Definicja 12.1 Relację r ⊆ A × A nazywamy relacją częściowego porządku w A, gdy jest zwrotna w A, czyli ∀x(x ∈ A → x r x);
przechodnia, czyli ∀x∀y∀z(x r y ∧ y r z → x r z);
antysymetryczna, czyli ∀x∀y(x r y ∧ y r x → x = y).
Parę hA, ri, a czasami sam zbiór A, nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym, lub po prostu częściowym porządkiem. Określenie „częściowy porządek” jest też używane w stosunku do samej relacji. Jeśli dodatkowo relacja r jest spójna w A, tj.
∀x∀y(x, y ∈ A → (x r y ∨ y r x))
to mówimy, że jest to relacja liniowego porządku. Określenia liniowy porządek, zbiór liniowo uporządkowany, stosuje się odpowiednio.
Przykład 12.2
• Relacja ≤ w zbiorze liczb naturalnych jest liniowym porządkiem.
• Typ N jest częściowo uporządkowany przez relację podzielności:17 m|nwtedy i tylko wtedy, gdy ∃k:N (k · m = n).
• Każda rodzina zbiorów jest częściowo uporządkowana przez inkluzję.
• Słowa są częściowo uporządkowane przez relację ⊆ porządku prefiksowego.
• Zbiór A −◦ B wszystkich funkcji częściowych z A do B jest częściowo uporządkowany przez relację zawierania funkcji ⊆ (strona 21).
Relacje częściowo porządkujące najczęściej oznaczamy symbolami ≤, , v i podobnymi. Jeśli relacja ≤ jest częściowym porządkiem w A , to relacja < jest domyślnie określona tak:
x < y wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y i x 6= y.
Dla A 6= ∅, ta relacja nie jest częściowym porządkiem, bo nie jest zwrotna. Notację ≺, @ itp.
stosujemy odpowiednio.
Jeśli hA, ri jest częściowym (liniowym) porządkiem, oraz B ⊆ A, to łatwo zauważyć, że hB, r ∩ (B × B)i jest też częściowym (liniowym) porządkiem. Dla prostoty oznaczamy go przez hB, ri. Na przykład każdy podzbiór N jest częściowo uporządkowany przez relację podzielności.
Definicja 12.3 Niech hA, ≤i będzie częściowym porządkiem.
1. Elementy a, b ∈ A są porównywalne, gdy a ≤ b lub b ≤ a. W przeciwnym razie a, b są nieporównywalne.
17Napis m|n czytamy „m dzieli n”. Uwaga: w myśl tej definicji, zero jest podzielne przez każdą liczbę, w tym przez siebie.
2. Jeśli B ⊆ A i każde dwa elementy zbioru B są porównywalne (tj. hB, ≤i jest liniowo uporządkowany) to mówimy, że B jest łańcuchem w A.
3. Jeśli B ⊆ A i każde dwa różne elementy zbioru B są nieporównywalne, to mówimy, że B jest antyłańcuchem w A.
Ostrzeżenie: W zbiorze częściowo uporządkowanym z warunku x 6≤ y nie wynika x > y ! Elementy x, y mogą być nieporównywalne.
Porządkowanie słów
Niech A będzie ustalonym alfabetem. Przypomnijmy, że typ słów nad A oznaczamy przez A∗, i że symbol ⊆ oznacza także porządek prefiksowy na słowach. Jeśli alfabet A jest uporządko-wany przez jakąś relację ≤, to w A∗ możemy określić porządek leksykograficzny . Przyjmu-jemy, że w v, gdy zachodzi jedna z możliwości
• w ⊆ v;
• Istnieje takie słowo u, że ua ⊆ w i ub ⊆ v, dla pewnych a, b ∈ A takich, że a < b.
Na przykład, jeśli a < b, to ε ab aba baba bba. Porządek leksykograficzny jest wyznaczony przez „pierwszą różnicę” pomiędzy słowami. Żeby to wyrazić ściślej, oznaczmy przez w(0), w(1), w(2), . . . kolejne litery słowa w, zdefiniowane przez taką indukcję: ε(n) jest zawsze nieokreślone, aw(0) = a, bw(0) = b, aw(n + 1) = bw(n + 1) = w(n).
Lemat 12.4 Niech w 6⊆ v, v 6⊆ w i niech k będzie najmniejszą taką liczbą, że w(k) 6= v(k).
Wówczas w v wtedy i tylko wtedy, gdy w(k) < v(k).
Dowód: Ćwiczenie.
Lemat 12.5 Jeśli w ⊆ xay to albo w ⊆ x albo xa ⊆ w.
