R a d io w e lin ie reko m b in a c y jn e wodoru 237
l in i i r e k o m b i n a c y j n y c h , n a j l e p s z ą w o b e c n y m s t a n i e o b s e r w a c j i w y d a je s i ę być p o r ó w n a n ie s z e r o k o ś c i p o łó w k o w y c h w i e l u linii Hna w m o ż liw ie s z e r o k im z a k r e s i e l i c z b k w a n to w y c h rt. P o r ó w n a n i e t a k i e z o s t a ł o p r z e p r o w a d z o n e dla' M gła w icy O r i o n a , d la k tó r e j m a t e r i a ł o b s e r w a c y j n y j e s t n a j o b f i t s z y ( C h u r c h - w e l l 1971). R y s u n e k 5 p r z e d s t a w i a o b s e r w o w a n ą z a l e ż n o ś ć A od dla lin i i H na o b s e rw o w a n y c h w M g ła w icy O r i o n a . W ty c h w s p ó ł r z ę d n y c h p o s z e r z e n i e c z y s t o d o p p l e r o w s k i e j e s t w p r o s t p r o p o r c j o n a l n e do (* ^ a l / n ® ) , nato- m i a s t z g o d n i e z z a l e ż n o ś c i ą p o d a n ą p r z e z G r i e m a p o s z e r z e n i e c z y s t o s t a r - k o w s k i e j e s t p r o p o r c j o n a l n e d o l / v 4 / / 3 ( ' - « n 4) . P u n k t zerowy p o s z e r z e n i a c z y s t o d o p p l e r o w s k i e g o m o ż n a u s t a l i ć w o p a r c iu o o b s e r w a c j ę lin i i H 56 a l f a ( S o r o c z e n k o i B e r u l i s 1969), d l a k tó r e j n i e n a l e ż y o c z e k i w a ć i s t o t n e g o p o s z e r z e n i a s t a r k o w s k i e g o . P r z e b i e g p o s z e r z e n i a s t a r k o w s k i e g o z a l e ż y od g ę s t o ś c i e l e k t r o n ó w . O b s e r w o w a n e s z e r o k o ś c i p o łó w k o w e s ą s u m ą obu ty c h z a l e ż n o ś c i . J a k w i d a ć n a r y s . 5 , l i n i e o m a ł e j c z ę s t o ś c i ( d u ż y c h n) w y d a j ą s i ę w y k a z y w a ć p e w n e p o s z e r z e n i e s t a r k o w s k i e . J e g o w i e l k o ś ć o d p o w ia d a g ę s t o ś c i o m e l e k tr o n o w y m r z ę d u 3 ‘ 1 0 3 cm"3 . In n e o c e n y tej w i e l k o ś c i d la M gła w icy O r i o n a z a w i e r a j ą s i ę w p r z e d z i a l e 1 , 7 —6 , 8 • 1 0 4 cm N a s u w a to w n i o s e k , że
li n i e s ą p o s z e r z o n e s t a r k o w s k o z n a c z n i e m n ie j, niż to w ynika z te o rii G riem a . U z y s k a n ą r o z b i e ż n o ś ć m ię d z y w a r t o ś c i a m i g ę s t o ś c i e l e k tr o n o w e j m o ż n a j e d n a k u s u n ą ć z a k ł a d a j ą c , ż e o b s z a r y H II n i e s ą je d n o r o d n e po d w z g lę d e m g ę s t o ś c i . B r o c k l e h u r s t i S e a t o n (1971) p o k a z a l i , ż e p r z y j ę c i e m o d e lu o b ło k u H II, w którym s to s u n k o w o g ę s t e i m a łe ją dro ( w n o s z ą c e j e d n a k n a j w i ę k s z y p r z y c z y n e k do miary e m is ji ) j e s t o t o c z o n e p r z e z r o z l e g ł e o b s z a r y 0 m n i e j s z e j g ę s t o ś c i , p r o w a d z i do z n a c z n e g o z w ę ż e n i a l i n i i , n a w e t przy z a c h o w a n iu w i e l k o ś c i p o s z e r z e n i a s t a r k o w s k i e g o p r z e w i d y w a n e g o p r z e z t e o r i ę G ri e m a . D z i e j e s i ę t a k d l a t e g o , ż e w ta k im m o d e lu l i n i a p o w s t a j e p r z e d e w s z y s t k i m w o b s z a r a c h o m n i e j s z e j g ę s t o ś c i , w k tó r y c h ze w z g l ę d u n a z a c h o w a n i e s i ę w s p ó ł c z y n n i k ó w bn i s t n i e j ą w a r u n k i s p r z y j a j ą c e je j w z m o c n ie n iu . P r z y j ę c i e m o d e lu n ie j e d n o r o d n e g o pod w z g l ę d e m g ę s t o ś c i n i e z m ie n ia w s p o s ó b i s t o t n y i n t e r p r e t a c j i n a t ę ż e ń l i n i i ( B r o c k l e h u r s t i S e a t o n 1971; H j e 11 m i n g e t a l . 