Sterowanie do punktu

W ostatnich latach XX wieku rozpoczeÃly si_, e bardzo intensywne poszukiwania_, algorytm´ow sterowania dla ukÃlad´ow mechanicznych z ograniczeniami nieholo-nomicznymi, do kt´orych nale˙za r´ownie˙z nieholonomiczne manipulatory mobilne._, Jednym z najtrudniejszych zada´n stawianych ukÃladom nieholonomicznym okazaÃlo sie sterowanie do punktu zapewniaj_, ace osi_, agni_, ecie przez ukÃlad zadanej staÃlej kon-_, figuracji.

Problemy pojawiajace si_, e przy pr´obach znalezienia takiego sterowania znalazÃly_, wytÃlumaczenie dzieki przeÃlomowemu wynikowi podanemu przez Brocketta [5]._, Twierdzenie 2 (Brockett). Rozwa˙zmy ukÃlad sterowania opisany r´ownaniem

˙x = f (x, u), f (0, 0) = 0,

gdzie x ∈ Rn, za´s u ∈ Rm. Warunkiem koniecznym na to, aby istniaÃlo stabi-lizujace statyczne sprz_, e˙zenie zwrotne u = u(x) klasy C_, ∞jest, ˙zeby przeksztaÃlcenie

(x, u) −→ f (x, u) Rⁿ× R^m−→ Rⁿ byÃlo typu ,,na” pewien otwarty podzbi´or Rn zawierajacy 0._,

Konsekwencje twierdzenia Brocketta dla sterowania ukÃladami nieholonomiczny-mi sa daleko id_, ace, gdy˙z okazaÃlo si_, e, ˙ze kinematyka ukÃlad´ow w peÃlni nieholo-_, nomicznych, mimo sterowalno´sci, nie jest stabilizowalna przez gÃladkie sprze˙zenie_, zwrotne zale˙zne od stanu. Warunek Brocketta okazaÃl sie r´ownie˙z konieczny dla_, stabilizacji poprzez sprze˙zenie zwrotne zale˙zne od stanu u(x) ∈ C_, ¹, co pokazaÃla praca Sontaga [82].

4.2. Sterownik kinematyczny 45 Pierwsze pr´oby rozwiazania problemu stabilizacji w punkcie ukÃlad´ow z ogra-_, niczeniami niecaÃlkowalnymi polegaÃly na poszukiwaniu gÃladkiego sterowania za-le˙znego od czasu dla wybranych klas ukÃlad´ow nieholonomicznych. I tak, dla koÃlowych platform mobilnych z ograniczona mobilno´sci_, a (monocykl i samoch´od_, kinematyczny) rozwiazanie podaÃl Samson [75], [77]. Prace Samsona staÃly si_, e in-_, spiracja do poszukiwania og´olnej metody projektowania sterowania stabilizuj_, acego_, dla szerszej klasy ukÃlad´ow nieholonomicznych, co zostaÃlo przedstawione w pra-cach Corona i Pometa [13], [14], [72]. Jednak gÃladkie sterowanie zale˙zne w spos´ob jawny od czasu nie cechuje sie szybk_, a zbie˙zno´sci_, a [27]. To staÃlo si_, e przyczyn_, a_, poszukiwania alternatywnych sposob´ow stabilizacji ukÃlad´ow nieholonomicznych. Inna mo˙zliwo´sci_, a speÃlnienia warunku koniecznego podanego przez Brocketta_, jest zastosowanie sterowania nieciagÃlego [1], [9], [60], kt´ore cechuje szybka zbie˙z-_, no´s´c, na og´oÃl eksponencjalna, lub kombinacja obu prezentowanych podej´s´c [61], [62] – niegÃladkie sterowanie zale˙zne od czasu.

Sterowanie poprzez sprze˙zenie zwrotne jest najlepszym rozwi_, azaniem w prak-_, tyce, gdy˙z cechuje sie du˙z_, a odporno´sci_, a na zakÃl´ocenia, a ponadto umo˙zliwia wyko-_, rzystanie bie˙zacych pomiar´ow zmiennych stanu do cel´ow regulacji. W literaturze_, pojawiÃlo sie r´ownie˙z inne podej´scie, polegaj_, ace na sterowaniu w p_, etli otwartej_, [56], [66], [68], [88], [89], kt´ore zapewnia doj´scie ukÃladu nieholonomicznego do zadanej konfiguracji w sko´nczonym horyzoncie czasowym T . Niestety, sterowanie takie ma wady sterowania w petli otwartej, czyli jest nieodporne na jakiekolwiek_, zakÃl´ocenia i nie zale˙zy od bie˙zacego stanu ukÃladu nieholonomicznego. Jest ono_, przydatne przede wszystkim do planowania ruchu takiego ukÃladu.

