Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki dopóty, dopóki składowa pozioma przyśpieszenia nie K_cnie osiągnie wartości równej zeru. Wartość FS, dla której warunek ten jest spełniony jest miarą stateczności zbocza (wskaźnikiem stateczności).

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

PowyŜszą metodę Sarma zmodyfikował w 1979 roku, uogólniając ją na bloki o ukośnych (nie pionowych) ściankach bocznych.

Kolejnej modyfikacji dokonał Hoek (1986), opracowując uniwersalną metodę analizy stateczności skarp i zboczy. Przy zastosowaniu tej metody analizowana moŜe być stateczność zboczy o dowolnym kształcie, z kołową, płaską lub mieszaną powierzchnią poślizgu. W metodzie tej potencjalna bryła osuwiskowa moŜe być podzielona na bloki o kształcie dowolnych czworokątów, które w szczególnym przypadku wspólnego jednego naroŜa są blokami trójkątnymi. W odróŜnieniu od innych metod na bocznych powierzchniach bloków moŜna zadawać odmienne wartości parametrów oporu ścinania, co umoŜliwia modelowanie rzeczywistych nieciągłości występujących w górotworze w postaci powierzchni spękań, szczelin i uskoków.

Metoda Hoeka-Sarmy umoŜliwia uwzględnianie wpływu parcia wody na wszystkie ścianki wyodrębnionego bloku, podczas gdy inne metody zakładają jedynie istnienie sił wyporu działających na podstawę bloku. Hoek opracował równieŜ program obliczeniowy do analizy stateczności skarp i zboczy.

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

W programie tym przyjęto, aby cały model zlokalizowany był w pierwszej ćwiartce przyjętego układu współrzędnych i aby współrzędne jego kolejnych punktów wzrastały od strony lewej do prawej. Geometria oraz lokalizacja pojedynczego bloku opisywana jest poprzez podanie współrzędnych wierzchołków bocznych powierzchni. PołoŜenie zwierciadła wody określane jest poprzez podanie współrzędnych punktów jego przecięcia z bocznymi powierzchniami bloków.

Na rysunku przyjęto następujące oznaczenia:

XB_i,YB_i- współrzędne dolnego punktu lewego boku bloku i, XT_i,YT_i- współrzędne górnego punktu lewego boku bloku i, XB_i+1,YB_i+1- współrzędne dolnego punktu prawego boku bloku i, XT_i+1,YT_i+1- współrzędne górnego punktu prawego boku bloku i,

XW_i,YW_i- współrzędne punktu przecięcia lewego boku bloku i z zwierciadłem wód gruntowych,

ZWi+1

1 2

3

i n y

x

y

ZWi

+i

XTi,YTi

XBi,YBi

bi

XBi+1,YBi+1

XTi+1,Yti+1

δi

δi+1 δ

+

αi

α +

x -XWi,YWi

XWi+1,Ywi+1

XGi,YGi

Xi,Yi

a)

b)

Zasady podziału na bloki w metodzie Sarmy-Hoeka a) zasady budowy modeli i

podziału na bloki, b) określanie geometrii

bloku

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

( ) ( )

[ ]

d

_i+1

= XT

_i+1

− XB

_i+1

+ YT

_i+

− YB

_i+

2

1 1

2

1 1 1

1

arcsin

+ +

+

=

+

−

i i i

i

d

XB δ XT

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

XW_i+1,Yw_i+1- współrzędne punktu przecięcia prawego boku bloku i z zwierciadłem wód gruntowych,

XG_i, YG_i- współrzędne środka cięŜkości bloku,

X_i, Y_i- współrzędne punktu przyłoŜenia sił zewnętrznych, d_i+1- długość boku i+1:

δ_i+1- kąt nachylenia boku i+1 do pionu:

b_i- długość rzutu podstawy boku i na oś poziomą:

b

_i

= XB

_i+1

− XB

_i

α_i- kąt nachylenia podstawy bloku i do poziomu:

i i i

i

b

YB arctg = YB −

=

⁺¹

α

W_i- cięŜar bloku i:

