Rozkład normalny dwuwymiarowy

exp



−1

2(x − µ_x)^TX−1

(x − µ_x)



(4.58)

gdzie µxjest warto´sci ˛a oczekiwan ˛a wektora ˜x, aP jest macierz ˛a kowariancji.

4.11.1 Rozkład normalny dwuwymiarowy

Dla wektora składaj ˛acego si˛e z dwóch zmiennych losowych (˜x, ˜y), równanie (4.58) w roz-wini˛etej formie ma posta´c

f (x, y) = 1

2πq

σ²_xσ_y²− σ_xy² exp

(

− σ_x²σ²_y 2(σ²_xσ²_y− σ²_xy)

 (x − µ_x)²

σ²_x − 2σ_xy(x − µ_x)(y − µ_y)

σ_x²σ²_y +(y − µ_y)² σ²_y



(4.59)

gdzie µx, µys ˛a ´srednimi rozkładu, σ_x², σ²_ys ˛a wariancjami zmiennych ˜x, ˜y, natomiast σxyjest ich kowariancj ˛a. Na rysunku4.8 przedstawiono pogl ˛adow ˛a ilustracj˛e dwuwymiarowego rozkładu normalnego. Przeci˛ecia powierzchni f (x, y) z płaszczyznami pionowymi prosto-padłymi do osi ˜x albo do osi ˜y, przbiegaj ˛a wzdłu˙z krzywych b˛ed ˛acych jednowymiarowymi funkcjami g˛esto´sci. Płaszczyzny równoległe do płaszczyzny ˜x˜y przecinaj ˛a dzwon rozkładu wzdłu˙z elips.

y

x y

x f(x,y)

µ

µ y

x

Rysunek 4.8: Ilustracja dwuwymiarowego rozkładu normalnego. Płaszczyzny pionowe przecinaj ˛a powierzchni˛e rozkładu dwuwymiarowego wzdłu˙z krzywych gesto´sci rozkładów jednowymiarowych. Ci˛ecia płaszczyznami poziomymi przebiegaj ˛a wzdłu˙z elips.

Dla rozkładu dwuwymiarowego mo˙zna utworzy´c warunkowe funkcje g˛esto´sci, n.p.

f (y|x) = 1

¯ σ√

2π exp



−(y − µ(x))² 2¯σ²



(4.60) Jak widzimy, warto´s´c ´srednia dla tego rozkładu jest funkcj ˛a zmiennej losowej ˜x, funkcja ta jest postaci

µ(x) = µy+ρσy

σ_x (x − µx) = µy+σxy

σ_x² (x − µx) (4.61)

Jest to liniowa funkcja zmiennej ˜x, zwana lini ˛a regresji ˜y ze wzgl˛edu na ˜x.

Wariancja ¯σ²wynosi

¯

σ² = σ_y²(1 − ρ²) = σ_x²σ²_y− σ²_xy

σ_x² (4.62)

gdzie ρ jest współczynnikiem korelacji.

4.11 Rozkład normalny wielowymiarowy 77

Rysunek 4.9: Elipsa stałego prawdopodobie´nstwa h(x, y) = k². 4.11.2 Elipsy stałego prawdopodobie ´nstwa

Przyjmuj ˛ac w równaniu (4.59) f (x, y) = const otrzymamy równanie elipsy, wzdłu˙z której ma miejsce przeci˛ecie funkcji g˛esto´sci z płaszczyzn ˛a poziom ˛a. W rezultacie mo˙zemy uzyska´c cał ˛a rodzin˛e elips o równaniu

h(x, y) = 1 Wspólny ´srodek elips okre´slony jest przez warto´sci ´srednie µx, µ_y wyznaczone z brze-gowych rozkładów dla ˜x i ˜y. Dla uproszczenia dalszych analiz przesu´nmy pocz ˛atek układu do punktu (µx, µy).

Dla konkretnego k ka˙zde z równa´n h(x, y) = k²definiuje elips˛e, któr ˛a da si˛e zamkn ˛a´c w prostok ˛acie o rozmiarach 2kσxna 2kσywzdłu˙z osi Ox i osi Oy, odpowiednio. Rysunek 4.9 przedstawia tak ˛a sytuacj˛e, pokazana elipsa nosi miano elipsy stałej g˛esto´sci prawdo-podobie´nstwa. Warto´s´c g˛esto´sci tego prawdopodobie´nstwa zale˙zy od wybranej warto´sci k.

Je´sli przesuniemy pocz ˛atek układu współrz˛ednych, a ponadto we´zmieny k = 1 rów-nanie elipsy stałego prawdopodobie´nstwa przyjmie posta´c

 x

Eipsa o tym równaniu zwana jest elips ˛a standardow ˛a, jej kształt okre´slaj ˛a parametry σx, σ_y oraz ρ.

