Przypadek wielowymiarowy

Do tej pory w rozważanym przez nas modelu brany pod uwagę był tylko je-den polutant. Można jednak również rozważyć problem znacznie ciekawszy, jakim jest wiele rodzajów zależnych od siebie zanieczyszczeń w jednym środowisku. Na

4.4 Kontrola zanieczyszczeń

Rysunek 4.27: Płytkie jezioro, T → ∞

przykład, w wyniku rozkładu jednego z rodzajów substancji chemicznej wytwa-rzane są inne, lub zanieczyszczenia chemiczne wpływają na rozwój ”zanieczysz-czeń”biologicznych (przykładowo, stężenie dwutlenku węgla znacząco wpływa na rozwój glonów, zob np. [50]).

Poszerzmy przedstawiony w poprzednim rozdziale przypadek fosforu w algach na szerszą klasę zanieczyszczeń. Przyjmiemy, że każdy z polutantów wykazuje tę samą charakterystykę sprzężenia zwrotnego co w przypadku problemu fosforu i alg z poprzedniego rozdziału1. Interesującym nas punktem równowagi systemu będzie punkt x₁ = [0 0 . . . 0]^T. W takim przypadku, system zlinearyzowany przyjmie typową postać (1.3), przy czym

• Elementy na diagonali macierzy A interpretujemy jako wpływ ilości danego zanieczyszczenia na jego ilość w przyszłości. Jak wspomniano, polutanty

1Założenie o identyczności nieliniowości w przypadku równania każdego z polutantów oczy-wiście nie musi być spełnione. W przypadku gdy są one różne należy przeprowadzić pełną line-aryzację systemu z uwzględnieniem każdej z nieliniowości. Ponieważ jednak rezultatem będzie i tak system liniowy, a sposób linearyzacji został przedstawiony, kwestia ta zostaje pominięta jako nieistotna z punktu widzenia dalszych rozważań.

4.4 Kontrola zanieczyszczeń

mogą wykazywać zarówno tendencje do zanikania w środowisku (wytrąca-nie, absorpcja, rozpad itp.), jak również do wzrostu ich stężenia (rozwój mikroorganizmów). Warto zauważyć, że w większości przypadków zarówno zjawiska związane z zanikaniem, jak i rozwojem, mają charakter eksponen-cjalny. To powoduje, że - przynajmniej w ograniczonym zakresie zmiennych stanu - model liniowy może stanowić dobre przybliżenie większości zacho-dzących zjawisk.

• Elementy poza diagonalą macierzy A stanowią o wpływie jednych czynni-ków zanieczyszczających na inne. O ile w większości przypadczynni-ków stężenia polutantów pozostają od siebie niezależne, to jednak w określonych sytu-acjach może ujawniać się ich zależność. Co więcej - zależność ta może być zarówno charakter wzmacniający, tj. wysokie stężenie jednego rodzaju sub-stancji lub organizmów wpływa na wzrost innego (dwutlenek węgla i glony), jak również osłabiający (wysokie stężenie trujących chemikaliów powoduje wymieranie drobnoustrojów).

Macierze B₁, B₂reprezentować będą kierunki inwestycji w oczyszczaniu. War-tości odpowiadające różnym zanieczyszczeniom są różne w zależności od faktu, czy dany kraj kieruje swoje finanse na redukcję danego zanieczyszczenia. Wartość 0 dla danego elementu macierzy B reprezentuje sytuację, gdy dany podmiot nie przeznacza finansowania na przeciwdziałanie danemu polutantowi.

Wagi w postaci macierzy Q₁, Q₂, R₁₁, R₂₂również posiadają tę samą interpre-tację co w przypadku systemu jednowymiarowego - a więc wagę jaką dany pod-miot przywiązuje do zmniejszenia stężenia danego zanieczyszczenia, oraz koszt jego usuwania. Każdy podmiot może przywiązywać różną wagę do konkretnego zanieczyszczenia (przykładowo, dla państw których gospodarka jest związana z rybołówstwem, stężenie pierwiastków ciężkich stanowi ważny problem, podczas gdy państwa opierające się na przemyśle mogą tę kwestię lekceważyć). W szcze-gólnym przypadku można uwzględnić sytuację, gdy dany podmiot całkowicie nie jest zainteresowany danym rodzajem zanieczyszczenia.

