Rozwiązania okresowe

Cechą charakterystyczną wielu typów równań z opóźnionym argu-mentem jest pojawianie się rozwiązań okresowych wraz ze wzrostem opóźnienia. Jeżeli na przykład równanie różniczkowe zwyczajne opisu-je wielkość populacji, która ma pewną optymalną liczbę osobników K,

to zwykle mechanizm samoregulacji działa w ten sposób, że populacja rośnie (lub maleje), gdy liczba osobników jest, odpowiednio, mniejsza (lub większa) od K. W rzeczywistości biologicznej taki mechanizm sa-moregulacji jest zaburzony opóźnieniem reakcji. Opóźnienie to może prowadzić do pojawienia się oscylacji wielkości populacji w pobliżu po-łożenia równowagi, a nawet rozkład czasowy wielkości populacji może mieć charakter chaotyczny. Poznamy, bez wchodzenia w szczegóły tech-niczne, podstawowe metody badania istnienia rozwiązań okresowych równań z opóźnionym argumentem. Metody te zostały przeniesione z równań różniczkowych zwyczajnych na równania z opóźnionym argu-mentem, ale ich adaptacja okazała się dość trudna. Pokrótce omówimy trzy metody istnienia rozwiązań okresowych:

1) teoria bifurkacji, 2) punkty stałe,

3) metoda Poincar´ego-Bendixsona.

6.1. Bifurkacja. Przy badaniu bifurkacji Hopfa dla równań róż-niczkowych z opóźnieniem korzystamy z podobnych metod jak dla rów-nań różniczkowych zwyczajnych. Różnica polega głównie na tym, że jako parametr bifurkacyjny przyjmuje się często opóźnienie h, a wiec rozważamy równanie

(4.37) x⁰(t) = f (x(t), x(t − h))

i zmieniamy wielkość h. Rozważmy standardowy przypadek, gdy funk-cja x ≡ 0 jest rozwiązaniem tego równania, a więc f (0, 0) = 0. Bę-dziemy zakładać, że dla h = 0 rozwiązanie zerowe równania (4.37) jest asymptotycznie stabilne, a będzie nas interesować, czy po przejściu pewnej wartości krytycznej h_∗ rozwiązanie zerowe przestanie być sta-bilne i pojawi się rozwiązanie okresowe, na dodatek orbitalnie stasta-bilne.

Będziemy mówić, że rozwiązanie okresowe x⁰(t) o okresie T jest orbital-nie asymptotyczorbital-nie stabilne, jeżeli dla dowolnego rozwiązania x(t) star-tującego z funkcji ϕ(θ) dostatecznie bliskiej x⁰(θ), θ ∈ [−h, 0]. istnieje ciąg (t_n), t_n → ∞ taki, że t_n+1− t_n → T oraz |x(t_n+ s) − x⁰(s)| → 0

dla s ∈ [0, T ], gdy n → ∞. Należy podkreślić, że tak określona sta-bilność nie implikuje asymptotycznej stabilności w sensie Lapunowa rozwiązania x₀(t).

Podstawiając y(t) = x(ht) do równania (4.37) otrzymujemy (4.38) y⁰(t) = hx⁰(ht) = hf (y(t), y(t − 1)),

a więc parametr bifurkacyjny został przeniesiony z opóźnienia do funk-cji występującej po prawej stronie równania. Będziemy rozważać nieco ogólniejszą sytuację mianowicie równanie

(4.39) y⁰(t) = f (y(t), y(t − τ ), µ),

gdzie τ jest stałą dodatnią, a µ parametrem bifurkacyjnym. Zakładamy, że funkcja x ≡ 0 jest rozwiązaniem równania (4.39), a więc f (0, 0, µ) = 0. Niech

(4.40) y⁰(t) = a(µ)y(t) + b(µ)y(t − τ )

będzie linearyzacją równania (4.39) w zerze przy ustalonym µ, a więc a(µ) = ∂f

∂y₁(0, 0, µ) i b(µ) = ∂f

∂y₂(0, 0, µ). Będziemy zakładać, że rów-nanie quasi-charakterystyczne

(4.41) a(µ) + b(µ)e^{−τ λ} = λ

ma rozwiązanie λ(µ), które jest różniczkowalną funkcją µ w otoczeniu zera i ma następujące własności

(4.42) Re λ(0) = 0, Im λ(0) > 0, Re λ⁰(0) 6= 0.