Kład ˛ac do równania (4.64) y = 0, wówczas współrz˛edne punktów a, a⁰ przeci˛ecia elipsy z osi ˛a x-sow ˛a wynosz ˛a

Współrz˛edne te reprezentuj ˛a pierwiastki kwadratowe odpowiednich warunkowych momen-tów rz˛edu drugiego: m(x|y = 0) i m(y|x = 0), odpowiednio.

Zamykaj ˛acy elips˛e standardow ˛a prostok ˛at styka si˛e z krzyw ˛a w punktach e, e⁰ o współ-rz˛ednych (σx, ρσy) i (−σx, −ρσy), oraz f, f⁰o współrz˛ednych (ρσx, σy) i (−ρσx, −σy).

Korzystaj ˛ac z równania (4.64) i równania osiowego elipsy mo˙zna pokaza´c, ˙ze jej półosie dane s ˛a formułami

a²= 1

2(σ_x²+ σ_y²) + r1

4(σ_x²− σ²_y)²+ σ_xy² (4.65)

b²= 1

2(σ_x²+ σ_y²) − r1

4(σ_x²− σ²_y)²+ σ_xy² (4.66)

Przy czym współczynik korelacji ρ z równania (4.64) zast ˛apiono tu jego definicj ˛a ρ = σxy/σxσy.

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze półosie a, b z równa´n (4.65) i (4.66) s ˛a pierwiastkami kwadratowymi warto´sci własnych macierzy kowariancji zmiennych ˜x, ˜y

X=

 σ_x² σ_xy σ_xy σ_y²



(4.67) Wielomianem charakterystycznym dla tej macierzy jest

(−λ)²+ tr[X

](−λ) + det[X ] = 0

gdzie tr[P] jest ´sladem macierzy P, wynosi on (σ²_x+ σ_y²), det[P] oznacza wyznacznik macierzy kowariancjiP, jest on równy (σ_x²σ_y²− σ_xy² ).

Wielomian charakterystyczny ma zatem posta´c

λ²− (σ_x²+ σ²_y)λ + (σ_x²σ_y²− σ_xy² ) = 0 (4.68) I wła´snie pierwiastki tego równania dane s ˛a wzorami (4.65) i (4.66).

K ˛at γ mi˛edzy półosi ˛a wielk ˛a a elipsy i osi ˛a Ox dany jest zale˙zno´sci ˛a tan 2γ = 2σ_xy

σ_x²− σ_y² (4.69)

Wła´sciwa ´cwiartka dla k ˛ata 2γ daje si˛e wyznaczy´c w oparciu o badanie znaku warto´sci licznika i mianownika tego wyra˙zenia. Warto´s´c sin 2γ ma taki sam znak jak σxy warto´s´c cos 2γ ma znak identyczny z σ_x²− σ_y².

Na rysunku4.9współrz˛edne (u, v), odpowiadaj ˛a układowi obróconemu o k ˛at γ wzgl˛e-dem układu współrz˛ednych (x, y). Osie Ou i Ov pokrywaj ˛a si˛e z osiami elipsy. Współrz˛e-dne (u, v) daj ˛a si˛e wyznaczy´c ze współrz˛ednych (x, y) za pomoc ˛a transformacji obrotu o k ˛at γ, wokół osi prostopadłej do płaszczyzny elipsy.

W nowym układzie wspołrz˛ednych zmienne losowe (˜u, ˜v) posiadaj ˛a brzegowe odchyle-nia standardowe σu, σ_v, poza tym jak wynika z wcze´sniejszej dyskusji, mamy, ˙ze σu =

4.11 Rozkład normalny wielowymiarowy 79

a, σv = b, wówczas u, v s ˛a to zmienne stochastyczne nieskorelowane dla których σuv = 0, a poniewa˙z mamy do czynieniea z rozkładem normalnym s ˛a to tak˙ze zmienne statystycznie niezale˙zne.

Zatem, je´sli tylko σu 6= σ_v, to za pomoc ˛a transformacji obrotu mo˙zna zast ˛api´c par˛e skorelowanych zmiennych losowych przez par˛e nieskorelowan ˛a! Jest to własno´s´c ogólna zatem, zawsze mo˙zna zast ˛api´c zbiór skorelowanych zmiennych losowych przez inny zbiór (o tym samym wymiarze) zmiennych losowych nieskorelowanych.

Macierz tej transformacji mo˙zna skonstruowa´c przez wyznaczenie znormalizowanych wektorów własnych macierzy kowariancji oryginalnych zmiennych losowych i wstawienie ich jako kolumn nowej macierzy. Ta procedura jest równowa˙zna z diagonalizacji ˛a orygi-nalnej macierzy kowariancji, bowiem otrzymana w rezultacie macierz kowariancji nowego nieskorelowanego zbioru zmiennych losowych zawsze jest diagonalna. Jej elementy s ˛a warto´sciami własnymi oryginalnej macierzy kowariancji.