4.2.2. ^´Sledzenie trajektorii

Innym zadaniem, kt´ore mo˙ze by´c realizowane przez podsystemy manipulatora mobilnego, jest asymptotyczna stabilizacja do zadanej trajektorii. Takie zadanie w teorii sterowania robot´ow jest nazywane ´sledzeniem trajektorii. W przypadku koÃlowych platform mobilnych klasy (2, 0) rozwiazanie gwarantuj_, ace ´sledzenie tra-_, jektorii zostaÃlo przedstawione w pracach [34], [79]. Nastepne lata przyniosÃly_, pr´oby poprawienia uzyskanych wynik´ow poprzez osÃlabienie przyjetych zaÃlo˙ze´_, n [7], [32] lub poprzez rozszerzenie klas system´ow, dla kt´orych podobne rozwiazania_, obowiazuj_, a [90], [40]. W celu zapewnienia asymptotycznego ´sledzenia, wspomnia-_, ne sterowniki wymagaÃly zazwyczaj, aby zadana trajektoria cechowaÃla sie okre´slo-_, nymi wÃla´sciwo´sciami, nazywanymi w literaturze warunkiem trwaÃlego wzbudzenia [80]. Warunek taki byÃl odmiennie definiowany w r´o˙znych pracach, jednak gene-ralnie zawsze wykluczaÃl ´sledzenie trajektorii staÃlej (czyli stabilizacje do punktu)._, Wszystkie wspomniane sterowniki zale˙za od czasu w spos´ob po´sredni, poprzez_, zale˙zno´s´c od ´sledzonej trajektorii.

Istnieje kilka innych podej´s´c pr´obujacych potraktowa´c w jednolity spos´ob_, zar´owno stabilizacje do punktu, jak i ´sledzenie trajektorii. Jedn_, a z metod mo˙zna_, znale´z´c w pracach Jianga i Nijmeijera [21], [31], w kt´orych sterowanie jest funkcja_, zale˙zna od czasu. W´sr´od technik u˙zywaj_, acych sterowania zale˙znego od czasu do_, r´ownoczesnego rozwiazywania obu zada´_, n (stabilizacji i ´sledzenia) nale˙zy wymieni´c prace Dixona i Dawsona [20], kt´orzy operuja poj_, eciem oscylatora dynamicznego,_, jak i wyniki uzyskane przez Samsona i Morina [64] za pomoca tzw. funkcji_,

transwersalnych bed_, acych uog´olnieniem oscylatora dynamicznego, co pokazali_, KozÃlowski i Pazderski [37]. Nale˙zy jednak˙ze wspomnie´c, ˙ze zar´owno metoda funkcji transwersalnych, jak i metoda oscylatora dynamicznego dla przypadku braku zaÃlo˙ze´n co do ´sledzonej trajektorii, zapewniaja zbie˙zno´s´c bÃl_, edu ´sledzenia_, do pewnej kuli w otoczeniu 0, kt´orej promie´n jest okre´slany przed przystapieniem_, do regulacji.

W dziedzinie ´sledzenia trajektorii dla ukÃlad´ow nieholonomicznych istnieje twierdzenie, kt´ore speÃlnia podobna funkcj_, e, jak twierdzenie Brocketta dla sta-_, bilizacji w punkcie. Twierdzenie to zostaÃlo podane przez Liz´arrage [42]._,

Twierdzenie 3 (Liz´arraga). Rozwa˙zmy ukÃlad sterowania

˙x = f (x, u), (4.12)

gdzie x ∈ Rn, u ∈ Rm, 1 < m < n. Niech U bedzie zbiorem kawaÃlkami ci_, agÃlych_, funkcji zale˙znych od czasu, zdefiniowanych na pewnym otwartym podzbiorze U ⊂ Rm zawierajacym punkt 0. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze E_{, 1}^LE₂ jest dekompozycja R_, m, kt´ora speÃlnia nastepuj_, acy warunek: w przestrzeni stanu istniej_, a pewne rozmaito´sci_, S₁, S₂⊂ Rn, takie ˙ze dla i = 1, 2 zachodzi