1 9 6 9 ) . 6 . O B F IT O Ś C I H E L U W b a r d z o l i c z n y c h p r z y p a d k a c h , o p r ó c z r e k o m b i n a c y j n y c h l in i i wodoru, o b s e r w u j e s i ę r ó w n i e ż o d p o w i e d n i e l i n i e r e k o m b i n a c y j n e je d n o k r o t n i e z j o n iz o - w a n e g o h e l u . D la d u ży c h w a r t o ś c i n c z ę s t o ś c i lin ii Hn i Hen s ą b l i s k i e s i e b i e 1 m o g ą b y ć o b s e r w o w a n e przy n i e w i e l k i c h z m ia n a c h z a k r e s u c z u ł o ś c i o d b io r n i k a . B e z p o ś r e d n im w y n ik ie m pom iaru l i n i i w odoru i h e l u j e s t s t o s u n e k m ia r e m i s j i d l a o b u p i e r w i a s t k ó w , j e ż e l i t y lk o z n a n e s ą w s p ó ł c z y n n i k i bn d la helu
238
M. K u b ia k(które z dobrym przybliżeniem można uw ażać za równe odpowiednim w spółczyn nikom bn obliczonym dla wodoru). Stosunek m iar em isji będzie równy stosunko wi gęstości atomowej helu i wodoru pod warunkiem, że spełnione s ą rtastę- p ujące za ło że nia:
— stosunek o bfitości helu i wodoru je s t stały w całej mgławicy,
— gw iazda jo n iz u ją c a obszar H II je s t w ystarczająco gorąca, by strefy Strómgre- na dla wodoru i helu pokrywały s ię ze sobą,
— lic zb a atomów helu dwukrotnie zjonizow anych je s t w mgławicy znikomo mała. Argumentów za praw dziw ością tego z a ło że n ia d o sta rc za ją obserwacje P a l m ę - r a et a l. (1969), którym nie udało się stw ierdzić obecności lin i He II 173 alfa (ok. 5,04 GHz) w żadnym z p ięciu obserwowanych przez nich obszarów H II. P rzy ję c ie tych zało żeń daje dla m gławic galaktycznych N(He II) / N (H II) = = 8% ± 1% ( P a l m e r et a l. 1969; C h u r c h w e l l i M e z g e r 1970; R e i f e n- s t e i n et a l. 1970; G o r d o n 1970; M e z g e r et &1. 1970b). Jedynym pozaga- laktycznym źródłem , dla którego is tn ie ją obecnie dane radiowe odnośnie do lin ii rekom binacyjnych wodoru i helu, je s t m gław ica 30 Doradus w Wielkim O błoku M agellana. D la n ie j M e z g e r e t a l . (1970a) z n a le źli N (lie II) /JV (H II) = = 17% ± 6% . Wynik ten nie zo sta ł je sz c z e potwierdzony na drodze obserwacji radiow ych, pozostaje jednak w zgodzie z pewnymi w yznaczeniam i dokonanymi w d zie d zin ie optycznej.
7. Z A K O Ń C Z E N IE
O siąg n ię te ju ż powodzenie w interpretacji danych obserwacyjnych odnoszą cych s ię do lin ii rekombinacyjnych wodoru i h elu, a także stale rosnąca do k ładno ść obserw acji radiow ych, pozw alających na wykrywanie coraz to słab szych lin ii em isyjnych — pozw ala spodziew ać s ię wkrótce podjęcia badań radio wych, m ających na celu w yznaczenie o b fito śc i węgla w materii mięazygwiazdo- w ej, a tak że poznanie warunków fizycznych panujących w galaktycznych ob szarach II I.
Inform acje na temat obserwacji w ęgla można znalezc w pracach P a l m e r et al. (1967), G o l d b e r g f D u p r e e (1967), D u p r e e i G o l d b e r g (1969), Z u c k e r m a n i P a l m e r (1969). P oniew aż uzyskane w yniki nie d ają się je s z c z e je d no zna czn ie zinterpretow ać, ich om aw ianie wydaje się przedw czesne.