Wobec braku korelacji ρ = 0, funkcja g˛esto´sci (4.59) mo˙ze by´c napisana w postaci

f (x, y) = 1

Czyli, gdy ρ = 0, ł ˛aczna funkcja g˛esto´sci f (x, y) mo˙ze by´c wyra˙zona jako iloczyn brzegowych funkcji g˛esto´sci zmiennych ˜x i ˜y. Potwierdzamy w ten sposób wcze´sniejsz ˛a uwag˛e, ˙ze dla rozkładu normalnego brak korelacji oznacza tak˙ze statystyczn ˛a niezale˙zno´s´c.

Dysponuj ˛ac równaniem elipsy standardowej (4.64) wyznaczymy prawdopodobie´nstwo,

˙ze losowy wektor (˜x, ˜y) opisuje punkt znajduj ˛acy si˛e we wn˛etrzu elipsy. Obliczenie tego prawdopodobie´nstwa upraszcza si˛e gdy pracujemy ze zmiennymi (˜u, ˜v), bowiem układ (˜u, ˜v) pokrywa si˛e z osiami elipsy. Je´sli jeszcze we´zmiemy zmienne znormalizowane ˜u/σ_u i ˜v/σv, to zgodnie z okre´sleniem (4.49), suma ich kwadratów ma rozkład χ²₂ o dwóch stopniach swobody.

W rezultacie, prawdopodobie´nstwo znalezienia punktu okre´slonego za pomoc ˛a wektora (˜u, ˜v) wewn ˛atrz elipsy o osiach kσui kσv ma posta´c

Dla k = 1 (elipsa standardowa) warto´s´c (1 − α) wynosi 0.3935, zatem prawdopodobie´n-stwo, ˙ze punkt "wpadnie"do elipsy jest równe 0.3935.

I odwrotnie, wychodz ˛ac z przedziału ufno´sci, np. wybieraj ˛ac α = 0.05, mo˙zemy wyz-naczy´c warto´s´c mno˙znika k.

Pχ²₂ < χ_0.05,2 = P χ²₂ < 5.94 = 0.95

co daje k =√

5.94 = 2.447, a elipsa odpowiadaj ˛aca temu prawdopodobie´nstwu ma półosie a = 2.447σu, b = 2.447σv.

Zwró´cmy jeszcze uwag˛e na fakt, i˙z dla brzegowych rozkładów normalnych jednowymi-arowych, prawdopodobie´nstwo, ˙ze ka˙zda zmienna losowa ˜x lub ˜y z osobna były w obszarze

±σ_x, ±σy wynosiło 0.683. Tymczasem prawdopodobie´nstwo ł ˛acznego zjawiska, punkt (x, y) znajduje si˛e we wn˛etrzu standardowej elipsy wynosi tylko 0.394. 

4.11.3 Rozkład 3-wymiarowy, elipsoidy stałego prawdopodobie ´nstwa

Bior ˛ac wykładnik wyst˛epuj ˛acy w równaniu (4.58), warunek analogiczny do warunku (4.63) na elipsy odpowiadaj ˛ace stałej g˛estosci prawdopodobie´nstwa ma posta´c

(˜x − µ_x)^TX−1

(˜x − µ_x)) = k² (4.71)

Jest to dodatnio okre´slona forma kwadratowa, reprezentuj ˛aca rodzin˛e hiperelipsoid stałego prawdopodobie´nstwa.

Wa˙znym przypadkiem takich elipsoid jest przypadek trójwymiarowy, gdy˙z cz˛esto po-jawia si˛e w zastosowaniach, np. przy wyznaczaniu poło˙zenia obiektu w przestrzeni. Wów-czas równanie elipsoidy (dla prostoty kładziemy wektor warto´sci ´srednich µ_x = 0) ma posta´c przez diagonalizacj˛e macierzy kowariancjiP



gdzie T jest ortogonaln ˛a macierz ˛a, której kolumny s ˛a znormalizowanymi wektorami włas-nymi macierzyP, liczby λ₁, λ₂, λ₃s ˛a warto´sciami własnymi macierzyP, natomiast osie Ou, Ov, Ow tworz ˛a obrócony układ współrz˛ednych, taki, ˙ze zmienne losowe u, v, w s ˛a nieskorelowane.

W sposób podobny do przypadku dwuwymiarowego mo˙zna pokaza´c na czym polega przydatno´s´c takiej elipsoidy. Mianowicie, prawdopodobie´nstwo, ˙ze punkt le˙zy we wn˛etrzu elipsoidy o półosiach a = kσu, b = kσv, c = kσwwyrazi´c mo˙zna jako Dla elipsoidy standardowej (1 − α) = 0.199. Tabela4.1ilustruje jak zmienia si˛e to praw-dopodobie´nstwo dla ró˙znych wymiarów n, elipsoidy

4.12 Podsumowanie 81

Tablica 4.1: Prawdopodobie´nstwo znalezienia punktu we wn˛etrzu hiperelipsoidy standard-owej dla kilku wymiarów wektorów losowych.

