STOSOWANY W RAMACH RFEM

W analizie oporu granicznego, prowadzonej w ramach niniejszego studium, wielkościami przyjętymi jako losowo zmienne są wytrzymałościowe parametry podłoża: spójność oraz kąt tarcia wewnętrznego. Każda z tych wielkości charakteryzowana jest przez dwuwymiarowe stacjonarne pole losowe o wartości średniej μx, odchyleniu standardowym σx oraz strukturze korelacyjnej typu Markowa (patrz. rozdział 3). Ważnym elementem są rozkłady prawdopodobieństwa poszczególnych właściwości. W przypadku stosowania rozkładów absolutnie ciągłych pełną charakteryzację uzyskuje się przez podanie funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Najczęściej wykres gęstości rozkładu ma kształt dzwonowaty (jednomodelowy), co oznacza, że przedziały zmienności koncentrują się wokół pewnej wartości centralnej. Przykładowo w rozkładzie normalnym wartością centralną jest wartość średnia (oczekiwana), podczas gdy w rozkładzie lognormalnym jest to dominanta (moda), czyli wartość „najbardziej prawdopodobna”. Niewątpliwie największą popularnością cieszy się rozkład normalny, co podyktowane jest głównie łatwością prowadzenia obliczeń. Ponadto istnieją efektywne generatory liczb pseudolosowych dla tego rozkładu, co sprzyja symulacjom metodą Monte Carlo. Rozkład lognormalny, skoncentrowany na półprostej dodatniej, bywa w niektórych przypadkach lepszy ze względu na brak wartości ujemnych. W metodzie Monte Carlo jest generowany za pomocą generatorów rozkładu normalnego, poprzez zastosowanie transformacji X=eY

, (gdzie zmienna Y jest opisana rozkładem normalnym) otrzymuje się zmienną

X (z definicji) mającą rozkład lognormalny. Rodzaj rozkładu powinien być adekwatny do własności opisywanego parametru. W przypadku kąta tarcia wewnętrznego, analizowanego dla gruntu naturalnego, istotna jest jego minimalna i maksymalna wartość. W związku z tym niektórzy badacze proponują zastosowanie rozkładu beta (Lumb, 1970),

zmienności. Stosowanie tego rozkładu umożliwia dobór różnorodnych kształtów funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Innym rozkładem o nośniku ograniczonym jest rozkład zaproponowany przez Fentona i Griffithsa dla kąta tarcia wewnętrznego (m.in. Griffiths i Fenton, 2001; Fenton i Griffiths, 2003; Fenton i Griffiths, 2008). Można go uzyskać z rozkładu normalnego poprzez zastosowanie transformacji typu tangens hiperboliczny. Szczegółowa charakterystyka tego rozkładu będzie podana w dalszej części poniższego rozdziału.

Kwintesencją wieloletnich badań różnych badaczy, w dziedzinie probabilistycznego opisu parametrów podłoża, może być tabelaryczne zestawienie wybranych cech gruntu (Puła, 2004), istotnych z punktu widzenia rozpatrywanego zadania, wraz z informacją o rozkładach prawdopodobieństwa oraz współczynnikach zmienności (Tabela 5-1 i Tabela 5-2). W strefie zainteresowań badaczy znalazła się wąska grupa rozkładów, co wyniknęło z konieczności badań na dużej próbie statystycznej oraz braku możliwości określenia rozkładu prawdopodobieństwa na podstawie przyjętego modelu podłoża.

Tabela 5-1 Rozkłady prawdopodobieństwa dla kąta tarcia wewnętrznego lub tangensa kąta tarcia wewnętrznego(za Puła, 2004)

Parametr

podłoża ^{Współczynnik} zmienności ^{Źródło literaturowe}

Rozkład

prawdopodo-bieństwa ^{Źródło literaturowe}

Kąt tarcia wewnętrzneg o w gruntach niespoistych 0.05-0.15 Singh (1972),

Holtz i Krizek (1972), ^{Normalny Lumb (1966)} Schultze (1972,1975), Ingles (1980), Biernatowski (1981), Kulhawy (1992), Cherubini et al. (1993), Meyerhof (1993,1995), Becker (1996). Lognormalny Wu i Kraft (1967) Schultze(1972,1975) Biernatowski(1966a) McAnally (1983) Tangens kąta tarcia wewnętrzneg o w gruntach niespoistych 0.07-0.15

Lumb (1966) Normalny Lumb (1966) Schultze (1972, 1975) Alonso (1976) McAnally (1983) Kulhawy et al. (1991) Lognormalny Schultze(1972,1975) Kąt tarcia wewnętrzneg o w gruntach spoistych 0.1-0.56

Schultze (1972, 1975) Normalny Lumb (1966, 1970) Singh (1972), Beta Lumb (1970) Biernatowski (1981), Kulhawy (1992), Cherubini et al. (1993), Meyerhof (1993,1995), Becker (1996). Lognormalny ^{Biernatowski(1966a,1972)} Wu i Kraft (1967) Tangens kąta tarcia wewnętrzneg o w gruntach spoistych 0.15 Lumb (1966) Normalny Lumb (1966,1970) Beta ^{Lumb (1970)} Oboni i Bourdeau (1983) Lognormalny Biernatowski (1966a) Jednostajny Forster i Weber (1982)

Tabela 5-2 Rozkłady prawdopodobieństwa innych parametrów istotnych dla analizy nośności granicznej podłoża (za Puła, 2004)

Parametr

podłoża ^{Współczynnik} zmienności ^{Źródło literaturowe}

Rozkład

prawdopodo-bieństwa ^{Źródło literaturowe}

Spójność 0.05-0.85

Lumb (1966) Normalny Lumb (1966) Biernatowski (1966)

Fredlund i Dahlaman (1972)

Grolimund i Recordon (1972)

Lognormalny ^{Biernatowski (1966a, 1972)} Wu i Kraft (1967) Schultze (1975) Alonso (1976) Baghery i Magnan(1983) Beta ^{Lumb (1970)} Oboni i Bourdeau (1983) Ingles (1980), Biernatowski (1981), Kulhawy et al. (1992) Cherubini et al. (1993) Meyerhof (1993, 1995) Becker (1996)

Jednostajny Forster i Weber (1982)

Ciężar objętościowy ^0.01-0.16 Corotis et al. (1975) Evangelista et al.(1975) Ingles (1980) Biernatowski (1981) Normalny Evangelista et al. (1975) McAnally (1983) Schultze (1972) Baghery i Magman (1983) Baghery i Magnan(1983) Freudund i Krahn(1983) Kulhawy (1992) Beta Evangelista et al. (1975) Baghery i Magman (1983) Biernatowski (1966b) Cherubini et al. (1993)

Przewłócki (1998) ^{Lognormalny Evangelista et al. (1975)}

5.1. TYPY ROZKŁADÓW ZASTOSOWANE W RFEM

5.1.1. R

W dalszej części pracy przyjmuje się, że pole losowe spójności jest lognormalne. Oznacza to, że jednowymiarowe rozkłady dla tego pola będą rozkładami lognormalnymi. Takie rozkłady zaproponowali twórcy RFEM (Fenton i Griffiths, 2008). Jest to również zgodne z wnioskami z prac, np. Biernatowskiego (1966a, 1972) oraz Wu i Karfta, (1967). Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać:

(5-1)

Jak już wcześniej nadmieniono rozkład lognormalny otrzymuje się z rozkładu normalnego poprzez zastosowanie transformacji typu eksponent. Jeśli przyjmiemy, że X jest zmienną

lognormalnego X albo rozkładem normalnym odpowiadającym rozkładowi lognormalnemu X. Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu lognormalnego prezentuje Rysunek 5-1.

