Skalowanie poziomów energetycznych i temperatura Kondo

Skalowanie

W celu zaadaptowania procedury skalowania do przypadku, w którym występują procesy tune-lowe zachodzące między kropkami za pośrednictwem elektrod, należy przedefiniować rozważany model. Dokonanie zmiany polega na rozdzieleniu stanów w elektrodzie na dwa kanały. Jeśli po-ziomy orbitalne dwóch kropek mają różne symetrie, wówczas wydaje się naturalne rozdzielenie stanów w elektrodach w odniesieniu do tych symetrii. Jako, że kropki opisuje ten sam model, w obecnym przypadku stany w elektrodach są rozdzielone w sposób arbitralny: połowa stanów przypisana jest do jednego kanału, a druga połowa do pozostałego. Takie podejście odpowiada podziałowi elektrody na dwie połowy i powiązanie z każdą połową osobnego kanału. Hamilto-nian elektrod można zapisać w następującej postaci

Hˆleads=∑

k

∑

β=L,R

∑

µ=1,2

εkβµc^†_kβµckβµ, (7.24)

gdzie c_kβµ jest operatorem anihilacji elektronu o wektorze falowym k w kanale µ elektrody β. Wskaźnik µ został wprowadzony do energii ε_kβµ tylko formalnie, bowiem energia ta i tak

nie zależy od numeru kanału µ, ε_kβµ = ε_kβ. Warto zauważyć, że zbiór dozwolonych wekto-rów falowych k jest zredukowany o połowę, ale liczba wszystkich stanów (z obu kanałów) jest zachowana. Człon tunelowy Hamiltonianu układu wyraża się następująco:

Hˆ_T =∑

gdzie V_µik^β sprzęga poziom orbitalny i-tej kropki z kanałem µ w elektrodzie β. Również parame-try V_µik^β nie zależą od numeru kanału µ, V_µik^β = V_ik^β, a indeks ten jest zatrzymany z powodów formalnych.

W dalszych rozważaniach zaniedbuje się zależność amplitud tunelowych od wektora falowego zakładając V_µik^β = V_µi^β (V_ik^β = V_i^β). Założenie to, szeroko stosowane w literaturze, pozwala wyrazić elementy macierzy sprzężenia Γ^β_ij za pomocą gęstości stanów elektrod. Założono również jednakowe elektrody ε_kLµ = ε_kRµ = ε_kµ, oraz takie same sprzężenia danej kropki do obu elektrod V_µi^β = V_µi (V_i^β = V_i).

Transformacja unitarna stanów elektronowych w elektrodach prowadzi do modów c_kµ = (c_kLµ + c_kRµ)/√

2 oraz b_kµ = (c_kLµ − ckRµ)/√

2. Mod c_kµ jest sprzężony do i-tej kropki z siłą V¯_µi =√

2V_µi, podczas gdy mod b_kµ jest całkowicie rozprzęgnięty i można go pominąć. Powyższa transformacja pozwala zastąpić dwie elektrody przez pojedynczą efektywną elektrodę. W nowej reprezentacji Hamiltonian przyjmuje postać: Mając tak przedefiniowany układ, można zastosować procedurę skalowania. Dla prostoty rozważania zostały ograniczone do przypadku V₁ = V₂. Jednak aby właściwie uwzględnić pro-cesy pośredniego tunelowania między kropkami należy przetransformować układ kropek do reprezentacji stanu symetrycznego (parzystego - e) i antysymetrycznego (nieparzystego - o) w następujący sposób: V sin θ, wówczas amplitudy tunelowe związane z kanałem parzystym oraz nieparzystym można przepisać V_e= V (cos θ+sin θ) oraz V_o = V (cos θ−sin θ), gdzie θ ∈ ⟨0, π/4⟩. Dla θ = 0 dozwolone są tylko akty bezpośredniego tunelowania elektronów, natomiast gdy θ = π/4 procesy pośrednie i bezpośrednie są równouprawnione. Szerokości poziomów parzystego oraz nieparzystego można wyrazić za pomocą nowych zmiennych Γ_e = Γ_V(1 + sin 2θ) oraz Γ_o = Γ_V(1− sin 2θ). Stosujac podstawienie sin 2θ ≡ Ω, wielkości te można wyrazić w zwartej postaci Γe = Γ_V(1 + Ω) oraz Γ_o = Γ_V(1− Ω), gdzie Ω ∈ ⟨0, 1⟩. Teraz dla Ω ̸= 0 stany parzysty oraz nieparzysty nie są jednakowo sprzężone do elektrod, tj. istnieją procesy tunelowe ze zmianą kanału.