n 1 2 3 4 5 6

P 0.683 0.394 0.199 0.090 0.037 0.014

4.12 Podsumowanie

Podsumowuj ˛ac dyskusj˛e rozkładu normalnego wielowymiarowego, warto zwróci´c szcze-góln ˛a uwag˛e na koncepcj˛e korelacji. Jak powiedziano, opisuje ona pewn ˛a zale˙zno´s´c mi˛edzy warto´sciami x i y zmiennych losowych ˜x i ˜y. Nie jest to jednak zale˙zno´s´c ´scisła, funkcjon-alna. Jest ona ´scisła jedynie dla warto´sci ´srednich obu zmiennych losowych, kiedy to za-le˙zno´s´c dana jest w postaci lini regresji. S ˛a to zawsze dwie linie gdy˙z warto´s´c ´srednia y-ka w funkcji x jest inna ni˙z warto´s´c ´srednia x-sa w funkcji y.

Korelacja dla bie˙z ˛acych rzeczywistych warto´sci x i y, wyra˙za jedynie tendencj˛e zwi ˛azku mi˛edzy nimi. Nie jest ona ´scisła dla indywidualnych par warto´sci x i y. Jednak im wy˙zsza korelacja, tym wi˛eksza b˛edzie tendencja na zrealizowanie zwi ˛azku regresyjnego. 

4.13 Zadanka na ´cwiczenia

1. Dla zmiennej losowej ˜x o rozkładzie jednostajnym U (0, 1) oblicz warto´sci prawdo-podobie´nstwa przyj˛ecia przez t ˛a zmienn ˛a warto´sci z rzedziału E[˜x] ± σx, E[˜x] ± 2σx

oraz E[˜x] ± 3σ_x. Porównaj pierwszy wynik z praw ˛a stron ˛a równania (2.10) z rozdzi-ału2.



Estymacja parametrów populacji

Streszczenie

Nie ma komu napisa´c

I nie wiadomo czy b˛edzie komu.

Słowa kluczowe: Populacja a próba losowa, przedział klasowy, cz˛esto´sci klasowe, cz˛es-to´sci wzgl˛edne, wykres słupkowy, histogram, stereogram, cz˛escz˛es-to´sci brzegowe, korelacja, estymacja punktowa, kryteria dobrych estymatorów, dokładno´s´c a precyzja, sposoby wyzn-naczania dobrych estymatorów: metoda momentów, metoda najwi˛ekszej wiarygodno´sci, estymacja punktowa, centralne twierdzenie graniczne, estymacja przedziałowa, poziom ufno´sci, przedział ufno´sci, estymacja przedziałowa dla warto´sci ´sredniej, dla wariancji i stosunku wariancji.^a

a[Modyfikowano AD 2010, Maj 11.]

5.1 Wst˛ep 83

5.1 Wst˛ep

Przyjmijmy, ˙ze mamy do ustalenia warto´s´c pewnej mierzalnej cechy pewnej populacji, np. interesuje nas ´srednia liczba gwiazd podwójnych mo˙zliwych do obserwacji teleskopem Zeiss 20/3000 w ci ˛agu jednego roku. Problem ma charakter statystyczny, zatem trzeba go rozwi ˛aza´c posługuj ˛ac si˛e metodami statystycznymi i tym celu dan ˛a sytuacj˛e fizyczn ˛a opisu-jemy za pomoc ˛a postulowanego modelu matematycznego. Elementy modelu traktowane s ˛a jako zmienne losowe, którym przypisano pewien ł ˛aczny rozkład prawdopodobie´nstwa.

Słowo “przypisano” oznacza, ˙ze rozkład ustalono na podstawie pewnych przesłanek np.

teooretycznych, b ˛ad´z w oparciu o wcze´sniej wykonane badania.

Warto´sci zmiennych losowych, np. liczba gwiazd obserwowana w polu widzenia teles-kopu s ˛a konkretnymi realizacjami losowych zdarze´n. Takie realizacje mo˙zna powtarza´c wielokrotnie, jednak liczba powtórze´n jest zawsze ograniczona. Przecie˙z nie mo˙zemy w bez ko´nca wykonywa´c np. obserwacje gwiazd podwójnych. Uzyskane w danej serii wykonywanego do´swiadczenia warto´sci zmiennych losowych tworz ˛a tzw. prób˛e losow ˛a.

Na podstawie analizy prób usiłujemy dociec jaki jest rozkład prawdopodobie´nstwa popu-lacji, a przynajmniej niektóre jego parametry.

Po oszacowaniu (estymacji, obliczeniu) parametrów populacji nale˙zy jeszcze ustali´c wiarygodno´s´c tego oszacowania. W tym celu, obok samych parametrów wyznaczane s ˛a odpowiadaj ˛ace im przedziały ufno´sci. Inne formy oceny jako´sci parametrów np. statysty-czne testy, dotycz ˛a pytania czy rezultaty estymacji pozostaj ˛a w zgodzie z pocz ˛atkowymi zało˙zeniami (hipotezami).