Jako przykład rozważmy dwa kraje położone nad tym samym, zamkniętym obszarem morskim, oraz trzy rodzaje polutantów - rtęci x₁(t), pierwiastków radio-aktywnych x2(t), i glonów x3(t). Kraj A jest krajem przemysłowym, w związku

4.4 Kontrola zanieczyszczeń

z czym stężenie w wodzie pierwiastków ciężkich takich jak rtęć nie jest ważne z jego punktu widzenia. Ze względu na przemysłowe wykorzystanie wody, nie jest jednak dla niego korzystne wysokie stężenie glonów. Kraj B z kolei opiera gospodarkę na rybołówstwie, zatem stężenie pierwiastków ciężkich jest dla niego kluczowe, natomiast glony nie mają żadnego znaczenia. Przyjmijmy, że wpływ rtęci powoduje wymieranie glonów (jest to często obserwowane zjawisko w przy-padku pierwiastków ciężkich, zob. np. [44]), natomiast obecność pierwiastków radioaktywnych wpływa na nienaturalny ich rozwój. Rtęć i pierwiastki radioak-tywne pozostają bez związku ze sobą, natomiast o ile oba te polutanty wykazują tendencje do zanikania (w przypadku pierw. radioaktywnych wolniejszego), o tyle populacja glonów bez ingerencji z zewnątrz pozostaje niezmienna. Dodatkowo za-łóżmy, że kraj B kieruje (zgodnie ze swoim interesem) finanse na usuwanie rtęci i pierwiastków radioaktywnych, a kraj A koncentruje się wyłącznie na usuwaniu glonów.

Przyjęcie konkretnych wartości liczbowych opisujących powyższe zjawiska po-zwala zbudować odpowiednie macierze. Dla potrzeb dalszej analizy przyjmiemy następujące macierze gry

A =   −2.2 0 0 0 −2 0 −1 3.5 0  , B₁ =   0 0 −1  , B₂ =   −1 −1 0   i wskaźników jakości Q₁ =   0 0 0 0 0 0 0 0 2  , Q₂ =   4 0 0 0 4 0 0 0 0   oraz R11= 1, R22= 1

Dla takich macierzy równowaga w pętli otwartej będzie wyglądać dla czasu skończonego T = 2 jak na rysunku (4.28) (trajektorie uzyskane metodą rozkładu), natomiast dla czasu nieskończonego jak na rys. (4.29).

Interpretacja obu przypadków jest podobna. Zarówno ilość rtęci jak i pier-wiastków radioaktywnych spada gwałtownie - zarówno ze względu na samoistną

4.4 Kontrola zanieczyszczeń

Rysunek 4.28: Wielowymiarowy problem zanieczyszczeń, T = 2

4.4 Kontrola zanieczyszczeń

tendencję do zanikania, jak i działanie sterowania gracza B. Gracz A przy wyko-rzystaniu sterowania u1(t) stara się stłumić wartość x3(t) (ilość glonów), pomimo to wartość ta w pierwszym okresie rośnie. Dzieje się tak ze względu na duży wpływ pierwiastków radioaktywnych. Gdy ilość tych pierwiastków spada, gra-czowi A udaje się spowodować zanikanie ilości glonów.

Największą różnicą którą można zauważyć pomiędzy rozwiązaniami jest fakt, iż w przypadku skończonego horyzontu każde ze sterowań przyjmuje w punkcie końcowym T = 2 wartość 0. Dzieje się tak ze względu na fakt, iż macierze wag stanu końcowego Q_1T, Q_2T w tym przypadku zostały wybrane jako zerowe. W sytuacji gdy horyzont jest nieskończony, tylko u₂(t) wygasa (ze względu na wygaśnięcie odpowiednich zmiennych stanu).

Rozważmy teraz problem z rozszerzanym horyzontem. Naturalnym jest, że pewne parametry modelu, takie jak wzajemny wpływ polutantów, mogą ule-gać zmianom w trakcie ich usuwania. Ponadto, nieprzewidziane wydarzenia ze-wnętrzne mogą powodować zmiany w ilości zanieczyszczeń. Jako że badania che-miczne wody w wielu wypadkach nie mogą być przeprowadzane w czasie rzeczy-wistym, zastosowanie pełnego sprzężenia zwrotnego może być trudne - uwzględ-nienie nieprzewidzianych zmian stanu oraz niestacjonarności uzyskamy poprzez wykorzystanie rozszerzanego horyzontu.

W sytuacji, gdy macierze wag końcowych Q_1T, Q_2T są zerowe, uzyskujemy trajektorie jak na rys. (4.30). Nieciągłości w sterowaniach są nieznaczne (w przypadku sterowania u1(t) praktycznie niezauważalne) - tym niemniej możemy dążyć do pełnej ciągłości. Uzyskamy ją dla Q1T, Q2T postaci

Q_1T =   0.7692 0 0 0 0.9688 0 0 0 1.8210  , Q_2T =   1.1898 0 0 0 0.9312 0 0 0 0.0020   Uzyskane w ten sposób trajektorie przedstawione są na rys (4.31).

Sytuację, gdy parametry systemu zmieniają się w trakcie procesu, przedstawia rys. (4.32). Wpływ rtęci na glony (element A3,1) zwiększa się w chwili t = 0.2 o

4.4 Kontrola zanieczyszczeń

Rysunek 4.30: Wielowymiarowy problem zanieczyszczeń, Q_1T = 0, Q_2T = 0

4.4 Kontrola zanieczyszczeń

Rysunek 4.32: Wielowymiarowy problem zanieczyszczeń, niestacjonarność A_3,1 wartość 0.4. Obserwujemy, że zmiana ta ma wpływ na sterowanie u₁(t), natomiast u₂(t) pozostaje praktycznie bez zmian.