spraw-dzi´c, czyR(x) = P (x)· Q(x), zachodzi dla ka˙zdego rzeczywistego x. Załó˙zmy, ˙ze P (x) i Q(x) s ˛a stopnian, a R(x) jest stopnia 2n.
Jednym ze sposobów jest pomno˙zenie wielomianówP (x) i Q(x) i porównanie
współ-czynników iloczynu z wielomianemR(x). Ta metoda wymaga około n2mno˙ze´n. Przed-stawimy teraz szybszy algorytm probabilistyczny sprawdzaj ˛acy, czy dwa wielomiany s ˛a dobrze wymno˙zone.
Algorytm probabilistyczny sprawdzaj ˛acy mno˙zenie wielomianów.
Dane wej´sciowe: trzy wielomiany:P (x), Q(x) oraz R(x).
Dane wyj´sciowe: odpowied´z TAK, je˙zeli wielomianyP (x)· Q(x) oraz R(x) s ˛a równe; odpowied´z NIE, je˙zeli wielomianyP (x)· Q(x) oraz R(x) nie s ˛a równe.
• losuj liczb˛e naturaln ˛a x0z przedziału od0 do 4n,
• oblicz waro´sci u0= P (x0), v0= Q(x0) oraz w0= R(x0).
• porównaj w0z iloczynemu0· v0. Je˙zeliw06= u0· v0, to orzekaj, ˙zeP (x)· Q(x) 6= R(x). Je˙zeli w0= u0· v0, to orzekaj, ˙zeP (x)· Q(x) = R(x).
W rozdziale pierszym pokazano, ˙ze warto´s´c wielomianuP (x) stopnia n w punkcie x0
mo˙zna obliczy´c w czasie proporcjonalnym don.
Je˙zeli równo´s´cP (x)· Q(x) = R(x) jest to˙zsamo´sci ˛a, to dla ka˙zdej wylosowanej warto´scix0otrzymamyP (x0)· Q(x0) = R(x0), czyli nasz algorytm udzieli poprawnej
odpowiedzi z prawdopodobie´nstwem równym 1. Je˙zeliP (x)· Q(x) = R(x) nie jest
to˙z-samo´sci ˛a, to wielomianW (x) = P (x)· Q(x) − R(x) nie jest to˙zsamo´sciowo równy 0,
i algorytm mo˙ze wylosowa´cx0, które jest pierwiastkiem wielomianuW (x), i da´c bł˛edn ˛a odpowied´z. Ale jak pokazano w rozdziale pierwszym wielomian stopnia2n nie ma wi˛ecej
ni˙z2n pierwiastków, wi˛ec prawdopodobie´nstwo bł˛edu jest nie wi˛eksze ni˙z 12.
1.17.2 Algorytmy z bł˛edem obustronnym
W przykładach z poprzedniego podrozdziału tylko jedna z odpowiedzi typu TAK/NIE mo˙ze by´c udzielana bł˛ednie. Czasami mamy do czynienia z sytuacj ˛a kiedy bł˛edy s ˛a mo˙z-liwe w obu przypadkach.
Przykład 1.77 Wyobra˙zmy sobie teraz, ˙ze oba rodzaje urn zawieraj ˛a kule białe i czar-ne. Urny pierwszego rodzaju zawieraj ˛a 23 kul białych i 13 kul czarnych, a urny drugiego rodzaju zawieraj ˛a13kul białych i23 kul czarnych.
