Równania i nierówności trygonometryczne

Podstawy teorii funkcji

6.5. Równania i nierówności trygonometryczne

Definicja

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywali równanie, w którym

niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej. Nierównością trygonometryczną będziemy nazywali nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej.

Rozpatrzmy równanie s�� , gdzie � � �. Dziedziną tego równania jest zbiór �.�Równanie to ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy � � ��1�1�. We wspólnym układzie współrzędnych naszkicujmy wykresy funk-cji �� s�� oraz �� . Wykresy tych funkfunk-cji przed-stawia Rysunek

6.9

1 A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer, Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 2007.

65 Przykład

Obliczmy wartości wyrażeń cos �^��_� � oraz tg ��^��_�� . Korzystając z okre-sowości funkcji cosinus oraz wzoru cos�� cos �, mamy

cos �^2��_{3 � � cos �2� � 4 �}^2�_{3 � � cos �}^2�_{3 � � cos �� }^�_{3� � � cos}^�_{3 � �}¹_{2 .}

Korzystając z nieparzystości funkcji tangens oraz wzoru tg�� tg �, otrzymujemy

tg ��^��_{4 � � � tg �}^��_{4 � � � tg �� }^�_{4� � � tg}^�_{4 � �1.}

Inne wzory trygonometryczne można znaleźć np. w tablicach matema-tycznych1.

6.5. Równania i nierówności

trygonometryczne

Definicja

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywali równanie, w którym

6.9

1 A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer, Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 2007.

Rysunek 6.9. Ilustracja graficzna równania sin x = a

Widzimy, że dane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, które można wygodnie zapisać w postaci dwóch nieskończonych serii. Niech �� oznacza najmniejsze dodatnie rozwiązanie danego równania. Pierwszą serię rozwiązań, generowaną przez �_�, zapisujemy jako

� � �_�� , � � �.

Drugą serię rozwiązań, generowaną przez � � ��, zapisujemy jako � � � � �_�� , � � �.

Ostatecznie rozwiązaniem równania �� jest zbiór

�� .

Podobnie otrzymujemy, że rozwiązaniem równania �� , gdzie � � ��,��, jest zbiór

�� , gdzie �_� jest najmniejszym dodatnim rozwiązaniem tego równania.

Rozpatrzmy równanie �� , gdzie � � �. Dziedziną tego równania jest zbiór � � �� ^�_�� , � � ��. Równanie to ma rozwiązanie dla dowolnego � � �. Po naszkicowaniu we wspólnym układzie współrzędnych wykresów funkcji �� oraz �� stwierdzamy, że w tym przy-padku mamy jedną nieskończoną serię rozwiązań:

�� , � � �,

gdzie �_� jest najmniejszym dodatnim rozwiązaniem danego równania. Podobnie jak dla tangensa otrzymujemy, że zbiorem rozwiązań równania �� , gdzie � � �, � � � � �� , � � ��, jest zbiór

‐2 ‐1 0 1 2 y= sin x y=a x₀ π‐x₀ x₀+2π (π‐x₀)‐2π

�� _�� _�� ,

gdzie �_� jest najmniejszym dodatnim rozwiązaniem danego równania. Przykład

Rozwiążmy równania:

a)

cos �2� �^�_�� ^�_�,

b)

tg �^�_�� ^�_�� 1. ad a)

Po wprowadzeniu podstawienia � � 2� �^�_� otrzymujemy równanie cos � �^�_�. Ponieważ cos^�_��^�_�, to rozwiązania tego równania są postaci

� �^�_{3 � 2�� }^�_{3 � 2��,} gdzie � � �. Zatem rozwiązania danego równania są postaci

2� �^�_{3 �}^�_{3 � 2�� 2� �}^�_{3 � �}^�_{3 � 2��,} 2� �^2�_{3 � 2�� 2� � 2��,}

� �^�_{3 � �� ,} gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

ad b)

Po wprowadzeniu podstawienia � �^�_�� ^�_� otrzymujemy równanie tg � � 1. Ponieważ tg^�_�� 1, to rozwiązania tego równania są postaci

