}

Lemat 10.2. Ka˙zda przestrze´n metryczna zwarta speÃlnia warunek Borela-Lebesgue’a: ka˙zde pokrycie otwarte przestrzeni zawiera

pod-pokrycie sko´nczone.

Dow´od. Niech U be

‘^{dzie pokryciem otwartym zwartej przestrzeni} metrycznej X. Oznaczmy, dla ka˙zdego n ∈ N, przez K_n sko´nczone pokrycie przestrzeni X kulami o promieniach 1

n (takie pokrycie istnieje na mocy lematu 10.1) i niech K =^S∞_n=1Kn.

(a): Ka˙zdy zbi´or otwarty w X jest suma

‘^{kul z pokrycia K.} Istotnie, je´sli V ⊂ X jest otwarty i x ∈ V , to istnieje kula K(x; ²) ⊂ V (zob. stwierdzenie 2.1). Niech n ∈ N be

‘^{dzie tak du˙ze, by} n¹ < ²

2. Poniewa˙z K_n jest pokryciem X, to istnieje kula K ∈ K_n zawieraja

‘^ca punkt x. ÃLatwo sprawdzi´c, ˙ze K ⊂ K(x; ²), a wie

‘^{c K ⊂ V , co dowodzi} stwierdzenia (a).

(b): Pokrycie U zawiera przeliczalne podpokrycie U0 przestrzeni

X.

Na podstawie (a) bowiem, rodzina

jest pokryciem X. Przyporza

‘^{dkujmy ka˙zdej kuli K ∈ KU jeden wybrany} zbi´or UK ∈ U, zawieraja

‘^{cy K. Poniewa˙z rodzina KU ⊂ K jest} przeli-czalna, to rodzina

U0 = {U_K : K ∈ K_U} ⊂ U

jest te˙z przeliczalna; ponadto U0 jest pokryciem X, gdy˙z K_U jest po-kryciem.

(c): Przeliczalne pokrycie U0zawiera sko´nczone podpokrycie prze-strzeni X.

Istotnie, niech U0 = {U₁, U₂, . . . } i przypu´s´cmy, ˙ze U0 nie zawiera sko´nczonego podpokrycia przestrzeni X. Okre´slimy indukcyjnie cia

‘^g punkt´ow x₁, x₂, · · · ∈ X oraz cia

‘^{g rosna}‘^{cy 1 = k1 < k2 < . . . liczb} naturalnych tak, by dla ka˙zdego n ∈ N,

x_n∈ U_kn, oraz x_n+1 ∈ U/ ₁∪ · · · ∪ U_kn.

Taki cia_‘g mo˙zna Ãlatwo wybra´c: x1 mo˙ze by´c dowolnym punktem z U1, a gdy xn jest okre´slony dla n > 1 i speÃlnia warunek xn ∈ Ukn\ (U1∪ · · · ∪ U_kn−1), to poniewa˙z zbiory U₁, . . . , U_kn nie stanowia

‘^{pokrycia X,} wie

‘^{c wybieramy punkt xn+1 ∈ U/ 1∪· · ·∪Uk}n oraz zbi´or U_kn+1 z pokrycia

U0, zawieraja

‘^{cy xn+1. Oczywiste jest przy tym, ˙ze kn+1> kn.} Zauwa˙zmy teraz, ˙ze cia

‘^{g (xn)n∈Nnie ma podcia}‘^{gu zbie˙znego. Gdyby} bowiem podcia

‘^{g xn}1, x_n2, . . . byÃl zbie˙zny do jakiego´s punktu x ∈ X, to

dla pewnego k ∈ N zachodziÃloby x ∈ U_k, wie

‘^{c xn}m ∈ U_k dla dostate-cznie du˙zych n_m; w szczeg´olno´sci, dla tak du˙zych m, ˙ze x_nm ∈ U_knm i

k_nm > k. Ale wtedy

x_nm ∈ U/ ₁∪ · · · ∪ U_k∪ · · · ∪ U_Knm,

co daje sprzeczno´s´c.

Ze stwierdze´n (b) i (c) wynika ostatecznie, ˙ze pokrycie U ma sko´n-czone podpokrycie.

