Zanim przedstawimy możliwość wykorzystania prawdopodobieństwa subiektywnego w procesie po-dejmowania decyzji omówimy przykład wykorzystania informacji diagnostycznej w zadaniu estymacji parametrów rozkładu prawdopodobieństwa z wykorzystaniem Modeli Proporcjonalnych. Przykład ten przytaczamy za [8.4], a uzyskane wyniki traktujemy jako rezultaty odniesione do omawianych tu zagadnień. Załóżmy, że przyjęta hipoteza o rozkładzie Weibulla została zweryfikowana, a naszym zadaniem jest wykorzystanie informacji o zmierzonych wartościach prędkości drgań do aktualizacji wartości parametrów kształtu i skali analizowanego rozkładu.
Zauważmy, że w tak sformułowanym zadaniu zmierzone wartości traktowane są jako wielkości zdeterminowane. W kolejnym przykładzie z wykorzystaniem sieci bayesowskich przyjmiemy, że otrzy-mane wyniki pomiarów są zmiennymi losowymi co będzie miało istotny wpływ na końcowe rezultaty.
Norma [8.1] do oceny drgań maszyny wykorzystuje jako kryterium intensywność punktową drgań szerokopasmowych lub zmiany intensywności punktowej. W przypadku pierwszego kryterium nor-ma definiuje strefy klasyfikacyjne od A do D. Jako miarę intensywności drgań w szerokim zakresie częstotliwości przyjęto prędkość drgań. W załączniku B omawianej normy zamieszczono granice po-szczególnych stref klasyfikacyjnych dla popo-szczególnych typów maszyn (Tab. 8.1).
Strefy klasyfikacyjne zostały zdefiniowane dla czterech klas określających wielkość maszyny i fun-damentowanie. Kolejne strefy oznaczają:
Strefa A – w tej strefie mieszczą się zwykle drgania maszyn bezpośrednio po oddaniu do eksplo-atacji .
Strefa B – drgania określone w tej strefie są generowane na maszynach, które dopuszcza się do długotrwałego użytkowania bez ograniczeń eksploatacyjnych.
Tab. 8.1: Wartości graniczne stref klasyfikacyjnych intensywności drgań
Strefa C – maszyny, których drgania mieszczą się w tej strefie, z reguły uważa się za nie nadające się do długotrwałej pracy ciągłej. Zwykle maszyna może być eksploatowana w tym stanie przez ograniczony czas, do chwili gdy możliwe jest podjęcie kroków zaradczych.
Strefa D – zwykle przyjmuje się, że intensywność drgań o wartościach mierzonych w tej strefie, wystarcza aby spowodować uszkodzenie maszyny.
Prędkość drgań przy ustalonej częstotliwości przekłada się na przyspieszenia drgań, a w rezultacie na dynamiczne obciążenie łożysk, na których są osadzone elementy wirujące maszyny. Natomiast trwałość łożysk wiąże się z wartością obciążenia dynamicznego. Wynika z tego, że intensywność uszkodzeń łożyska jest zależna od prędkości drgań, którą należy uznać za zmienną systemową.
Jak przedstawiono w pracy ([8.5]) zastosowanie modeli proporcjonalnych stwarza możliwość ba-dania wpływu zmiennych systemowych (w tym przypadku drgań zmierzonych podczas diagnostyki kontrolnej) na niezawodność systemu.
Założenia modelu proporcjonalnego:
• Stosunek intensywności uszkodzeń dla dwóch różnych wartości zmiennej systemowej nie zależy od czasu;
• Intensywności uszkodzeń dla różnych wartości zmiennej systemowej są opisane tym samym rozkładem.
Na podstawie powyższych założeń możemy napisać:
λ (t, z, β) = λ0(t) r (z, β) (8.13) gdzie:
t – czas,
z – zmienna systemowa,
β – nieznany parametr uwzględniający wpływ zmiennej systemowej,
λ0(t) – intensywność uszkodzeń dla wartości zmiennej systemowej przyjętej jako poziom odnie-sienia.
Przyjmując za modelem Coxa [8.2]:
r (z, β) = ezβ (8.14)
otrzymujemy:
λ (t, z,β) = λ0(t) ezβ (8.15)
Model, który można zapisać za pomocą równania (8.13), nazywa się modelem proporcjonalnym, można go uogólnić na dowolną liczbę zmiennych systemowych:
λ (t, z1, ...zn, β1, ..., βn) = λ0(t) r (z1, ...zn, β1, ..., βn) (8.16) po podstawieniu modelu Coxa otrzymujemy:
λ (t, z1, ...zn, β1, ..., βn) = λ0(t) ez1β1+...+znβn (8.17) Wykładnicza postać funkcji r(z,β) gwarantuje, że funkcja intensywności przyjmuje wartości nie-ujemne bez względu na wartości współczynników.
Najczęściej wykorzystywanym rozkładem w analizie niezawodności jest rozkład wykładniczy dla którego intensywność uszkodzeń jest stała, zatem również stosunek intensywności dla dwóch grup danych o określonych uszkodzeniach będzie stały, co spełnia założenia modelu proporcjonalnego.
