Równanie Diraca

Załóżmy, że hamiltonian w relatywistycznym równaniu i ~∂ψ(x )

∂t = Hψ(x ) wyraża się wzorem

H = ~α · ~p + βm

i zażądajmy aby

H²= ~p²+ m².

Przyjęliśmy tu tzw. naturalny układ jednostek, w którym

~ = 1 i c = 1.

Równanie Diraca

Załóżmy, że hamiltonian w relatywistycznym równaniu i ~∂ψ(x )

∂t = Hψ(x ) wyraża się wzorem

H = ~α · ~p + βm

i zażądajmy aby

H²= ~p²+ m².

Przyjęliśmy tu tzw. naturalny układ jednostek, w którym

~ = 1 i c = 1.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 19/43

Równanie Diraca

Załóżmy, że hamiltonian w relatywistycznym równaniu i ~∂ψ(x )

∂t = Hψ(x ) wyraża się wzorem

H = ~α · ~p + βm

i zażądajmy aby

H²= ~p²+ m².

Przyjęliśmy tu tzw. naturalny układ jednostek, w którym

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

=

α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

= 1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi + β²m²

= 1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m². Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 20/43

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

= α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

= 1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi + β²m²

= 1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m². Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

= α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

=

1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi + β²m²

= 1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m². Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 20/43

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

= α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

= 1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi+ β²m²

= 1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m². Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

= α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

= 1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi+ β²m²

=

1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m². Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 20/43

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

= α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

= 1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi+ β²m²

= 1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m².

Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

= α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

= 1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi+ β²m²

= 1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m². Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 20/43

Równanie Diraca

Obliczmy

H² = (α_ip_i + βm)(α_jp_j + βm)

= α_iα_jp_ip_j + α_ip_iβm + βmα_jp_j + β²m²

= 1

2αiαjpipj +1

2αjαipjpi + αiβmpi + βαimpi+ β²m²

= 1

2(αiαj + αjαi)pipj+ (αiβ + βαi)mpi + β²m². Dokonaliśmy tu symetryzacji współczynnika przy p_ip_j, aby uniknąć ewentualnych kasowań pomiędzy współczynnikami przy pipj i pjpi.

Równanie Diraca

Z drugiej strony chcemy, aby

H² = p_ip_i+ m² =δ_ijp_ip_j + m²,

gdzie współczynnik przy p_ip_j jest już symetryczny. Porównajmy oba wzory na H².

1

2(α_iα_j+ α_jα_i)p_ip_j + (α_iβ + βα_i)mp_i+ β²m² = δ_ijp_ip_j + m². Widzimy, że muszą zachodzić następujące związki

α_iα_j+ α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Jest oczywiste, że α_i, i = 1, 2, 3, i β muszą być macierzami, przy czym I musi być macierzą jednostkową.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 21/43

Równanie Diraca

Z drugiej strony chcemy, aby

H² = p_ip_i+ m² =δ_ijp_ip_j + m², gdzie współczynnik przy p_ip_j jest już symetryczny.

Porównajmy oba wzory na H². 1

2(α_iα_j+ α_jα_i)p_ip_j + (α_iβ + βα_i)mp_i+ β²m² = δ_ijp_ip_j + m². Widzimy, że muszą zachodzić następujące związki

α_iα_j+ α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Jest oczywiste, że α_i, i = 1, 2, 3, i β muszą być macierzami, przy czym I musi być macierzą jednostkową.

Równanie Diraca

Z drugiej strony chcemy, aby

H² = p_ip_i+ m² =δ_ijp_ip_j + m², gdzie współczynnik przy p_ip_j jest już symetryczny.

Porównajmy oba wzory na H². 1

2(α_iα_j+ α_jα_i)p_ip_j + (α_iβ + βα_i)mp_i+ β²m² = δ_ijp_ip_j + m².

Widzimy, że muszą zachodzić następujące związki

α_iα_j+ α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Jest oczywiste, że α_i, i = 1, 2, 3, i β muszą być macierzami, przy czym I musi być macierzą jednostkową.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 21/43

Równanie Diraca

Z drugiej strony chcemy, aby

H² = p_ip_i+ m² =δ_ijp_ip_j + m², gdzie współczynnik przy p_ip_j jest już symetryczny.

Porównajmy oba wzory na H². 1

2(α_iα_j+ α_jα_i)p_ip_j + (α_iβ + βα_i)mp_i+ β²m² = δ_ijp_ip_j + m².

Widzimy, że muszą zachodzić następujące związki

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Jest oczywiste, że α_i, i = 1, 2, 3, i β muszą być macierzami, przy czym I musi być macierzą jednostkową.

