SPRZYJAJĄCE DOSKONALENIU UMIEJĘTNOŚCI LICZENIA
Prowadząc zajęcia korekcyjno wyrównawcze trzeba zgromadzić przedmioty do licze-nia: kasztany (wysuszone), kamyki, klocki, patyczki, ziarna białej fasoli „Jaś”, nakrętki po wodzie mineralnej, guziki itp. Najlepiej przechowywać je w pojemnikach, w zasięgu ręki.
W każdym pojemniku ma być ich dużo: kilkaset jednorodnych przedmiotów. Potrzebne są także liczydła różnego typu, kostki do gier (w tym liczbowe), domina (kostki z kropkami), karty do gry, karty logiczne, kartoniki z cyframi i znakami działań itp. Ponadto przydadzą się także pakiety edukacyjne z serii Dziecięca matematyka66 oraz Skarbiec matematyczny67. Po-nieważ do kształtowania umiejętności liczenia trzeba bardzo dużo drobnych i jednorodny przedmiotów, dzieci wspólnie z nauczycielem gromadzą pomoce: kasztany, orzechy, patycz-ki, ziarna fasoli, guziki itp. Mają też konstruować liczydła różnego typu np. nawlekając kora-liki na sznurek, wycinając dziurkaczem dziurki w paskach kartonu itp.
Liczenie wszystkiego dookoła. Dla ukształtowania umiejętności liczenia dzieci muszą samodzielnie liczyć obiekty w różnych sytuacjach każdego dnia, po kilka razy. Mają dosko-nalić liczenie przez wiele miesięcy w domu, w przedszkolu, w parku, ... wszędzie. Nie sposób opisać tak mnogich sytuacji, dlatego podaję wskazówki przydatne do wspomagania dzieci w liczeniu. Dorosły ma:
usiąść (stanąć) obok dziecka68 i skupić na sobie jego uwagę. Wyodrębnić spojrzeniem, ruchem ręki oraz słowem obiekty do policzenia w taki na przykład sposób: Tu są
66 Na przykład pakiety opracowane przez E. Gruszczyk-Kolczyńską i E. Zielińską, Dziecięca matema-tyka. Edukacja matematyczna w domu, w przedszkolu i w szkole. Pomoce do zajęć, op. cit. oraz Pakiet pomocy Wspomaganie rozwoju umysłowego czterolatków i pięciolatków (WSiP, Warszawa 2004).
67 E. Gruszczyk-Kolczyńska, M. Skura, Skarbiec matematyczny. Zestaw pomocy przydatnych w eduka-cji matematycznej dzieci „Edukacja wczesnoszkolna” (klasa O i klasy I–III), Wydawnictwo Nowa Era, Warsza-wa 2005. Do tego pakiety został także opracoWarsza-wany Poradnik metodyczny – klasa O i klasy I–III.
68 W nauce liczenia trzeba dbać o to, aby dorosły i dziecko spoglądali i w tę samą stronę. Chodzi o bez-słowne porozumiewanie się odnośnie kierunku wykonywanych czynności i naśladowanie ich .
195 sełka i pokazać je szerokim ruchem ręki. W pierwszym okresie kształtowania umiejęt-ności liczenia obiekty do policzenia mają tworzyć szereg (chodzi o naturalność gestu wskazywania);
spytać Ile ich jest? Jeżeli dziecko odpowie Dużo! (Mało), powiedzieć Może pięć? Mo-że osiem? Ile jest krzesełek? Stwierdzenie Dużo, oznacza Mo-że dziecko szacowało krze-sełka według miejsca, jakie one zajmują, a więc globalnie. Nie jest to zła odpowiedź, ale nie składania do liczenia. Jeżeli dorosły wymieni liczebniki, dzieci zorientują się, że oczekuje się od nich liczenia. I o to chodzi;
zachęcić Policz, proszę. Dzieci zawsze liczą tak, jak potrafią. Dlatego dorosły ma się wstrzymać od poprawiania i krytykowania oraz od innych zachowań wskazujących na to, że nie podoba mu się to, co ono robi. Nie zależnie, od sposobu liczenia, trzeba uznać wysiłek dziecka i stwierdzić Dobrze! Obserwacja, jak dziecko liczy jest wielce pouczająca. Wiadomo bowiem, na co trzeba zwrócić uwagę w dalszym kształtowaniu umiejętności liczenia;
przedstawić dziecku prawidłowy schemat czynności liczenia. Dlatego dorosły propo-nuje Policzymy razem. Następnie nieco, przesadnym gestem, wskazuje liczone obiekty i wymienia liczebniki. Na koniec szerokim gestem pokazuje policzone obiekty i stwier-dza np. Jest osiem krzesełek. Jeżeli dziecko tylko obserwuje, dorosły zachęca Licz ra-zem ze mną i jeszcze raz liczy obiekty (chodzi o naśladowanie);
cichutko podpowiadać liczebniki (dziecko ma je słyszeć). Jest to najlepszy sposób rozszerzania zakresu liczenia i posługiwania się liczebnikami we właściwej kolejno-ści. Nie wolno – podkreślam to mocno – przerywać dziecku liczenia, gdy na przy-kład wymienia na okrągło kilka liczebników w dowolnej kolejności. Taki sposób li-czenia jest naturalny i typowy dla wczesnych poziomów kształtowania się schematu liczenia;
na koniec spytać Ile jest ....? gdy dziecko policzyło obiekty (korzystając z podpowia-dania). Nie trzeba się dziwić, jeżeli ono jeszcze raz zaczyna liczyć. Takie zachowania są także charakterystyczne dla wczesnych poziomów kształtowania się liczenia.