W podobnym stanie z n a jd u ją się również obserwacje obszarów H I. Biorąc
pod uwagę obe cn ość w Galaktyce rozrzedzonego ' strumienia prom ieniowania nadfioletow ego, prom ieniowania X oraz promieniowania kosłnicznego, należy o czek iw ać, że pewna c z ę ś ć wodoru (poza obszaram i H O) będzie zjonizow ana. M o żliw o ść obserwacji prom ieniowania rekombinacyjnego materii rozproszonej
Radiowe linie re kombinacyjne wodoru 239
jonizującego w Galaktyce ( G r e e n b e r g 1969). Istn ie ją też pewne dane obser wacyjne przemawiające za istnieniem promieniowania rekombinacyjnego pocho dzącego z obszarów H I: B a l i et al. (1970), G o t t e s m a n i G o r d o n (1970). Podjęto również próby interpretacji tych obserwacji: G o r d o n (1971), C e s a r - s k y (1971). L I T E R A T U R A A n d r e w s , M. H., H j e l l m i n g , R. M., 1969, Ap. Letters, 4 , 159. A n d r e w s , M. H., H j e l l m i n g , R . M., C h u r c h w e l l , E „ 1971, A p. J ., 167, 245. B a l l , J . A . , C e s a r s k y , D. , D u p r e e , A . K . , G o l d b e r g , L. , L i l l e y , A . E . , 1970, A p . J . L e tt., 162, L25. B r o c k l e h u r s t , M., 1970a, Nature, 225, 618. B r o c k l e h u r s t , M., 1970b, M. N. R . A . S., 148, 417. C e s a r s k y , D. , 1971, Ap. J'. L e tt,, 167, L89. C h u r c h w e l l , E. , 1971, Astr. and A p., 15, 90. C h u r c h w e l l , E. , M e z g e r , P . G. , 1970, Ap. Letters, 5, 227. D r a w s k i j , Z. V. , D r a w s k i j , A . F. , 1964, A str. C irkular, No. 282. D u p r e e , A. K. , G o l d b e r g , L. , 1969, A p . J . L e tt., 158, L49. G o l d b e r g , L. , 1968, Interstellar Ion ize d Hydrogen, ed. Y . Terz ian. G o l d b e r g , L. , 1970, Ap. Letters, 5, 151. G o l d b e r g , L. , D u p r e e , A. K. , 1967, N ature ,211, 174. G o l d b e r g , L. , C e s a r s k y , D. , 1970, A p. L e tte rs ,6, 93. G o r d o n , M .,A ., 1970, A p. Letters, 6 , 2 7 . G o r d o n , M. A. , 1971, Ap. J ., 167, 21. G o r d o n , M . A . , M e e k s , M. L. , 1967a, A p. J.,1 5 2 , 417. G o r d o n , M. A. , M e e k s , M. L. , 1967b, Ap. J . L ett. 149, L 2 1 . G o t t e s m a n , S. T. , G o r d o n , M . A . , 1970, A p. J . L e tt., 162, L39. G r e e n b e r g , D. W., 1969, Ap. J ., L e tt., 155, L5I . G r i e m , H. R. , 1967, A p. J ., 148, 547. H j e l l m i n g , R. M., C h u r c h w e l l , E. , 1969, Ap. Letters, 4, 165. H j e l l m i n g , R . M . , D a v i e s , R. D. , 1970, Astr. and A p. 5, 53. H j e l l m i n g , R . M . , G o r d o n , M . A . , 1971, A p. J ., 164, 47. H j e l l m i n g , R. M., A n d r e w s , M. H. , S e j n o w s k i , T. J«, 1969, A p . J . 157, 573. H o g l u n d , B. , M e z g e r , P. G. , 1965, Science, 150, 339.