( )( ) ( )( )

W

_i

= γ YB

_i

− YT

_i+

XT

_i

− XB

_i+

+ YT

_i

− YB

_i+

XT

_i+

− XB

_i

2

^{1 1 1 1}

ZW_i- odległość punktu przecięcia zwierciadła wody z bokiem i od dolnego punktu:

ZW

_i

= ( YW

_i

− YB

_i

)

ZW_i+1- odległość punktu przecięcia zwierciadła wody z bokiem i+1 od dolnego punktu:

ZW

_i+1

= ( YW

_i+1

− YB

_i+1

)

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

Wartości sił parcia wody na podstawę bloku obliczyć moŜna ze wzoru:

( )

U YW YB YW YB b

i w

i i i i i

i

= 1 − +

₊

−

₊

2

1 1

γ cos α

Dla określenia sił parcia wody na boczne powierzchnie bloków rozpatruje się cztery przypadki połoŜenia zwierciadła wody:

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

a) b)

Definicja parcia wody na bloki.

a) pasek nie zanurzony, b) pasek

zanurzony od strony boku i+1, c) pasek

zanurzony od strony boku i, d) pasek

całkowicie zanurzony.

Wartości sił parcia w poszczególnych przypadkach są następujące:

Przypadek I - pasek nie zanurzony (rys. a):

YT

_i

>YW

_i

i YT

_i+1

> YW

_i+1

Przypadek II - blok zanurzony od strony boku i+1 (rys. b):

YT

_i

> YW

_i

i YT

_i+1

< YW

_i+1

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

( ) ( )

Przypadek III - blok zanurzony od strony boku i (rys. c):

YT

_i

< YW

_i

i YT

_i+1

> YW

_i+1

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

Przypadek IV - blok całkowicie zanurzony (rys. d):

YT

_i

< YW

_i

i YT

_i+1

< YW

_i+1

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

TSi

Ni

Ui

Wi

KWi

THi

TVi Ti

θi

Xi

Ei

Xi+1

Ei+1

PWi+1

PWi

z.w.g.

θi

-+

li

Zi

. Rozkład sił

działających na blok w metodzie Sarmy-Hoeka

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

W_i- cięŜar bloku i,

KW_i-- siła pozioma związana z obciąŜeniami dynamicznymi,

T_i - siła zewnętrzna przyłoŜona do bloku, związana z jego obciąŜeniem lub wzmocnieniem górotworu, na przykład jego kotwieniem,

TH_i- składowa pozioma sił zewnętrznych, TV_i- składowa pozioma sił zewnętrznych,

θ_i - kąt nachylenia siły zewnętrznej do poziomu, której znak określamy jak na rys., PW_i, PW_i+1- siły parcia wody na boczne powierzchnie bloków,

U_i - Siła parcia wody na podstawę bloku,

N_i- wartość reakcji normalnej do podstawy bloku,

TS_i - wartość zmobilizowanej siły oporu ścinania w podstawie bloku, określana z warunku stanu granicznego Coulomba-Mohra,

X_i, X_i+1 - siły styczne do bocznych powierzchni bloku, określane z warunku stanu granicznego Coulomba-Mohra,

E_i, E_i+1- siły normalne do bocznych powierzchni bloków.

