j=1
Kj,
gdzie zbiory K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ K i Kj składa się z 2j−1 odcinków długości 3j−1. Łączna długość odcinków wchodzących w skład Kj dąży więc do zera dla j → ∞ i dlatego K jest zbiorem miary zero. Zbiór Cantora jest nieprzeliczalny, a zatem zbiór miary zero może być nieprzeliczalny.
Zadanie 9.61. Skonstruować funkcję ograniczoną f : [0, 1] → R, która jest nieciągła we wszystkich punktach zbioru Cantora i ciągła poza tym zbiorem.
Wskazówka. Taka funkcja może być stała na każdym odcinku w uzupełnieniu zbioru Cantora. Określić f tak, aby (powiedzmy) f > 2/3 na odcinkach usuwanych w kroku 2j + 1 i f < 1/3 na odcinkach usuwanych w kroku 2j.
Wśród funkcji całkowalnych w sensie Riemanna są więc funkcje nieciągłe na pew-nych zbiorach nieprzeliczalpew-nych. Na drugim roku studiów Czytelnik zobaczy, że w wielu sytuacjach wygodniej jest posługiwać się jeszcze inną definicją całki, tak zwaną całką
Lebesgue’a. W teorii tej całki twierdzenia o przejściu do granicy pod znakiem całki są
znacznie wygodniejsze i mocniejsze. Naturalne uogólnienia wzoru na całkowanie przez części (obejmujące funkcje z nieciągłymi pochodnymi, a także funkcje ciągłe, które są w pewnych punktach nieróżniczkowalne), przydatne np. w teorii równań różniczkowych i jej konkretnych zastosowań, również wygodniej jest rozpatrywać w teorii całki Lebesgue’a.
Różnicę między całkami Newtona i Riemanna oraz całką Lebesgue’a można zobrazo-wać poglądowo za pomocą następującej analogii. Przybliżając całkę Riemanna (a także nadając sens geometryczny całce Newtona), dodajemy pola kolejnych prostokątnych słup-ków, które mogą na przemian być wysokie i niskie. Gdy rozdrabniamy podział odcinka, wysokości słupków naśladują wszelkie wahania całkowanej funkcji. To tak, jakbyśmy ob-liczali sumę pieniędzy w portfelu, ułożywszy wiele banknotów w zupełnie przypadkowym porządku, mieszając nominały. Każdy wie jednak, że prościej jest ułożyć banknoty nomi-nałami i dopiero wtedy liczyć pieniądze. Całka Lebesgue’a wykorzystuje właśnie takie po-dejście. Z grubsza biorąc, najpierw dzielimy dziedzinę funkcji na zbiory, na których funk-cja przybiera z dobrym przybliżeniem mniej więcej tę samą wartość. Obliczamy ‘sumę pól słupków’, których podstawy mogą być dość dziwnymi zbiorami, a potem wykonujemy przejście graniczne. Doprecyzowanie tej nieco mętnej intuicji, a także wyznaczenie bar-dzo szerokiej klasy funkcji, dla których takie podejście ma sens, wymaga jednak głębszego
wniknięcia w strukturę podzbiorów prostej rzeczywistej (i ogólniej, przestrzeni Rn
). Zaletą całek Newtona i Riemanna, które wystarczają do wielu praktycznych zasto-sowań rachunku całkowego, jest prostota definicji. W subtelniejszych zastosowaniach, a także w teorii, bardzo przydają się silne narzędzia z teorii całki Lebesgue’a, za które trzeba jednak zapłacić dłuższym szykowaniem pojęć tak zwanej teorii miary.
9.4 Geometryczne zastosowania całki
Wiemy już, że dla funkcji f : [a, b] → (0, ∞) ciągłej, albo ogólniej całkowalnej w sensie Riemanna, liczbaRabf (x) dx jest polem obszaru {(x, y) ∈ R2: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}. Opiszemy w tym rozdziale kilka innych geometryczny zastosowań całki, m.in. do oblicza-nia długości krzywej, a także objętości i pól powierzchni brył obrotowych.
Nie będziemy w sposób ścisły definiować objętości ani pola powierzchni brył w R3. Poprzestaniemy na dość naturalnych intuicjach, a do tematu wrócimy podczas wykładów analizy matematycznej na drugim roku studiów. Wtedy omówimy go znacznie głębiej i ściślej, nie ograniczając się tylko do brył obrotowych.
9.4.1 Długość krzywej
Będziemy rozpatrywać krzywe płaskie, będące wykresami funkcji jednej zmiennej y = f (x) na pewnym przedziale, a także krzywe opisane równaniami parametrycznymi,
ϕ : [a, b] 3 t 7−→ ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t) ∈ Rn. (9.56) Dla n = 2, 3 są to krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni. Na przykład, obrazem prze-kształcenia [0, 2π] 3 t 7→ (cos t, sin t) ∈ R2 jest okrąg jednostkowy na płaszczyźnie z karte-zjańskim układem współrzędnych.
Będziemy na razie zakładać, że funkcja (9.56) jest różnowartościowa, tzn. z geome-trycznego punktu widzenia krzywa pozbawiona jest samoprzecięć. Dla prostoty, zajmiemy się szczegółowo przypadkiem n = 2. Przypadek n ≥ 3 jest w pełni analogiczny.