Organizując ćwiczenia w liczeniu dosłownie wszystkiego w otoczeniu dziecka, należy szybko zwiększać liczebność obiektów: na początku ma być ich trochę mniej niż 10, potem trzeba sukcesywnie zwiększać ich liczebność do 20-tu, 30-tu, 40-tu i więcej. Ważne jest, aby zachę-cać dzieci do liczenia w coraz szerszym zakresie.
Ćwiczenia w liczeniu mają być otulane miłymi emocjami, trzeba więc: uśmiechać się, chwalić dziecko, cieszyć się z tego, co ono już umie. Nie należy też oczekiwać – na przykład
– że po tygodniu intensywnych ćwiczeń w liczeniu dziecko ukształtuje w swoim umyśle peł-ny schemat liczenia. Na to trzeba miesięcy, a czasami lat.
Dlatego warto do współpracy wciągnąć rodziców: wyjaśnić im i pokazać, jak mają uczyć dzieci liczenia, codziennie po kilka razy. Według podanych wskazówek.
Ile jest policzonych fasolek? Odróżnianie błędnego liczenia od poprawnego. Spraw-ne liczenie i rozróżnianie błędSpraw-nego liczenia od poprawSpraw-nego jest ważnym wskaźnikiem dojrza-łości do uczenia się matematyki w szkole. Dla ustalenia, które dzieci potrafią już sprawnie liczyć i wskazywać błędy w liczeniu można zorganizować serię krótkich zadań diagnostycz-nych, osobne zadanie dla każdego dziecka.
Dorosły układa w szeregu 16 dużych fasolek, pokazuje je dziecku i proponuje Policz je szybko. Dziecko liczy tak, jak umie a dorosły cichutko podpowiada liczebniki. Po policze-niu dorosły pokazuje fasolki i pyta: Ile jest fasolek? Dziecko ma podać ich liczbę. Na począt-ku drugiego półrocza większość sześciolatków radzi sobie w takiej sytuacji: sprawnie liczy, korzysta z podpowiadanych liczebników i wie, że ostatni z wymienionych liczebników okre-śla także liczbę policzonych obiektów.
Jeżeli dziecko nie wykazuje się takimi kompetencjami, trzeba przeprowadzić pełniej-szą analizę jego rzeczywistych umiejętności liczenia. Radzę wówczas skorzystać z metody przedstawionej w pakiecie filmów Dziecięca matematyka69. Dzieciom, które bardzo słabo liczą, może nie wystarczyć uczestnictwo w zajęciach korekcyjno-wyrównawczych przez okres kilku miesięcy. Jeżeli nie opanują umiejętności liczenia do czerwca, trzeba poważnie rozważyć odroczenie z obowiązku szkolnego.