Przyjmując założenie o rozkładzie wykładniczym wyklucza się możliwość uwzględnienia wpływu cza-su. Z tego względu należy rozważyć możliwość użycia rozkładu Weibulla. Przeanalizujmy zatem, jakie warunki muszą spełniać parametry tego rozkładu żeby były spełnione założenia modelu proporcjo-nalnego. Intensywność uszkodzeń dla rozkładu Weibulla ma postać:
λ = α
ηαtα−1 (8.18)
natomiast stosunek intensywności:
λ1 λ2 =
α1
η1α1tα1−1
α2
η2α2tα2−1 = α1 α2 ·η2α2
η1α1 ·tα1−1
tα2−1 (8.19)
Z powyższej zależności wynika, że dla rozkładu Weibulla będą spełnione założenia modelu propor-cjonalnego tylko wtedy gdy współczynnik kształtu pozostanie stały dla obu grup danych.
Skupmy się teraz na pomiarach wykonanych tuż po oddaniu maszyny do eksploatacji. Otrzymane wyniki dla poszczególnych maszyn, przy założeniu takich samych warunków pracy (obciążenie, pręd-kość obrotowa, itp.) w głównej mierze będą zależały od jakości wykonania oraz błędów montażowych.
Jeśli drgania maszyny będą się zawierały w strefie A oznacza to, że prędkość drgań może się zawierać od 0,28 mm/s do 0,71 mm/s, co automatycznie przekłada się na prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzeń łożysk, a więc i na funkcję intensywności uszkodzeń.
Krzywa intensywności uszkodzeń w trakcie eksploatacji została przedstawiona na rysunku 8.3. Krzywa ta jest podzielona na trzy części:
I - okres "chorób wieku dziecięcego"
II - okres normalnej eksploatacji
t
( )t
λ
III - okres kumulacyjnego zużycia
Rys. 8.3: Funkcja intensywności uszkodzeń w czasie eksploatacji [8.9]
I. okres chorób wieku dziecięcego – przedział czasu, w którym ujawniają się wady procesu wy-twarzania i montażu. Okres ten odpowiada dużej, ale malejącej intensywności uszkodzeń. Aby obniżyć liczbę awarii w tym czasie producenci starają się coraz dokładniej wykonywać współ-pracujące elementy i jeszcze przed oddaniem do eksploatacji maszyna jest uruchamiana na pewien czas w celu dopasowania poszczególnych elementów.
II. okres normalnej eksploatacji, w którym występowanie uszkodzeń wynika z losowego charak-teru obciążenia i obciążalności, które umożliwiają modelowanie stałej – niezależnej od czasu eksploatacji – intensywności uszkodzeń. Gdy rozpatrujemy dane dotyczące uszkodzeń łożysk, jak było już wcześniej powiedziane obciążenia mogą się wahać w pewnych granicach co wynika z przynależności maszyny do pewnej strefy klasyfikacyjnej zgodnie z normą [8.1]. Tak więc położenie i kształt krzywej intensywności uszkodzeń będzie zależeć właśnie od tych sił, które jak wcześniej wykazano zależą od prędkości drgań mierzonych na obudowach łożysk.
III. okres kumulacyjnego zużycia, w którym występujące procesy degradacyjne objawiają się rosnącą intensywnością uszkodzeń.
Empiryczne funkcje intensywności można opisać funkcjami teoretycznymi co ułatwia dalsze obli-czenia.
Funkcja intensywności uszkodzeń w okresie normalnej eksploatacji spełnia założenia modeli pro-porcjonalnych ponieważ w tym czasie nie występują procesy degradacyjne, które mogłyby wywołać zmianę charakteru uszkadzania elementu. Dla rozpatrywanego przykładu w siatce probabilistycz-nej rozkładu Weibulla linie trendu dla danych o uszkodzeniach przy prędkościach drgań równych 0,28 mm/s i 0,71 mm/s będą równoległe (Rys.7.7), co jest spowodowane tym, że współczynniki kształtu rozkładu Weibulla w obu przypadkach są tej samej wartości (Rys.8.5). Na rysunku 8.6 przedstawiono graficzne sprawdzenie założeń Modeli Proporcjonalnych tzn. stosunek intensywności uszkodzeń nie zmienia się w czasie.
Jak podaje norma, wartości liczbowe przypisane granicom stref nie mają charakteru kryterium obo-wiązującego podczas prób odbiorczych. Zmierzone prędkości drgań mogą wykraczać poza strefę A.
Powoduje to jeszcze większą rozbieżność wyznaczanych funkcji intensywności uszkodzeń. Wychodząc temu naprzeciw rozważmy przykład, w którym mierzone wartości są zmiennymi losowymi.
100 1000 10000 100000
99 ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
Czas, (t)
Rys. 8.4: Przedstawienie danych w siatce probabilistycznej rozkładu Weibulla dla różnych prędkości drgań
2650 5044 7438 9832 12226 14620
ReliaSoft's Weibull++ 6.0 - www.Weibull.com
17-06-2005 15:26
Rys. 8.5: Pola ufności parametrów rozkładu Weibulla dla różnych prędkości drgań
0,2
0 5000 10000 15000 20000
Rys. 8.6: Sprawdzenie warunku stosowalności modelu proporcjonalnego