Definicja 9.62. Łamaną wpisaną w krzywą ϕ : [a, b] → R2 nazwiemy sumę ` odcinków o końcach (ϕ1(ti), ϕ2(ti)), zwanych wierzchołkami łamanej, gdzie i = 0, 1, . . . , n, zaś P = (t0, t1, . . . , tn) należy do zbioru P wszystkich podziałów odcinka [a, b].
Zbiór wszystkich łamanych wpisanych w daną krzywą będziemy oznaczać literą W . Definicja 9.63. Długością łamanej ` ∈ W o końcach (ϕ1(ti), ϕ2(ti)), gdzie i = 0, 1, . . . , n oraz P = (t0, t1, . . . , tn) ∈P, nazywamy liczbę
d(`) = n X i=1 r ϕ1(ti) − ϕ1(ti−1) 2 + ϕ2(ti) − ϕ2(ti−1) 2 (9.57)
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że każdy składnik sumy (9.57) rzeczywiście jest długością odcinka, łączącego dwa sąsiednie wierzchołki łamanej.
Definicja 9.64 (długość krzywej). Niech ϕ : [a, b] → R2
. Długością krzywej ϕ nazywamy kres górny długości wszystkich łamanych wpisanych w tę krzywą, tzn. liczbę
d(ϕ) = sup
`∈Wd(`), (9.58)
Proszę zauważyć, że ta definicja jest zgodna z naturalną intuicją: odpowiednio gładką krzywą można z dobrą dokładnością zmierzyć linijką, przybliżając długość krzywej dłu-gością łamanej o wielu wierzchołkach. Długość łamanej nie będzie większa od długości krzywej.
Twierdzenie 9.65 (wzór na długość krzywej). Niech ϕ : [a, b] → R2 będzie funkcją różnowartościową klasy C1. Wtedy
d(ϕ) = Z b
a
q
ϕ01(t)2+ ϕ02(t)2dt . (9.59)
Twierdzenie wyraża jasną intuicję fizyczną: parametryzacja ϕ to opis sposobu, w jaki poruszamy się po danym torze ruchu, zaś ϕ01 i ϕ02to składowe wektora prędkości. Liczba v(t) =pϕ0
1(t)2+ ϕ02(t)2
jest długością wektora prędkości w chwili t, czyli chwilową szyb-kością ruchu. Dla fizyka iloczyn v0(t) dt to przyrost drogi, uzyskany w czasie dt. Dla kogoś, kto tak myśli, wzór na długość krzywej to po prostu zależność między czasem, prędkością i drogą; ponieważ prędkość nie jest stała, więc dzielimy przedział czasu na mniejsze od-cinki i przybliżamy całkę sumami Riemanna.
Podobnie jest w przestrzeni R3. Długość krzywej ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) : [a, b] → R3, gdzie ϕk ∈ C1
dla k = 1, 2, 3, określona jako kres górny długości łamanych, wpisanych w tę krzywą, wynosi d(ϕ) = Z b a q ϕ01(t)2+ ϕ02(t)2+ ϕ03(t)2dt .
Dowód. Krok 1. Oznaczenia i plan dowodu. Wprowadźmy oznaczenia
v(t) = q ϕ01(t)2+ ϕ02(t)2, t ∈ [a, b] , I = Z b a v(t) dt = Z b a q ϕ01(t)2+ ϕ02(t)2dt .
Wybierzmy dowolną łamaną l ∈ W , odpowiadający jej podział P = (t0, t1, . . . , tn) odcinka [a, b], oraz liczbę ε > 0. Z nierówności trójkąta wynika, że jeśli podział P1 powstaje z P przez zagęszczenie, to odpowiadająca mu łamana `1 ma długość d(`1) ≥ d(`).
Wykażemy, że podział P1 można wybrać tak, aby uzyskać
d(`) ≤ d(`1) < I + ε , |I − d(`1)| < ε . (9.60) Następnie, przechodząc do granicy ε → 0, otrzymamy d(`) ≤ I, co wobec dowolności ła-manej ` oznacza
d(ϕ) = sup
`∈W d(`) ≤ I .
Z drugiej nierówności (9.60) wynika jednak, że istnieją łamane `1 ∈W , dla których liczba d(`1) może znajdować się dowolnie blisko liczby I. Zatem nie może zachodzić ostra nie-równość d(ϕ) < I; musi zachodzić nie-równość d(ϕ) = I. Pozostaje tylko wykazać (9.60).
Krok 2. Nierówności (9.60). Niech η > 0. Liczbę η dobierzemy do ε > 0 później. Doko-nując zagęszczenia podziału P i nie zmniejszając długości odpowiadającej mu łamanej, przyjmiemy odtąd, bez zmniejszenia ogólności, że P = (t0, t1, . . . , tn), gdzie
0 < ∆ti = ti− ti−1< δ, i = 1, . . . , n.
Liczbę δ > 0 dobierzemy za chwilę. Rozpatrzmy i-ty składnik we wzorze (9.57) na długość łamanej. Posługując się dwukrotnie twierdzeniem Lagrange’a o wartości średniej, dla
funkcji ϕ1 i ϕ2, otrzymujemy