(i) S_i jest niezmiennicze ze wzgledu na ˆ_, B_i(·),

gdzie B_i = {f (·, u) ∈ £ : u ∈ U ∩ E_i}, £ jest algebra Liego gÃladkich p´ol_, wektorowych, za´s ˆB_i(p) = span_R{X(p) : X ∈ B_i},

(ii) dim( ˆB_i(·)) jest staÃly na S_i, (iii) istnieje punkt p ∈ S₁∩ S₂, taki ˙ze

ˆ

B₁(p) + ˆB₂(p) = ˆB₁(p) ⊕ ˆB₂(p), (4.13)

ˆ

B₁(p) + ˆB₂(p) ⊂ T_pS₁+ T_pS₂. (4.14)

W´owczas nie istnieje ciagÃle sprz_, e˙zenie zwrotne zale˙zne od czasu, kt´ore zapewni_, zbie˙zno´s´c trajektorii x do ka˙zdej trajektorii dopuszczalnej, uzyskanej za pomoca_, sterowa´n nale˙zacych do klasy U._,

4.2. Sterownik kinematyczny 47 Z podanego twierdzenia mo˙zna wyciagn_, a´c praktyczne wskaz´owki odno´snie_, do mo˙zliwo´sci znalezienia ciagÃlego prawa sterowania zale˙znego od stanu lub od_, czasu, kt´ore zapewniÃloby ´sledzenie zadanej trajektorii. Zauwa˙zmy, ˙ze warunek 0 ∈ U pozwala na Ãlaczne potraktowanie stabilizacji do punktu i ´sledzenia trajek-_, torii. Ponadto inny wyb´or zbioru U (np. sterowa´n nieciagÃlych) spowoduje, ˙ze_, twierdzenie 3 nie bedzie obowi_, azywa´c i uda si_, e uzyska´c odpowiednie sterowanie_, stabilizujace system do zadanej trajektorii. Z drugiej strony jednak twierdze-_, nie Liz´arragi pokazuje, ˙ze dla system´ow nieholonomicznych, dla kt´orych zadane trajektorie dopuszczalne nie sa trwale wzbudzane_, 1, nie mo˙zna uzyska´c sterowa-nia kawaÃlkami ciagÃlego, zapewniaj_, acego ´sledzenie trajektorii nawet wtedy, gdy_, sterowanie jest zale˙zne od czasu.

Rozwa˙zajac istniej_, ace algorytmy sterowania, zapewniaj_, ace ´sledzenie trajek-_, torii, nie mo˙zna pomina´c metod pochodz_, acych z teorii linearyzacji. Pierwsze_, pr´oby linearyzacji nieholonomicznych platform mobilnych za pomoca statycznego_, sprze˙zenia zwrotnego przyniosÃly tylko cz_, e´sciowy sukces [43]. OkazaÃlo si_, e, ˙ze tylko_, klasa (3, 0) koÃlowych platform mobilnych mo˙ze by´c caÃlkowicie zlinearyzowana za pomoca statycznego sprz_, e˙zenia zwrotnego, natomiast pozostaÃle klasy wymienio-_, ne w tabeli 2.1, czyli klasy nieholonomiczne, moga by´c zlinearyzowane jedynie_, cze´sciowo, przy czym orientacja platformy nie wchodzi do zmiennych zlineary-_, zowanych dla ˙zadnej z klas (patrz rozdziaÃl 3.4). W zwiazku z niemo˙zno´sci_, a_, przeprowadzenia caÃlkowitej statycznej linearyzacji przestrzeni stanu koÃlowych robot´ow mobilnych (platform mobilnych) z ograniczona mobilno´sci_, a, podj_, eto pr´o-_, by zlinearyzowania ukÃlad´ow nieholonomicznych za pomoca dynamicznego sprz_, e-_, ˙zenia zwrotnego. Wyniki uzyskane w [10], [11], [19] pokazaÃly, ˙ze caÃlkowita linearyzacja przestrzeni stanu dla nieholonomicznych koÃlowych robot´ow mobil-nych jest mo˙zliwa do osiagni_, ecia za pomoc_, a dynamicznego sprz_, e˙zenia zwrotnego._, UkÃlady w peÃlni linearyzowalne przez dynamiczne sprze˙zenie zwrotne nosz_, a nazw_, e_,

r´o˙zniczkowo pÃlaskich2. Pojecie ukÃladu r´o˙zniczkowo pÃlaskiego zostaÃlo wprowadzo-_, ne przez Fliessa i wsp´oÃlpracownik´ow [24] jako wa˙zna wÃlasno´s´c strukturalna nieli-niowych ukÃlad´ow sterowania, kt´ora pozwala na przykÃlad na rozwiazanie problemu_, ´sledzenia trajektorii, ´scie˙zki itp.

4.2.3. ^´Sledzenie ´scie˙zki

Do otrzymywania r´owna´n ruchu koÃlowej platformy mobilnej w przestrzeni za-daniowej wyra˙zonych wzgledem zadanej krzywej P (zale˙znej od odlegÃlo´sci krzy-_,

1W literaturze takie trajektorie sa nazywane persistently exciting._,

woliniowej od ustalonego punktu), kt´ora ukÃlad ma ´sledzi´c [51], wykorzystuje si_, e_, tzw. wsp´oÃlrzedne Freneta. PrzykÃladowa platforma mobilna, poruszaj_, aca si_, e po_, pÃlaskiej powierzchni, wraz z zadana ´scie˙zk_, a zostaÃla pokazana na rys. 4.1._,

r X₀ 0 Y x_n r2 θ 2

M

M’

P

Rys. 4.1. Ilustracja problemu ´sledzenia ´scie˙zki dla platformy mobilnej Fig. 4.1. Illustration of the path tracking problem for a mobile platform

Rozwa˙zmy poruszajacy si_, e punkt M i stowarzyszony z nim ukÃlad Freneta_, zdefiniowany na krzywej P przez wektor jednostkowy styczny do krzywej ozna-czony jako ^dr_ds i wektor jednostkowy normalny do krzywej oznaczony symbolem

x_n. Punkt M reprezentuje ´srodek masy platformy mobilnej, natomiast punkt M0 jest rzutem prostokatnym punktu M na ´scie˙zk_, e P . Wsp´oÃlrz_, edne punktu_, M wzgledem ukÃladu Freneta wynosz_, a (0, l), za´s wzgl_, edem nieruchomego ukÃladu_, podstawowego sa r´owne (x, y), przy czym l jest odlegÃlo´sci_, a punktu M od punktu_, M0. UkÃlad Freneta jest obr´ocony wzgledem osi Z_{, 0} ukÃladu podstawowego o kat_,

θ_r(s), a jego odlegÃlo´s´c krzywoliniowa od ustalonego punktu poczatkowego na_, ´scie˙zce jest r´owna s.

Przez ´scie˙zke b_, edziemy rozumieli pÃlask_, a krzyw_, a opisan_, a par_, a wsp´oÃlrz_, ednych_,

4.2. Sterownik kinematyczny 49 Zdefiniujmy nastepnie parametr s, kt´ory jest odlegÃlo´sci_, a mierzon_, a wzdÃlu˙z ´scie˙zki_,

P miedzy pewnym ustalonym punktem krzywej a bie˙z_, acym punktem M_, ⁰

s = Z _t 0 sµ dr₁ dt ¶₂ + µ dr₂ dt ¶₂ dτ = Z _t 0 k ˙r(τ ) k dτ.

U˙zywajac powy˙zszej parametryzacji, mo˙zna krzyw_, a P wyrazi´c we wsp´oÃlrz_, ednych_,

r(s) zamiast dotychczasowych wsp´oÃlrzednych r(t). ´_, Scie˙zka P opisana jest

krzy-wizna c(s)_, c(s) =k ^d ds dr ds ^k=k d²r ds2 k= s_µ d2r₁ ds2 ¶₂ + µ d2r₂ ds2 ¶₂ , (4.15)

kt´ora jest odwrotno´scia promienia okr_, egu stycznego do krzywej w punkcie od-_, legÃlym o s od poczatku ´scie˙zki. Z zale˙zno´sci geometrycznych wiadomo, ˙ze_,

dr₁ ds ^=k dr ds ^{k cos θr,} dr₂ ds ^=k dr ds ^{k sin θr. (4.16)} Poniewa˙z zachodzi dr ds ⁼ dr dt ^· dt ds ⁼ ˙r k ˙r k ^{=⇒ k} dr ds ^{k= 1, (4.17)}

czyli wektor definiujacy kierunek ukÃladu Freneta jest jednocze´snie wektorem jed-_, nostkowym, mamy wiec_, d2r₁ ds2 = − sin θ_r^dθr ds^, d2r₂ ds2 = cos θ_r^dθr ds^.