Jak poprzednio algorytm losuje jedn ˛a kul˛e i orzeka ˙ze urna jest pierwszego rodzaju, je˙zeli wylosuje kul˛e biała, oraz orzeka, ˙ze urna jest drugiego rodzaju, je˙zeli wylosuje ku-l˛e czarn ˛a. Algorytm mo˙ze teraz popełni´c bł ˛ad w obu przypadkach. Pradwopodobie´nstwo złej odpowiedzi wynosi 13. Aby zmniejszy´c prawdopodobie´nstwo bł˛edu losujemy ze zwra-caniemt razy. Je˙zeli wi˛ecej było kul białych, to algorytm orzeka, ˙ze urna jest pierwszego
Zastanówmy si˛e teraz jakie jest prawdopodobie´nstwo bł˛edu je˙zeli losujemy z urny pierwszego rodzaju. NiechX oznacza liczb˛e wylosowanych kul czarnych. X posiada
roz-kład dwumianowy długo´scit z prawdopodobie´nstwem sukcesu13. Algorytm popełni bł ˛ad, je˙zeli liczba sukcesów b˛edzie wi˛eksza od 2t. Z nierówno´sci Chernoffa prawdopodobie´n-stwo to mo˙zna oszacowa´c w nast˛epuj ˛acy sposób:
P (X≥ 2t) = P (X≥ (1 +12)t
3)≤ e−t 36.
Z nierówno´sci Czebyszewa mo˙zna to oszacowa´c przez
P (X≥ 2t) = P (X−3t ≥6t)≥ P (|X −3t| ≥6t)≥2t9 : t
2
36 = 8
t.
1.17.3 Algorytm kolorownia wierzchołków grafu
Wyobra´zmy sobie algorytm, który niezale˙znie i ze stałym prawdopodobie ´nstwem12 kolo-ruje na biało lub czarno wierzchołki wybranego grafuG = (V, E). Chcemy go
wykorzy-sta´c do takiego pokolorowania grafu aby mie´c du˙zo kraw˛edzi dwukolorowych. NiechX
oznacza liczb˛e kraw˛edzi dwukolorowych. Pami˛etamy, ˙zeEX = m2 orazV ar(X) = m4. Za pomoc ˛a nierówno´sci Czebyszewa poka˙zemy, ˙zeP (X > m2 −√m)≥3
4. W tym celu oszacujemy prawdopodobie ´nstwo zdarzenia przeciwnego
P (X≤m2 −√m)≤ P (|X −m2| ≤√m)≤ 4mm =1 4.
1.18 Zadania
1. Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych dla rzutu dwiema (rozró˙znialnymi) kostkami. Przedstaw zdarzenie, ˙ze suma oczek na obu kostkach wynosi 5.
2. Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych dla losowania dwóch kul z urny zawieraj¸acej 3 kule białe i 4 czarne. Przedstaw zdarzenie, ˙ze wylosowano:
a) dwie kule białe, b) kule w ró˙znych kolorach.
3. Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych dla ustawienia czterech litera, b, c
id w ci¸ag. Przedstaw zdarzenie, ˙ze: a) a i b stoj¸a obok siebie; b) a i b s¸a
rozdzielone jedn¸a liter¸a.
4. Zaproponuj przestrze ´n zdarze´n elementarnych dla nast¸epuj¸acych do´swiadcze´n: a) Rzut monet¸a i kostk¸a.
b) Losowanie 13 kart z talii 52 kart. c) Wypełnienie kuponu totolotka.
1.18. Zadania 35
5. A, B i C s¸a zdarzeniami. Zapisa´c za pomoc¸a działa´n na zbiorach zdarzenia:
a) zachodz¸a wszystkie trzy zdarzenia;
b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarze ´nA, B lub C;
c) zachodz¸a dokładnie dwa ze zdarze ´nA, B, C;
d) zachodz¸a co najmniej dwa spo´sród zdarze ´nA, B, C.
6. Cyfry0, . . . , 9 ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo,
a) ˙ze1 i 2 stoj¸a obok siebie;
b) ˙ze pomi¸edzy1 i 2 stoj¸a dwie cyfry;
c) ˙ze0, 1 i 2 stoj¸a obok siebie.
7. Pokaza´c, ˙zeP (A∩ B) ≥ P (A) + P (B) − 1
8. Dane s¸aP (A0) =1
3,P (A∩ B) = 1
4iP (A∪ B) = 2
3. Obliczy´cP (B0), P (A∩ B0)
iP (B− A).