Dowód: Ćwiczenie. Wskazówka: Pokazać najpierw, że w ⊆ v zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy w(n) = v(n) dla n < |w|.
Fakt 12.6 Porządek leksykograficzny jest relacją częściowego porządku w zbiorze A∗. Jeśli alfabet jest liniowo uporządkowany, to porządek leksykograficzny też jest liniowy.
Dowód: Zwrotność relacji wynika ze zwrotności relacji ⊆. Aby udowodnić przechodniość załóżmy, że w v i v x. Mamy do rozpatrzenia 4 przypadki.
Przypadek 1: w ⊆ vi v ⊆ x. Wtedy oczywiście w ⊆ x.
Przypadek 2: w ⊆ v = uav0, oraz x = ubx0, gdzie a < b. Mamy tu dwie możliwości (ćwiczenie 12.5): albo w ⊆ u albo ua ⊆ w. Wtedy odpowiednio, albo w ⊆ x,albo w = uaw0, a wtedy w x na mocy drugiej części definicji.
Przypadek 3: w = uaw0 oraz v = ubv0 ⊆ x i a < b. Wtedy x = ubv0x0 i mamy w x na mocy drugiej części definicji.
Przypadek 4: w = uaw0 i v = ubv0 oraz jednocześnie v = u0a0v00 i x = u0b0x0 gdzie a < b i a0 < b0. Skoro v = ubv0 = u0a0v00, to ub ⊆ u0 lub u0a0 ⊆ u (ćwiczenie 12.5). W pierwszym przypadku u0 = ubu00, więc w = uaw0 ubu00b0x0 = x. W drugim przypadku u = u0a0u00, więc w = u0au00w0 u0bx0 = x.
Pozostaje wykazać antysymetrię. Niech więc w v i v w. Tu też mamy cztery przypadki, analogiczne do rozpatrzonych powyżej. Zauważmy jednak, że powtarzając poprzednie rozu-mowanie dla x = w, w przypadkach 2, 3 i 4 otrzymamy sprzeczność. Okaże się bowiem, że w = uaw0= ubw00, gdzie a < b. Zostaje więc tylko przypadek 1, a wtedy w = v.
Jeśli alfabet jest liniowo uporządkowany, to spójność relacji wynika z lematu 12.4.
Elementy wyróżnione
Definicja 12.7 Niech hA, ≤i będzie częściowym porządkiem i niech a ∈ A. Mówimy, że element a jest w zbiorze A:
największy, gdy ∀x ∈ A (x ≤ a);
maksymalny, gdy ∀x ∈ A (a ≤ x → a = x);
najmniejszy, gdy ∀x ∈ A (a ≤ x);
minimalny, gdy ∀x ∈ A (x ≤ a → a = x).
Fakt 12.8 Jeśli a jest elementem największym (najmniejszym) w hA, ≤i, to jest też elementem maksymalnym (minimalnym). Innych elementów maksymalnych (minimalnych) wtedy nie ma.
Dowód: Załóżmy, że a jest największy w A. Aby pokazać, że jest maksymalny, przypuśćmy, że a ≤ x. Ale skoro a jest największy, to x ≤ a więc a = x. Niech teraz b ∈ A będzie też elementem maksymalnym. Skoro a jest największy, to b ≤ a więc b = a bo b jest maksymalny.
A więc a jest jedynym elementem maksymalnym w A.
Przykład 12.9
• W zbiorze uporządkowanym h N, | i gdzie | oznacza relację podzielności (przykład 12.2), zero jest elementem największym, a 1 najmniejszym.
• W porządku h N − {0, 1}, | i nie ma elementu najmniejszego ani żadnych elementów maksymalnych. Natomiast liczby pierwsze są elementami minimalnymi.
• W zbiorze Z liczb całkowitych, uporządkowanym przez zwykłą relację ≤, nie ma żadnych elementów minimalnych ani maksymalnych.
• Rozpatrzmy częściowy porządek hZ ⊕ {ω}, i gdzie:
x y ⇔ [(x, y ∈ Z) ∧ (x ≤ y)] ∨ [x = y = ω]
Ten porządek ma tylko jeden element minimalny ω, ale nie ma elementu najmniejszego.
• W porządku hA −◦ B, ⊆i elementem najmniejszym jest funkcja pusta (nigdzie nie określona), a elementami maksymalnymi są funkcje całkowite z A do B.
Uwaga: Relacja odwrotna do relacji częściowo porządkującej r też jest relacją częściowo porządkującą. Elementy minimalne ze względu na r są elementami maksymalnymi ze względu na r−1 i na odwrót. Podobny dualizm dotyczy elementów największych i najmniejszych.