Wykonując procedurę skalowania otrzymuje się zrenormalizowane parametry postaci:

˜

ε_ν = ε_ν − E0+ Γ_¯ν 2π

δD

D , (7.31)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Rysunek 7.16: (a) Temperatura Kondo w funkcji parametru asymetrii sprzężeń α wyznaczona dla kanału wiążącego, oraz antywiążącego, oraz dla q = 0, t = 0; (b) Temperatura Kondo w funkcji parametru q wyznaczona dla obydwu kanałów, oraz dla α = 1, t = 0.

gdzie E₀ to energia stanu nieobsadzonego (początkowo E₀ = 0), a indeks ¯ν = e dla ν = o oraz

¯

ν = o dla ν = e. Procedura ta prowadzi do następujacego równania skalowania:

d˜ε_ν

d ln D =−Γ_¯ν

2π, (7.32)

z którego łatwo wyznaczyć separacje między poziomami energetycznymi otrzymując formułę:

∆˜ε = ˜ε_e− ˜εo= ε_e− εo+(Γ_o− Γe)

Wstawiając jawne wyrażenia na sprzężenia tunelowe do równania (7.33) otrzymujemy wyrażenie na rozszczepienie poziomów wyrażone bezpośrednio przez parametr ”mieszania” kanałów Ω:

∆˜ε = ε_e− εo− ΩΓ_V

Po pierwsze, nawet w nieobecności bezpośredniego sprzężenia tunelowego kropek (t = 0) po-czątkowa degeneracja poziomów ε_e = ε_o zostaje usunięta jeśli tylko Ω > 0. Po drugie, separacja ta rośnie wraz ze wzrostem amplitudy procesów pośrednich i osiąga maksymalną wartość kiedy amplituda procesów ”mieszających” kanały jest maksymalna.

Temperatura Kondo

Temperatura Kondo została wyznaczona dla kanału związanego ze stanem wiążącym oraz ka-nału antywiążącego przy użyciu formuły (7.16) zapisanej dla obu kanałów:

T_K^b ≡√ kanałów) w funkcji parametru asymetrii sprzężeń α oraz oraz w nieobecności bezpośredniego i pośredniego sprzężenia kropek (t = 0 oraz q = 0). Wówczas temperatury Kondo dla obu kanałów są jednakowe i maleją gdy asymetria sprzężeń rośnie (α maleje) i ostatecznie dla α = 0 zanika [Rys. 7.16(a)]. Takie zachowanie wynika z wygaszania fluktuacji ładunku w układzie kropek wraz ze spadkiem wartości parametru α. Ostatecznie, gdy jedna z kropek jest całkowicie

odizolowana od elektrod fluktuacje te również zanikają, a temperatura Kondo osiąga wartość T_K = 0.

Rys. 7.16(b) przedstawia zależność temperatury Kondo odpowiadającej kanałowi wiążącemu oraz antywiążącemu od parametru q obliczonej dla przypadku symetrycznych sprzężeń α = 1.

Widać, iż temperatury Kondo dla obu kanałów zachowują się w różny sposób wraz ze zmianą wartości pozadiagonalnych elementów macierzy sprzężenia. Temperatura Kondo związana z kanałem wiążącym zmienia się w sposób niemonotoniczny, ale raczej powoli, podczas gdy ta odpowiadająca kanałowi antywiążącemu maleje monotonicznie do zera wraz ze wzrostem pa-rametru q. Zanik temperatury Kondo związanej z kanałem antywiążącym, gdy parametr q jest maksymalny, odpowiada za wygaszenie efektu Dicke opisywanego powyżej.

7.6 Podsumowanie

W rozdziale tym rozważano orbitalny efekt Kondo w układzie dwóch kropek kwantowych do-łączonych do zewnętrznych elektrod w różnych konfiguracjach. W pierwszym przypadku każda kropka posiadała własną parę elektrod transportowych. W celu opisania zjawiska Kondo w ta-kim układzie zastosowano różne techniki obliczeniowe. Wykorzystano procedurę skalowania aby otrzymać zrenormalizowane poziomy kropek kwantowych oraz temperaturę Kondo. Obliczenia te pokazały, że asymetria sprzężenia kropek z elektrodami generuje rozszczepienie rezonansu Kondo a jej wzrost prowadzi do zaniku temperatury Kondo. Za pomocą metody bozonów po-mocniczych obliczono liniową konduktancję oraz temperaturę Kondo. Otrzymane wyniki są ja-kościowo zgodne z tymi uzyskanymi za pomocą metody skalowania. Obliczenia nierównowagowe zostały wykonane za pomocą metody nierównowagowych funkcji Greena. Otrzymane rezultaty pokazały analogiczne zachowanie się konduktancji różniczkowej jak to uzyskane dla pojedynczej kropki kwantowej sprzężonej z ferromagnetycznymi elektrodami. Włączenie sprzężenia tunelo-wego między kropkami prowadzi do bogatszej struktury w konduktancji różniczkowej.

Następnie opisano wpływ pośredniego sprzężenia między kropkami na gęstość stanów oraz transmisję. Otrzymane wyniki pokazały, że dla odpowiednio dobranych parametrów układu można zaobserwować efekt Dicke lub efekt Fano. Również dla tego przypadku wyznaczono zrenormalizowane poziomy energetyczne oraz temperaturę Kondo. Wyniki te pokazały, że po-średnie sprzężenie między kropkami prowadzi do zniesienia początkowo założonej degeneracji poziomów kropek.

Część III