Seria Można liczyć znikające obiekty. Są to przemijające serie dźwięków (klaśnięcia, tupnięcia, uderzenia w wybrany instrument perkusyjny itp.), przejeżdżające samochody, ob-serwowane ruchy (kroki, wymachy ramion itp.). Dorosły organizuje takie, na przykład serie zadań:
na sygnał dzieci np. klaszczą i liczą usłyszane klaśnięcia. Na koniec dorosły pyta Ile?, dzieci odpowiadają np., Osiem;
dorosły stuka regularnie w bębenek, dzieci liczą. Na pytanie Ile?, odpowiadają np. Je-denaście;
69 Filmy te są na kasetach Video. Pakiet „Dziecięca Matematyka. Diagnozowanie dziecięcych kompe-tencji wraz z interpretacją wyników”, zrealizowanych według koncepcji E. Gruszczyk-Kolczyńskiej, WSiP, Warszawa 1998. Diagnoza umiejętności liczenia jest przedstawiona w filmie Dziecięce liczenie: licznie obiektów i respektowanie umów.
197
dzieci obserwują przejeżdżające samochody i liczą je. Potem stwierdzają np. Dwadzie-ścia dwa;
dzieci liczą wymachy ramion i mówią np. Dwanaście!
W zadaniach z takich serii dzieci mają skupić się na liczeniu i ustalaniu wyniku liczenia, gdyż tego, co liczyły już nie ma.
Seria Ile mamy palców? Liczenie palców, to nie to samo, co liczenie na palcach70. Dzieci siadają koło dorosłego i wspólnie liczą swe palce w następujący sposób:
zamykają oczy i kolejno palcami dotykają swoich policzków: palce lewej dłoni – lewego policzka, palce prawej dłoni-prawego policzka. Na koniec stwierdzają Tu pięć i tu pięć;
ponownie zamykają oczy, dotykają kolejno wszystkimi palcami swoich policzków i ustalają Mam dziesięć palców.
Tak mają liczyć wiele razy. Chodzi o doświadczenie przyporządkowania: jeden palec – jedno dotknięcie – jeden kolejno wypowiadany liczebnik.
Seria Ile przedmiotów jest w pudełku? Te serię zadań dzieci realizują w parach (parą może być także dorosły i dziecko):
jedno dziecko wkłada do zamykanego pudełka po jednym np. kasztanie i głośno liczy je. Zamyka pudełko i stwierdza Tam jest .... kasztanów;
drugie dziecko sprawdza, czy tak jest. Wysypuje kasztany i liczy je. Na koniec po-twierdza Tak, jest... kasztanów.
Jeżeli dzieci posługują się już cyframi – symbolami liczb, można tę serię zadań nieco utrud-nić: dziecko wkładające policzone kasztany zamyka pudełko i kładzie na nim kartonik z licz-bą informującą, ile kasztanów jest w pudełku. Drugie dziecko sprawdza, czy tak jest istotnie.
Ta seria zadań pomaga dzieciom dostrzec, że ostatni wymieniony liczebnik określa także liczbę policzonych obiektów.
Seria Liczenie na chodniczku liczbowym. Do każdego zadania z tej serii potrzebna jest miarka krawiecka71, na której są zaznaczone i ponumerowane płytki o długości 1 cm.
70 Liczenie na palcach i innych zbiorach zastępczych będzie omawiane przy okazji kształtowania umie-jętności dodawania i odejmowania. Jest to bowiem etap pośredni prowadzący do liczenia w pamięci.
71 Jeżeli dzieci liczą na miarce krawieckiej, trzeba zakleić blaszkę (np. przylepcem) na pierwszej i ostatniej płytce i wpisać tak odpowiednio 1, 100 lub 150. Miarki gotowe, przystosowane do tego typu zajęć znajdują się w Skarbcu matematycznym.
Dzieci trzymają miarkę w dłoniach, pokazują kolejne płytki i liczą je głośno. Dorosły także pokazuje płytki i razem z dziećmi liczy głośno.
Ponieważ rozszerza się zakres liczenia, dzieci kolejno milkną, ale dorosły głośno liczy dalej. Chodzi o to, aby dzieci wsłuchały się w brzmienie liczebników. Zauważą wówczas ich podobieństwo (cecha systemu dziesiątkowego) np. .... dwadzieścia jeden, dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy.... trzydzieści jeden, trzydzieści dwa, trzydzieści trzy..., czterdzieści jeden, czterdzieści dwa, czterdzieści trzy... itd.
Dzieci, które to zauważą włączą się i będą razem z dorosłym liczyć dalej. W tej serii ćwiczeń chodzi o to, aby dzieci same dostrzegły organizację dziesiątkowego sytemu liczenia.
Nie trzeba niczego tłumaczyć, lecz organizować dzieciom kilkakrotnie opisane zadanie. Jest jeszcze jedna korzyść z zadań z tej serii – dzięki liczeniu ponumerowanych płytek na taśmie krawieckiej dzieci stosunkowo szybko rozszerzają zakres liczenia.