Dlatego wszystkie fakty dotyczące elementów maksymalnych i największych stosują się też odpowiednio do elementów minimalnych i najmniejszych.
Fakt 12.10
1) Każdy skończony i niepusty częściowy porządek ma element maksymalny.
2) Jeśli hA, ≤i jest porządkiem liniowym i a ∈ A jest jego elementem maksymalnym to a jest elementem największym.
3) A zatem każdy skończony i niepusty liniowy porządek ma element największy.
4) Analogiczne fakty mają miejsce w odniesieniu do elementów najmniejszych i minimal-nych.
Dowód: (1) Przez indukcję ze względu na n ≥ 1, pokażemy, że każdy częściowy porządek mocy n ma element maksymalny. Jeśli zbiór ma tylko jeden element, to ten element jest oczy-wiście maksymalny. Załóżmy więc, że teza zachodzi dla zbiorów n-elementowych i niech hA, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym o n + 1 elementach. Wtedy możemy przedstawić zbiór A jako sumę A = B ∪{a}, gdzie B jest zbiorem n-elementowym oraz a 6∈ B. Z założenia indukcyjnego B ma element maksymalny b. Jeśli teraz b 6≤ a, to b jest elementem maksy-malnym w A. W przeciwnym razie elementem maksymaksy-malnym jest a. Istotnie, przypuśćmy, że a ≤ c. Wtedy c = a (i dobrze) lub c ∈ B. W tym drugim przypadku łatwo zauważyć, że a = b = c, bo b jest maksymalny w B.
(2) Załóżmy, że hA, ≤i jest porządkiem liniowym i a ∈ A jest maksymalny. Niech b ∈ A.
Gdyby b 6≤ a to a ≤ b, więc a = b z maksymalności.
(3) Oczywista konsekwencja (1) i (2).
(4) Należy zastosować (1), (2) i (3) do porządku odwrotnego. Definicja 12.11 Niech hA, ≤i będzie porządkiem częściowym i niech B ⊆ A i a ∈ A.
Mówimy, że a jest ograniczeniem górnym zbioru B (oznaczenie a ≥ B), gdy b ≤ a dla wszyst-kich b ∈ B.
Element a jest kresem górnym zbioru B (oznaczenie a = sup B), gdy jest najmniejszym ograniczeniem górnym B, czyli:
• a ≥ B;
• jeśli c ≥ B to c ≥ a, dla dowolnego c ∈ A.
Analogicznie definiujemy ograniczenia dolne (oznaczenie a ≤ B) i kresy dolne (oznaczenie a = inf B).
Przykład 12.12
• W rodzinie wszystkich podzbiorów zbioru A (uporządkowanej przez inkluzję) kresem górnym dowolnej podrodziny X ⊆ P(A) jest suma S X.
• W rodzinie wszystkich wypukłych18podzbiorów płaszczyzny, każdy podzbiór X ma kres górny. Kresem tym jest iloczyn wszystkich zbiorów wypukłych zawierających wszystkie zbiory z X. Zwykle nie jest to S X, bo suma nie musi być wypukła.
• W zbiorze liczb wymiernych Q ze zwykłym uporządkowaniem zbiór {q ∈ Q | q2 < 2}
ma ograniczenia górne ale nie ma kresu górnego.
• W zbiorze liczb rzeczywistych R każdy niepusty podzbiór ograniczony z góry ma kres górny (i analogicznie z dołu). Własność tę nazywamy ciągłością.
• W zbiorze {a, b, c, d} uporządkowanym jak na rysunku, podzbiór {c, d} ma dwa ograni-czenia górne, ale nie ma kresu górnego.
a b
c
OO ??
d OO__>>>
>>>
>>>>>>
>>>>
• Suma rodziny funkcji zgodnych jest kresem górnym tej rodziny w porządku hA −◦ B , ⊆i.
Następujący fakt podamy na razie bez dowodu.
Twierdzenie 12.13 (Lemat Kuratowskiego-Zorna) Niech hA, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym, spełniającym następujący warunek:
(*) Każdy łańcuch ma w A ograniczenie górne.
Wtedy w A istnieje element maksymalny.
Poniższe twierdzenie stanowi ważny przykład zastosowania Lematu Kuratowskiego-Zorna.
Przypomnijmy, że podzbiór A przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny, jeśli z warunku k1v1 + · · · + knvn = 0, gdzie v1, . . . , vn ∈ A, wynika k1 = · · · = kn = 0. Zbiór A jest bazą przestrzeni V , wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniowo niezależny, oraz każdy element przestrzeni jest kombinacją liniową elementów zbioru A.