Wtedy istnieją µ₀ > 0 i a₀ > 0 takie, że dla dowolnego a ∈ (0, a₀) istnieje µ ∈ (−µ0, µ0) i rozwiązanie okresowe yµ(t) równania (4.39) odpowiadające parametrowi µ o amplitudzie a. Ponadto okres rozwią-zania y_µ dąży do 2π/ Im λ(0) gdy µ → 0.

Zatem warunek (4.42) implikuje istnienie rozwiązań okresowych, ale nie podaje nam informacji o tym jaki rodzaj bifurkacji mamy dla µ = 0.

W szczególności interesujące jest kiedy wystąpi bifurkacja nadkrytycz-na, tj. przejście od rozwiązania stacjonarnego asymptotycznie stabil-nego do rozwiązania okresowego orbitalnie asymptotycznie stabilstabil-nego.

Tak zdefiniowana bifurkacja zależy istotnie od składników wyższych

rzędów rozwinięcia funkcji f i jest to zagadnienie bardziej złożone, po-dobnie jak w przypadku układu równań różniczkowych zwyczajnych.

Pełny opis bifurkacji Hopfa dla równań z odchylonym argumentem można znależć w pracy [8]. Ograniczymy się jedynie do sformułowa-nia głównego rezultatu w odniesieniu do równasformułowa-nia (4.39). Zapiszmy równanie (4.39) w postaci

y⁰(t) = a(µ)y(t) + b(µ)y(t − τ ) + F (y_t, µ),

a więc funkcjonał F powstaje przez odjęcie od prawej strony równania (4.39) jej części liniowej. Niech ω = Im λ(0) oraz niech

F (x1e^iωθ+ x2e^−iωθ+ x31 + x4e^−2iωθ, 0)

= B_(2,0,0,0)x²₁+ B_(1,1,0,0)x₁x₂+ B_(1,0,1,0)x₁x₃+ + B_(0,1,0,1)x₂x₄+ B_(2,1,0,0)x²₁x₂+ . . . ,

gdzie kropki oznaczają pozostałe składniki rozwinięcia Taylora. Można sprawdzić, że

B_(2,0,0,0)= ¹₂f₂₀+ f₁₁e^−iωτ +¹₂f₀₂e^−2iωτ, B_(1,1,0,0)= f₂₀+ f₁₁(e^−iωτ + e^iωτ) + f₀₂, B_(1,0,1,0)= f₂₀+ f₁₁(1 + e^−iωτ) + f₀₂e^−iωτ, B_(0,1,0,1)= f₂₀+ f₁₁(e^−2iωτ+ e^iωτ) + f₀₂e^−iωτ,

B_(2,1,0,0)= ¹₂f₃₀+¹₂f₂₁(e^iωτ + 2e^−iωτ) + ¹₂f₁₂(2 + e^−iωτ) + ¹₂f₀₃e^−iωτ, gdzie fij = _∂x^∂i^2f

1∂x^j₂(0, 0, 0). Niech L0(ϕ) = a(0)ϕ(0) + b(0)ϕ(−τ ) oraz K = Re

"

1

1 − L₀(θe^iωθ) B_(2,1,0,0)−B_(1,1,0,0)B_(1,0,1,0)

L₀(1) +B_(2,0,0,0)B_(0,1,0,1) 2iω − L₀(e^2iωθ)

!#

. Twierdzenie 4.4. Zakładamy, że spełniony jest warunek (4.42) oraz K 6= 0. Wtedy