¤ Lemat 10.3. Ka˙zda przestrze´n metryczna X speÃlniaja

‘^{ca warunek} Borela-Lebesgue’a speÃlnia warunek Cantora: je´sli F₁, F₂, . . . sa

‘ nie-pustymi i domknie

‘^{tymi podzbiorami w X, tworza}‘^{cymi cia}‘^{g zste}‘^puja‘^cy F1 ⊃ F2 ⊃ . . . , to ^T∞_i=1Fi 6= ∅.

Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze ^T∞_i=1F_i = ∅. Wtedy zbiory X \ F_i sa ‘ otwarte dla i = 1, 2, . . . i stanowia

‘^{pokrycie przestrzeni X, bo} ∞ [ i=1 (X \ F_i) = X \ ∞ \ i=1 F_i = X.

10. PRZESTRZENIE ZWARTE 73

Z warunku Borela-Lebesgue’a wynika istnienie liczby naturalnej n takiej, ˙ze ^Sn_i=1(X \ Fi) = X. Sta

‘^{d Fn =} T_n

i=1Fi = ∅, co jest sprzeczne z

nie-pusto´scia_‘zbioru Fn. ¤

Lemat 10.4. Ka˙zda przestrze´n metryczna (X, ρ), speÃlniaja

‘^ca wa-runek Cantora, jest zwarta.

Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze tak nie jest, tzn. przestrze´n X zawiera cia

‘^{g (xn)n∈N bez podcia}‘^{gu zbie˙znego. Niech}

F_i = {x_k: k ≥ i}. Zbiory F_i sa

‘^{niepuste. Sa}‘^{te˙z domknie}‘^{te. Istotnie, gdyby x ∈ cl Fi\ Fi,} to ze wzoru cl F_i = F_i ∪ Fd

i (zob. uwaga 3.2) wynika, ˙ze x ∈ Fd i , wie

‘^{c x jest granica}‘ ^cia‘^{gu wzajemnie r´o˙znych punkt´ow nale˙za}‘^{cych do}

F_i. Jest jasne, ˙ze z takiego cia

‘^{gu mo˙zna wybra´c podcia}‘^{g, kt´ory jest} zarazem podcia

‘^{giem ciagu (xn)n∈N, no i be}‘^{dzie on zbie˙zny (do x) wbrew} przypuszczeniu. Zatem x ∈ F_i, co pokazuje domknie

‘^{to´s´c zbioru Fi.} Z warunku Cantora stwierdzamy, ˙ze istnieje punkt p ∈ ^T∞_i=1F_i. Oznacza to, ˙ze dla ka˙zdego wska´znika i istnieje liczba k_i ≥ i taka, ˙ze p = x_ki. Mo˙zna przyja

‘^{´c, ˙ze k1 < k2 < . . . i wtedy powstaje podcia}‘^g (xki)i∈N zbie˙zny do p, co jest znowu sprzeczne z przypuszczeniem. ¤ Powy˙zsze lematy mo˙zna zebra´c w postaci jednego wa˙znego twier-dzenia, charakteryzuja_‘cego zwarto´s´c przestrzeni metrycznych poprzez warunek Borela-Lebesgue’a lub Cantora.

Twierdzenie 10.5. Naste

‘^puja‘^{ce warunki sa}‘ ^{r´ownowa˙zne:}

(1) Przestrze´n metryczna X jest zwarta.

(2) Przestrze´n metryczna X speÃlnia warunek Borela-Lebesgue’a. (3) Przestrze´n metryczna X speÃlnia warunek Cantora.

Zauwa˙zmy, ˙ze w warunkach Borela-Lebesgue’a i Cantora nie wyste ‘ -puje specyficzne dla przestrzeni metrycznych poje

‘^{cie cia}‘^{gu i zbie˙zno´sci,} natomiast sa

‘^{te warunki niezmiennikami topologicznymi. Zatem mo˙zna} by je przyja

‘^{´c za definicje zwarto´sci w og´olnych przestrzeniach} topolo-gicznych. Z praktycznych powod´ow, aby uzyska´c podobne jak w przy-padku przestrzeni zwartych metrycznych wÃlasno´sci, zakÃlada sie

‘ ^wtedy zwykle dodatkowo, ˙ze rozwa˙zane przestrzenie sa

‘^{Hausdorffa i wybiera} sie

‘ ^{za definicje}‘ ^{warunek pokryciowy Borela-Lebesgue’a.}

Definicja 10.4. Przestrze´n topologiczna Hausdorffa jest zwarta, gdy speÃlnia warunek Borela-Lebesgue’a: ka˙zde pokrycie otwarte tej przestrzeni zawiera podpokrycie sko´nczone.

