Równania i nierówności wielomianowe

∈ 

k jeżeli wielomian ten jest podzielny przez (x−x₀)^k, ale nie jest on podzielny przez (x−x₀)^k+1. Zatem liczba x₀ jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q, że

) ( ) ( )

(x x x₀ Q x

W = − ^k dla x∈R,przy czym Q(x₀)≠0. Przykład. Niech

+ +

−

− +

+

−

=2 ⁸ 24 ⁷ 54 ⁶ 240 ⁵ 546 ⁴ 1632 ³ 130 ² )

(x x x x x x x x

W

. ) 3 2 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 3 ( 2 9000

6600x+ == x− x+ ² x− ³ x²+ x+ Pierwiastkami wielomianu W są liczby:

3 − pierwiastek jednokrotny;

−2 − pierwiastek dwukrotny;

5 − pierwiastek trzykrotny.

Poniższe twierdzenie zawiera istotną informację dotyczącą liczby pierwiastków wielomianu:

Wielomian stopnia n-tego ma co najwyżej n pierwiastków. Pierwiastek k-krotny jest tu liczony jako k pierwiastków.

7.3. Równania i nierówności wielomianowe

Ważną operacją często wykonywaną w trakcie rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych jest rozkładanie wielomianu na czynniki.

Powstaje tu pytanie, czy każdy wielomian daje się rozłożyć na czynniki liniowe.

Odpowiedź daje następujące twierdzenie:

Każdy wielomian W stopnia nie mniejszego niż 2 o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego i nierozkładalne czynniki stopnia drugiego. Rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

Uwaga. W opisanym rozkładzie mogą wystąpić tylko czynniki stopnia pierwszego lub tylko nierozkładalne czynniki stopnia drugiego lub oba rodzaje czynników.

Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci 0

) (x =

W ,

gdzie W jest wielomianem stopnia dodatniego.

7.3. Równania i nierówności wielomianowe 89 Najczęściej rozwiązujemy równania sprowadzalne do równań wielomia-nowych w czterech krokach:

1. Doprowadzamy równanie przy pomocy elementarnych przekształceń algebraicznych do postaci W(x)=0.

2. Rozkładamy wielomian W(x) na czynniki.

3. Każdy z czynników przyrównujemy do zera.

4. Rozwiązujemy wszystkie otrzymane w ten sposób równania.

Przykład. Rozwiążemy wybrane równania.

a) (∗ ) 2x⁵ −3x⁴ −5x³ =8x−14x². Rozwiązanie. Mamy

⇔

Stąd nasze równanie ma postać:

(

^{2 6 8}

)

^0. do postaci

(

^{2 5 4}

)

^0,

Rozwiązanie. Rozkładamy na czynniki lewą stronę równania:

(

⁻

)

^{= ⇔}

Stąd równanie posiada trzy rozwiązania: .

2

c) x⁴ −4x³−8x²+36x−9=0.

Stąd rozwiązywane równanie możemy zapisać w postaci

(

^{4 1}

)

^0. Znajdźmy pierwiastki nie rozłożonego czynnika:

.

Łącznie równanie posiada wiec cztery rozwiązania:

.

(ierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci:

,

gdzie W jest wielomianem stopnia dodatniego.

Aby rozwiązać nierówność sprowadzalną do nierówności wielomia-nowej, najczęściej postępujemy w następujący sposób:

1. Doprowadzamy nierówność do jednej z postaci wymienionych w po-przedniej definicji.

2. Rozkładamy wielomian W(x) na czynniki.

3. Dzielimy obie strony nierówności przez czynniki stale dodatnie lub stale ujemne; jeżeli trzeba, zmieniamy stosownie kierunek nierówności.

4. Wykonujemy jedną z poniższych czynności:

(a) Ustalamy znak pozostałych czynników w poszczególnych przedziałach i na tej podstawie budujemy tzw. siatkę znaków dającą informację o znaku i miejscach zerowych wielomianu.

7.3. Równania i nierówności wielomianowe 91 (b) Rysujemy wykresy poszczególnych czynników, a następnie z wykre-sów odczytujemy znaki czynników w poszczególnych przedziałach.

(c) Szkicujemy uproszczony wykres wielomianu tak, aby uzyskać te same informacje, co przy poprzedniej metodzie.