Równanie Diraca

Z drugiej strony chcemy, aby

H² = p_ip_i+ m² =δ_ijp_ip_j + m², gdzie współczynnik przy p_ip_j jest już symetryczny.

Porównajmy oba wzory na H². 1

2(α_iα_j+ α_jα_i)p_ip_j + (α_iβ + βα_i)mp_i+ β²m² = δ_ijp_ip_j + m². Widzimy, że muszą zachodzić następujące związki

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Jest oczywiste, że α_i, i = 1, 2, 3, i β muszą być macierzami, przy czym I musi być macierzą jednostkową.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 21/43

Równanie Diraca

Z drugiej strony chcemy, aby

H² = p_ip_i+ m² =δ_ijp_ip_j + m², gdzie współczynnik przy p_ip_j jest już symetryczny.

Porównajmy oba wzory na H². 1

2(α_iα_j+ α_jα_i)p_ip_j + (α_iβ + βα_i)mp_i+ β²m² = δ_ijp_ip_j + m². Widzimy, że muszą zachodzić następujące związki

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy? Załóżmy, że i 6= j , wtedy

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0 ⇒ α_iα_j = −α_jα_i. Obliczmy wyznacznik

det(α_iα_j) = det(−α_jα_i) = (−1)^ddet(α_iα_j), gdzie d × d jest wymiarem macierzy αi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 22/43

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy?

Załóżmy, że i 6= j , wtedy

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0 ⇒ α_iα_j = −α_jα_i. Obliczmy wyznacznik

det(α_iα_j) = det(−α_jα_i) = (−1)^ddet(α_iα_j), gdzie d × d jest wymiarem macierzy αi.

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy?

Załóżmy, że i 6= j , wtedy α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0

⇒ α_iα_j = −α_jα_i.

Obliczmy wyznacznik

det(α_iα_j) = det(−α_jα_i) = (−1)^ddet(α_iα_j), gdzie d × d jest wymiarem macierzy αi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 22/43

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy?

Załóżmy, że i 6= j , wtedy

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0 ⇒ α_iα_j = −α_jα_i.

Obliczmy wyznacznik

det(α_iα_j) = det(−α_jα_i) = (−1)^ddet(α_iα_j), gdzie d × d jest wymiarem macierzy αi.

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy?

Załóżmy, że i 6= j , wtedy

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0 ⇒ α_iα_j = −α_jα_i. Obliczmy wyznacznik

det(α_iα_j) = det(−α_jα_i)

= (−1)^ddet(α_iα_j), gdzie d × d jest wymiarem macierzy αi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 22/43

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy?

Załóżmy, że i 6= j , wtedy

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0 ⇒ α_iα_j = −α_jα_i. Obliczmy wyznacznik

d

gdzie d × d jest wymiarem macierzy αi.

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy?

Załóżmy, że i 6= j , wtedy

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0 ⇒ α_iα_j = −α_jα_i. Obliczmy wyznacznik

det(α_iα_j) = det(−α_jα_i) = (−1)^ddet(α_iα_j), gdzie d × d jest wymiarem macierzy αi.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 22/43

Równanie Diraca

Aby hamiltonianH = α_ip_i + βm był hermitowski, macierze α_i i β muszą być hermitowskie

α^†_i = α_i, i = 1, 2, 3, β^†= β, a więcsą macierzami kwadratowymi.

Jaki jest wymiar tych macierzy?

Załóżmy, że i 6= j , wtedy

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI = 0 ⇒ α_iα_j = −α_jα_i. Obliczmy wyznacznik

d

Równanie Diraca

Widzimy, że dla macierzy α_i d musi być liczbą parzystą.To samo dotyczy macierzy β.

Najmniejszą nietrywialną wartością jest d = 2.

Macierzami hermitowskimi 2 × 2 spełniającymi związki analogiczne do

Karol Kołodziej Równanie Diraca 23/43

Równanie Diraca

Widzimy, że dla macierzy α_i d musi być liczbą parzystą. To samo dotyczy macierzy β.

Najmniejszą nietrywialną wartością jest d = 2.

Macierzami hermitowskimi 2 × 2 spełniającymi związki analogiczne do

Równanie Diraca

Widzimy, że dla macierzy α_i d musi być liczbą parzystą. To samo dotyczy macierzy β.

Najmniejszą nietrywialną wartością jest d = 2.

Macierzami hermitowskimi 2 × 2 spełniającymi związki analogiczne do

Karol Kołodziej Równanie Diraca 23/43

Równanie Diraca

Widzimy, że dla macierzy α_i d musi być liczbą parzystą. To samo dotyczy macierzy β.

Najmniejszą nietrywialną wartością jest d = 2.