Seria Licz dalej, licz wspak na miarce krawieckiej. Do każdego zadania z tej serii także jest potrzebna miarka krawiecka (z poprzedniej serii ćwiczeń), na której są zaznaczone i ponumerowane płytki o długości 1 cm. Dzieci trzymają miarkę w dłoniach, pokazują kolejne płytki i liczą je głośno. Dorosły także pokazuje płytki i razem z dziećmi liczy głośno (powtó-rzenie poprzednich zadań). Następnie dorosły organizuje dzieciom taką serię ćwiczeń:
wymienia liczbę np. 16, a dzieci odszukują ją na taśmie. Następnie stwierdza Jest szesnaście, licz dalej.... Dzieci liczą np. do 30-tu;
wymienia liczbę np. 9, dzieci ją odszukują. Mówi Jest dziewięć, będziemy liczyć do tyłu, wspak i razem z dziećmi liczy Osiem, siedem, sześć, pięć, cztery, trzy, dwa, jeden, zero!
Śmieje się, bo na taśmie nie ma zera, ale dzieci orientują się już, że liczba zero istnieje;
wymienia dwie liczby np. 12 i 18, dzieci je odszukują i pokazują na miarce. Dorosły proponuje Liczymy od dwunastu do osiemnastu.
Podobnych ćwiczeń trzeba zorganizować dzieciom wiele, co najmniej kilkanaście.
Seria Licz dalej, licz wspak w innych sytuacjach. W tej serii ćwiczeń dzieci dosko- nalą liczenie. Potrzebne są książeczki z wyraźnie numerowanymi stronami i liczydło 10 + 10 + 10, dla każdego dziecka. Dorosły organizuje dzieciom trzy serie ćwiczeń:
Liczenie dzieci. Dzieci ustawiają się w szeregu i na polecenie Kolejno odlicz! ozna-czają liczbą swoje miejsce w szeregu. Potem dorosły wskazuje kolejno dzieci, a one wszystkie głośno liczą i ustalają Jest nas ... Dorosły proponuje Liczymy wspak, od ostatniego dziecka do pierwszego ... Ponieważ nie jest to łatwe, dorosły wskazuje ko-lejne dzieci i podpowiada liczebniki.
199
Liczenie stron w książce. Dzieci oglądają książeczki (każde swoją) i ustalają: to jest okładka, to strona tytułowa, a to kolejne kartki, które mają numerowane strony. Na-stępnie dzieci odszukują daną stronę (dorosły określa którą) w swojej książce i prze-wracając kartki liczą dalej strony. Potem liczą wspak od wskazanej strony;
Liczenie koralików w liczydle. Dzieci liczą po kolei wszystkie koraliki. Następnie odnajdują np. 21 koralik i liczą dalej pokazując kolejne koraliki. Licząc wspak odszu-kują np. koralik 10-ty i pokazując koraliki liczą Dziewięć, osiem, siedem, sześć, pięć, cztery, trzy, dwa, jeden.
Im więcej podobnych ćwiczeń dzieci zrealizują, tym lepiej.
Seria Numerowane krzesełka. Trzeba ponumerować krzesełka: na oparciach nakleja się samoprzylepne cyfry ( dla wygody ten sam numer warto przykleić na oparciu krzesła z przodu i z tyłu). Oto przykłady zadań z krzesełkami:
dzieci liczą ustawione i ponumerowane krzesełka i ustalają, ile jest ich. Wybierają jedno krzesełko (np. piąte) i liczą wszystkie następne (szóste , siódme, itd.), a potem wszystkie poprzednie (czwarte, trzecie, drugie, pierwsze);
dzieci siadają na krzesełkach ustawionych w szeregu, mają zapamiętać numer swego krzesełka. Wskazane dziecko wstaje i wymienia swoją liczbę, dorosły proponuje dzie-ciom Liczymy dalej... Liczymy wspak.... itd.
Można także ustawić krzesełka w rzędzie i organizować zabawę W pociąg: krzesełka to po-numerowane wagony pociągu. Dzieci siadają, każde w swoim wagonie. Pociąg zatrzymuje się na stacjach, konduktor (dorosły) woła na przykład Wysiadają podróżni z wagonu trzeciego, czwartego, piątego. Dzieci siedzące na krzesełkach z tymi numerami, opuszczają pociąg.