5.2 Sposoby opisu próby statystycznej

Dowolny sko´nczony zbiór pomiarów (x1, . . . xn) nazywamy prób ˛a. Próba stanowi podzbiór wzi˛ety z populacji n-wymiarowego losowego wektora ˜x. Bywa, ˙ze próby pobierane s ˛a w celu ustalenia rozkładu prawdopodobie´nstwa wszystkich mo˙zliwych warto´sci wektora ˜x.

Jednak cz˛e´sciej za pomoc ˛a prób obliczane s ˛a jedynie parametry znanej albo postulowanej postaci tego rozkładu.

Dysponuj ˛ac losow ˛a prób ˛a, w pierwszej kolejno´sci warto podda´c j ˛a podstawowej anali-zie danych, polegaj ˛acej na:

• konstruowaniu histogramów,

• wyznaczeniu warto´sci statystyk (estymatorów) poło˙zeniowych próby (´srednia, medi-ana, modalna),

• obliczeniu warto´sci statystyk (estymatorów) rozproszeniowych (dyspersyjnych) pró-by (wariancje, kowariancje),

• obliczeniu statystycznych momentów wy˙zszych rz˛edów.



Rysunek 5.1: Histogramy cz˛esto´sci absolutnych rezultatów pomiaru pewnej wielko´sci fi-zycznej. Histogram w lewym górnym rogu odpowiada danym z Tabeli5.1.

5.2.1 Histogramy, stereogramy

Budowanie histogramów i stereogramów ma sens jedynie dla dostatecznie du˙zych prób, szczególnie du˙zych w przypadku rozkładów wielowymiarowych. W celu skonstruowania histogramu dane pomiarowe grupowane s ˛a w przedziałach klasowych, a nast˛epnie w ka˙zdym z nich zliczane z osobna. W ten sposób uzyskujemy tzw. cz˛esto´sci klasowe (absolutne), czyli liczby rezultatów pomiarów o warto´sciach w danym przedziale klasowym. Zami-ast absolutnych, mo˙zemy poda´c cz˛esto´sci wzgl˛edne, czyli stosunki cz˛esto´sci klasowych do liczby wszystkich pomiarów. Wreszcie za pomoc ˛a gesto´sci cz˛esto´sci (stosunek cz˛esto´sci wzgl˛ednej do szeroko´sci przedziału klasowego) mo˙zemy oszacowa´c g˛esto´s´c prawdopodo-bie´nstwa wielko´sci pomiarowej, dla której wykonujemy histogram.

Tablica cz˛esto´sci klasowych okre´sla rozkład cz˛esto´sci, który ilustrowany jest w pos-taci diagramów słupkowych, histogramów, a dla zmiennych losowych dwuwymiarowych w postaci diagramów dwuwymiarowych tzw. stereogramów.

Przykład jednowymiarowy przedstawiono w tabeli5.1, w której zebrano rezultaty anal-izy 250 pomiarów pewnej wielkosci fanal-izycznej wynosz ˛acej około 200. W oparciu o dane z tej tabeli oraz dane pochodz ˛ace z prób o innych rozmiarach, na rysunku5.1wykre´slono histogramy cz˛esto´sci klasowych. Na rysunkach widzimy zmiany w wygl ˛adzie histogramu.

Przy ustalonej liczbie klas warto´sci podane na osiach pionowych silnie rosn ˛a wraz ze wzro-stem rozmiaru próby. Dla prób o ustalonym rozmiarze warto´sci te silnie malej ˛a ze wzrostem liczby przedziałów klasowych. Generalnie na tego typu histogramach wzrost liczby klas doprowadza do zanikania wysoko´sci histogramów.

5.2 Sposoby opisu próby statystycznej 85

Tablica5.1:Ilustracjarezultatówpoczyna´n,którychcelembyłakonstrukcjadiagramutypuhistogram.Warto´scin=250wynikówpomiarówmieszcz˛asi˛ew przedziale[188.52,214.86].Przedziałtenpodzielonona10klas(przedziałówklasowych)ojednakowejszeroko´sci2.634,wwierszupierwszympodanoodpo- wiadaj˛aceka

˙zdej klasiewarto´sci´srodkowe,wdrugimwarto´scilewegoiprawegoko´ncaprzedziałuklasowego.Wceluzmniejszeniaszeroko´scitabeliwarto´scite zmniejszonoo180.0.Dlaka

