Reprezentatywny element objętości – RVE

Analiza numeryczna heterogenicznych mikrostruktur materiałowych nierozłącznie wiąże się z koniecznością wyznaczenia reprezentatywnego obszaru do analizy, nazywanego najczęściej– reprezentatywnym elementem objętości (ang. Representative Volume Element, RVE). Istnieje kilka definicji elementu reprezentatywnego. Najczęściej cytowaną w literaturze jest zaproponowana przez Drugana i Willisa [102] definicja elementu reprezentatywnego jako najmniejszej objętości kompozytu, dla której makroskopowe związki konstytutywne w wystarczający sposób oddają średnią konstytutywną odpowiedź materiału. Innymi słowy element RVE musi być na tyle dużym fragmentem materiału, by w statystyczny sposób reprezentować zachowanie niejednorodnej mikrostruktury. RVE musi zawierać wystarczającą liczbę mikro-heterogeniczności (takich jak: ziarna, wtrącenia, pustki czy włókna) by oddać ich ogólny wpływ na zachowanie materiału, przy czym musi być na tyle mały, by ciągle być uznawany za element objętościowy w rozumieniu mechaniki ośrodków ciągłych [103]. Bez względu na to, którą definicję przyjmiemy, w niniejszej pracy pojęcie RVE traktowane będzie jako najmniejsza objętość materiału, która wiernie oddaje średnie reologiczne własności materiału w skali makro. W zależności od przyjętej konwencji, reprezentatywna objętość może być rozumiana jako dwu- lub trój- wymiarowa cyfrowa reprezentacja materiału (ang. Digital Material Representation, DMR). W przypadku

45

reprezentacji dwuwymiarowej RVE będzie stanowić płaski obraz mikrostruktury materiałowej uzyskany z obserwacji mikroskopem optycznym, SEM lub EBSD powierzchni zgładu. Finalna reprezentacja mikrostruktury jest efektem zastosowania cyfrowego przetwarzania obrazów, na które składają się zarówno algorytmy filtracyjne jak i rekonstrukcyjne, pozwalające uzyskać jednoznaczne, graficzne odwzorowanie morfologii mikro-heterogeniczności [104]. W przypadku trójwymiarowego RVE konieczne staje się dodatkowo zastosowanie rekonstrukcji objętościowej na podstawie serii uzyskanych obrazów 2D [105]. Przetworzony obraz mikrostruktury uzyskany z obserwacji mikroskopowej nie spełnia zwykle wymogów formalnych do bycia elementem reprezentatywnym bez przeprowadzenia stosownej analizy reprezentatywności. Powszechnie uznaje się, że mikrostruktura jest reprezentatywna, jeśli spełniony jest warunek energetyczny Hilla [106] w postaci:

: :

σ ε =    σ ε (57)

gdzie:  jest operatorem uśrednienia. Wg warunku (57) średnia wielkość iloczynu skalarnego pól naprężeń i odkształceń jest równa iloczynowi ich średnich wielkości. Teoretyczne aspekty wyznaczania wielkości reprezentatywnych mikrostruktur poruszono już w pracy [102], gdzie autorzy analizowali hipotetyczną mikrostrukturę złożoną z losowo rozproszonych nienakładających się na siebie identycznych sfer. Na podstawie przeprowadzonych badań, zaproponowano kryterium minimalnej wielkości RVE wyrażonego jako podwójna wielkość średnicy najtwardszego wtrącenia. Skuteczność tego kryterium została następnie potwierdzona w kolejnych pracach [107, 108]. Kryterium zależności od ułamka objętości jest jednak zasadne tylko przy analizach numerycznych nie wykraczającej poza zakres liniowej sprężystości. W problemach, gdzie występuje akumulacja odkształcenia plastycznego konieczne jest wykorzystanie dodatkowych miar oceny reprezentatywności. Problem ten adresuje koncepcja SERVE, która zakłada, że zachowanie materiału heterogenicznego powinno być oceniane na podstawie serii statystycznie równorzędnych próbek RVE [109]. Wybór próbek bazuje na statystycznych współczynnikach, takich jak średnia wartość, wariancje czy funkcje gęstości prawdopodobieństwa. Aby osiągnąć zadowalający poziom wiarygodności, liczba próbek SERVE powinna przekroczyć pewną wartość progową, którą można określić na podstawie przyjętego marginesu błędu, poziomu ufności i odchylenia standardowego. Badania [110] pokazują, że liczba koniecznych do analizy RVE może się znacząco różnić, ale w większości analiz 15-25 próbek jest wystarczające. Otwartym problemem jest jednak pytanie, jak dobrać wielkość SERVE, szczególnie jeśli celem homogenizacji nie jest tylko predykcja uśrednionej wartości, ale również innych charakterystyk statystycznych zachowania materiału.