J e f f e r i e s , J. , 1968.Spectral Line Formation (B laisdel P u b lish in g Company). J e g o r o w a , T. M., R y s z k ó w , N . F . , 1964, Izw. G. A. 0 ., 21, 5. K a r d a s z e w , N .S ., 1959, Astr. Ż urnał, 36, 838. L i l l e y , A. E. , M e n z e l , D. H. , P e n f i e l d , H. , Z u c k e r m a n , B. , 1966, Nature, 209, 468. M e n o n , T. K. , P a y n e , J. , 1969, A p. Letters, 3 , 25. M e z g e r , P. G«, H o g l u n d , B. , 1967, A p. J ., 147, 471. Me z g e r , P. G. , E l l i s , S. A. , 1968, A p . Letters, 1, 159. M e z g e r , P. G. , A l t e n h o f f , W„ S c h r a m l , J. , B u r k e , B. F. , R e i f e n s t c i n 111 E . C. , W i l s o n , T. , 1967, Ap. J . L e tt., 150, L157. M i l n e , D. K. , W i l s o n , T. L. , G a r d n e r , F . F. , M e z g e r , P . G. , 1969, A p. Letters, 4 , 121. 4 — Postępy Astronomii, z. 3
240 M. Kubiak Me z ge r, P. G., W i l s o n , T . L . , G a r d n e r , F . F . , M i l n e , D . K . , 1970a, A p. Letters, 5, 117. M e z g e r , P . G . , W i l s o n , T . L . , G a r d n e r , F . F . , M i l n e , D . K., 1970b, A p, Letters, 6, 35. P a l m e r , P. , 1968, Ap. J . , 149, 715. P a l m e r , P. , Z u c k e r m a n , B., P e n f i e l d , H., L i l l e y , A . E. , M e z g e r , P . G., 1967, Nature, 215, 40. P a l m e r , P. , Z u c k e r m a n , B., P e n f i e l d , H., L i l l e y , A . E. , 1969, Ap. J . 156, 887. P e n f i e l d , H., P a l m e r , P. , Z u c k e r m a n , B. , 1967, A p. J., 148, 125. R e i f e n s t e i n III, F. C., W i l s o n , T. L „ B u r k e , B. F., M e z g e r , P . G., A l t e n - h o f f, W. J. , 1970, Astr. and Ap. , 4, 357.
R u b i n , R . H . , P a l m e r , P . , 1 971, A p. Letters, 8, 79.
S o r o c z e n k o , R . L . , B e r u l i s , J . J . , 1969, A p. Letters, 4, 173.
S o r o c z e n k o , R . L . , P u z a n o w , V . A . , S a l o m o n o w i c z , A . E . , S z t e i n s z l e g e r , V. B., 1969, Ap. Letters, 3, 7.
T e r z i a n , Y . , B a l i c k, B., 1969, A p. Letters, 4, 195. U n s o l d , A. , 1955, P hysik der Sternatmosphiiren. W i l d t , J., 1952, Ap. J „ 115, 206.
W i l s o n , T. L . , A 1 te n h o f f, W., 1969, A p. Letters, 5, 47. Z u c k e r m a n , B., P a l m e r , P. , 1969, A s t r . and A p . , 4, 244.
PO ST H T Y A STRONOM II Tom X X (1972), Zeszyt 3 K O S M O L O G IA R O R E R T S O N A - W A L K E R A A K O S M O L O G IA F R IE D M A N N A M I C H A Ł * H E L L E R
KOCMOJIOrMfl
R O B E B T S O N ’ A-WALKER’ A MKOCMOJIOrMfl
F R IE D M A N N ’A M. T e j i j i e p C o A e p * a H M eB CTaTbe, npeflCTaB^eHo, c MCTopvmecKoft tohkm 3peHMH h no cywecTBy Bonpoca, pa3JiMMMe Me*Ay KOCMOJiorweił R obertson’a-Walker’a m KOCMojiorneii Friedm ann’a. IlOfl KOCMOJlorwiecKoii MOflejibiO Robertson’ a-Walker’a pa3yMeeTCH naacfloe npocTpaHcrao- BpeMa, KOTopoe mojkho pa3jio>KMTb Ha yHHBepcajibHoe KOCMHqecKoe BpeMa u Ha 3-pa3MepHbie npocTpaHCTBa t = const., opToroHajib- Hbie OTHOCMTejIbHO JIMHMM Bp6M6HH, C H6K0T0pblMM yCJIOBMHMH OTHOCMTejIbHO ABH)KeHMH BeuiecTBeHHbix nacTHU w 4>otohob. T e M3 MOAejieft Robertson’a- -Walker’a KOTopbie npeflCTaBJiflioT co6oio peuieHHH ypasHeHMii rpaBMTauMOHHoro nojia o6meft TeopMM oTHocMTejibHocTM, npHMMCTeHbi k KOCMOJiorwM Friedm ann’a . /JaHa KJiaccm|)MKauHfl KOGMOJiorHqecKHX MOflejieft Robertson’a-Walker’a no flO- nycKaeMbiM mmm r p y n n a M H30MeTpwi. B stom KJiaccHc|)MKauMM b qacTHocTH npMBefleHbi: KocMojiorMa M ilne’a ( pejiHTMBHCTCKaa KMHeMaTHKa) m KOCMOJiorna Bondi-Gold’a m H oyle’a (steady-state). Moflejiw, HBMioiiiHecfl peuieHHHMM ypa- BHeHHH rpaBMTauHOHHoro nojia oórneii TeopMM OTHocMTejibHOCTM u oTJumaio- uiMecfl cwMMeTpuHMH CBS3aHHbiMM c MeHee neM 6- napaMeTpMqecKOfi rpynnoił H30MeTpMM, Ha3BaHbl He- (JjpilHflMaHHOBCKMMM MOflejIHMM.