Krytyczne przyśpieszenie K_c, wywołujące w zboczu stan równowagi granicznej, obliczyć moŜna ze wzoru:

KC AE

= PE

gdzie:

AE = a

_n

+ a

_n−1

e

_n

+ a

_n−2

e e

_{n n−1}

+ + ... a e e

_{1 n n−1}

... e e

_{3 2}

PE = p

_n

+ p e

_n−1 _n

+ p

_n−2

e e

_{n n−}1

+ + ... p e e

1 _{n n−}1

... e e

3 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a Q W TV TH R

S S

i i

i i Bi i i Bi i i Bi

i Bi i i i Bi i i

= + − − − + +

+ − − − − −





 





 

+ +

sin cos cos

sin sin

ϕ α ϕ α ϕ

ϕ α δ ϕ α δ

1 1

( )

p

_i

= Q W

_{i i}

cos ϕ

_Bi

− α

_i

( )

e

_i

Q

_i ^{Bi i Si i}

Si

= cos − + − cos

ϕ α ϕ δ ϕ

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

( )

Q

_i ^Si

Bi i Si i

= − +

⁺ ₊

−

₊

cos

cos

ϕ

ϕ α ϕ

¹ 1

δ

1

S

_i

= c d

_{Si i}

− PW tg

_i

ϕ

_Si

^S

i+₁

= ^c

Si+₁

^d

i+₁

− ^{PW tg}

i+₁

ϕ

Si+₁

R c b

i

U tg

Bi i i

i Bi

= −

cos α ϕ

gdzie:

ϕ_Bi^{, c}_Bi- parametry oporu ścinania w podstawie bloku, ϕ_Si^{, c}_Si- parametry oporu ścinania wzdłuŜ boku i, ϕ_Si+1^{, c}_Si+1- parametry oporu ścinania wzdłuŜ boku i+1.

W pierwszym kroku obliczeniowym przyjmuje się, Ŝe wskaźnik stateczności:

0 .

= 1 FS

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

JeŜeli w wyniku obliczeń, Ŝe przyspieszenie K_c jest róŜne od zera, stosuje się redukcję parametrów oporu ścinania, jednocześnie na wszystkich podstawach i powierzchniach bocznych, zgodnie z wzorami:

,

; FS c FS tg ϕ

_{Bi Bi}

Proces iteracyjny powtarza się aŜ do sytuacji, w której otrzymuje się spełnienie warunku: K_c=0. Wartość wskaźnika, dla której warunek powyŜszy jest spełniony, jest wskaźnikiem stateczności zbocza. Sprawdzenia poprawności rozwiązania dokonuje się, określając wartości napręŜeń normalnych i stycznych do powierzchni bloków. W przypadku, gdy wszystkie napręŜenia są większe od zera, rozwiązanie moŜna uznać za poprawne. Po obliczeniu K_c wartości sił działających na podstawę bloku i jego boczne powierzchnie, obliczyć moŜna ze wzorów (dla bloku pierwszego E₁=0.0):

Marek Cała, Jerzy Flisiak – Kat. Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986) ,

Wartości napręŜeń obliczyć moŜna z wzorów:

(

i i

)

i i

Końcowe sprawdzenie poprawności rozwiązania uzyskuje się określając moment sił względem środka cięŜkości bloku. Przy poprawnym rozwiązaniu jego wartość powinna być równa zeru:

( ) [ ( ) ]

N l_{i i}− X b_{i+1 i}cos

α δ

_i+ _i+1 / cos

α

_i−E Z_{i i}+E_i+1 Z_i+1+b_isin

α δ

_i+ _i+1 / cos

α

_i −

( − ) + ( − ) − ( − ) + ( − ) = ⁰

+ W

i

XG

i

X

Bi

K

c

W

i

YG

i

Y

Bi

TV

i

X

i

XG

i

TH

i

Y

i

YG

i

Z przedstawionego opisu wynika, Ŝe metodę Sarmy-Hoeka naleŜy zaliczyć do metod bardzo uniwersalnych. Wydaje się, Ŝe po dokładnym jej zweryfikowaniu, szczególnie w warunkach rzeczywistych, moŜe znaleźć one szerokie zastosowanie w analizie stateczności skarp i zboczy.

Slope Stability, LEM – Metoda Sarmy-Hoeka (1973,1979,1986)

W dokumencie Slope stability Stateczność zboczy Limit Equilibrium Methods Metody Równowagi Granicznej (Stron 47-54)