� �^�_{4 � ��,}

gdzie � � �. Zatem rozwiązania danego równania są postaci 1 2 � � � 8 � � 4 � ��, 1 2 � � 3� 8 � ��, � �^3�_{4 � 2��,} gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

67 �� _�� _�� ,

gdzie �_� jest najmniejszym dodatnim rozwiązaniem danego równania. Przykład

Rozwiążmy równania:

a)

cos �2� �^�_�� ^�_�,

b)

tg �^�_�� ^�_�� 1. ad a)

Po wprowadzeniu podstawienia � � 2� �^�_� otrzymujemy równanie cos � �^�_�. Ponieważ cos^�_��^�_�, to rozwiązania tego równania są postaci

� �^�_{3 � 2�� }^�_{3 � 2��,} gdzie � � �. Zatem rozwiązania danego równania są postaci

2� �^�_{3 �}^�_{3 � 2�� 2� �}^�_{3 � �}^�_{3 � 2��,} 2� �^2�_{3 � 2�� 2� � 2��,}

� �^�_{3 � �� ,} gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

ad b)

Po wprowadzeniu podstawienia � �^�_�� ^�_� otrzymujemy równanie tg � � 1. Ponieważ tg^�_� � 1, to rozwiązania tego równania są postaci

� �^�_{4 � ��,}

Przykład

Rozwiążmy nierówność �� ^�_�. Dziedziną tej nierówności jest zbiór �. Rozwiążemy ją, korzystając z ilustracji graficznej równania �� (patrz Rysunek

6.9

). Przyjmując � �^�_�, otrzymujemy �_��^�_� oraz � � �_��^��_�. Posługując się wykresem, możemy odczytać, że w zbiorze rozwiązań danej nierówności zawiera się m.in. przedział �^�_�,^��_��. Uwzględniając okresowość funkcji sinus otrzymujemy, że zbiorem rozwiązań nierówności �� ^�_� jest suma nieskończenie wielu przedziałów mających postać �^�_�� 2��,^��_� � 2��, gdzie � � �:

�� ¹_{2 � �}_�� ^�_{6 � 2��,}^��_{6 � 2��}��. Przykład

Rozwiążmy nierówność ctg � � �^√�_� . Dziedziną tej nierówności jest zbiór � � �� , � � ��. Przypomnijmy, że ctg^�_��^√�_� oraz ctg ��^�_�� ^√�_�. Z wykresu funkcji cotangens (patrz Rysunek

6.8

) odczytujemy, że w zbiorze rozwiązań danej nierówności zawiera się m.in. przedział ��^�_�, ��. Uwzględniając okresowość funkcji cotangens, dostajemy, że zbiorem roz-wiązań danej nierówności jest suma nieskończenie wielu przedziałów posta-ci ��^�_�� , ��, gdzie � � �, tzn.

ctg � � �^√3_{3 � �}_�� ^�_{3 � ��, ��}�.

ctg �� .

Rozdział 7

Wielomiany

W znanych nam wyrażeniach algebraicznych wyróżnimy grupę jednomianów. Definicja

Jednomianem zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję określoną wzorem n

ax

x

f( )

, gdzie

nN,aR

. Uwaga

Liczba n określa nam stopień jednomianu. Jednomiany będą podobne, jeśli są tego samego stopnia.

Definicja

Wielomianem jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję postaci: 0 1 2 2 1 1

...

)

(x a x a x a x a x a

W

n n n n n n

    



    , gdzie

a

,a

_n_₁

,a

₀ nazywamy współczynnikami wielomianu, zaś n nazywamy stopniem wielomianu.

Wielomian jednej zmiennej jest zatem sumą jednomianów jednej zmien-nej. Poszczególne jednomiany w wielomianie nazywać będziemy wyrazami wielomianu.

Jednomiany (wyrazy) podobne w wielomianie redukujemy w ten sposób, że wykonujemy działania na liczbach, a część literową przepisujemy bez zmiany.

Wielomiany zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. według rosną-cych wykładników potęg zmiennej x.

Twierdzenie

Dwa wielomiany zmiennej rzeczywistej x są równe, gdy są tego samego stopnia i mają identyczne współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

W dokumencie Repetytorium z matematyki dla studentów pierwszego roku (Stron 65-71)