= n ˆ
s|F S(A, C) : A ∈E A, C ∈ˆ E Cˆo
(3.28)
⊂ n ˆ
s|F S(B, D) : B ∈E B, D ∈ˆ E Dˆo(E3∗)
= ˆs( ˆB, ˆD) .
3.3 Reprezentacja Wavy-Slice
Możliwość modelowania niepewności danych jest jedną z kluczowych cech przedziałowych zbiorów rozmytych. W 2002 roku Mendel i John zaproponowali nową reprezentację zbiorów rozmytych typu drugiego o nazwie Wavy-Slice Representation [46]. Okazała się one szczegól-nie skuteczna w przypadku przedziałowych zbiorów rozmytych oraz przedziałowych zbiorów rozmytych typu drugiego [45, 47].
Podstawę zaproponowanej reprezentacji stanowi ślad niepewności (ang. Footprint Of Uncer-tainty, w skrócie FOU):
FOU( ˆA) =n
A ∈ F S(U ) : ∀u∈U µˆ
A(u) ≤ µA(u) ≤ µAˆ(u)o
. (3.29)
Zbiór F OU ( ˆA) zawiera wszystkie zbiory rozmyte zanurzone w przedziałowym zbiorze rozmytym A. W ten sposób reprezentuje on wszystkie epistemiczne stany, jakie mogą skrywać się za ˆˆ A co można zapisać w następujący sposób:
FOU( ˆA) = {A ∈ F S(U ) : A ∈E A} .ˆ (3.30) Obserwacja 3.12 (Mendel [47]). Dowolny przedziałowy zbiór rozmyty ˆA ∈ IVF S(U ) jest
jedno-znacznie wyznaczony przez ślad niepewności FOU( ˆA).
Podczas, gdy klasyczna reprezentacja przedziałowego zbioru rozmytego skupia się tylko na dolnej i górnej funkcji przynależności, FOU( ˆA) skłania do myślenia o nim jako o nieskończonym zbiorze rozmytych możliwości. Podobna reprezentacja była rozważana niezależnie w kontekście intuicjonistycznych zbiorów rozmytych Atanassova [71, 72]. Takie podejście umożliwia zachowanie całej informacji o niekompletnie znanym zbiorze rozmytym i otwiera drogę do odpowiedniego zdefiniowania operacji na IVFS.
Na Rysunku 3.2 przedstawiony został przykładowy przedziałowy zbiór rozmyty ˆA wraz z FOU( ˆA). Zaznaczono również dwa zanurzone zbiory rozmyte A1 ∈E A oraz Aˆ 2 ∈E A.ˆ
Ślad niepewności wraz z Obserwacją 3.12 stanowią wygodne narzędzie do badania własności IVFS. Przykładowo pozwalają one określić operacje na przedziałowych zbiorach rozmytych w oparciu o klasyczne zbiory rozmyte. Poniżej wykorzystamy tę metodę do rozszerzenia miary podobieństwa zbiorów rozmytych na IVFS.
-2 -1.8 -1.2 -1 0 1 1.2 1.8 2
Rysunek 3.2: Wizualizacja przedziałowego zbioru rozmytego ˆA oraz jego śladu niepewności FOU( ˆA) (zacieniowany obszar). Przerywane linie reprezentują dwa zanurzone zbiory rozmyte A1∈E A oraz Aˆ 2 ∈E A.ˆ
x µ
Rysunek 3.3: Przykład sytuacji, w której skrajne wartości podobieństwa nie są osiągane dla dolnego lub górnego ograniczenia. Zacieniowany obszar przedstawia ślad niepewności (FOU) wejściowych przedziałowych zbiorów rozmytych. Wybrane dwa zanurzone zbiory rozmyte, dla których osiągana jest najmniejsza i największa wartość podobieństwa zaznaczone są na wykresie odpowiednio przerywaną i kropkowaną linią.
Definicja 3.3. Niech s : E → R będzie dowolną miarą podobieństwa zbiorów rozmytych.
