W podrozdziale tym wprowadzimy nowy rodzaj „rozkładu kwantowego” macierzy incy-dencjiA(G) grafu G oparty o nowy rodzaj stratyfikacji, w której odległość mierzona jest względem wybranego zbioru wierzchołków. Daje to nam istotne uogólnienie wyników uzyskanych miedzy innymi w [HO1,HO2].
Wyniki te mogą być zastosowane do dowolnych grafów, nie tylko iloczynów wolnych, którym w szczególności poświęcona jest ta praca. Co więcej pokażemy, że rozkład kwan-towy względem odpowiedniej stratyfikacji prowadzić będzie do „rozkładu cyklicznego” przestrzeni l2(V ) na sumę prostą wzajemnie ortogonalnych, jednomodowych, interak-tywnych przestrzeni Focka. Dzięki temu uzyskujemy pełniejszą informację o spektral-nych własnościach wielu grafów (nie tylko pełne spektrum macierzy incydencji, ale również wielokrotność wartości własnych), wliczając wolne produkty, które nie mogły być wcześniej otrzymane za pomocą innych rozkładów między innymi standardowego rozkładu spektralnego.
Wybierzmy pewien zbiór wierzchołków, względem którego mierzyć będziemy odle-głość, i oznaczmy go przez V0 ⊂ V . Ciąg zbiorów
gdzie d(v,V0) = min{ d(v, v0) ; v0 ∈ V0} oraz n ∈ N∗ := N∪ {0} nazywać będziemy stratyfikacją zbioru wierzchołków V . Odpowiadający jej rozkład przestrzeni Hilberta jest postaci
l2(V ) = M
n∈N∗
l2(Vn) . (3.15)
Przezrozkład kwantowy macierzy A rozumieć będziemy trójkę (A+, A0, A−) operatorów na l2(V ) zadanych wzorami A+δ(x) = X y∼x y∈Vn+1 δ(y) , A0δ(x) = X y∼x y∈Vn δ(y) , A−δ(x) = X y∼x y∈Vn−1 δ(y) , (3.16)
o ile x∈ Vn. OczywiścieA = A++ A0+ A−, co uzasadnia terminrozkładu kwantowego. Ponadto, zachodzą łatwe do pokazania zależności
(A+)∗ = A−, (A0)∗ = A0. (3.17)
Niezerowy wektor ξ ∈ l2(V ) nazywać będziemy wektorem próżni jeżeli A−ξ = 0. Interesować nas będą wektory próżni specjalnego rodzaju.
Definicja 3.5 Wektor ξ ∈ l2(V ) nazywać będziemy J-wektorem względem rozkładu kwantowego (A+, A0, A−) (lub po prostu J-wektorem, o ile rozkład kwantowy będzie ustalony), jeżeli jest on wektorem próżni oraz dla każdego n > 0 zachodzą zależności
A−A+(A+nξ) = ωnA+nξ (3.18)
A0(A+nξ) = αnA+nξ (3.19)
gdzie αn i ωn są pewnymi skalarami. Przyjmujemy konwencję, że jeśli A+mξ = 0 dla pewnego m, to dla n≥ m kładziemy ωn= αn= 0.
Bezpośrednio z własności rozkładu spektralnego (3.17) wynika, że skalary αn i ωn z powyższej definicji spełniają warunki: αn ∈ R oraz ωn > 0. Oznacza to, że z każdym J-wektorem możemy w sposób jednoznaczny związać parę ciągów (α, ω) (zwanych współczynnikami Jacobiego) gdzie α = (αn)∞
n=0 i ω = (ωn)∞ n=0.
Propozycja 3.2 J-wektory o różnych współczynnikach Jacobiego są ortogonalne. Dowód. Przez ξ i ξ0 oznaczmy J-wektory o współczynnikach Jacobiego odpowiednio (α, ω) i (α0, ω0). Załóżmy, że αn 6= α0
n dla pewnego n > 0. Bez starty ogólności możemy założyć, że αn 6= 0, co na mocy konwencji przyjętej w Definicji 3.5 implikuje, że ωn−1 6= 0. Wówczas mamy
A+nξ, A+nξ0®= 1 αn A0A+nξ, A+nξ0® = α0n αn A+nξ, A+nξ0®,
co oznacza, że A+nξ⊥ A+nξ0, skąd z kolei wynika
0 = A+nξ, A+nξ0® =A−nA+nξ, ξ0®= ωξ, ξ0®,
gdzie ω = ω0ω1. . . ωn−1 6= 0, a zatem ξ ⊥ ξ0. Podobne rachunki w przypadku gdy ωn 6= ω0
n dla pewnegon > 0, również prowadzą do ortogonalności wektorów ξ, ξ0. ¥ Niech {Vn}∞
n=0 będzie ustaloną stratyfikacją zbioru wierzchołków V . Zbiór Ξ we-ktorów z l2(V ) nazywać będziemy zgodnym ze stratyfikacją, jeżeli Ξ = S∞n=0Ξn, gdzie Ξn⊆ l2(Vn). Dla celów tego podrozdziału nie jest koniecznym wprowadzanie tego typu zbiorów, niemniej jednak będą one dla nas wygodniejsze w rachunkach oraz notacjach, co więcej następna propozycja pokazuje, że dla dowolnego zbioru wzajemnie ortogonal-nych J-wektorów możemy znaleźć taki, który dodatkowo jest zgodny ze stratyfikacją oraz generuje nie mniejszą przestrzeń.
Zanim sformułujemy tą propozycję, wprowadzimy jeszcze jedno oznaczenie. Niech (A+, A0, A−) będzie rozkładem kwantowym macierzy incydencji A zadanym przez stratyfikację{Vn}∞
n=0. Wówczas przez[Ax] i [A+x] oznaczać będziemy domknięte linio-we podprzestrzenie generowane przez linio-wektory {Anx}∞
n=0 i {A+nx}∞
n=0 odpowiednio. Propozycja 3.3 Dla ustalonej stratyfikacji zbioru V oraz zadanego przez nią rozkładu kwantowego macierzy A, niech Ξ będzie ortogonalnym zbiorem J-wektorów. Wówczas istnieje ortogonalny zbiór J-wektorów Θ, który jest zgodny z zadaną stratyfikacją, taki,
że M
ξ∈Ξ
[Aξ] ⊂ M
ξ∈Θ
[Aξ] .
Dowód. Niech Ξ = { ξi; i ∈ I}, dla przeliczalnego zbioru indeksów I. Zgodnie z rozkładem (3.15) możemy rozłożyć wektory z Ξ w sposób jednoznaczny, tak, że
ξi =
∞
X
n=0
ξi(n)
dla każdego i ∈ I, gdzie ξi(n) ∈ l2(Vn) oraz n > 0. Nietrudno zauważyć, że każdy ξi(n) również jest J-wektorem. Teraz dla dowolnego n wybierzmy ze zbioru {ξi(n); i ∈ I} maksymalny, liniowo niezależny zbiór i oznaczmy go przez Γn = {γ1, . . . , γkn}. Oczy-wiście kn 6|Vn|. Podzielmy Γn na rozłączne klasy
Γn= Γn(1)∪ Γn(2)∪ . . . ∪ Γn(ln)
uwzględniając warunek: γi, γj ∈ Γn(l) ⇐⇒ γi, γj mają te same współczynniki Jaco-biego. Z Propozycji (3.2) wynika, że różne klasy są wzajemnie ortogonalne. NiechΘn(l) będzie zbiorem wektorów otrzymanym przez zastosowanie ortogonalizacji Gramma-Schmidta do Γn(l). Wtedy
jest zbiorem ortogonalnym. Ponadto każdy element Θn jest J-wektorem ponieważ jest liniową kombinacją J-wektorów o tych samych współczynnikach Jacobiego. Teraz połóżmy Θ jako sumę zbiorów Θn, tzn.
Θ =
∞
[
n=0
Θn.
Z konstrukcji zbioru Θ łatwo wynika, że spełnia on warunki postawione w tezie. ¥ Definicja 3.6 NiechΞ =S∞n=0Ξnbędzie ortogonalnym zbiorem J-wektorów zgodnym z zadaną stratyfikacją. Zdefiniujmy ciąg wzajemnie ortogonalnych zbiorów zadany przez rekurencję
B0 = Ξ0, Bn+1 = (A+Bn∪ Ξn+1)\{0} . (3.20)
Zbiór Ξ będziemy nazywać generującym, jeżeli dla każdego n > 0 zbiór Bn jest bazą w l2(Vn).
Pojęcie to będzie bardzo ważne w następnym twierdzeniu, które będąc głównym wynikiem tego podrozdziału, daje nam warunki wystarczające na istnienie rozkładu przestrzenil2(V ) na „najmniejsze” podprzestrzenie niezmiennicze na działanie macierzy incydencji A.
Twierdzenie 3.3 Niech Ξ będzie generującym, ortogonalnym zbiorem J-wektorów
zgodnym z zadaną stratyfikacją V. Wówczas ma miejsce rozkład l2(V ) = M
ξ∈Ξ
[Aξ] .
Dowód. W pierwszej kolejności pokażemy, że dla każdego ξ ∈ Ξ zachodzi równość [Aξ] = [A+ξ]. Zauważmy, że dla m < n mamy
A+nξ, A+mξ® = A+(n−m−1)ξ, A−(m+1)A+mξ® = ωA+(n−m−1)ξ, A−ξ® = 0 ,
a zatem {A+nξ}∞
n=0 jest zbiorem ortogonalnym. Łatwo widać, że po zastosowaniu or-togonalizacji Grama-Schmidta do {Anξ}∞
n=0 otrzymujemy zbior {A+nξ}∞
n=0, a zatem [Aξ] = [A+ξ].
Teraz zauważmy, że dla różnych ξ, ξ0 ∈ Ξ oraz dowolnych m, n > 0 wektory A+nξ, A+mξ0 są ortogonalne, co łatwo pokazać przez indukcję. Wynika stąd, że przestrzenie [A+ξ], [A+ξ0] są ortogonalne. Z założenia wiemy, że Bn jest bazą w l2(Vn), a zatem mamy l2(V ) = ∞ M n=0 l2(Vn) = ∞ M n=0 span(Bn) ⊂ M ξ∈Ξ [A+ξ] = M ξ∈Ξ [Aξ] ,
co kończy tezę, gdyż inkluzja odwrotna jest oczywista. ¥ Uwaga. Elementy zbioru Ξ z powyższego twierdzenia często nazywać będziemy wektorami cyklicznymi, gdyż niejako generują one całą przestrzeń poprzez działanie macierzy incydencji.
Odnotujmy fakt, że Twierdzenie 3.3 daje nam rozkład przestrzeni l2(V ) na wza-jemnie ortogonalne interaktywne przestrzenie Focka, gdyż [Aξ] jest jednomodową, in-teraktywną przestrzenią Focka, dla każdego ξ∈ Ξ, w której zbiór {A+nξ}∞
n=0 jest bazą ortogonalną. Ponadto z definicji[Aξ] wynika ich niezmienniczość względem macierzy A, co w połączeniu z twierdzeniem spektralnym pozwala nam uzyskać bardziej szczegółową informację na temat własności spektralnych macierzy incydencjiA, wyliczając rozkłady spektralne związane z wektorami próżni ξ ∈ Ξ. W szczególności da nam to informację o pełnym spektrum rozważanego grafu.