Twierdzenie 12.14 Każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Dowód: Nietrudno zauważyć, że liniowo niezależny zbiór A jest bazą przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy dodanie do zbioru A dowolnego nowego elementu powoduje utratę liniowej niezależności. A zatem baza to element maksymalny rodziny
18Zbiór jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z dowolnymi dwoma punktami zawiera odcinek łączący te punkty.
Z = {A ⊆ V | Ajest liniowo niezależny},
uporządkowanej przez inkluzję. Użyjemy więc Lematu Kuratowskiego-Zorna, aby wykazać ist-nienie elementu maksymalnego zbioru Z. W tym celu wystarczy stwierdzić, że każdy łańcuch jest w Z ograniczony z góry. Niech więc Ł będzie łańcuchem w Z i niech B = S Ł. Pokażemy, że zbiór B jest liniowo niezależny.
Istotnie, przypuśćmy, że k1v1+ · · · + knvn= 0, gdzie v1, . . . , vn∈ B. Skoro wektory v1, . . . , vn
należą do sumy łańcucha Ł, to każdy z nich należy do pewnego składnika. Stąd wynika, że v1 ∈ A1, . . . , vn ∈ An dla pewnych A1, . . . , An ∈ Ł. Rodzina zbiorów {A1, . . . , An} jest skończona i liniowo uporządkowana przez inkluzję, ma więc element największy na mocy faktu 12.10(3). To znaczy, że dla pewnego i mamy v1, . . . , vn ∈ Ai, a przecież zbiór Ai jest liniowo niezależny. Stąd kombinacja liniowa k1v1+ · · · + knvn= 0musi byc trywialna i mamy k1 = · · · = kn= 0.
Ponieważ B jest liniowo niezależny, więc B ∈ Z, a przy tym oczywiście B zawiera wszystkie elementy Ł, jest więc ograniczeniem górnym naszego łańcucha w zbiorze Z. Spełnione jest więc założenie twierdzenia 12.13 i musi istnieć element maksymalny. Strukturę powyższego dowodu zilustrujemy schematycznie z pomocą pudełek.
Cel 1: Każdy łańcuch jest ograniczony z góry.
Załóżmy, że Ł jest łańcuchem. Cel 2: B =S Ł ogranicza Ł w Z.
(Uwaga: Cel 2 oznacza, że B ∈ Z oraz ∀A .A ∈ Ł → A ⊆ B)
Cel 3: B ∈ Z (Uwaga: Cel 3 oznacza, że B jest liniowo niezależny)
Niech v1, . . . , vn∈ B będą takie, że k1v1+ · · · + knvn= 0. . . Cel 4: k1 = · · · = kn= 0.
...
Zatem k1 = · · · = kn= 0 (Cel 4 osiągnięty)
Zatem B jest liniowo niezależny, tj. B ∈ Z (Cel 3 osiągnięty) Łatwo widzieć, że ∀A .A ∈ Ł → A ⊆ B
Zatem B jest ograniczeniem Ł w Z (Cel 2 osiągnięty)
Zatem każdy łańcuch ma ograniczenie górne (Cel 1 osiągnięty) Z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje element maksymalny.
Porównywanie liczb kardynalnych
Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika istotna własność liczb kardynalnych:
Twierdzenie 12.15 Dla dowolnych zbiorów A i B zachodziA ≤ B lub B ≤ A.
Dowód: Niech F będzie zbiorem wszystkich różnowartościowych funkcji częściowych z A do B. Rozpatrzmy porządek hF, ⊆i, gdzie ⊆ jest relacją zawierania funkcji częściowych.
Porządek hF, ⊆i spełnia założenia lematu Kuratowskiego-Zorna, bo każdy łańcuch jest zgodną rodziną funkcji, a zatem jest ograniczony z góry przez swoją sumę. Mamy więc w tym porządku
element maksymalny f : A −◦1−1 B . To znaczy, że f : A1
−→ B1−1 1, gdzie A1 ⊆ A i B1 ⊆ B. Jeśli istnieje a ∈ A − A1 i istnieje b ∈ B − B1, to funkcję f można rozszerzyć do funkcji f1 : A1 ∪ {a} −→ B1−1 1 ∪ {b}. To być nie może, bo f jest maksymalna. Zatem A1 = A albo B1 = B. W pierwszym przypadku f : A −→ B1−1 , skąd wynika A ≤ B, w drugim
przypadku mamy f−1: B−→ A1−1 , czyli B ≤ A.