(i) jeżeli K Re λ⁰(0) < 0 (odpowiednio K Re λ⁰(0) > 0), to w otoczeniu rozwiązania zerowego istnieje, jedyne z dokładnością do przesunięcia czasowego, rozwiązanie okresowe równania (4.39) dla µ < 0 (odpowied-nio, dla µ > 0) i nie ma rozwiązań okresowych dla µ > 0 (odpowied(odpowied-nio, dla µ < 0),

(ii) nietrywialne rozwiązanie okresowe jest orbitalnie asymptotycznie stabilne, gdy K < 0 oraz niestabilne, gdy K > 0.

Przypominamy, że okres rozwiązania okresowego dąży do 2π/ω.

Amplituda rozwiązania okresowego wynosi [−µ Re λ⁰(0)/K]^1/2+ O(µ).

Zbadamy teraz kiedy spełniony jest warunek (4.42). Rozwiązując równanie charakterystyczne można łatwo sprawdzić, że warunki Re λ(0) = 0 i Im λ(0) 6= 0 są równoważne warunkom

(4.43) a(0) + b(0) cos^√

b²(0) − a²(0) τ^= 0, (4.44) b²(0) > a²(0),

zaś warunek Re λ⁰(0) 6= 0 jest równoważny warunkowi

(4.45) τ b(0)(b⁰(0)b(0) − a⁰(0)a(0)) 6= b⁰(0)a(0) − a⁰(0)b(0).

Wrócimy teraz do równania (4.37) i podamy warunki na istnienie mi-nimalnego h_∗ takiego, że rozwiązanie zerowe przestaje być stabilne i pojawiają się rozwiązania okresowe. Niech

a = ∂f

∂x₁(0, 0) i b = ∂f

∂x₂(0, 0).

Wielomian quasi-charakterystyczny ma pierwiastek urojony dla h = h_∗ spełniającego równanie

a + b cos(√

b²− a²h_∗) = 0,

ponieważ interesuje nas sytuacja taka, że dla h ∈ (0, h_∗) rozwiązanie zerowe równania (4.37) jest asymptotycznie stabilne, więc minimalne h_∗ istnieje, gdy b < −|a| oraz

(4.46) h_∗ = 1

√b²− a² arc cos^− a b



(patrz. Rys. 2). Korzystając z wcześniej wspomnianego podstawienia y(t) = x(ht) otrzymujemy równanie postaci (4.38), a następnie przyj-mujemy

a(µ) = (h∗+ µ)a, b(µ) = (h∗+ µ)b, τ = 1

i sprowadzamy problem do badania warunków (4.43), (4.44) i (4.45).

Pierwsze dwa zachodzą automatycznie, a trzeci też jest spełniony, bo b⁰(0)b(0) − a⁰(0)a(0) = (b²− a²)h_∗ 6= 0,

b⁰(0)a(0) − a⁰(0)b(0) = (ba − ba)h_∗ = 0.

Zatem, jeżeli b < −|a|, to dla h_∗ danego wzorem (4.46) w jego dowol-nie małym otoczeniu pojawiają się rozwiązania okresowe. Aby zbadać rodzaj bifurkacji w h∗ należy skorzystać z Twierdzenia 4.4. Ponieważ w naszym przypadku Re λ⁰(0) > 0, więc gdy K < 0 to będziemy mieć bifurkację nadkrytyczną, a więc rozwiązania okresowe pojawią się dla µ > 0 oraz będą one orbitalnie asymptotycznie stabilnie, a gdy K > 0, to rozwiązania okresowe będą występować dla µ < 0 oraz nie będą one stabilne (bifurkacja podkrytyczna).

Przykład 4.3. Rozważmy równanie

(4.47) x⁰(t) = −σx(t − h)(1 + x(t)), λ > 0, które otrzymujemy podstawiając w równaniu (4.1)

x(t) = −1 + N(t − h)/K.