9. Dane s¸aP (A∩ B) = 14iP (A∪ B) = 12, wiadomo te˙z, ˙zeP (A− B) = P (B − A).
Obliczy´cP (B) oraz P (B− A).
10. Udowodnij, ˙ze dla dowolnej rodziny zbiorówA1, . . . , An (niekoniecznie parami rozł¸acznych) mamy P n [ i=1 Ai ≤ n X i=1 P (Ai)
11. W urnie s¸a 4 kule białe i 3 czarne. Losujemy dwie. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze wylosowane kule b¸ed¸a w ró˙znych kolorach?
12. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze przy okr¸agłym stole wybrane na pocz¸atku dwie osoby usi¸ad¸a obok siebie?
13. Niech przestrze ´n zdarze´n elementarnych b¸edzie zbiorem 3 elementowych ci¸agów zero-jedynkowych. Wypisz zdarzenia:
a) na pierwszej współrz¸ednej jest zero; b) na pierwszej i trzeciej współrz¸ednej s¸a zera;
c) na pierwszej i trzeciej współrz˛ednej mamy ró˙zne warto´sci; d) na wszystkich współrz¸ednych jest to samo.
Oblicz prawdopodobie ´nstwa tych zdarze ´n (rozkład jednostajny). Czy zdarzenia te s¸a niezale˙zne?
Niech przestrze ´n zdarze´n elementarnych b¸edzie zbioremn elementowych ci¸agów
zero-jedynkowych (rozkład jednostajny). Oblicz prawdopodobie ´nstwa tych samych zdarze´n.
14. Policz jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze losowo wybrana funkcja posiada takie same warto´sci dla dwóch z góry wybranych punktówa i b (patrz przykład 1.11).
15. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze na ˙zadnej kostce nie wypada szóstka, je˙zeli na ka˙zdej kostce wypada inna liczba oczek.
16. Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie s¸a dwie kule białe i cztery czarne, a w drugiej urnie trzy białe i trzy czarne. Rzucamy kostk¸a do gry. Je˙zeli wypadnie 1 lub 2, to losujemy kul¸e z pierwszej urny, je˙zeli 3,4,5 lub 6, to losujemy z drugiej urny.
Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze wylosujemy kul¸e biał¸a?
17. W urnie jestn kul w tym k białych. n osób po kolei losuje jedn¸a kul¸e bez zwracania.
a) Ile wynosi prawdopodobie ´nstwo wylosowania kuli białej dla trzeciej osoby? b) Ile wynosi prawdopodobie ´nstwo wylosowania kuli białej dla ka˙zdej z losuj¸acych osób?
18. Udowodnij, ˙ze je˙zeli zdarzeniaA i B s¸a niezale˙zne, to niezale˙zne s¸a tak˙ze A i B0 orazA0iB0.
19. ZmiennaX5(x) = x mod 5 jest okre´slona na przestrzeni{1, . . . , 30} z
jednostaj-nym rozkładem. Podaj jej rozkład, warto´s´c oczekiwan¸a orazP (X < 3).
20. Zmienna losowaX posiada rozkład:
x 1 2 3 4 5
P (X = x) 12 14 18 161 161
ObliczP (Xparzyste), P (X < 3), warto´s´c oczekiwan¸a EX, wariancj¸e V ar(X)
orazP (X≥ EX).
21. Ł¸aczny rozkład zmiennych losowychX i Y przedstawiony jest w tabeli. Y
-1 0 1
X 0 18 14 18 1 16 16 16
Oblicz rozkłady zmiennychX, Y , Z = X + Y , W = 2X− Y .
ObliczEX, EY , V ar(X), V ar(Y ), E(X + Y ), V ar(X + Y ).
Czy zmienneX i Y s¸a niezale˙zne?
Oblicz prawdopodobie ´nstwaP (X = Y ), P (X < Y ).