ROBERTSON-W ALKER COSM OLOGY AND FR IED M A N N CO SM OLOGY
A b s t r a c t
In this article one introduces a differentiation between the Robertson- -Walker and Friedmann cosm ologies, basing on arguments pertaining both to the
242 •M. H e l l e r
essence as well as to the history of the problem. By the Robertson-Walker cosmological model one understands any space-time continuum that can be unfold into a universal cosmic time and 3-dimensional spaces t = const, orthogonal to the time-lines, supplemented with some additional conditions as to the motion of particles and photons. One includes into the Friedmann cosmology those of the Robertson-Walker models that represent solutions of the gravitational field equations of General Relativity. A classification of the R-W cosmological models is given, according to the possible isometry groups. This classification includes as special cases: Milne’s cosmology (relativistic kinetics) and the cosmology by Bondi-Gold and Hoyle (steady-state). Models representing solu tions of the field equations in General Relativity and possessing symmetries connected with the isometry groups of less than 6 parametres are called non- -friedmannian.
1. WPROWADZENIE
Na stylu uprawiania kosmologii — bardziej niż to ma miejsce w«innych dziedzinach nauk ścisłych — mogą zaciążyć osolfiste upodobania twórcy. Uwaga ta odnosi się zwłaszcza do pierwszych dziesiątków lat rozwoju kosmologii (lata międzywojenne), kiedy to, poza efektem rozszerzania się Wszechświata, dysponowano tylko nadzieją na uzyskanie obserwacyjnych danych świadczących 0 ewolucji i strukturze Kosmosu w dużej skali. Po powstaniu ogólnej teorii względności wydawało się, że jest to jedyna teoria fizyczna nadająca się do kosmologicznych uogólnień. Jak wiadomo, mechanika klasyczna stosowana do Wszechświata jako całos'ci dawała paradoksalne wyniki (paradoksy Olbersa 1 Seeligera). W 1934 r. narodził się pierwszy podręcznik kosmologii relaty wistycznej: Richarda Chace T o l m a n a Relativity, Thermodynamics and C osmology (Oxford, At the Clarendon Press). Autor ten znany jest przede wszy stkim ze swoich pionierskich prac z zakresu termodynamiki relatywistycznej. Styl wykładu T o l m a n a zaciążył na następnych opracowaniach (zarówno arty kułach przeglądowych, jak i podręcznikach) kosmologii. Zresztą był to tylko naturalny dalszy ciąg tradycji zapoczątkowanej przez E i n s t e i n a , de Si t - t e r a , F r i e d m a n n a , L e m a i t r e ’ a.
W latach międzywojennych prawie wyłącznie zajmowano się badaniem mode li jednorodnych i izotropowych. Dziś tę klasę modeli nazywa się zamiennie bądź modelami Friedmanna (któremu kosmologia zawdzięcza niestatyczne, jednorodne i izotropowe rozwiązania równań pola ( F r e i d m a n n 1922, 1924)), bądz mode lami Robertsona-Walkera (którzy, niezależnie od siebie, podali ogólną postać metryki dla modeli jednorodnych i izotropowych, czyli spełniających zasadę kosmologiczną ( R o b e r t s o n 1935; Wa l k e r 1936)). Kryje się w tym pewna historyczna nieścisłość.
Kosmologia Robertsona-Walkera. 243
W 1934 r. Mc C r e a i M i l n e (Mc C r e a , M i l n e 1934) pokazali, że w oparciu o mechanikę klasyczną, wzbogaconą o kilka założeń przyjętych przez analogię z teorią względności można zbudować? spójną teorię kosmologiczną (kosmologia neonewtonowska). Rok potem M i l n e ( M i l n e 1935) stworzył jeszcze jedną kosmologię naw iązującą do szczególnej teorii względności bez odwoływania się do einsteinowskiej teorii grawitacji. Stało się jasnym, że ogól na teoria względności nie jest jedynym możliwym punktem wyjścia do zastoso wań kosmologicznych.