˙zdej

klasywyznaczonoliczb˛epomiarówdoniejwpadaj˛acych(cz˛esto´sciklasowe,absolutne),adziel˛actewarto´sciprzezliczb˛ewszyst- kichpomiarówobliczonocz˛esto´sciwzgl˛ednedanejklasy.Wreszciedziel˛accz˛esto´sciwzgl˛edneprzezszeroko´s´cprzedziałuklasowego,obliczonoodpowiadaj˛aceim warto´scig˛esto´sci,czylicz˛esto´scinajednostk˛ewielko´scib˛ed˛acejprzedmiotempomiaru.Histogramycz˛esto´sciklasowychorazg˛esto´scidlawarto´scipodanychwtej tabelipokazanowpierwszymwierszupolewejnarysunkach5.1i5.2. Warto´sci´srodkowe9.8312.4715.1017.7420.3723.0025.6428.2730.9133.54 Graniceprzedziałów8.52-11.15-13.79-16.42-19.05-21.69-24.32-26.96-29.59-32.22- klasowych11.1513.7916.4219.0521.6924.3226.9629.5932.2234.86 Cz˛esto´sciklasowe121637464637292025 P =250 Czesto´sciwzgl˛edne0.0480.0640.1480.1840.1840.1480.1160.080.0080.02

P =1.0 G˛esto´s´c cz˛esto´sciwzgl˛ednej0.01820.02430.05620.06990.06990.05620.04400.03040.00300.0076

Rysunek 5.2: Histogramy g˛esto´sci cz˛esto´sci wzgl˛ednych rezultatów pomiaru pewnej wiel-ko´sci fizycznej.

Mo˙zemy cz˛e´sciowo przedziwdziała´c temu zjawisku wykre´slaj ˛ac histogramy g˛esto´sci cz˛esto´sci wzgl˛ednych. Wygl ˛ad histogramów zmienia si˛e jak poprzednio, ale na osiach pi-onowych mamy warto´sci bardzo do siebie zbli˙zone. Na takich histogramach powierzchnia ka˙zdego prostok ˛ata jest równa prawdopodobie´nstwu wpadania pomiaru do danego przedzi-ału klasowego. Ten typ histogramu przedstawiono na rysunku5.2.

W tabeli5.2przedstawiono przypadek dwuwymiarowy ilustruj ˛acy grupowanie ´sladów po pociskach wystrzelonych w kierunku tarczy. Ka˙zdy punkt na tarczy reprezentowany jest przez par˛e współrz˛ednych kartezja´nskich x, y. Rozmieszczenie punktów podlega prawom prawdopodobie´nstwa, tutaj dwuwymiarowemu rozkładowi zmiennych losowych ˜x, ˜y.

Pewna osoba oddała 400 strzałów, siatka pomiarowa miała kwadratowe oczka o bokach wynosz ˛acych 3 cm. Policzono liczb˛e punktów w ka˙zdym polu, wyniki zawarte s ˛a w górnej połowie kwadratów w tabeli5.2.

Taka tablica reprezentuje dwuwymiarowy rozkład g˛esto´sci powtarzalno´sci strzałów i

mo-˙ze posłu˙zy´c do konstrukcji stereogramu czyli dwuwymiarowego histogramu, poprzez wznie-sienie kolumn nad ka˙zdym kwadratem. Obj˛eto´s´c kolumny jest proporcjonalna do wzgl˛e-dnej cz˛esto´sci liczby trafie´n w dany kwadrat. Np. cz˛esto´s´c wzgl˛edna nad kwadratem (6, 6) wynosi 8/400 = 0.02, 8 jest liczb ˛a trafie´n w ten kwadrat, 400 jest ogóln ˛a liczb ˛a strzałów.

Cz˛esto´s´c wzgl˛edna reprezentuje prawdopodobie´nstwo zaj´scia danego zdarzenia, dlatego mo˙zemy napisa´c P [(6, 6)] = 0.02. Okre´slone w ten sposób prawdopodobie´nstwo trafienia w konkretny kwadrat tarczy, dotyczy obydwóch zmiennych losowych ˜x i ˜y ł ˛acznie.

Przypu´s´cmy jednak, ˙ze zainteresowani jeste´smy w celno´sci trafienia jedynie ze wzgl˛edu na kierunek x, bez zwracania uwagi na kierunek y. Czyli pytamy jaki jest rozrzut strzałów

5.2 Sposoby opisu próby statystycznej 87

Tablica5.2:Rezultatybada´ncelno´scistrzałówdotarczy.Trafieniapogrupowanowkwadratyklasoweorozmiarach3×3cm,liczbatrafie´nwdany kwadratpodanajestwgórnejcz˛e´scikwadratu.Opisszczegółowypodanyjestwtek´scie. -18-15-12-9-6-30369121518Rozkad brzegowyy 181 0.011 0.022 152 0.031 0.011 0.011 0.025 121 0.071 0.023 0.042 0.032 0.041 0.021 0.0312 91 0.171 0.081 0.071 0.023 0.042 0.032 0.041 0.021 0.0321 61 0.082 0.123 0.114 0.107 0.097 0.118 0.155 0.103 0.101 0.061 0.1342 31 1.01 0.172 0.153 0.207 0.257 0.1711 0.149 0.1511 0.207 0.154 0.143 0.171 0.1267 02 0.324 0.313 0.207 0.2513 0.3221 0.2819 0.3115 0.2713 0.279 0.306 0.352 0.25114 −31 0.173 0.233 0.206 0.205 0.1210 0.137 0.115 0.096 0.134 0.142 0.122 0.2554 −61 0.172 0.151 0.073 0.114 0.107 0.096 0.103 0.065 0.103 0.102 0.121 0.1338 −91 0.071 0.042 0.055 0.074 0.062 0.044 0.083 0.101 0.0623 −121 0.072 0.054 0.052 0.031 0.022 0.041 0.031 0.0614 −151 0.021 0.012 0.031 0.021 0.026 −181 0.011 0.032 Czestosc brzegowax16131528417762544830178Σ=400 Wzgl.czest. brzegowax0.0020.0150.0330.0380.0700.1030.1920.1550.1350.1200.0750.0420.029Σ=1.000 ΣP[y|x]1.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.00