5. Przy pomocy siatki znaków, wykresów lub wykresu znajdujemy zbiór rozwiązań nierówności.

Przykład. Rozwiążmy wybrane nierówności.

a)

(

3x²+2x−8

)(

−x²+2x−5

) (

x−1

)

²(x+3)³≤0.

Rozwiązanie. Dzielimy obie strony nierówności przez czynnik

(

^−x2+2x−5

)

^,

gdyż jest on stale ujemny. Po koniecznej zmianie kierunku nierówności na przeciwny, przyjmuje ona postać

. 0 ) 3 ( ) 1 )(

8 2 3

( x² + x− x− ² x+ ³ ≥

Znajdźmy rozkład na czynniki liniowe wyrażenia kwadratowego:

⇒

=

∆

⇒

=

−

⋅

⋅

−

=

∆ 4 4 3 ( 8) 100 10

3 . ) 4 2 ( 3 8 2 3 3

4 6

10 2 2

6 10

2 ₂

2

1 



 

 − +

=

− +

⇒ + =

=−

∧

−

− =

= − x x x x x

x

Rozwiązywana nierówność po obustronnym podzieleniu przez 3 i uporząd-kowaniu czynników przyjmuje postać:

. 3 0 ) 4

1 ( ) 2 ( ) 3

( ^{3 2} ≥



 

 −

− +

+ x x x

x

Oznaczamy przez W(x) lewą stronę ostatniej nierówności . Dalsze postępowanie zależy od wyboru metody.

Metoda siatki znaków

Tworzymy następującą tabelę:

x ... − 3 ... −2 ... 1 ...

3

4 ...

)3

3

( +x − 0 + + + + + + +

+2

x − − − 0 + + + + +

)2

1

( −x + + + + + 0 + + +

3

−4

x − − − − − − − 0 +

) (x

W − 0 + 0 − 0 − 0 +

Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór

[ ]

; . 3 } 4 1 { 2

;

3 



 

 ∞

∪

∪

−

− Metoda wykresów poszczególnych czynników.

Wyjdźmy od nierówności postaci

0 ) 3 ( ) 1 )(

8 2 3

( x² + x− x− ² x+ ³ ≥ .

Funkcja y= x( −1)² jest równa 0 dla x = 1, a dla x ≠1 jest stale dodatnia.

Analogicznie funkcja y= x( +3)² jest równa 0 dla x=−3, a dla x≠−3 jest stale dodatnia. Przez bezpośrednie podstawienie sprawdzamy, że liczby 1 i − 3 są rozwiązaniami nierówności. Dla x∈ R\ −

{

3,1

}

dzielimy obie strony nierów-ności przez (x−1)²(x+3)², co daje nierówność

0 ) 3 )(

8 2 3

( x²+ x− x+ ≥ .

Rysujemy wykresy trójmianu f₁(x)=3x²+2x−8, którego pierwiastkami są liczby

3 , 4

2 ₂

1=− x =

x oraz funkcji liniowej f₂(x)= x+3:

W oparciu o nie tworzymy tabelę:

x ... − 3 ... −2 ...

3

4 ...

)

1(x

f + + + 0 − 0 +

)

2(x

f − 0 + + + + +

) ( )

( ₂

1 x f x

f ⋅ − 0 + 0 − 0 +

x y

−2

3

−3 4

7.3. Równania i nierówności wielomianowe 93 i, podobnie jak poprzednio, wnioskujemy, że rozwiązaniem nierówności jest

zbiór

[ ]

; .

3 } 4 1 { 2

;

3 



 

 ∞

∪

∪

−

−

Metoda uproszczonego wykresu

W istotny sposób wykorzystamy tu następujące własności funkcji wielomiano-wej:

i) Wykres wielomianu jest linią ciągłą.

ii) Wielomian w każdym przedziale nie zawierającym jego pierwiastków ma stały znak.

iii) Niech x₀ będzie jedynym pierwiastkiem wielomian należącym do przedziału (a;b). W zależności od tego, czy krotność pierwiastka x₀ jest liczbą parzystą, czy nieparzystą, wielomian ma ten sam albo przeciwny znak na przedziałach

(

a; x₀

)

i

(

x₀; b

)

.

Po ustaleniu miejsc zerowych oraz ich krotności ustalamy znak wielomianu w jednym z wyznaczonych przez miejsca zerowe przedziałów. Np.