Howard Percy R o b e r t s o n od początku reprezentował swoisty, odmienny od tolmanowskiego, styl uprawiania kosmologii. Sądził on, że model kosmolo giczny należy budować w oparciu o możliwie najm niejszą liczbę założeń, a więc tak długo jak to się tylko da nie powinno się korzystać z równań dynamicznych ogólnej teorii względności. W terminologii R o b e r t s o n a modelem kosmolo gicznym jest każda geometria z wyróżnionym uniwersalnym czasem kosmicznym
t i 3-wymiarowymi przestrzeniami t = const, o stałej krzywiźnie:
ds2 = c 2dt2 - R 2(t)da2 (1)
(gdzie d a 2 jest metryką przestrzeni t ~ const.) wraz z następującymi założenia mi określającymi ruch w modelu:
a) geodezyjne, wzdłuż których ds określa przedział czasu kosmicznego są liniam i świata (historiami) cząstek fundamentalnych,
b) zerowe linie geodezyjne, ds = 0 , s ą liniam i świata (historiami) fotonów. l a k określona klasa modeli kosmologicznych obejmuje jako swoje pod-klasy : model Milne’a i inne rozwijane przez R o b e r t s o n a modele zbudowane wyłącznie w oparciu o szczególną, teorię względności, friedmannowskie modele relatywistyczne (będące rozwiązaniami równań pola ogólnej teorii względności), a nawet — w pewnym s'ciśle określonym sensie — modele neonewtonowskie.
W 1968 r. ukazała się pośmiertnie książka R o b e r t s o n a i N o o n a n a pt.
Relativity and Cosmology (Saunders Company, Philadelphia, London, Toronto).
Powstała ona z notatek pozostawionych przez R o b e r t s o n a a opracowanych przez jego ostatniego doktoranta N o o n a n a . W ten sposób robertsonowski styl uprawiania kosmologii doczekał się swojego podręcznikowego opracowania.
W dalszym ciągu — kierując się racjami zarówno natury historycznej, jak i merytorycznej — będziemy rozróżniać kosmologię Robertsona-Walkera: modele z jednorodną i izotropową metryką przestrzenną (spełniające zasadę kosmolo giczną) oraz kosmologię Friedmanna: te spośród modeli Robertsona-Walkera, które są rozwiązaniami równań pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności.
Zasada kosmologiczna narzuca modelom Wszechświata pewne, ściśle okreś lone, symetrie w rozkładzie mas, a co za tym idzie symetrie w geometrycznej strukturze czasoprzestrzeni (por. H e l l e r 1971). Różne modele w różnym stop niu podporządkowują się temu reżimowi. Dlatego w „porządkowaniu” modeli wy godnie posłużyć się kryterium symetrii.
244 M. H e l l e r
2 . SYMETRIE P R Z E S T R Z E N I I METRYKA KOSMOLOGICZNA
Niech b ędą d ane dwie p rz e s tr z e n ie : M i /V. Dokonajmy odwzorowąnia p rze strz e n i M na p rzestrzeli N: M -» N takiego, że każdy punkt p rz e s trz e n i M od wzorowuje się wzajemnie je d n o z n a c zn ie na pewien punkt p rz e s trz e n i N . T eg o ro d zaju odwzorowanie nazwiemy i z o m o r f i z m e m . Izomorfizm p rz e s trz e n i M
na s ie b ie : M -* M nazywamy a u t o m o r f i z m e m , W dalszym ciągu przedmiotem n a sz y c h zainteresow ali będą automorfizmy.