na lewo i na prawo od ´srodka tarczy. Jest to przypadek jednowymiarowy ze zmienn ˛a losow ˛a

˜

x, a warto´sci w trzecim rz˛edzie od dołu w tabeli5.2, odpowiadaj ˛a cz˛esto´sciom trafie´n w od-powiednie 3 centymetrowe przedziały x. Warto´sci te uzyskano przez zsumowanie liczb z odpowiednich kolumn tabeli.

Podobny rozkład dla kierunku y otrzymamy sumuj ˛ac liczb˛e trafie´n w poszczególnych wierszach, podano go w ostatniej prawej kolumnie tabeli5.2. Te dwa zbiory liczb stanowi ˛a brzegowe cz˛esto´scitrafie´n, a je˙zeli podzielimy je przez całkowit ˛a liczb˛e strzałów uzyskamy brzegowe cz˛esto´sci wzgl˛edne badanych zdarze´n. Np. prawdopodobie´nstwo, ˙ze x przyjmie warto´s´c z przedziału (7.5, 10) wynosi 0.120. Dla interwału (−1.5, +1.5) wynosi 0.192.

Mo˙zna okre´sli´c jeszcze inny uniwariantny rozkład prawdopodobie´nstwa, np. ze wzgl˛e-du na y przy ustalonym x. Przykładowo, dla x = −6, mo˙zna odczyta´c podane w odpowiada-j ˛acej mu kolumnie wzgl˛edne cz˛esto´sci dla y: 0.04, 0.11, 0.20, 0.25, . . . ¹. Analogicznie, bior ˛ac dane z jednego wiersza, znajdziemy warto´sci cz˛esto´sci wzgl˛ednych dla x, przy ustalonych interwałach dla y. Liczby te odpowiadaj ˛a warunkowym rozkładom cz˛esto´sci.

Zauwa˙zmy, ˙ze w poszczególnych wierszach mamy inne warunkowe cz˛esto´sci wzgl˛e-dne. Oznacza to, ˙ze je´sli zmienimy warto´s´c jednej ze zmiennych, odpowiadaj ˛acy jej warunk-owy rozkład dla drugiej zmiennej tak˙ze si˛e zmieni. Tego rodzaju “wpływ” jednej zmiennej losowej na drug ˛a wskazuje na korelacj˛e. Takiej statystycznej korelacji czy zale˙zno´sci, nie nale˙zy myli´c z zale˙zno´sci ˛a algebraiczn ˛a. Przy zale˙zno´sci algebraicznej, warto´s´c jednej ze zmiennych natychmiast okre´sla drug ˛a. Natomiast w naszym przykładzie jasne jest, ˙ze x i y nie s ˛a ze sob ˛a zwi ˛azane funkcjonalnie.

Korelacja mo˙ze by´c silna lub słaba. Oznacza to silne lub słabe zmiany rozkładów warunkowych przy zmianie warunku. Korelacja zerowa, oznacza ˙ze rozkład warunkowy nie zmienia si˛e wraz ze zmianami warunku.

Z rozkładów cz˛esto´sci daje si˛e wyprowadzi´c wnioski o odpowiadaj ˛acych im rozkła-dach prawdopodobie´nstw. Nie jest to wiarygodne gdy liczebno´s´c próby statystycznej jest niewielka, jak to cz˛esto ma miejsce w zagadnieniach in˙zynieryjnych. W takich wypadkach typ rozkładu prawdopodobie´nstwa danej zmiennej losowej ustalony jest a priori, na mocy zało˙zenia. A z próby oszacowuje si˛e jedynie pewne jego parametry.

5.2.2 Statystyki z próby

5.2.2.1 Warto´sci centralne, miary poło˙zenia

´Srednia próby. Niech b˛edzie dana próba (x1, . . . xn) o rozmiarze n, zmiennej losowej ˜x.

Empiryczna warto´s´c oczekiwana tej zmiennej, czyli ´srednia próby okre´slona jest jako x = 1

n

n

X

i=1

x_i (5.1)

Warto´s´c oczekiwana zmiennej ˜x, czyli E[˜x], jest warto´sci ˛a ´sredni ˛a całej populacji, i jako taka jest warto´sci ˛a dokładn ˛a. ´Srednia empiryczna ¯x jest zmienn ˛a losow ˛a a jej warto´sci ˛a

1Droga Czytelniczko, Czytelniku, my´sl˛e, ˙ze nie od rzeczy b˛edzie je´sli zrobisz sobie teraz kawk˛e i w trakcie jej konsumpcji spróbujesz przez moment pomy´sle´c w jaki sposób policzono te warto´sci.