1.19. Problemy 37
Y
0 1 2
X 0 121 16 121
1 p q r
Czy mo˙zna tak dobra´c liczbyp, q i r, aby zmienne X i Y były niezale˙zne?
23. Na przestrzeni{1, . . . , 30} z jednostajnym rozkładem okre´slamy trzy zmienne X5(x) = x mod 5, X3(x) = x mod 3, X2(x) = x mod 2. Czy zmienne te s¸a niezale˙zne?
24. Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego0 < e < 1 istnieje zmienna losowa X taka, ˙ze E(X) = 1
orazP (X < 0.5) = 1− e.
25. Pokaza´c, ˙ze je˙zeliX ma rozkład symetryczny, tzn dla pewnego m, P (X = m− x) = P (X = m + x) dla ka˙zdego x, to EX = m.
26. Pokaza´c, ˙ze jezeli mamy zmienna losow¸aX z rozkładem jednopunktowym i dowoln¸a
inn¸a zmienn¸aY , to X i Y s¸a niezale˙zne
27. Pokaza´c, ˙zeV arX = V ar(X + c)
28. Poda´c przykład dwóch zmiennychX i Y o ró˙znych rozkładach takich, ˙ze EX = EY i V arX = V arY .
29. Przypu´s´cmy, ˙ze zmienna losowa przyjmujen > 2 warto´sci x1 < x2 < . . . < xn ka˙zde z dodatnim prawdopodobie ´nstwem.
a) Czy jest mo˙zliweEX = x1lubEX = xn? b) Czy jest mo˙zliweEX < x2lubEX > xn−1? c) Czy b) jest mo˙zliwe je˙zeliX ma rozkład jednostajny?
30. Rzucano symetryczn ˛a monet¸a 9 razy. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze: a) orzeł wypadł co najmniej raz, b) orzeł wypadł parzyst ˛a liczb˛e razy?
31. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w serii sze´sciu rzutów kostk¸a suma oczek b¸edzie parzysta.
32. Pokaza´c, ˙ze je˙zelii < j < np, to B(n, p, i) < B(n, p, j); a je˙zeli np < i < j, to B(n, p, i) > B(n, p, j), gdzie B(n, p, i) = nipiqn−ito rozkład dwumianowy. 33. Niech zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 2000,
p = 12. Oszacuj prawdopodobie ´nstwoP (X > 1500) (za pomoc ˛a nierówno´sci Markowa, Czebyszewa i Chernoff’a).
1.19 Problemy
1.19.1 Kolorowanie grafu trzema kolorami
Rozwa˙zmy kolorowanie dowolnego grafuG = (V, E) trzema kolorami. Niech zmienna
1.19.2 Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych
1. Mamy trzy niezale˙zne zmienne losoweX, Y i Z (okre´slone na jakiej´s przestrzeni
probabilistycznej). Udowodnij, ˙ze ka˙zde dwie te˙z s¸a niezale˙zne.
2. Mamyn niezale˙znych zmiennych losowych X1, . . . , Xn. Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego
1 < k < n zmienne X1, . . . , Xk te˙z s ˛a niezale˙zne. Podobnie ka˙zdy podzbiór tych zmiennych jest niezale˙zny.
3. Poka˙z, ˙ze je˙zeli zmienne losoweX i Y s¸a niezale˙zne, to dla dowolnych liczb x i y,
zdarzeniaX < x oraz Y < y s¸a niezale˙zne.
4. Poka˙z, ˙ze je˙zeli zmienne losoweX i Y s¸a niezale˙zne, to dla dowolnych funkcji g i h, zmienne g◦ X i h ◦ Y te˙z s¸a niezale˙zne.
Poka˙z, ˙ze je˙zeli zmienne losoweX i Y s¸a niezale˙zne, to niezale˙zne s¸a te˙z zdarzenia
opisywane przez te zmienne. Dokładniej, udowodnij nast˛epuj ˛ace twierdzenie