Zbidr automorfizmdw d o p u szczaln y ch w danej p rz e s trz e n i tworzy grupę ze w zg lęd u na złożenie (iloczyn) automorfizmdw. J e ż e l i po dokonaniu automorfiz- mu żaden punkt p r z e s tr z e n i M nie p o z o sta je niezm ieniony, to mówimy o automor- fizmie t r a n z y t y w n y m i odpowiednio o t r a n z y t y w n e j grupie automorfiz mów. J e ż e l i do wyróżnienia konkretnego automorfizmu spośród zbioru' automor- fizmów sta n o w ią c e g o grupę w y sta rc z y znajomość n parametrów, grupę nazywamy
n - p a r a m e t r y c z n ą grupą automorfizmów. Grupa automorfizmów j e s t c i ą g ł a , j e ż e l i zbiór je j elementów tworzy przestrzeli topologiczną; innymi słowy: w tym samym zbiorze M o k re śla się je d n o c z e śh ie operację mnożenia grupowego i dom k n ię c ia topo lo g iczn eg o , w ten jed n ak sp o só b , że d zia ła n ia grupowe określone w grupie M s ą ciągłe w p r z e s tr z e n i topologicznej M. P o precyzyjne definicje odsyłamy do k s i ą ż k i ( P o n t r i a g i n 1961).
J e ż e l i przestrzerf M j e s t p rz e s tr z e n ią m etry czn ą i autoraorfizm M -» M z a c h o wuje metrykę te j p r z e s tr z e n i niezm ien io n ą, innymi słowy: j e ż e l i przy dokony w aniu automorfizmu o d le g ło ś ć między dowolnymi dwoma punktami p rz e s trz e n i M
p o z o s ta je ta k a sam a, to automorfizm t e n nazywamy automorfizmem m e t r y c z n y m l ub i z o m e t r y c z n y m p r z e k s z t a ł c e n i e m p rz e s trz e n i M na s i e b ie ; będziemy także mówić po prostu o p rz e k s z ta łc e n iu izometrycznym lub izometrii. Z b ió r w s z y s tk ic h p r z e k s z ta łc e ń izometrycznych danej p r z e s tr z e n i na s ie b ie tworzy g rupę, tzw. grupę a u t o m o r f i z m ó w m e t r y c z n y c h c z y li grupę i z o m e t r i i . W dalszym ciągu będziemy r o z w a ż a ć tylko c i ą g ł ą grupę p r z e k s z ta łc e ń izometrycznych (przez żądanie c ią g ło ś c i wykluczamy z grupy izometrii odbicia).
Gdy mówimy, że j a k a ś p r z e s trz e ń j e s t sym etryczna, to mamy na myśli fakt, że możemy dokonać pewnego p r z e k s z ta łc e n ia tej p rz e s trz e n i na s i e b i e , zwanego o p e ra c ją sym etrii. Operacje symetrii n a le ż ą do klasy p rz e k s z ta łc e ń izom etrycz nych i odwrotnie — każdemu p r z e k s z ta łc e n iu izometrycznemu odpowiada ja k a ś sy m e tria . Im w ięcej automorfizmów m etrycznych d o p u sz c z a dana p rz e s trz e ń , tym w i ę k s z ą s y m e trią się o d z n a c z a . W s z c z e g ó ln o ś c i, gdy p rz e strz e ń je s t c a ł kowicie pozbawiona sym etrii, możliwe j e s t tylko jedno izometryczne p rz e k s z t a ł c e n i e tej p rz e s trz e n i na s i e b ie , a mianowicie p r z e k s z ta łc e n ie to ż s a m o ś cio w e.
I s tn ie je maksymalna ilo ś ć automorfizmów metrycznych możliwych w danej p r z e s t r z e n i . W ra-wymiarowej p rz e s trz e n i może i s tn ie ć najwyżej ( 1 /2)n(n + 1) _ param etryczna grupa automorfizmów m etrycznych. J e ż e l i ja k a ś p rz e s trz e ń
do-K osm o lo g ia R o b e r ts o n a - W a l k e r a .
245
p u s z c z a dokładnie ( 1 / 2 )n(n + 1) — parametryczną, grupę automorfizmów m etrycz n y c h , to mówimy, że is tn ie je w niej m a k s y m a l n a grupa izom etrii. W danej p r z e s t r z e n i is tn ie je maksymalna grupa izometrii w tedy i tylko w ted y , gdy:
^ ijkl = a (&ilę&jl ~ &il Sjk )* (2) gdzie a = R /[n(n — 1)] j e s t tz w . s t a j ą krzyw izny. Stalowe a wynika w prost z to ż s a m o ś c i B ian ch i. Symetrie z w ią z a n e z m aksym alną grupą izometrii n a z y wamy j e d n o r o d n o ś c i ą i i z o t r o p o w o ś c i ą p r z e s tr z e n i.