U˙zywajac powy˙zszych wzor´ow, mo˙zna wyrazi´c krzywizn_, e w postaci_,

c(s) = sµ − sin θ_r^dθr ds ¶₂ + µ cos θ_r^dθr ds ¶₂ =| ^dθr ds ^{| .}

W punkcie M0 zadana orientacja platformy θ_r speÃlnia wiec nast_, epuj_, ace r´ownanie_,

c(s) =| ^dθr ds ^|=| dθ_r dt ^· 1 ˙s ^{| =⇒} dθ_r dt ^{= ±c(s) ˙s. (4.18)}

Znak wyra˙zenia c(s) opisujacego krzywizn_, e ´scie˙zki zale˙zy od tego, jak wektor_, normalny do ´scie˙zki w punkcie s jest skierowany wzgledem krzywej P ._,

Nastepnie nale˙zy wyrazi´c poÃlo˙zenie punktu M nie we wsp´oÃlrz_, ednych kartez-_, ja´nskich (x, y) wzgledem ukÃladu podstawowego X_{, 0}Y₀Z₀, lecz wzgledem zadanej_, ´scie˙zki P . Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze

r₁− x = l sin θ_r, y − r₂= l cos θ_r.

Po zr´o˙zniczkowaniu tych zale˙zno´sci po czasie otrzymujemy

˙r₁− ˙x = ˙lsin θ_r+ l cos θ_r˙θr, ˙y − ˙r₂= ˙lcos θ_r− l sin θ_r˙θr.

Nastepnie nale˙zy powy˙zsze r´ownania przemno˙zy´c przez odpowiednie funkcje try-_, gonometryczne, by otrzyma´c

˙l = ( ˙r₁− ˙x) sin θ_r+ ( ˙y − ˙r₂) cos θ_r,

l ˙θ_r= ( ˙r₁− ˙x) cos θ_r− ( ˙y − ˙r₂) sin θ_r.

Poniewa˙z z r´owna´n (4.16) i (4.17) wynika, ˙ze ˙r₁ = ^dr1 ds ^· ds dt ^{= ˙s cos θr, ˙r2=} dr₂ ds ^· ds dt ^{= ˙s sin θr,}

wiec ostatecznie otrzymujemy nast_, epuj_, ac_, a zale˙zno´s´c pomi_, edzy pr_, edko´sciami pun-_, ktu M wyra˙zonymi we wsp´oÃlrzednych kartezja´_, nskich i krzywoliniowych

˙l = (− sin θr , cos θ_r) à ˙x ˙y ! , ˙s = ^{(cos θr , sin θr)} 1 ∓ c(s)l à ˙x ˙y ! .

Podstawowym problemem podczas parametryzacji krzywoliniowej jest zapewnie-nie odpowiednich wÃla´sciwo´sci ´scie˙zki P (s). Aby punkt M0 istniaÃl i byÃl jednozna-cznie zdefiniowany, musza by´c speÃlnione nast_, epuj_, ace warunki [25], [78]:_,

• Promie´n dowolnego okregu stycznego do krzywej P (s) w dw´och lub wi_, ecej_, punktach musi by´c ograniczony od doÃlu pewna liczb_, a dodatni_, a r_{, min} > 0,

natomiast wnetrze tego okr_, egu nie mo˙ze zawiera´c ˙zadnego punktu nale˙z_, acego_, do tej krzywej.

To zaÃlo˙zenie oznacza w szczeg´olno´sci, ˙ze krzywizna ´scie˙zki c(s) jest nie wieksza ni˙z 1/r_{, min}.

• Przy tym zaÃlo˙zeniu, je˙zeli odlegÃlo´s´c pomiedzy ´scie˙zk_, a P a punktem M jest_, mniejsza ni˙z r_min, to istnieje jedyny punkt na krzywej P oznaczony jako M⁰. Innymi sÃlowy, parametryzacja wzgledem ukÃladu Freneta jest lokalna_, i obowiazuje jedynie w pobli˙zu ´scie˙zki._,

4.3. Sterownik dynamiczny 51