W naszym przypadku a = 0 oraz b = −σ. Ze wzoru (4.46) otrzymujemy h_∗ = π/(2σ). Podstawienie y(t) = x(ht) prowadzi do równania

(4.48) y⁰(t) = −σhy(t − 1)(1 + y(t))

Zastępując σh wyrażeniem µ + σh∗ otrzymujemy równanie (4.49) y⁰(t) = −(µ + σh_∗)y(t − 1)(1 + y(t))

i badamy rodzaj bifurkacji dla µ = 0 korzystając z Twierdzenia 4.4.

Zauważmy, że ω = ^π₂, L₀(ϕ) = −^π₂ϕ(−1) oraz F (y₀, 0) = −^π₂y(0)y(−1).

Stąd

F (x1e^iωθ+ x2e^−iωθ + x31 + x4e^−iωθ, 0) =

= −π

2(x₁+ x₂+ x₃+ x₄)(x₁e^−iω+ x₂e^iω + x₃1 + x₄e^−2iω)

= −π

2(x₁+ x₂+ x₃+ x₄)(−ix₁+ ix₂ + x₃− x₄)

= −π 2

h− ix²₁+ 0x₁x₂+ (1 − i)x₁x₃+ (i − 1)x₂x₄ⁱ,

a więc B_(2,0,0,0) = ^πi₂, B_(1,1,0,0) = 0, B_(1,0,1,0) = ^π(i−1)₂ , B_(0,1,0,1) = ^π(1−i)₂ , B(2,1,0,0) = 0. Ponieważ L0(θe^iωθ) = −^π₂(−1e^−iω) = −^π₂i, L0(1) = −^π₂,

L₀(e^2iωθ) = ^π₂, więc K = Re

"

1 1 + ^π₂i ·

πi

2 ·^π(1−i)₂ πi −^π₂

#

=

π

2(1 −³₂π) 5^1 + (^π₂)^2 < 0.

Zatem po przejściu h przez punkt h∗ pojawiają się rozwiązania okre-sowe orbitalnie asymptotycznie stabilne.

6.2. Metoda punktu stałego. Omówimy teraz korzystając z pra-cy [5] metodę dowodu istnienia rozwiązań okresowych równań z opóź-nieniem opartą na twierdzeniu Browdera o punkcie stałym. Równania z opóźnionym argumentem występujące w zastosowaniach mają zwy-kle rozwiązania stacjonarne, ale przy zmianie parametrów, na przykład opóźnienia pojawiają, się rozwiązania okresowe różne od stałych. Efekt ten już częściowo omawialiśmy przy okazji metody opartej na bifurkacji Hopfa, ale twierdzenie bifurkacyjne pozwala tylko na uzyskanie rozwią-zania okresowego w pobliżu parametru bifurkacyjnego. Metoda, która pozwala uzyskać istnienie rozwązań dla szerszego zakresu parametrów opiera się na twierdzeniach o punkcie stałym. Cała trudność polega na tym, że równania mają już rozwiązania stacjonarne, a nam zależy na udowodnieniu istnienia rozwiązań okresowych różnych od stałych.

Zatem twierdzenia Banacha i Schaudera o punkcie stałym nie będą tu użyteczne, bo w pierwszym przypadku mamy jednoznaczność punktu stałego, a w drugim przypadku nie jesteśmy w stanie odróżnić rozwią-zania stacjonarnego od nietrywialnego rozwiąrozwią-zania okresowego.

Będziemy korzystać z twierdzenia Browdera o nieodpychającym punkcie stałym. Niech K będzie nieskończenie wymiarowym domknię-tym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Banacha X i niech T : K → K będzie odwzorowaniem pełnociągłym (tj. T jest ciągłe i domknięcie zbioru T (K) jest zbiorem zwartym). Punkt stały x₀ ∈ K odwzorowa-nia T nazywamy odpychającym (ang. ejective), jeśli istnieje otoczenie U punktu x₀takie, że dla dowolnego x ∈ U \{x₀} istnieje liczba naturalna n = n(x) taka, że Tⁿ(x) ∈ K \ U.