( )

0.

3 ) 4 1 ( 2 3 ) 0 (

; 1

; 2

0 ^{3 2} <



 

 −

⋅

−

⋅

⋅

=

−

∈ W

Z powyższego wynika, że przybliżony wykres wielomianu W(x) dostarczający informacji o jego znaku i miejscach zerowych wygląda następu-jąco:

Odczytujemy z niego, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór

[ ]

; .

3 } 4 1 { 2

;

3 



 

 ∞

∪

∪

−

−

b) (∗) −x³ +3x²−3x+2≤0.

Rozwiązanie. Niech W(x)=−x³+3x² −3x+2. Ponieważ W(2)=0, więc można by podzielić W(x) przez ( −x 2). Efektywniejszą i szybszą jest jednak metoda grupowania, w której wykorzystujemy posiadaną informację o podziel-ności:

(

^{− +}

) (

^{+ −}

)

^{− + =}

= +

− +

−x³ 3x² 3x 2 x³ 2x² x² 2x x 2

(

²

)

^{( 2) ( 2) ( 2)}

(

^{2 1}

)

^.

2 − + − − − = − − + −

− x x x x x x x x

Wyrażenie −x² +x−1 jest stale ujemne, więc

1 3 4

−2

−3 x

0

(

¹⁾

)

^{0 2 0 2.}

) 2 ( )

(∗ ⇔ x− −x²+x− ≤ ⇔x− ≥ ⇔x>

Rozwiązaniami nierówności (∗) są więc wszystkie liczby z przedziału (2;∞ ). Powstaje pytanie, czy istnieje możliwość rozwiązania równania lub nierówności wielomianowej, jeżeli odpowiadający jej wielomian nie posiada pierwiastków wymiernych. Okazuje się, że taka szansa istnieje w przypadku, gdy współczynniki wielomianu mają pewną własność typu symetrii.

Niech W(x)=a_n xⁿ +a_n−1 xⁿ⁻¹+ ... +a₁ x+a₀ będzie wielomianem stopnia n. Mówimy, że wielomian W jest symetryczny, jeżeli jego współczynniki spełniają równości

i n

i a

a = ₋ dla i =0,1,... , n.

Powyższy warunek definicyjny oznacza, że zachodzą równości ,

, _{1 1}

0 =a_n a =a_n−

a itd.

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to liczba − jest pierwiastkiem 1 wielomianu symetrycznego. Wówczas W(x)=(x+1)W₁(x). Co więcej, okazuje się, że wielomian W₁ jest także wielomianem symetrycznym. Możemy więc ograniczyć się do rozważenia problemu poszukiwania pierwiastków takich wielomianów, gdy ich stopień jest liczbą parzystą, tj., gdy n =2 m. Rozważmy więc równanie

) 1

( W(x)=0.

Ponieważ a_n = a₀ ≠0, więc zero nie jest rozwiązaniem równania (1).

Podzielmy równanie (1) stronami przez x^m. Otrzymujemy wówczas równanie równoważne:

(2) ₀

(

⁺ −

) (

⁺ ₁ −¹⁺ −⁽ −¹⁾

)

^{+ ... +} −₁

(

^{+ −1}

)

^{+ =0.}

m m

m m

m

m x a x x a x x a

x a

Można wykazać, że wyrażenie

k k

x x1

+ daje się przedstawić w postaci

1 ,



 

 + x x

W_k gdzie W_k jest pewnym wielomianem stopnia k. Wobec tego równanie (2) można rozwiązać stosując podstawienie t

x+1x = .

Przykład. Rozwiążemy równanie symetryczne )

(∗ x⁵ −7x⁴ +14x³ −7x² +x=0. Rozwiązanie. Mamy

7.3. Równania i nierówności wielomianowe 95

(

^{7 14 7 1}

)

^0.

)

(∗ ⇔x x⁴ − x³ + x² − x+ =

Jednym z pierwiastków równania jest liczba 0. Zakładając, że x≠0, otrzymujemy dalej:

.

Podstawiając t x+1x =

Wracając do niewiadomej x, rozważymy dwa przypadki.

1⁰ t=3. Wtedy

W dokumencie Repetytorium z wybranych działów matematyki szkolnej (Stron 87-94)