Bardziej pragmatyczne podejście do problemu wyznaczania wielkości RVE obejmuje tak zwaną metodę ruchomego okna (ang. moving-window method) [111]. Polega ona na wyznaczeniu wirtualnego ruchomego obszaru (okna) poruszającego się nad obrazem mikrostruktury materiałowej. Wybrane parametry materiału są szacowane w obrębie okna. Następnie położenie i wielkość okna są zmieniane dopóty, dopóki najmniejsza przyjęta wielkość okna ciągle pozwala na uzyskanie akceptowalnych wyników.

46

Rysunek 11. Schematyczny diagram przedstawiający ideę ruchomego okna oraz przykładowy wynik analizy przy jego użyciu [111].

Metoda warunków brzegowych zaproponowanych w [103] pozwala oszacować docelową wielkość RVE bazując na przeświadczeniu, że reprezentatywna próbka musi zachowywać się w sposób spójny bez znaczenia, jakiego typu warunki brzegowe są wykorzystywane w symulacji: statyczne, kinematyczne czy okresowe. Innym praktycznym sposobem wyznaczania wielkości elementu RVE jest podejście zbieżności rozmiaru (ang. size convergence approach). Pozwala ono na oszacowanie wielkości RVE bazując na wyznaczeniu zależności średniej energii sprężystej i naprężeń szczątkowych w funkcji wielkości komórki elementarnej, a następnie oszacowaniu wielkości, dla których wartości funkcji się stabilizują.

Koncepcję zbieżności obszaru rozwija Gitman [112], zauważając że nie dla każdego materiału można wyznaczyć element reprezentatywny. Autor zauważa, że materiał ulegający osłabieniu traci reprezentatywność i RVE nie może zostać skutecznie wyznaczony, gdyż materiał o lokalnym zachowaniu traci statystyczną jednorodność, a RVE można znaleźć tylko dla materiałów statystycznie jednorodnych.

Cechą wspólną powyższych metod jest długi czas konieczny na analizę i wyznaczenie komórki elementarnej. Problem ten adresuje Różański [113] wykorzystując prawdopodobieństwo dwupunktowe wystąpienia każdej z mikro-heterogeniczności. Prawdopodobieństwo dwu-punktowe wystąpienia wtrącenia S oznacza prawdopodobieństwo, z jakim dwa losowo rzucone na obszar ośrodka punkty znajdują się w tym wtrąceniu. Poszukiwany jest minimalny wymiar obszaru, który będzie odwzorowaniem (ze względu na zgodność prawdopodobieństwa dwupunktowego) dużej mikrostruktury.Łydżba [114] rozwinął koncepcję statystycznego opisu mikrostruktury o wykorzystanie do oceny RVE funkcji lineal-path, która określa prawdopodobieństwo, że losowo odcinek o zadanej długości w całości znajdzie się w jednym składniku mikrostruktury.

Pelissou [115] rozwija dalej koncepcję statystyczno-numerycznego wyznaczania RVE proponując zaawansowaną strategię próbkowania podobszaru oraz wykorzystanie teorii niepewności estymacji do identyfikacji wielkości elementu. Połączenie obu algorytmów znacząco zmniejsza liczbę symulacji numerycznych koniecznych do oceny obszaru reprezentatywnego.

47

Dobór wielkości, kształtu [116] i liczebności [117] komórek RVE jest przedmiotem ciągłych dyskusji. Wybór metody i miary reprezentatywności mikrostruktury często zależy od celów, w jakich ma być ona wykorzystana (np. rodzaju symulacji numerycznej [118]) oraz od typu materiału [119]. Olbrzymią rolę odgrywają niejednorodności struktury [120], które wymagają przyjęcia dodatkowych miar reprezentatywności, np. poprzez wykorzystanie klasteryzacji mikro-heterogeniczności [121].

Zagadnienie reprezentatywnego elementu objętości opisane w rozdziale stanowi tylko przegląd kluczowych procedur. RVE jest szeroko wykorzystywaną metodą modelowania wielu zjawisk i w każdym przypadku konieczne jest indywidualne podejście do metodologii oceny i wyznaczania elementu jednostkowego. Różnorodność typów mikrostruktur materiałowych powoduje, że opracowanie uniwersalnego algorytmu ewaluacji staje się niezmiernie trudnym zadaniem. W literaturze obserwowane jest przede wszystkim odchodzenie od czasochłonnych analiz reprezentatywności wykorzystujących iteracyjne porównanie odpowiedzi z numerycznych symulacji podobszarów na rzecz wykorzystania miar statystycznych, które nie wymagają znacznych nakładów obliczeniowych.