Twierdzenie 4.5 (Twierdzenie Browdera o punkcie stałym). Przy powyższych założeniach na T i K, odwzorowanie T ma zawsze przynaj-mniej jeden punkt stały, który nie jest odpychający.

Uwaga 4.5. Twierdzenie Browdera nie jest prawdziwe, gdy K jest zbiorem skończenie wymiarowym (patrz Zadanie 4.18).

W zastosowaniach dla równań z opóźnionym argumentem przyj-mujemy, że K jest pewnym domkniętym i ograniczonym podzbiorem C[−h, 0], zaś T : K → K dane jest wzorem

T ϕ = xτ (ϕ),

gdzie x(t) jest rozwiązaniem równania (4.5) startującym z ϕ, xt(θ) = x(θ + t), zaś τ : K → [h, ∞) jest pewną funkcją ciągłą. Na przykład dla równania

(4.50) x⁰(t) = −σx(t) + e^−x(t−h) przyjmujemy, że

K = {ϕ ∈ C[−h, 0] : α ¬ ϕ ¬ α + 1

σ, ϕ(0) = α},

gdzie α jest rozwiązaniem stacjonarnym (4.50) tj. α spełnia równanie e^−α = σα. Niech ϕ ∈ K \ {α}, a x(t) jest rozwiązaniem startującym z ϕ. Wtedy τ (ϕ) jest definiowane następująco. Niech

z₁ = sup{t : x(s) ¬ α, 0 ¬ s ¬ t}, z₂ = sup{t : x(s) ­ α, z₁ ¬ s ¬ t}.

Wtedy z₁ i z₂ są pewnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że z₁ ­ h i z₂ ­ z₁+ h. Przyjmujemy, że τ (ϕ) = z₂. A więc mówiąc niedokładnie, τ jest drugim punktem t > 0 takim, że x(t) = α. Zatem T ϕ = x_z2 dla ϕ 6= 0. Przyjmujemy, że T (α) = α. Dowód, że T przeprowadza zbiór K w siebie oparty jest na prostych nierównościach różniczkowych, zaś fakt, że domknięcie zbioru K jest zbiorem zwartym wynika natychmiast z twierdzenia Arzeli–Ascoliego. Zakładając, że rozwiązanie stacjonarne x₀ ≡ α jest niestabilne dowodzi się, że punkt stały x₀ ≡ α odwzorowa-nia T jest odpychający, a więc istnieje inny punkt stały ϕ. Rozwiązanie startujące z ϕ jest okresowe bowiem x(θ + z₂) = ϕ(θ) dla θ ∈ [−h, 0], a ponieważ równanie (4.50) jest autonomiczne, więc x(t + z₂) = x(t) dla t ­ 0.

150 4. MODELE Z OPÓŹNIENIEM

d

^{−1 ϕ xO z2 T (ϕ)z2+ 1 t}

Rysunek 3.

Metodę opisaną powyżej można zastosować do dowodu istnienia rozwiązań okresowych innych równań, np. dla równania

(4.51) x⁰(t) = −σx(t − 1)[1 + x(t)],

które otrzymujemy przez proste przekształcenie równania (4.1). W tym przypadku wygodnie jest przyjąć, że K ⊂ C[−1, 0] składa się z funkcji rosnących takich, że ϕ(−1) = 0 oraz ϕ(0) ¬ e^σ− 1, zaś τ (ϕ) = z₂+ 1, gdzie z2 jest drugim zerem rozwiązania x(t) startującego z ϕ (patrz Rysunek 3 i Zadanie 4.19).

6.3. Metoda Poincar´e-Bendixsona. Korzystając z pracy [15]

pokażemy jak można przenieść metody geometryczne dowodu istnienia rozwiązań okresowych omawiane przy okazji modelu Kołmogorowa na przypadek równań z opóźnionym argumentem. W pracy [15] dowodzi się następującego twierdzenia.

