2.1 Funkcja przejścia δ dla maszyny Turinga Ms . . . 30 3.1 Funkcja przejścia δ dla maszyny Turinga z przykładu 3.4. . . . 91 3.2 Odwzorowanie przesuwne GS dla δ z tabeli 3.1 . . . 92 3.3 Zestawienie wartości x mod 30n w zależności od wartości
re-jestrów F SA . . . 108 3.4 Zestawienie wartości x mod 210n w zależności od wartości
rejestrów F SA . . . 111 4.1 Funkcja przejścia fδ dla maszyny Turinga Ms . . . 116
Spis rysunków
1.1 Integrator R f0dg0 . . . 10
2.1 Przekątniowa numeracja par . . . 24
2.2 Model maszyny Turinga . . . 27
2.3 Podstawowe analogowe jednostki liczące modelu GPAC . . . . 33
2.4 Obwód GPAC generujący dwa różne wyniki . . . 36
2.5 Obwód GPAC, który dla parametru startowego integratora x daje wynik obwodu podczas całego obliczenia równy x . . . . 42
2.6 Extended Analog Computer - model hierarchii poziomów . . . 50
2.7 EAC R002 z pracy [43] . . . 53
2.8 Wierzch arkusza liczącego EAC . . . 54
2.9 Spód arkusza liczącego EAC . . . 55
2.10 Extended Analog Computer vs komputer cyfrowy . . . 56
2.11 Ukryta funkcja dodawania (EAC) . . . 58
2.12 Różne warianty sumatora (EAC) . . . 58
3.1 Przykłady nieobliczalnych funkcji zmiennej rzeczywistej . . . . 85
3.2 F SA symulujący działanie maszyny Turinga . . . 105
3.3 Blok I. Wyznaczenie symbolu pod głowicą maszyny Turinga . 105 3.4 Blok I w przypadku, gdy q jest stanem finalnym maszyny Tu-ringa . . . 106
3.5 Blok II. Realizacja ruchu głowicy w prawo i zmiana symbolu pod głowicą . . . 106
3.6 Blok IIa. Zmiany symbolu pod głowicą . . . 106
3.7 Blok IIb. Ruch w lewo. Wyznaczenie symbolu na lewo od wicy oraz zmiana rejestrów FSA odpowiednio dla ruchu gło-wicy w lewo . . . 107
3.8 F SA symulujący działanie niedeterministycznej maszyny Tu-ringa . . . 110
3.9 Blok III. Wyznaczenie wyboru wariantu obliczeń niedetermi-nistycznej maszyny Turinga . . . 110
Oznaczenia
x, y, z liczby rzeczywiste R
t liczba rzeczywista – czas/liczba naturalna – krok
k, l, m, n liczby naturalne N
k, l, m, n napisy nad pewnym alfabetem Σ kodujące liczby k, l, m, n
A, C, D, S, X, Y,
Ω, Λ zbiory
P zbiór wielomianów n-zmiennych
I przedział
cA funkcja charakterystyczna zbioru cR funkcja charakterystyczna relacji
Dom(f ) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f ma określoną wartość Rt t0f (x)dg(x) całka Riemanna-Stieltjesa ¯ x wektor (x1, x2, . . . , xn) F klasa funkcji
F zbiór funkcji należących do F
O zbiór operatorów Fk → F
[F; O] indukcyjne domkniecie/algebra funkcji
A oznaczenie indukcyjnego domknięcia/algebry funkcji SKl operator l-argumentowej operacji składania, str. 17 REK operator rekursji prostej, str. 17
µ operator minimalizacji, str. 18
z jedno-argumentowa funkcja zerowania zdefiniowana na N, z(n) = 0
s jedno-argumentowa funkcja następnika zdefiniowana na N, s(n) = n + 1
ik
i k-argumentowa funkcja projekcji zdefiniowana na N, ik
i(n1, . . . , nk) = ni
i i = {ik
i : k, i ∈ N, 1 ¬ i ¬ k}
↓, ↑ str. 17
PRF klasa funkcji rekurencyjnych
PRF = [z, s, i; SKl, REC, µ]
P klasa funkcji pierwotnie rekurencyjnych P = [z, s, i; SKl, REC]
h·, ·i funkcja Cantora kodowania par
π1, π2 funkcje dekodujące dla h·, ·i odpowiednio pierwszą i drugą składową pary
∆0
j, Σ0
j, Π0
j zbiory j-tego poziomu hierarchii arytmetycznej
δ funkcja przejścia MT
∆ relacja przejścia NTM
Σ alfabet
B symbol pusty, B ∈ Σ
α napis nad alfabetem Σ
Q zbiór stanów maszyny Turinga
F zbiór stanów finalnych maszyny Turinga
Mf(n) maszyna Turinga wyznaczająca wartość funkcji f (n) Ms(n) maszyna Turinga wyznaczająca wartość następnika
liczby n, n jest binarnym zapisem liczby n ft(¯x) funkcja f iterowana t-razy
f(n)(x) n-ta pochodna funkcji f (x)
p(x1, . . . , xn) wielomian zmiennych x1, . . . , xn
−1n, 0n, 1n n-argumentowe funkcje stałe zdefiniowane na liczbach
rzeczywistych
SKl operator składania, str. 40 INV operator inwersji, str. 40
D operator pochodnej cząstkowe, str. 41 | operator obcięcia, str. 41
∼ operator przedłużenia str. 41
RR operator, wyznacza rozwiązanie równania różniczkowego, str. 41
L∂ operator granicy, str. 42
G>, G operator wyznaczający zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje odpowiednio wartości nieujemne i dodatnie, str. 42
P operator projekcji {¯x : (∃x ∈ R)(x, ¯x) ∈ A} SK operator składania dwu funkcji, str. 57 R operator rekursji różniczkowej, str. 57
L, LS, LI operatory granicy nieskończonej, granicy nieskończonej górnej i granicy nieskończonej dolnej
V operator agregacji V(f, g)(¯x) = (f (¯x), g(¯x)
REC(R) klasa rzeczywistych funkcji rekurencyjnych
REC(R) = [−1n, 0n, 1n, in
i; SK, R, LS, V] H algebra funkcji klasy REC(R)
DA zbiór deskrypcji algebry A
DA zbiór dobrych deskrypcji algebry A
rk(f ) stopień funkcji f dla algebry A ze względu na zbiór
operatorów ˜O
Hn zbiór n-tego poziomu η-hierarchii, str. 64 FQ klasa funkcji obliczalnych f : Nk → Q
∆n, Σn, Πn zbiory n-tego poziomu hierarchii arytmetycznej liczb rzeczywistych
∂f (a) operator przesuwający ciąg znaków a = . . . a−2a−1.a0a1. . . względem kropki w prawo lub w lewo w zależności
od wartości f (a)
DOD(a) dla a = . . . a−2a−1.a0a1. . ., DOD(a) = a−1.a0a1
≡ symbol równoważności
bc bxc = max{y ∈ Z : y ¬ x}
Un Un= [Q, Π, in
i; +, −, ×, sin]
L, R, G, W rejestry skończenie-stanowego automatu
T T = [R, x1, x2, . . . , sin(x), exp(x); +, ×, SK]
Bibliografia
[1] S. Aaronson. Limits on efficient computation in the physical world. Ph. D. Thesis, University of California, Berkeley, 2004.
[2] L. Blum, F. Cucker, M. Shub, and S. Smale. Complexity and Real Com-putation. Springer.
[3] L. Blum, M. Shub, and S. Smale. On the theory of computation and complexity over the real numbers: NP-completeness, recursive functions and universal machines. Bulletin of the American Mathematical Society, 21:1–46, 1989.
[4] M.S. Branicky. Universal computation and other capabilities of hy-brid and continuous dynamical systems. Theoretical Computer Science, 136:67–100, 1995.
[5] S. Bringsjord and J. Taylor. An argument for p = np. Technical report. www.rpi.edu˜brings.
[6] J. Buescu, M. L. Campagnolo, and D. S. Gra¸ca. Robust simulation of Turing machines with Analytic Maps and Flows. Proceedings of CiE’05, New Computational Paradigms, Lecture Notes in Computer Science 3526, pages 169–179, 2005. In B. Cooper, B. Loewe, L. To-renvliet, editors.
[7] V. Bush. The differential analyser. Journal Franklin Institute, 212:447– 488, 1931.
[8] M. L. Campagnolo. The Complexity of Real Recursive Functions. Lec-ture Notes in Computer Science, 2509:1–14, 2002.
[9] M. L. Campagnolo, J. F. Costa, and C. Moore. Iteration, inequalities, and differentiability in analog computers. Journal of Complexity, 16 (4):642–660, 2000.
[10] M. L. Campagnolo, J. F. Costa, and C. Moore. An analog characteri-zation of the Grzegorczyk hierarchy. Journal of Complexity, 18 (4):977– 1000, 2002.
[11] A. Church. The calculi of lambda-conversion. Annals of Mathematical Studies, 6, 1941. Princeton Univ. Press, Princeton N.J.
[12] P. Clote. Computation Models and Function Algebras in: Handbook of Computability Theory, volume 140 of Studies in Logic and the Founda-tions of Mathematics, chapter 17 - Computation Models and Function Algebras, pages 608–609. Elsevier, 1999.
[13] J. H. Conway. Unpredictable iterations. Proc. 1972 Number Theory University of Colorado, pages 49–52, 1972.
[14] J. F. Costa and D.S. Gra¸ca. Analog computers and recursive functions over the reals. Journal of Complexity, 19 (5):644–664, 2003.
[15] J. F. Costa, B. Loff, and J. Mycka. The new promise of analog compu-tation. Lecture Notes in Computer Science, 30:189–195, 2007.
[16] J. F. Costa, B. Loff, and J. Mycka. A foundation for real recursive function theory. Annals of Pure and Applied Logic, 160:255–288, 2009. [17] J. F. Costa and J. Mycka. Real recursive functions and their hierarchy.
Journal of Complexity, 20:835–857, 2004.
[18] J. F. Costa and J. Mycka. The computational power of continuous dynamic sys. Lecture Notes in Computer Science, pages 164–175, 2005. [19] J. F. Costa and J. Mycka. What lies beyond the mountains? com-putational systems beyond the turing limit. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, 2005.
[20] J. F. Costa and J. Mycka. An analytic condition for P⊂NP. Journal of Complexity, 2006.
[21] J. F. Costa and J. Mycka. Undecidability Over Continuous-Time. Logic Journal of the IGPL, Oxford University Press, 2006.
[22] N. C. A. da Costa and F.A. Doria. Undecidability and Incompleteness in Classical Mechanics. International J. Theoret. Physics, 4497:1041–1073, 1991.
[23] M. Davis, Y. Matijasevich, and J. Robinson. Hilbert’s Tenth Problem. diophantine equations: Positive aspect of a negative solution. Proc. Symp. Pure Math., 28:323–378, 1976.
[24] R. Driver. Introduction to Ordinary Differential Equations. Harper and Row, 1978.
[25] R. Feynman. Simulating physics with computers. Int. J. Theoret. Phys., 21(6-7):467–488, 1982.
[26] D. S. Gra¸ca. Some recent developments on shannon’s general purpose analog computer. Math. Log. Quart., 50(4-5):473–485, 2004.
[27] A. Grzegorczyk. Computable functionals. Fund. Math, 42:168–202, 1955. [28] J. J. Herlinger. Niezwykłe perypetie odkryć i wynalazków. Nasza
Księ-garnia, Warszawa, 1985.
[29] D. Hilbert. Mathematische probleme. Proc. roy. Soc. Math., pages 58– 114, 1990.
[30] I. Kaczmarczyk. Rozwój automatyki na przestrzeni wieków. http://free.of.pl/z/zst/pomoce/publikacje/automatyka.pdf.
[31] W. Thomson (Lord Kelvin). On an instrument for calculating the in-tegral of the product of two given functions. Proc. Royal Society of London, 24:266–268, 1876.
[32] P. Koiran. Puissance de calcul des r´eseaux de neurones artificiels. Ph.D.Thesis, Ecole Normale Sup´eriere de Lyon, 1993.
[33] P. Koiran and C. Moore. Closed-form analytic maps in one and two di-mentions can simulate universal Turing machine. Theoretical Computer Science, (210):217–223, 1999.
[34] D. Lacombe. Extension de la notion de fonction r´ecursive aux fonctions d’une ou plusieurs variables reelles iii. C. R. Acad. Sci. Paris., 241:151– 153, 1955.
[35] J. C. Lagarias. The 3x+1 problem and its generalizations. Amer. Math. Montly, 92:3–23, 1985.
[36] R. Lehman. On primitive recursive real numbers. Fundamenta Mathe-matica, 49:105–118, 1960/61.
[37] L. Lipshitz and L. A. Rubel. A differentialy algebraic replacement the-orem, and analog computation. Proceedings of the A.M.S., 99(2):367– 372, 1987.
[38] A. Markow. Theory of algorithms. Trudy Matiemat. Inst. V. A. Stie-kłowa, 42, 1954. przekład angielski: Israel Program for Scientific Trans-lation, Jerusalem, 1961.
[39] Y. Matijasevich. Enumerable sets are diophantine. Dokl. Acad. Nauk, 191:279–282, 1970.
[40] S. Mazur. Computable analysis. Rozprawy Matematyczne, 33, 1963. Warszawa.
[41] J. Mills, M. G. Beavers, and C. Daffinger. Lukasiewicz logic arrays. Proceedings of 2th Internationa Symposium on Multiple-Valued Logic, Charlotte, pages 469–480, 1990.
[42] J. Mills and C. Daffinger. Cmos vlsi lukasiewicz logic arrays. Proce-edings 20th International Symposium on Multiple-valued Logic, pages 4–10, 1990.
[43] J. W. Mills. The Nature of the Extended Analog Computer. Physica D, 237(9):1236–1256, 2008.
[44] R.A. Montante and J. Mills. Measuring information capacity in a vlsi analog logic circuit. Technical Report 377, Computer Science Depart-ment, Indiana University, March 1993.
[45] C. Moore. Unpredicitability and udecidability i dynamical systems. Phy-sical Review Letters, 64(20):23–54, 1990.
[46] C. Moore. Smooth one-dimentional maps of the interval and the real line capable of universal computation. Santa Fe Institute Working Paper 93, pages 01–001, 1993.
[47] C. Moore. Recursion theory on the reals and continuous-time computa-tion. Theoretical Computer Science, 162:23–44, 1996.
[48] A. Mostowski. On computable sequences. Fund. Math, 44:37–51, 1957. [49] J. Mycka. µ-recursion and infinite limits. Theoretical Computer Science,
302:123–133, 2003.
[50] J. Mycka and M. Piekarz. Przegląd zagadnień obliczalności analogowej. Algorytmy, Metody i Programy Naukowe, pages 125–132, 2004. materia-ły konferencyjne z LAFI 2004.
[51] F. Nijhout. Development and evolutio of butterfly wing patterns. Smi-thsonian Inst. Press, Wash, DC, 1991.
[52] P. Odifreddi. Classical Recursion Theory: The Theory of Functions and Sets of Natural Numbers. North Holland, 1989.
[53] P. Odifreddi. Classical Recursion Theory: The Theory of Functions and Sets of Natural Numbers, volume 2. North Holland, 1999.
[54] B. Orłowski, Z. Płochocki, and Z. Przyrowski. Encyklopedia odkryć i wynalazków. Chemia, fizyka, medycyna, rolnictwo, technika. Wiedza Po-wszechna, 1979. ISBN 83-214-0021-3.
[55] P. Orponen. A survey of continuous-time computational theory. Ad-vances in Algorithms, Languages and Complexity, pages 209–224, 1997. Kluwer Academic Publishers.
[56] R. P´ete. Recursive funktionen. Akademischen Verlag, 1951.
[57] M. Piekarz. Three simulations of Turing machine with the use of real recursive functions. Annales UMCS Informatica AI 2, pages 101–114, 2004.
[58] M. Piekarz. Extended Analog Computer and Real Recursive Functions. Proceedings of Aplimat 2006, pages 643–649, 2006.
[59] M. Piekarz. The Extended Analog Computer and Turing machine. An-nales UMCS Informatica AI, 2:37–47, 2007.
[60] M. Piekarz. An introspect of simulation of nondeterministic Turing machine with a real-analytic function. Journal of Applied Mathematics, 2:248–254, 2009.
[61] M. Piekarz. The Extended Analog Computer and functions computable in digital sense. Acta Cybernetica, 19:749–764, 2010.
[62] M. B. Pour-El. Abstract computability and its relation to the general purpose analog computer. Trans. Am. Math. Soc., 199:1–28, 1974. [63] H. Rasiowa. Wstęp do matematyki współczesnej. PWN, 1984.
[64] D. Richardson. Some undecidable problems involving elementary func-tions of a real variable. The Journal of Symbolic Logic, 33(4):514–520, Decenber 1968.
[65] A. Romanowska. Uniwersalne metody algebry w informatyce. Advances in Applied Mathematics, 2009.
[66] L. A. Rubel. Some Mathematical Limitations of the General-Purpose Analog Computer. Advances in Applied Mathematics, 9:22–34, 1988. [67] L. A. Rubel. The Extended Analog Computer. Advances in Applied
Mathematics, 14:39–50, 1993.
[68] C. Shannon. Mathematical theory of the differential analyser. Journal Mathematical Physics, 20:337–354, 1941.
[69] H. Siegelmann and E. D. Sontag. On the computational power of neutral nets. Journal of Comp. and Systems Sc., 50:132–150, 1995.
[70] H. T. Siegelmann. Neural Networks and Analog Computation: Beyond the Turing Limit. Birkh¨auser, 1999.
[71] M. Sipser. Introduction to the Theory of Computation. Thomson, Course Tehnology, international Edition edition, 2006. Second Edition.
[72] E. Speaker. Nicht konstructiv beweisbare s¨atze er analysis. Journal Symbolic Logic, 14:145–158, 1949.
[73] G. Teschl. Ordinary differential equations and dynamical systems. 2007. Dostepne pod http://www.mat.univie.ac.at/∼gerald/ftp/book-ode/ode.pdf.
[74] A. M. Turing. On computable numbers, with an application to the ”ent-scheidungsproblem”. Proccedings of the London Mathematical Society, 42(2):230–265, 1936.
[75] P. van Emde Boas. The Handbook of Theoretical Computer Science, volume 1 of Algoritm and Complexity, chapter Machine Models and Si-mulation, pages 1–61. MIT Press, 1990. Cambridge, Massachusetts. [76] K. Weihrauch. Computable Analysis. An Introduction. Springer edition,
2000.
[77] X. Zheng and K. Weihrauch. The arithmetical hierarchy of real numbers. Math. Logic Quart., 47 (1):51–65, 2001.