Jej rozszerzenie do przedziałowych zbiorów rozmytych przy użyciu reprezentacji Wavy–Slice es : ˆE → I(R) zdefiniowane jest następująco:
s( ˆeA, ˆB) =
Główny problem to odnalezienie zbiorów rozmytych, które minimalizują i maksymalizują pierwotną miarę podobieństwa. Ogólnie zbiory te nie muszą odpowiadać dolnej i górnej funkcji przynależności, a nawet mogą w ogóle nie istnieć. Przykład ilustrujący taką sytuacje pokazany jest na Rysunku 3.3. Stąd pomimo, że reprezentacja Wavy–Slice pozwala na zdefiniowanie nowych operacji w bardzo intuicyjny i prosty sposób, często mogą one być nieefektywne obliczeniowo. W najgorszym przypadku problem wyliczenia miary podobieństwa określonej w ten sposób może być równoważny optymalizacji z ograniczeniami.
Lemat 3.13. Miara podobieństwa przedziałowych zbiorów rozmytych es : ˆE → I(R) posiada własność E1 wtedy i tylko wtedy, gdy s : E → R posiada własność G1.
Dowód. Niech (A0, B0) ∈ E będzie dowolną parą zbiorów rozmytych oraz s : E → R dowolną miarą podobieństwa posiadającą własność G1. Niech ˆA = IVFS (A0) oraz ˆB = IVFS (B0). Wtedy ślad niepewności tych zbiorów zawiera tylko jeden zbiór rozmyty, mianowicie
FOU( ˆA) = {A0} oraz FOU( ˆB) = {B0} . (3.33) W takiej sytuacji
es( ˆA, ˆB)(def )=
inf
A∈FOU( ˆA) B∈FOU( ˆB)
s(A, B), sup
A∈FOU( ˆA) B∈FOU( ˆB)
s(A, B)
(3.33)
= s(A0, B0), s(A0, B0) = [a, a] (3.34)
dla a = s(A0, B0)(G1)∈ [0, 1].
Dla dowodu w drugą stronę załóżmy, żes posiada własność E1, skąd dla pewnego a ∈ Re otrzymujemy
∀A,B∈F S(U ) [a, a](E1)= s(IVFS (A), IVFS (B))e (3.34)= [s(A, B), s(A, B)] , (3.35) co w rezultacie daje własność G1: s(A, B) = a ∈ [0, 1].
Obserwacja 3.14. Zawężenie do zbiorów rozmytych rozszerzonej miary podobieństwa dla IVFS daje w rezultacie pierwotną miarę podobieństwa
es|F S ≡ s . (3.36)
Definicja 3.4. Niech U = {u1, . . . , un}. Miarę podobieństwa s : E → R nazywamy ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy ciągła na zbiorze
P = {(µA(u1), . . . , µA(un), µB(u1), . . . , µB(un)) : (A, B) ∈ E} ⊂ [0, 1]2n (3.37) jest funkcja p : [0, 1]2n→ R
p(a1, . . . , an, b1, . . . , bn) = s(A, B) , (3.38) gdzie
∀1≤i≤n µA(ui) = ai oraz µB(ui) = bi. (3.39)
Dzięki następnemu lematowi na przedziałs( ˆeA, ˆB) można patrzeć jak na zawierający wszystkie stopnie podobieństwa pomiędzy dowolną parą zanurzonych zbiorów rozmytych A ∈ FOU( ˆA), B ∈ FOU( ˆB).