Macierzami hermitowskimi 2 × 2 spełniającymi związki analogiczne do

Równanie Diraca

Widzimy, że dla macierzy α_i d musi być liczbą parzystą. To samo dotyczy macierzy β.

Najmniejszą nietrywialną wartością jest d = 2.

Macierzami hermitowskimi 2 × 2 spełniającymi związki analogiczne do

Karol Kołodziej Równanie Diraca 23/43

Równanie Diraca

Widzimy, że dla macierzy α_i d musi być liczbą parzystą. To samo dotyczy macierzy β.

Najmniejszą nietrywialną wartością jest d = 2.

Macierzami hermitowskimi 2 × 2 spełniającymi związki analogiczne do

Równanie Diraca

Niestety, brakuje czwartej macierzy.

W takim razie wybierzmy d = 4.

Zanim podamy jawną postać macierzy α_i i β, spełniających żądane związki, zdefiniujmy nowe macierze γ^µ, i = 0, 1, 2, 3:

γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3.

Pomnóżmy równanie (~ = c = 1) i∂ψ(x )

∂t = (α_ip_i + βm)ψ(x )

lewostronnie przez β i wstawmy pi = −i ∂i, wtedy dostaniemy i β∂ψ(x )

∂t =^βα_i(−i ∂_i) + β²m^ψ(x ).

Karol Kołodziej Równanie Diraca 24/43

Równanie Diraca

Niestety, brakuje czwartej macierzy.

W takim razie wybierzmy d = 4.

Zanim podamy jawną postać macierzy α_i i β, spełniających żądane związki, zdefiniujmy nowe macierze γ^µ, i = 0, 1, 2, 3:

γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3.

Pomnóżmy równanie (~ = c = 1) i∂ψ(x )

∂t = (α_ip_i + βm)ψ(x )

lewostronnie przez β i wstawmy pi = −i ∂i, wtedy dostaniemy i β∂ψ(x )

∂t =^βα_i(−i ∂_i) + β²m^ψ(x ).

Równanie Diraca

Niestety, brakuje czwartej macierzy.

W takim razie wybierzmy d = 4.

Zanim podamy jawną postać macierzy α_i i β, spełniających żądane związki, zdefiniujmy nowe macierze γ^µ, i = 0, 1, 2, 3:

γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3.

Pomnóżmy równanie (~ = c = 1)

i∂ψ(x )

∂t = (α_ip_i + βm)ψ(x )

lewostronnie przez β i wstawmy pi = −i ∂i, wtedy dostaniemy

i β∂ψ(x )

∂t =^βα_i(−i ∂_i) + β²m^ψ(x ).

Karol Kołodziej Równanie Diraca 24/43

Równanie Diraca

Niestety, brakuje czwartej macierzy.

W takim razie wybierzmy d = 4.

Zanim podamy jawną postać macierzy α_i i β, spełniających żądane związki, zdefiniujmy nowe macierze γ^µ, i = 0, 1, 2, 3:

γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3.

Pomnóżmy równanie (~ = c = 1) i∂ψ(x )

∂t = (α_ip_i + βm)ψ(x )

lewostronnie przez β i wstawmy pi = −i ∂i, wtedy dostaniemy

Równanie Diraca

Niestety, brakuje czwartej macierzy.

W takim razie wybierzmy d = 4.

Zanim podamy jawną postać macierzy α_i i β, spełniających żądane związki, zdefiniujmy nowe macierze γ^µ, i = 0, 1, 2, 3:

γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3.

Pomnóżmy równanie (~ = c = 1) i∂ψ(x )

∂t = (α_ip_i + βm)ψ(x )

lewostronnie przez β i wstawmy pi = −i ∂i, wtedy dostaniemy i β∂ψ(x )

∂t =^βα_i(−i ∂_i) + β²m^ψ(x ).

Karol Kołodziej Równanie Diraca 24/43

Równanie Diraca

i β∂ψ(x )

∂t =^βαi(−i ∂i) + β²m^ψ(x ).

Skorzystajmy z warunku β²= I, wstawmy definicje macierzy γ^µ: γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3, i przenieśmy wszystko na lewą stronę równania

i γ⁰∂₀+ i γⁱ∂_i − m^ψ(x ) = 0.

Łącząc pierwszy i drugi wyraz w nawiasie dostaniemyrównanie Diracaw formie

(i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0.

Równanie Diraca

i β∂ψ(x )

∂t =^βαi(−i ∂i) + β²m^ψ(x ).

Skorzystajmy z warunku β²= I, wstawmy definicje macierzy γ^µ: γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3, i przenieśmy wszystko na lewą stronę równania

i γ⁰∂₀+ i γⁱ∂_i − m^ψ(x ) = 0.