Więcej sytuacji wspomagających dzieci w kształtowaniu umiejętności liczenia, orien-towania się w dziesiątkowym systemie i posługiwaniu się liczebnikami porządkowymi opisa-nych jest w cytowanej już wcześniej publikacji o wspomaganiu rozwoju umysłowego wraz z edukacją matematyczną dzieci w ostatnim roku wychowania przedszkolnego i w pierwszym roku szkolnej edukacji72. Omówione są w niej także problemy wspomagania dzieci w rozu-mieniu dziesiątkowego systemu liczenia i korzystania z dostrzeżonych prawidłowości73.
72 Wspomaganie rozwoju umysłowego oraz edukacja matematyczna dzieci w ostatnim roku wychowania przedszkolnego i w pierwszym roku szkolnej edukacji. Cele i treści kształcenia, podstawy psychologiczne i peda-gogiczne oraz wskazówki do prowadzenia zająć z dziećmi w domu, w przedszkolu i w szkole, op. cit., rozdział 7.
73 Ibidem, rozdziały 13, 14 i 16.
J
AK POMAGAĆ DZIECIOM W USTALANIU,
ILE JEST OBIEKTÓW I WNIOSKOWANIA O RÓWNOLICZNOŚCI ZBIORÓW74Ustalanie równoliczności kojarzy się z aspektem kardynalnym liczby naturalnej, rza-dziej z umiejętnością potrzebną w codziennych sytuacjach, a szkoda. W trakcie szkolnego kształtowania pojęcia liczby naturalnej dzieci muszą umieć ustalić, że dwa zbiory są równo-liczne w następujący sposób:
poprzez przeliczanie elementów jednego zbioru i przeliczanie elementów drugiego zbioru, a potem i porównanie liczebników określających liczebność obu zbiorów;
poprzez ustawienie par po jednym elemencie z każdego porównywanego zbioru, aby na tej podstawie ustalić tu i tu jest tyle samo, tu jest więcej.
W trakcie takiego ustalania równoliczności dzieci muszą sporo liczyć, a także rozumować operacyjnie na poziomie konkretnym w sensie J. Piageta. Rozważmy te dwa zakresy kształ-towanych kompetencji.
JAK PRZEBIEGA PROCES KSZTAŁTOWANIA SIĘ W UMYSŁACH DZIECI PORÓWNYWANIA LICZEBNOŚCI DWÓCH ZBIORÓW
Dla zrozumienia aspektu kardynalnego liczb naturalnych dzieciom potrzebna jest umiejętność porównywania liczebności dwóch i więcej zbiorów. To jest o wiele bardziej skomplikowane niż ustalenie liczebności jednego zbioru. Żeby zrozumieć, o co tu konkretnie chodzi, trzeba cofnąć się do momentu, gdy dziecko licząc przedmioty w zbiorze przestrzega reguły jeden do jednego (jeden gest wskazujący – jeden wypowiadający liczebnik – jeden liczony obiekt).
Liczebniki, które dziecko używa w trakcie takiego liczenia pełnią funkcję zastępczych nazw przedmiotów, słów używanych przy liczeniu: ten jest jeden, ten jest dwa, ten jest trzy itd. Tak używane liczebniki dziecko stopniowo kojarzy z liczebnością. Dlatego nawet cztero-latki licząc obiekty wypowiadają dwa, trzy lub cztery liczebniki w dobrej kolejności (te na-brały już znaczenia liczebnikowego) i dalej wymieniają liczebniki w dowolny sposób.
W miarę gromadzenia doświadczeń w liczeniu dzieci znają i potrafią wymienić coraz więcej liczebników w dobrej kolejności. Rośnie bowiem zakres liczebników, którym dziecko
74 W rozdziale tym korzystam z ustaleń zawartych w publikacji E. Gruszczyk-Kolczyńska , E. Zielińska Zajęcia dydaktyczno-wyrównawcze dla dzieci, które rozpoczną naukę w szkole. Podstawy psychologiczne i pe-dagogiczne oraz zabawy i sytuacje zadaniowe sprzyjające intensywnemu wspomaganiu rozwoju umysłowego i kształtowaniu ważnych umiejętności op. cit., rozdział 2 oraz E. Gruszczyk-Kolczyńska, E. Zielińska Dziecięca matematyka. Książka dla rodziców i nauczycieli, WSiP, Warszawa 2004 (i wydanie z 1997), rozdział 7.