Intuicja zwarto´sci pokryciowej m´owi, ˙ze istnieja

‘ ^{dowolnie “maÃle”} sko´nczone pokrycia otwarte przestrzeni.

´

Cwiczenia

(1) Uzasadni´c dokÃladnie prawdziwo´s´c stwierdze´n (1)–(3) w przykÃladzie 10.1.

(2) Zbada´c zwarto´s´c domknie

‘^{´c kul na pÃlaszczy´znie z metryka}‘^“rzeka”. (3) Zbada´c zwarto´s´c przestrzeni C(I, I) oraz B(I, I), gdzie I = [0, 1] z

metryka

‘^{zbie˙zno´sci jednostajnej (zob. przykÃlad 1.10).}

(4) Sprawdzi´c zwarto´s´c kwadratu [0, 1]×[0, 1] z metrykami ρ_c, ρ_r, ρ_m, ρ₀₁. (5) Pokaza´c, ˙ze przestrze´n metryczna X jest zwarta wtedy i tylko

wtedy, gdy ka˙zda funkcja cia

‘^{gÃla f : X → (R, ρe) jest ograniczona.} (6) Pokaza´c, ˙ze je´sli niepusty zbi´or A ⊂ (X, ρ_e) jest zwarty, to dla

ka˙zdego x ∈ X istnieje punkt a₀ ∈ A taki, ˙ze d_A(x) = ρ(a₀, x),

gdzie d_A(x) = inf{ρ(a, x) : a ∈ A} (czyli odlegÃlo´s´c punktu od zbioru A jest realizowana).

(7) Udowodni´c, ˙ze ka˙zda zwarta podprzestrze´n przestrzeni X liczb nie-wymiernych z metryka_‘euklidesowa_‘jest brzegowa w X.

(8) Dla kt´orych podanych ni˙zej przestrzeni X i Y istnieje przeksztaÃlcenie cia

‘^{gÃle (homeomorfizm) z X na Y ?}

(a) X, Y ∈ { ([a, b] × [c, d], ρ_e), ([a, b) × [c, d), ρ_e), (R2, ρ_c) } (b) X, Y ∈ ^©[a, b], [a, b), (a, b), R, Q, N, cl{1

n : n = 1, 2, . . . }, S1ª z metrykami euklidesowymi.

(c) X, Y ∈ { [a, b], cl { (x, sin x) ∈ R20 < x ≤ 1 } } z metrykami eu-klidesowymi.

(d) X, Y ∈ { [a, b], (F, ρ_e), (F, ρ_c) }, gdzie F = suma odcink´ow o ko´ncach (0, 0) i (cos α, sin α), α = 0, 1,1

2,1 3, . . .

Czy (R2, ρ_e) jest homeomorficzna z (R2\ Q × Q, ρ_e)?

Poda´c przeksztaÃlcenia lub uzasadni´c ich brak w oparciu o poz-nane wÃlasno´sci zachowywane przez przeksztaÃlcenia cia

‘^{gÃle, jak} zwar-to´s´c, sp´ojno´s´c, itp.

(9) Uzwarceniem przestrzeni metrycznej X nazywamy przestrze´n met-ryczna_‘zwarta_‘X zawieraja^¯ _‘ca_‘zbi´or ge_‘sty X0 homeomorficzny z X. Zbi´or ¯X \ X0 nazywamy narostem uzwarcenia.

Znale´z´c uzwarcenie prostej o naro´scie be

‘^da‘^cym (a) zbiorem 1-punktowym;

(b) zbiorem 2-punktowym; (c) odcinkiem domknie

‘^tym; (d) dwoma rozÃla

‘^{cznymi odcinkami domknie}‘^{tymi na pÃlaszczy´znie} euklidesowej;

(e) okre ‘^giem.

ROZDZIAÃl 11

Przestrzenie zupeÃlne

W dokumencie Wstęp do topologii - skrypt, P.Krupski (Stron 69-81)