Łącząc pierwszy i drugi wyraz w nawiasie dostaniemyrównanie Diracaw formie

(i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 25/43

Równanie Diraca

i β∂ψ(x )

∂t =^βαi(−i ∂i) + β²m^ψ(x ).

Skorzystajmy z warunku β²= I, wstawmy definicje macierzy γ^µ: γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3, i przenieśmy wszystko na lewą stronę równania

i γ⁰∂₀+ i γⁱ∂_i − m^ψ(x ) = 0.

Łącząc pierwszy i drugi wyraz w nawiasie dostaniemyrównanie Diracaw formie

Równanie Diraca

i β∂ψ(x )

∂t =^βαi(−i ∂i) + β²m^ψ(x ).

Skorzystajmy z warunku β²= I, wstawmy definicje macierzy γ^µ: γ⁰ ≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3, i przenieśmy wszystko na lewą stronę równania

i γ⁰∂₀+ i γⁱ∂_i − m^ψ(x ) = 0.

Łącząc pierwszy i drugi wyraz w nawiasie dostaniemyrównanie Diracaw formie

(i γ^µ∂µ− m) ψ(x) = 0.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 25/43

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 26/43

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†

= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 26/43

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β

= γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β= γ⁰,

γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 26/43

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†

= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†

= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 26/43

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ

= −βα_i = −γⁱ.

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ= −βα_i

= −γⁱ.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 26/43

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Równanie Diraca

Zdefiniujmy symbol∂/ = γ^µ∂µ.Przy jego użyciu równanie Diraca przybiera prostą postać

(i ∂/ − m) ψ(x ) = 0.

Musimy jeszcze znaleźć macierze γ^µ spełniające wymagane własności.

Sprawdźmy najpierw zachowanie macierzy γ^µ przy sprzężeniu hermitowskim.

γ^{0 †}= β^†= β = γ⁰, γ^{i †} = (βα_i)^†= α^†_iβ^†= α_iβ = −βα_i = −γⁱ.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 26/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3.Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .

Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0. γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ

= ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0. γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i

= β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0. γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ)

= −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0. γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ)= −βα_iβ

= −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0. γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰

⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0. γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j

= βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j

= βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ)

= −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ)= −βα_iα_jβ

= −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²

= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI

= −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI= −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI. Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI.

Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI.

Zauważmy również, że

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI.

Zauważmy również, że

γ^{0 2}= β²= I, γ^{i 2} = βα_iβα_i = −β²α²_i = −I.

Podsumowując, γ^µγ^ν+ γ^νγ^µ= 2g^µνI,gdzie g^µν jest tensorem metrycznym, a I jest macierzą jednostkową 4 × 4.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 27/43

Równanie Diraca

Zbadajmy własności komutacyjne macierzy γ^µ: γ⁰≡ β, γⁱ ≡ βα_i, i = 1, 2, 3. Pamiętamy, że

α_iα_j + α_jα_i = 2δ_ijI, α_iβ + βα_i = 0, β² = I.

Z pierwszego równania wynika, żeα²_i = mathbbI .Przestawmy macierze w iloczynie

γ⁰γⁱ = ββα_i = β(−α_iβ) = −βα_iβ = −γⁱγ⁰ ⇒ γ⁰γⁱ+ γⁱγ⁰ = 0.

γⁱγ^j = βα_iβα_j = βα_i(−α_jβ) = −βα_iα_jβ = −β(−α_jα_i + 2δ_ij)β

= βαjαiβ − 2δijβ²= −βαjβαi− 2δ_ijI = −γ^jγⁱ − 2δ_ijI

⇒ γⁱγ^j + γ^jγⁱ = −2δijI.

Zauważmy również, że

Równanie Diraca

Przypomnijmy, że tensor metryczny ma postać

g_{µ ν} = g^{µ ν} = możemy potraktować jako definicjęmacierzy Diraca γ^µ, µ = 0, 1, 2, 3.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 28/43

Równanie Diraca

Przypomnijmy, że tensor metryczny ma postać

g_{µ ν} = g^{µ ν} =

możemy potraktować jako definicjęmacierzy Diraca γ^µ, µ = 0, 1, 2, 3.

Równanie Diraca

Przypomnijmy, że tensor metryczny ma postać

g_{µ ν} = g^{µ ν} = możemy potraktować jako definicjęmacierzy Diraca γ^µ, µ = 0, 1, 2, 3.

Karol Kołodziej Równanie Diraca 28/43

Równanie Diraca

Przypomnijmy, że tensor metryczny ma postać

g_{µ ν} = g^{µ ν} = możemy potraktować jako definicjęmacierzy Diraca γ^µ,

W dokumencie Równanie Diraca Wykład 24 Karol Kołodziej (Stron 81-156)