Lemat 3.15. Dla dowolnej ciągłej miary podobieństwa s : E → R oraz dla dowolnych
Dowód. Niech s będzie dowolną ciągłą miarą podobieństwa. Ponadto, niech ˆA, ˆB ∈ IVF S(U ) będą dowolne takie, że FOU( ˆA) × FOU( ˆB) ⊂ E. Dla uproszczenia w dalszej części dowodu zbiór
n
s(A, B) : A ∈ FOU( ˆA), B ∈ FOU( ˆB)o
(3.41) będzie oznaczany przez es0( ˆA, ˆB). Należy wykazać, że zachodzi
es( ˆA, ˆB) =es0( ˆA, ˆB) . (3.42) Na podstawie ciągłej miary podobieństwa s zdefiniujmy funkcję p oraz zbiór P tak, jak w Definicji 3.4. Zdefiniujmy zbiór X w następujący sposób:
X = Y
Ponadto z definicji funkcji p oraz zbioru X otrzymujemy następującą równość:
es0( ˆA, ˆB) =n
Z założenia wiemy, że p jest ciągła na P . Ponadto X jest zwartym podzbiorem 2n-wymiarowej kostki jednostkowej oraz X ⊂ P . Stąd jego obraz przez funkcję ciągłą p(X) również jest zwartym podzbiorem [0, 1], zatem musi on zawierać swoje kresy. Stąd wiemy, że
infes0( ˆA, ˆB) = inf
A∈FOU( ˆA) B∈FOU( ˆB)
s(A, B) ∈es0( ˆA, ˆB) (3.47)
oraz analogicznie dla supremum
supes0( ˆA, ˆB) = sup
A∈FOU( ˆA) B∈FOU( ˆB)
s(A, B) ∈se0( ˆA, ˆB) , (3.48)
co z kolei daje nam
es0( ˆA, ˆB) ⊂es( ˆA, ˆB) . (3.49) Aby pokazać zawieranie w drugą stronę skorzystamy z twierdzenia Darboux. Niech A1, A2 ∈ FOU( ˆA) oraz B1, B2∈ FOU( ˆB) będą takie, że
s(A1, B1) = inf
A∈FOU( ˆA) B∈FOU( ˆB)
s(A, B) (3.50)
oraz
s(A2, B2) = sup
A∈FOU( ˆA) B∈FOU( ˆB)
s(A, B) . (3.51)
Takie zbiory rozmyte istnieją na mocy (3.47) oraz (3.48). Zdefiniujmy funkcję f : [0, 1] → R w następujący sposób
f (t) = p(. . . , tµA1(ui) + (1 − t)µA2(ui), . . . , tµB1(ui) + (1 − t)µB2(ui), . . . ) (3.52) Dla dowolnego t ∈ [0, 1] zachodzi
(. . . , tµA1(ui) + (1 − t)µA2(ui), . . . , tµB1(ui) + (1 − t)µB2(ui), . . . ) ∈ X . (3.53) Stąd funkcja f jest ciągła, zatem na mocy twierdzenia Darboux f ([0, 1]) jest przedziałem. Co więcej, na mocy (3.53) każda wartość przyjmowana przez funkcję f jest też wartością przyjmowaną przez p na zbiorze X, skąd wynika, że
f ([0, 1]) ⊂ p(X) =se0( ˆA, ˆB) . (3.54) Ponieważ f (0) = s(A1, B1) oraz f (1) = s(A2, B2) są, odpowiednio, najmniejszą i największą wartością w zbiorzees0( ˆA, ˆB) oraz f [0, 1]] jest przedziałem, więc
s( ˆeA, ˆB) = [s(A1, B1), s(A2, B2)] = f ([0, 1]) ⊂es0( ˆA, ˆB) , (3.55) co kończy dowód.
Wniosek 3.16. Miara podobieństwa epistemicznych przedziałowych zbiorów rozmytych ˆs posiada własność E3* wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem do IVFS przy użyciu reprezentacji Wavy-Slice pewnej ciągłej miary podobieństwa zbiorów rozmytych s, co można zapisać w następujący sposób:
ˆ
s ≡es . (3.56)
Następujące twierdzenie charakteryzuje pewną bardzo istotną rodzinę miar podobieństwa uwzględniających niepewność.
Twierdzenie 3.17. Dla dowolnej ciągłej miary podobieństwa s zbiorów rozmytych posiadającej własności G1**, G2, S4-, s jest miarą podobieństwa przedziałowych zbiorów rozmytych uwzględ-e niającą niepewność. Ponadto taka miara posiada opcjonalne własności E2, eG3, eS1* lub eS2 wtedy i tylko wtedy, gdy s posiada odpowiednio S4, G3, S1*, lub S2.
Dowód. Należy pokazać, że posiadanie przez ciągłą miarę podobieństwa s własności G1**, G2, S4- pociąga własności E1, E2-, E3, E4, E5, eG1**, eG2, eS3, eS5 miaryes.
Na mocy Lematu 3.13 oraz wniosku z Lematu 3.15 otrzymujemy, żes posiada własności E1e oraz E3*. Własności E2- oraz E4 wynikają z Lematów 3.6 oraz 3.11. Na podstawie Wniosku 3.10 otrzymujemy własności eG1**, eG2, eS3 oraz eS5, a następnie, na mocy Lematu 3.7, własność E5, co kończy dowód pierwszej części twierdzenia. Druga część wynika bezpośrednio z Wniosku 3.10.