P o n ie w a ż p rzestrzeli rob ertso n o w sk ieg o modelu kosm ologicznego ma być jednorodna i izotropowa (ma s p e łn ia ć z a s a d ę k o sm ologiczną), musi to być p r z e s tr z e ń o s t a ł e j krzy w iźn ie. P o s t u l a t y symetrii w y n ik ające z z a s a d y k o s mologicznej z o s t a ł y o b s z e rn ie przed y sk u to w an e w pracy H e l l e r a (1971). 3-wymiarową p r z e s trz e ń o s ta łe j krzywiznie można Zrealizow ać na pow ierz chni 4-wymiarowej h ip erk u li. Z a b ie g ten (por. L a n d a u , L i f s z i c 1958) pro w adzi do metryki:
da* = U * 1)’ + + (dx1)2 (3)
{ l
+ ^ [(* 1)2
+ (x2)J + (**)*]}* ’gdzie k j e s t s t a ł ą krzywizny 3-wymiarowych p r z e s tr z e n i t = c o n st, i może się rcfwnać: 0 , ±1. Metrykę (3) przyjęło s ię nazyw ać metryką R obertsona-W alkera, c h o c ia ż sam R o b e r t s o n p osługuje s ię na z w ą metryka kosm ologiczna. Waru ne k konieczny i w y s ta rc z a ją c y s t a ł o ś c i krzywizny (2) dla p r z e s tr z e n i z metryką (1) — (3) można doprowadzić do p o s ta c i:
R = - K R , (4 a)
R 2 + h + K R 2 = 0,
gdzie K j e s t s t a ł ą krzywizny 4-wymiarowej c z a s o p r z e s trz e n i z metryką (1) — (3) i także może s ię rów nać: 0 , +1. Równania (4) otrzymujemy, w y lic z a ją c z me tryki (1) — (3) nie zn ik a ją c e składow e te n so ra m etrycznego g ,•£ oraz te n so ra krzywizny Reimanna i p o d sta w ia ją c je do wzoru (2), przy czym: a / R 2 = K (w y liczen ia por. R o b e r t s o n , N o o n a n 1968).
Równanie (4b) można u w a ż a ć za odpowiednik równania Friedm anna dla kosmologii Robertsona-W alkera. J e s t to równanie różniczkow e o k re ś la ją c e z m ie n n o ś ć «(*)•
W 4-wymiarowej c z a s o p r z e s trz e n i m aksym alną grupą izomterii j e s t grupa 10param etryczna. Symetriami odpowiadającymi tej grupie o d z n a c z ają się c z a s o
-246
M. Hellerprzestrzenie o s ta łe j krzyw iźnie K . Z drugiej strony zasada kosm ologiczna do puszcza nie mniej n iż 6-parametryczną grupę symetrii: 3-wymiarowa przestrzeń
t = const, sp e łn ia ją c a zasadę kosm ologiczną musi być przynajm niej jednorodna
i izotropowa (sta ło ść krzywizny przestrzennej k: 6 parametrów). Innymi słowy: bogactwo modeli w kosm ologii Robertsona-Walkera zamyka się w symetriach opisywanych przez od 6- do 10-parametryczne grupy izom etrii.
3 . M O D E LE Z MAKSYMALNĄ SYM ETRIĄ
W szystkie możliwe przypadki, jakie p ow stają w z a le żn o ś c i od krzywizny czasoprzestrzeni K i krzywizny przestrzeni k, są zestaw ione w tab. 1, przy czym wprowadzono oznaczenie: gdy K * 0, to |K| = b~2. P rzypadki odpow iada jące polom przekreślonym s ą w ykluczone przez równanie (4b) (R nie może być ujem ne).
T a b e l a 1
Modele z maksymalną grupą symetrii
K - - 1 O II
*
K = +11
R (ł) = b s in h ^ / b ) R(t) t/?(£) =
b s in h(V
b)
II Model Lanczosa 2 Model M ilne’a(L2)
<MD
o
R (t)
~
e V f> R(t)=
const. Model de Sittera Model szczególnejCS) teorii w zględności
+
R(t)=
b cos/i( £^& )
II Model Lanczosa 1 (L,)
Można udowodnić tw ierdzenie ( R o b e r t s o n , N o o n a n 1968), że każde dwie przestrzenie o tej samej stałe j krzyw iźnie K da się przetransformować (przynajm niej lok alnie) w zajem nie na sie b ie . D latego też modele um ieszczone w tych samych kolum nach w tab. 1 ró ż n ią się tylko odmiennym sposobem wpr<n w adzenia do nich w ią z k i geodetyk. T ak np. obydwa modede L anczosa przecho dzą w św iat de Sittera przez dokonanie transform acji: