Splątanie strun

W rozdziale 6 opisaliśmy szczegółowo ścisłe rozwiązania |νLi Bethego, scharakteryzowane przez ożaglowane konfiguracje strunowe, w opisie ABA. Przypomnijmy tu krótko, że konfigu-racja strunowa ν ⊢ r^′ jest partycją liczby r^′ = N/2 − S tych pseudocząstek Bethego, które są związane w struny w stanach o wypadkowym spinie S. ABA możemy interpretować, zgodnie ze wzorem (125) w taki sposób, że każda z tych pseudocząstek wiąże się formalnie z jedną kratką diagramu Younga ν (rys 2), a więc również z pewnym parametrem spektralnym λα, α ∈ r^e′. Innymi słowy, możemy uważać iż tę pseudocząstkę kreuje operator ˆB(λα) ze stanu próżniowego, tj że

|λαi =B(λ^b α) |0i (187)

jest (nieunormowanym) stanem jednomagnonowym (na ogół niestacjonarnym), z zadanym pa-rametrem spektralnym λα, czyli z pseudopędem pα określonym przez wzór (32). Podobnie, nieunormowany stan |νLi można utworzyć ze stanu próżniowego zgodnie ze wzorem (125), poprzez iloczyn r^′ operatorów B^b(λα) tworzenia pseudocząstek Bethego o parametrach spek-tralnych λα otrzymanych z rozwiązania układu równań Bethego. Formalnie, mamy więc do czynienia z iloczynem operatorów B^b po kratkach diagramu Younga konfiguracji strunowej ν.

Dyskusja tych rozwiązań zawiera więc kombinatoryczną analizę iloczynu r^′ operatorów B(λ^b α).

W tym rozdziale przedstawiamy taką analizę dla kilku najprostszych konfiguracji strunowych.

56

9. SPLĄTANIE STRUN 57

Rozpoczniemy od przypadku r = r^′ = 1, tj. od stanów jednomagnonowych (187). W termi-nologii poprzedniego rozdziału, jest to przypadek sektora r_s = 1. Wzór (181) na liczbę Z(m|1) niezerowych elementów macierzowych, pochodzących od jednomianu m ∈ M^Br0,

Z(m|1) = N − 2r0+ 1 1 − r⁰

!

, (188)

implikuje r0 = 1 jako jedyną możliwość (zauważmy, że zgodnie ze wzorem (173) r0 = 1 jest mi-nimalną możliwą wartością). Innymi słowy, spośród wszystkich jednomianów m ∈ M^B, aktywne w działaniu na próżnię okazują się być tylko jednomiany z podzbioru MB1, a więc zawierające tylko jeden operator bj(λ) tworzenia pseudocząstki Bethego. Mamy więc

Bb(λ) |0i =B^b1(λ) |0i , (189) Zatem, na mocy wzorów (146)-(149)

Bb(λ) |0i = i^X

określa pseudopęd pps magnonu z parametrem spektralnym λ. Powyższe wzory demonstrują fakt, że B(λ) jest operatorem tworzenia magnonu z pseudopędem p^b ps. Jest oczywiste, że dla dowolnego λ ∈ C pseudopęd pps nie będzie współmierny z pierścieniem magnetyka, tj. Np_ps 6=

2πk dla dowolnego całkowitego k. W szczególnych przypadkach, dla

pps = 2π

N k, k ∈ B, (193)

9. SPLĄTANIE STRUN 58

(tu B oznacza strefę Brillouina), pseudopęd magnonu pokrywa się z quasipędem. Zauważmy też, że nieunormowana amplituda p^N/qstanu (191) wyraża się przez wartości własne obiektów Laxa.

Warto zauważyć, że powyższe wyniki dają się prosto wyrazić dzięki faktowi iż operatorB(λ)^b w działaniu na próżnię redukuje się efektywnie do sumyB^b1(λ) jednomianów zawierających tylko jeden skokowy obiekt Laxa. Sytuacja komplikuje się przy rozpatrywaniu wyższych sektorów rs >0, ale również wtedy operatorB^b(λ) ”uaktywnia” tylko część jednomianów, co adekwatnie opisuje kombinatoryka z poprzedniego rozdziału. W przypadku dwumagnonowym, a więc r = r^′ = rs = 2, uaktywniają się w operatorze B(λ) jednomiany postaci^b

mj1lj2 = d1...dj1−1bj1aj1+1...al−1cldl+1...dj2−1bj2aj2+1...ajN, (194)

zawierające dwa operatory tworzenia pseudocząstki Bethego w węzłach j1 < j2 oraz operator niszczenia w węźle pośrednim l, j1 < l < j2, czyli mj1lj2 ∈ M^B2.

Zanalizujemy teraz elementy macierzowe takich jednomianów zgodnie z opisem kombinato-rycznym z poprzedniego rozdziału. Zgodnie ze wzorem (158), w przypadku sektora β² niezerowe elementy macierzowe mają postać

hj1j₂|mj1lj2|li = i³p^uq^v, (195)

gdzie

u= N − j¹+ l − j³− 1, v = j1− l + j3− 2 (196)

są równe odpowiednio liczbie operatorów wagowych a i d w jednomianie (194). Widać z tego wzoru, że taki jednomian tworzy dwie pseudocząstki Bethego na węzłach j1 < j2, z jedno-czesnym niszczeniem pseudocząstki na węźle pośrednim l, j1 < l < j2. W szczególności, ten

9. SPLĄTANIE STRUN 59

jednomian anihiluje próżnię i uaktywnia się dopiero w działaniu na stany jednomagnonowe.

Stany dwumagnonowe nieunormowane w ABA konstruuje się zgodnie ze wzorem

|λ¹λ2i =B(λ^b 1)B(λ^b 2) |0i , (197)

gdzie λ1 i λ2 są parametrami spektralnymi otrzymanymi z rozwiązań układu równań Bethego.

Z uwagi na opisane tu fakty o uaktywnianiu poszczególnych jednomianów m wchodzących do Bb w postaci sumy, wystarczy przyjąć przy generacji stanów dwumagnonowych, że

B(λ) ∼b =B^b1(λ) +B^b2(λ), (198)

gdzie ∼= oznacza równość operatorów przy ograniczeniu ich dziedziny do stanów jednomagno-nowych, zaś

Bb1(λ) =^P_m∈MB1m = ^X

j∈Ne

mj(λ), (199)

Bb₂(λ) =^P_m∈MB2m = ^X

1¬j1<l<j2¬N

m_j1lj2(λ), (200)

przy czym

mj(λ) = d1...dj−1bjaj+1...aN (201)

kreują pojedynczą dewiację na węźle j. Przy tym samym znaczeniu znaku ∼=, zachodzi

B(λ)b B(µ) ∼^b =^hB^b₁(λ) +B^b₂(µ)ⁱB^b₁(µ), (202)

gdyż członB^b2(λ) nie uaktywnia się przy bezpośrednim działaniu na próżnię.

Zgodnie ze wzorem (202), operator B(λ)^b B^b(µ) tworzenia z próżni stanu dwumagnonowego,

9. SPLĄTANIE STRUN 60

zadanego przez parametry spektralne λ i µ, jest sumą dwóch składników. Pierwszy z nich, postaci

Bb1(λ)B^b1(µ) = ^X

j1,j2∈Ne

mj1(λ)mj2(µ), (203)

jest zwykłą sumą iloczynów jednomianów jednowęzłowych (201), zaś drugi, czyli

Bb2(λ)B^b1(µ) = ^X

1¬j1<l<j2¬N

mj1lj2(λ)ml(µ), (204)

opisuje bardziej złożone procesy kreacji i anihilacji. W ostatnim przypadku, najpierw utwo-rzona jest wirtualna pseudocząstka Bethego na węźle l ∈ N^f, która następnie anihiluje razem z utworzeniem dwóch innych pseudocząstek, jednej na lewo od l (w węźle j1), a drugiej na prawo (w węźle j2). Takie procesy stanowią uzupełnienie zwykłych iloczynów jednowęzłowych, niezbędnie do zachowania reguł zamiany kolejności operatorów ABA, w szczególności przemien-ności operatoraB^b dla różnych wartości parametru spektralnego.

W celu ilustracji zastosowania kombinatoryki obiektów Laxa w ABA przedstawimy pew-ne graficzpew-ne sposoby obliczania elementów macierzowych operatorów (203) i (204). Na rys. 6 przedstawiony jest graficznie element macierzowy hj¹j2|m^j1(λ)mj2(µ)|0i. W górnym wierszu rysunku zaznaczone są węzły łańcucha, w kolejności rosnącej. Kolejny wiersz oznacza począt-kową konfigurację magnetyczną, |fi = |0i w tym przypadku próżnię ferromagnetyczną. Poniżej wizualizujemy jednomiany działające na |fi, w kolejności od góry do dołu dla jednomianów występujących w iloczynie z lewa na prawo. Dla każdego jednomianu przedstawiona jest jego ścieżka na diagramie drabinkowym, z zaznaczonymi wierzchołkami drabinki jako tłem niezbęd-nym do identyfikacji obiektów Laxa. Wiersz poniżej ścieżki opisuje obiekty Laxa przypisane poszczególnym węzłom magnetyka zgodnie z rysunkiem 4, zaś kolejny wiersz zawiera współ-czynnik przy obiekcie Laxa xj(λ) (p = λ + i/2, q = λ − i/2, lub i). Współczynnik ten

9. SPLĄTANIE STRUN 61

jest jednoznacznie określony przy pomocy wzorów (146-149) przez obiekt Laxa xj(λ) i wartość fe(j) konfiguracji magnetycznejf^efigurującej bezpośrednio nad ścieżką (f^e= f dla m_j2(µ), lub fe= f^′′dla mj1(λ) na rys. 6). Wartość końcową elementu macierzowego otrzymujemy w wyniku pomnożenia wszystkich uwidocznionych współczynników przy obiektach Laxa. Zauważmy, że parametrowi spektralnemu λ przypisane są wartości własne p i q, zaś parametrowi µ odpowia-dają r = µ + i/2, s = µ − i/2.

Obliczone w ten sposób elementy macierzowe wynoszą

hj1j₂|mj1(λ)mj2(µ)|0i = −p^N−j1−1q^j1r^N−j2s^j2−1, (205)

hj1j2|mj2(λ)mj1(µ)|0i = −p^N−j2+1q^j2−2r^N−j1s^j1−1, (206)

co daje pełny wkład pochodzący od procesów jednomagnonowych w postaci

hj1j₂|mj1(λ)mj2(µ)|0i = −p^N−j1−1q^j1r^N−j2s^j2−1− p^N−j2+1q^j2−2r^N−j1s^j1−1. (207)

Zauważmy, że rys. 6 dobrze odzwierciedla istotne aspekty rachunku elementów macierzo-wych. W szczególności, należy pamiętać, że we wzorach (205)-(207) zachodzi j1 < j2 z uwagi na konwencję związane z mapą Yanga-Baxtera na przestrzeniach konfiguracyjnych, natomiast ta-kiego ograniczenia nie ma we wzorze (203). Z tego powodu, wzory (205)-(207) nie są podatne na transpozycję wskaźników j1i j2przy ustalonych parametrach spektralnych λ i µ. Wiąże się to też z faktem, że jednomiany jednomagnonowe nie są wzajemnie przemienne ([m_j1(λ), m_j2(µ)] 6= 0), chociaż [B(λ), B(µ)] = 0. Uwidoczniona jest także rola pośrednich konfiguracji magnetycznych f^′′, która determinuje właściwy wybór wartości własnych operatorów wagowych (p,q,r,s).

9. SPLĄTANIE STRUN 62

Rysunek 6. Graficzny sposób obliczania elementu macierzowego hj1j₂|mj1(λ)m_j2(µ)|0i

9. SPLĄTANIE STRUN 63

Rysunek 6 dobrze prezentuje strukturę iloczynu tensorowego przestrzeni stanów magne-tyka (konfiguracje magnetyczne: początkowa |fi, pośrednia |f^′′i i końcowa |f^′i, są stanami separowalnymi, a więc iloczynami stanów jednowęzłowych) oraz separowalność każdego jedno-mianu m ∈ M^M (jest on przemiennym iloczynem jednowęzłowych obiektów Laxa). Zatem w przypadku pojedynczego jednomianu, element macierzowy hf^′|m|fi faktoryzuje się na czynniki jednowęzłowe

hf^′|m|fi = ^Y

j∈Ne

hf^′(j)|xj|f(j)i . (208)

Spostrzeżenie to łatwo jest uogólnić na iloczyny jednomianów. Jak widać z rys. 6, faktoryzacja jednowęzłowa zachodzi dla takich węzłów j, dla których wszystkie obiekty Laxa xj są operato-rami wagowymi. Natomiast w pozostałych przypadkach separacja na ogół nie jest możliwa. W ogólności, czynnikowy element macierzowy obejmuje te wszystkie węzły, które należą do zbioru

[

m

Nfb(m) ∪N^fc(m) (209)

i w takich sytuacjach możliwości dalszej faktoryzacji należy rozpatrywać dla każdego przypadku oddzielnie.

Przejdźmy teraz do obliczenia elementu macierzowego operatora B^b2(λ)B^b1(λ), zadanego przez wzór (204), który zgodnie ze wzorem (202) stanowi niezbędne uzupełnienie członu jed-nomagnonowego (203) w pełnym opisie stanów dwumagnonowych. Opisana powyżej procedura graficzna daje w wyniku

Dj1j2|B^b2(λ)B^b1(µ)|0^E=

jX2−1 l=j1+1

i⁴p^{N−j1−j2+l−1}q^{j1+j2−l−2}r^N−ls^l−1. (210)

9. SPLĄTANIE STRUN 64

Jak widać, procesy tworzenia i niszczenia wirtualnej pseudocząstki Bethego zachodzą wyłącznie na węzłach l ∈N^f, spełniających warunek pośredniczenia

j1 < l < j2 (211)

a więc w obszarze pomiędzy lokalizacjami rzeczywistych pseudocząstek. Ostatecznie na mocy wzorów (202), (207) (210) otrzymujemy:

hj1j₂|λµi = ^Pjl=j²⁻¹1+1i⁴p^{N−j1−j2+l−1}q^{j1+j2−l−2}r^N−ls^l−1

−p^N−j1−1q^j1r^N−j2s^j2−1− p^N−j2+1q^j2−2r^N−j1s^j1−1.

(212)

Wykazanie separowalności lub splątania strun w obrębie dowolnego ścisłego rozwiązania podstawienia Bethego wymaga znajomości kompletu parametrów spektralnych λ^elivi =^S_mλ^m_livi oraz ich rozkładu na poszczególne struny.

λe =^[

li

[

vi

λelivi

!