Twierdzenie 4.6. Rozważmy równanie (4.5) z prawą stroną speł-niającą następujące warunki:

(1) f (0, 0) = 0, (2) ∂f

∂y(x, y) < 0 dla (x, y) ∈ R², (3) f (0, y) < B dla y ∈ R, (4) −M ¬ ∂f

∂x(x, y) ¬ 0 dla (x, y) ∈ R²,

e

^{x0(t) Γ1 x(t)}

Γ₂

Rysunek 4.

gdzie M i B są pewnymi stałymi. Jeżeli równanie z − a − be^−hz = 0, gdzie a = ∂f

∂x(0, 0) i b = ∂f

∂y(0, 0), ma rozwiązanie o dodatniej czę-ści rzeczywistej, to równanie (4.5) ma rozwiązanie okresowe różne od stałego.

Dowód twierdzenia 4.6 oparty jest na metodzie przedstawionej na Rysunku 4. Rozpatrujemy krzywą γ_ϕ = {(x(t), x⁰(t)), t ­ 0}, gdzie x(t) jest rozwiązaniem startującym z ϕ dodatniego. Gdy ϕ jest dosta-tecznie małe, to krzywa γ¹ = γϕ jest spiralą rozkręcającą się (a więc nie przecina się z sobą) i podobnie dla dużego ϕ krzywa γ² = γ_ϕ jest spiralą skręcającą się. Wykresy obu spiral nie mogą się przeciąć, a więc krzywa γ¹ jest ograniczona i zbiór graniczny punktów (x(t), x⁰(t)), gdy t → ∞, jest krzywą zamkniętą Γ₁. Podobnie dla krzywej γ₂ otrzymamy zbiór graniczny Γ2, który jest też krzywą zamkniętą. Krzywa Γ1 leży w zbiorze ograniczonym krzywą Γ₂ (nie wykluczone, że Γ₁ = Γ₂). Krzy-we zamknięte Γ₁ i Γ₂ odpowiadają rozwiązaniom okresowym. Niech K ⊂ C[−h, 0] będzie zbiorem funkcji, które mają co najwyżej jedno

zero w [−h, 0] i jeżeli takie zero mają to zmieniają swój znak w nim.

Rozwiązania odpowiadające takim funkcjom nazywamy wolno oscylu-jącymi. Dowodzi się, że jeżeli ϕ ∈ K, to zbiór graniczny Γ odpo-wiadający ϕ leży w pierścieniu P ograniczonym krzywymi Γ₁ i Γ₂. Zatem zbiór P jest zbiorem „przyciągającym” rozwiązania i będziemy mówić, że P jest atraktorem. W szczególności, gdy Γ₁ = Γ₂, to ma-my jedno rozwiązanie okresowe x⁰(t) o okresie T , które jest orbitalnie asymptotycznie stabilne dla dowolnego rozwiązania x(t) startującego z ϕ ∈ K, a więc istnieje ciąg (t_n), t_n → ∞ taki, że t_n+1− t_n → T oraz

|x(tn+ s) − x⁰(s)| → 0 dla s ∈ [0, T ], gdy n → ∞.

Uwaga 4.6. Ostatnie 40 lat to okres intensywnych badań równań z opóźnionym argumentem. W tym czasie pojawiło się wiele prac do-tyczących różnych własności rozwiązań, między innymi ich atraktorów.

Część prac dotyczy istnienia rozwiązań chaotycznych, które obserwuje się w symulacjach komputerowych. Prace teoretyczne dotyczące chaosu bazują na aparacie teorii układów dynamicznych (np. trajektoriach ho-moklinicznych), którego omówienie przekracza znacznie nasz wykład.

Zadania

Zadanie 4.1. Sprawdzić, że rodzina operatorów {S(t)}_r­0 tworzy pół-grupę ciągłą.

W dokumencie Dynamika populacyjna Ryszard Rudnicki (Stron 142-152)