5.2 Sposoby opisu próby statystycznej 89

Rysunek 5.3: U góry, poło˙zenie mediany w uszeregowanej rosnaco próbie pomiarowej. U dołu, poło˙zenie modalnej, mediany i warto´sci ´sredniej na histogramie.

oczekiwan ˛a b˛edzie

E[x] = E

"

1 n

n

X

i=1

xi

#

= 1

nE[x1+ . . . + xn] =

= 1

n(E[x1] + . . . + E[xn]) = 1

n· nµ = µ (5.2)

´Srednia arytmetyczna x, wyznaczona z próby, np. ze zbioru niezale˙znych obserwacji, jest jedynie estymatorem (przybli˙zeniem) warto´sci ´sredniej µ zmiennej losowej ˜x.

Mediana. Wyznaczenie mediany wymaga ustawienia warto´sci próby rosn ˛aco albo malej ˛aco. Mediana jest warto´sci ˛a ´srodkowego pomiaru je´sli liczba pomiarów n jest nie-parzysta, lub jest ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a z dwóch warto´sci ´srodkowych gdy n jest parzyste.

Na lewo i prawo od mediany mamy wi˛ec zawsze identyczn ˛a liczb˛e obserwacji. Ze sposobu wyznaczenia mediany wynika, ˙ze jej warto´s´c jest zupełnie nieczuła np. na warto´sci wys-t˛epuj ˛ace po lewej b ˛ad´z po prawej stronie szeregu pomiarowego. W ˙zargonie statystyków, mówi si˛e o niewra˙zliwi´sci mediany na warto´sci wyst˛epujace w ogonach rozkładu.

Modalna. Modalna próby jest warto´sci ˛a, która wyst˛epuje w próbie najcz˛e´sciej. W przy-padku histogramu nale˙zy ona do przedziału klasowego, nad którym rozpina si˛e prostok ˛at o najwi˛ekszej wysoko´sci.

5.2.2.2 Miary rozproszenia, rozrzutu

Rozpi˛eto´s´c. Obliczana jest jako ró˙znica pomi˛edzy najwi˛eksz ˛a i najmniejsz ˛a warto´sci ˛a z próby. Jest to najprostsza miara rozrzutu próby, ale nie jest ona tak indykatywn ˛a jak inne miary.

Odchylenie ´srednie ( odchylenie przeci˛etne). Jest to jeszcze jedna gruba miara roz-proszenia. Okre´slana jest formuł ˛a

x_od= 1 n

n

X

i=1

| x_i− x | (5.3)

gdzie x jest ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a. Zamiast ´sredniej x, mo˙zna bra´c inne miary poło˙zenia.

Moduł | xi− x | jest odchyłk ˛a, xodjest po prostu ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a odchyłek.

Wariancja. Wariancja z próby okre´slona jest wzorem S_x² = 1

n − 1

n

X

i=1

(xi− x)² (5.4)

gdzia x — ´srednia z próby, n — rozmiar próby.

Powodem poło˙zenia w mianowniku ró˙znicy (n − 1) jest ˙z ˛adanie, by S_x² miała warto´s´c oczekiwan ˛a równ ˛a wariancji populacji, czyli aby

E[S_x²] = σ² (5.5)

Równanie (5.5) oznacza, ˙ze zmienna losowa S_x² ma rozkład prawdopodobie´nstwa o war-to´sci ´sredniej σ². Gdyby w równaniu (5.4) w mianowniku poło˙zy´c n, wówczas warto´s´c oczekiwana tak zdefiniowanej wariancji wynosiłaby (n − 1) · σ². W tym wypadku wa-riancja z próby byłaby obci ˛a˙zonymestymatorem poniewa˙z jej warto´s´c oczekiwana byłaby ró˙zna od wariancji populacji.

Kowariancja. Maj ˛ac do dyspozycji n par (x1, y1), (x1, y2), . . . warto´sci wektora loso-wego (˜x, ˜y) oprócz S_x², S_y²mo˙zna jeszcze obliczy´c kowariancj˛e z próby, mianowicie

S_xy² = 1 n − 1

n

X

i=1

(xi− x)(y_i− y) (5.6)

gdzie x, y s ˛a warto´sciami ´srednimi zmiennych losowych ˜x i ˜y.

5.3 Estymacja punktowa

Oszacowanie parametrów rozkładu prawdopodobie´nstwa badanej populacji nazywamy

Oszacowanie parametrów rozkładu prawdopodobie´nstwa badanej populacji nazywamy

W dokumencie METODY OPRACOWANIA OBSERWACJI I rok studiów astronomii I-stopnia (Stron 75-171)