Rysunek 5-1 Wykres gęstości prawdopodobieństwa rozkładu lognormalnego

Parametrami rozkładu lognormalnego X o gęstości danej wzorem (5-1) są μlnx oraz σlnx, będące odpowiednio wartością oczekiwaną oraz wariancją rozkładu normalnego Y=lnX podstawowego względem rozkładu X, czyli:

(5-2) µ_lnX =E

[

]

(5-3) σ_ln²_X =VAR

[

]

Natomiast wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu lognormalnego można obliczyć poprzez całkowanie funkcji X oraz X2 względem gęstości (5-1). W wyniku tego całkowania otrzymuje się:

(5-4)

(5-5)

Odwrotnie parametry rozkładu normalnego (Y=lnX) mogą być określone na podstawie związków:

(5-6)

(5-7) ,

które powstają z rozwiązania równań (5-4) i (5-5) względem niewiadomych σlnX i µlnX. Warto też odnotować następujące wyrażenia pozwalające obliczyć modę, medianę oraz moment statystyczny rzędu k.

(5-8) (5-9)

(5-10)

5.1.2. R

Drugim rozpatrywanym w ramach niniejszego studium polem losowym jest pole kąta tarcia wewnętrznego. Przyjęto (za Griffithsem i Fentonem, 2008), że jednowymiarowe rozkłady tego pola są rozkładami ograniczonymi typu tangens hiperboliczny. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu wyraża się wzorem:

(5-11)

Taka postać funkcji gęstości wynika z faktu, że rozkład ten powstaje poprzez następującą transformację rozkładu normalnego:

(5-12) ,

gdzie G oznacza zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym. Z postaci transformacji wynika, że zmienna losowa X przyjmuje wartości w ograniczonym przedziale (a, b), więc jej rozkład jest adekwatny do modelowania zmienności losowej cech podłoża jakim jest kąt tarcia wewnętrznego. Parametr m jest parametrem położenia.

Przykładowe wykresy funkcji gęstości zmiennej losowej X w zależności od parametru s przedstawia Rysunek 5-2. Przy założeniu m=0 (takie przyjęto w realizowanej pracy) wariancja rozkładu nie zależy od m. Przybliżona zależność pomiędzy odchyleniem standardowym a parametrem s możne być określona poprzez zastosowanie rozwinięcia Taylora. Jak łatwo sprawdzić rozwinięcie pierwszego rzędu prowadzi do wzoru:

(5-13)

Dla dowolnego przedziału ograniczonego przez wartość maksymalną (b) oraz minimalną (a), odchylenie standardowe może przyjmować różne wartości. Wielkość wynikająca z pomiarów jest matematycznie uzależniona od parametru s. Zmieniając powyższy parametr uzyskuje się różne wartość odchylenia i w efekcie różne kształty funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Dobór parametru s jest podyktowany dopasowaniem funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu „ograniczonego” do przewidywanego kształtu dzwonowatego. Dla kąta tarcia wewnętrznego znormalizowanego do przedziału [0,1] funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametru s przedstawia Rysunek 5-2.

Rysunek 5-2 Rozkład ograniczony kąta tarcia wewnętrznego znormalizowany do przedziały [0,1] (Fenton & Griffiths, 2003), dla m=0

Powyższą zmienną losową X można transformować do rozkładu normalnego stosując inwersję równania (5-12) postaci:

(5-14) ,

w której parametry m i s są kolejno wartością średnią i odchyleniem standardowym zmiennej gaussowskiej (m+sG). Oba parametry można estymować na podstawie obserwacji zmiennej X={x1, x2,…, xn}, każdej za pomocą równań:

(5-15)

(5-16) ,

gdzie y_ijest pojedynczą realizacją zmiennej X.

(5-17) .

5.2. KONSTRUKCJE PÓL LOSOWYCH PARAMETRÓW