(213)

gdzie λ^elivi oznacza komplet parametrów niezbędnych do utworzenia vi-tej li-struny. Przy czym na to aby dwie struny w stanie |νLi były separowalne musi zachodzić

|νLi = C^hB^b(λ¹_vili)...B^b(λ^l_vⁱ_ili)^|0i ⊗^B(λ^{b 1}_vjlj)...B(λ^{b l}_v^j_jlj)^|0iⁱ. (214)

Jak łatwo można zauważyć, ze względu na różne wymiary wektorów stojących po obu stronach, powyższy warunek nie może być spełniony w sposób formalny. Jednakże z relacji Yanga-Baxtera (m < n pociąga za sobą j_m < j_n) wynika, że baza wektora po prawej stronie ostatniego rów-nania zawiera składowe spoza modelu. Dlatego też zamiast porównywać wprost stan własny z iloczynem tensorowym strun dokonamy odpowiedniej symetryzacji i odrzucenia tzw. ”twardego

9. SPLĄTANIE STRUN 65

rdzenia” (elementy zawierające powtórzenia węzłów). Dla przypadku iloczynu dwu jednostrun mamy:

|ui = ^C₂ ^hBˆ1(λ)^|0i ⊗^B(µ)ˆ ^|0i +^Bˆ1(µ)^|0i ⊗^B(λ)ˆ ^|0iⁱ

−^C₂ ^hBˆ1(λ)^|0i ⊗^B(µ)ˆ ^|0i +^Bˆ1(µ)^|0i ⊗^B(λ)ˆ ^|0iⁱ_h.c.

, (215)

gdzie wyraz z indeksem h.c. (skrót od hard core) posiada niezerowe składowe wyłącznie dla składowych typu | jⁱjii.

Na podstawie kombinatoryki obiektów Laxa dowolny element macierzowy hj¹j2|ui wynosi

hj1j2|ui = −p^N−j1q^j1−1r^N−j2s^j2−1− p^N−j2q^j2−1r^N−j1s^j1−1. (216)

Porównanie współczynników (212) z (216) wskazuje na brak separowalności stanów zbudowa-nych z dwu jednostrun. Przedstawienie podobnego rozumowania dla stanów o bardziej rozbudo-wanych konfiguracjach strunowych wymaga dalszych badań struktury odpowiednich elementów macierzowych a także sprawnych metod uśredniania po podukładzie dla stanów składających się z trzech i wiecej strun.

Do liczbowej oceny stopnia splątania pomiędzy dwoma strunami w stanie | νLi proponuje-my wprowadzenie wielkości Cs zdefiniowanej jako

Cs= 1 − |hu|νLi|

hu|ui hνL|νLi. (217)

Jak widać Cs leży w przedziale domkniętym [0, 1], przy czym wartość 0 osiąga dla stanów se-parowalnych i rośnie monotonicznie w miarę odchylania wektora | νLi od zsymetryzowanego iloczynu wektorów strun. Mamy świadomość tego, iż zaproponowana miara jest jedynie pierw-szym krokiem na drodze do uzyskania uniwersalnej metody obliczania splątań strun. Niemniej jednak mamy nadzieję, że ten pierwszy krok pozwoli na dalszy rozwój metod umożliwiających

9. SPLĄTANIE STRUN 66

pełny opis splątań strun w BA. W tym miejscu twierdzimy, że zaproponowana wielkość pozwoli na analizę splątań dla rozwiązań odpowiadających tablicom kształtu .

Rozważmy przypadek pentagonu N = 5. Z tablicy w dodatku B wynika, że interesują-ce nas stany odpowiadają przypadkom r = 2, k = {0, ±1}. Wykorzystując odpowiednie parametry spektralne λ z dodatku A generujemy wektory własne jak i odpowiednie wekto-ry iloczynu tensorowego. Przykładowo dla rozwiązania o quasipędzie k = 0 mamy wartość Cs = 1 − ^2√5³ ≈ 0.7690598924 co wskazuje na znaczne splątanie strun. W tym miejscu mamy świadomość, że problem badania splątania strun został jedynie zarysowany i wymaga dalszego znacznie pogłębionego zbadania. Niemniej jednak wydaje się iż narzędzia analizy zapropono-wane w niniejszej pracy stanowią obiecującą bazę dalszej eksploracji tego tematu.

ROZDZIAŁ 10