Teoria nieściśliwych cieczy prostych

Spośród różnych koncepcji teoretycznego opisu [33, 39, 64] płynów nie-newtonowskich (nieklasycznych cieczy lepkosprężystych) równaniami konsty-tutywnymi, najbardziej ogólną z poznawczego punktu widzenia, jest teoria ośrodków prostych, a w szczególności teoria nieściśliwych cieczy prostych.

Równania konstytutywne opisujące właściwości płynu, utworzone w ramach tej teorii, można podzielić na modele typu [64]:

– całkowego, – różniczkowego, – szybkościowego, – mieszanego.

Ciecz prosta jest definiowana jako ciecz, dla której aktualny stan napręże-nia jest określony historią gradientu deformacji oraz, którą charakteryzuje moż-liwie maksymalna symetria materialna. W ogólności nieściśliwą ciecz prostą można opisać równaniem konstytutywnym w postaci:

( ) ^{t p} [ ( ) ^s ]

0

s

G

I

S = + Υ

= , (A4.115)

gdzie:

S(t) – tensor naprężenia w chwili t,

Y – funkcjonał konstytutywny, izotropowy,

s – czas o s jednostek przed rozpatrywaną chwilą t,

G(s) – tensorowa historia deformacji będąca dziedziną funkcjonału Y.

Historia tensora deformacji G wyrażona przez tensor deformacji C będzie:

( ) G ( ) C ( ) I

G t - s = s = s −

(A4.116)

Tensor historii deformacji określony powyższą zależnością można przed-stawić w postaci:

[ ^trG

^T

^{( s ) G ( s )} ]

²¹

) s (

G =

. (A4.117)

Jeżeli do zależności powyższej wprowadzi się tzw. funkcję wpływu h(s), określoną w przedziale 0

¡Ü s <

, dla której zachodzi warunek w postaci:

0 ) s ( h s

lim

^r

=

oraz h(0) = 1, (A4.118)

gdzie:

r – wykładnik potęgowy, rząd funkcji monotonicznej, to wyrażenie (A4.117) można przedstawić w postaci normy jako:

2 1 2

0

h

{ [ h ( s ) G ( s ) ] ds } )

s (

G ⁼ ∫

^{∞ . (A4.119)}

Funkcja wpływu h(s) określa szybkość zmniejszania się wpływu poprzed-niego stanu odkształceń. W koncepcji zanikającej pamięci materiału funkcja wpływu związana jest z pojęciem czasu naturalnego lub charakterystycznego.

Warunek z zależności (A4.118) spełnia funkcja wykładnicza w postaci:

h(s) = exp (–

β

s) dla

β

>0. (A4.120) Powyższa postać funkcji wykładniczej określającej funkcję wpływu wyko-rzystana może być do opisu zanikania pamięci lub zjawisk relaksacyjnych w materiałach reologicznych.

Dla nieściśliwych cieczy prostych spełnione powinny być następujące warunki:

G(s) = 0 oraz det [I + G(s)] = 1. (A4.121) Ciecze typu całkowego

Jeżeli w równaniu (A4.115) funkcjonał konstytutywny przedstawić w po-staci sumy całek wielokrotnych zawierających historię deformacji, to otrzymuje się wyrażenie:

( ) ( ) ( ) [

k

]

k

0 k k 0 m

1 k

ds s s ...

p

t ^I ç ç ^G

S = + ϕ

=

, (A4.122)

gdzie:

ϕ

k – wieloliniowe, izotropowe funkcje tensorowe dla poszczególnych historii sk.

Ośrodek (materiał) opisywany tym równaniem nazywany jest nieściśliwą cieczą typu całkowego (Greena–Rivlina) rzędu m. Równanie powyższe można rozwinąć dla dowolnego rzędu n. Przykładowo nieściśliwą ciecz typu całkowe-go rzędu drugiecałkowe-go można opisać następującą zależnością:

( ) t = p + ( ) ( ) ç s s ds +

0

G I

S α

[ ( ) ( ( ) ) ( ) (

2 1 2

) ( ) ( )

1 2

]

1 2 0 0

1 2

1

s tr s s s s s s ds ds

s , G G + γ , G G

β

+ ∫ ∫

^{∞ ∞} , (A4.123)

gdzie:

α, β, γ – współczynniki (funkcje) materiałowe.

Równanie konstytutywne typu całkowego rzędu pierwszego w postaci:

odpowiada tzw. nieściśliwej cieczy prostej rzędu pierwszego.

Znaczącą rolę odgrywa model nieściśliwej cieczy sprężystej Lodge`a w postaci:

( ) ^{t p}

^t

( ) ( ) ^s

¹

^{t dt,}

Model Warda-Jenkinsa zawiera oba tensory deformacji przyjmując postać:

( ) ^{t p}

^t

[ _ç ( ) ( ) ^{s t} ( ) ( ) ^{s t} ] ^dt

Ciecze typu różniczkowego

Jeśli bardzo krótka historia tensora deformacji może opisać własności cie-czy nieliniowej, to (po uwzględnieniu rozwinięcia Taylora przybliżającego historię tensora deformacji w pożądanym stopniu) równanie konstytutywne nie-ściśliwej cieczy przyjmie postać:

( ) ( ) ( ) 

Z równania powyższego dla izotropowej cieczy, niezmienniczej względem układu odniesienia otrzymuje się równanie dla nieściśliwej cieczy typu różnicz-kowego rzędu n (ciecz Rivlina – Ericksena) w postaci:

( )

t pI q

(

A1,...An

)

S = + ; trA₁ =0, (A4.128)

Według Colemana-Nolla odpowiednie wzory dla powolnych przepływów, wyrażające ogólne równanie nieściśliwej cieczy prostej, można zastąpić nastę-pującym równaniem:

gdzie:

l – wieloliniowa funkcja tensorowa zmiennych tensorowych, A – zmienna tensorowa wielkości kinematycznej,

K_a – tensor wielkości kinematycznej.

Ciecz spełniająca powyższe równanie nazywana jest cieczą typu różnicz-kowego stopnia n [64], odpowiadając postaci (A4.128);

dla n = 0, z zależności jw. wynika równanie nieściśliwej cieczy idealnej:

I

S = - p

, (A4.130)

dla n = 1, będzie równanie nieściśliwej cieczy Newtona:

( ) ^{t p} I K

₁

^p I ^l

₁

[ ] A

₁

^p I

₀

A

₁

S = + = + = + η

, (A4.131)

gdzie:

η

0 – stała, lepkość dynamiczna,

A1 – odpowiada tensorowi prędkości deformacji.

Podana postać zależności (A4.131) pozwala na stwierdzenie, że każda nie-ściśliwa ciecz prosta w trakcie dostatecznie powolnego ruchu zachowuje się jak ciecz newtonowska. dla n > 1, np. n = 1 – 4, będzie:

( ) t p I K

1

K

2

K

3

K

4

S = + + + +

, (A4.132)

gdzie:

2 1 2 2 1

2

A A

K = α + α

,

(

_{3 1 1 3}

)

₃

(

₂

)

₁

2 3

3

A A A A A tr A A

K = β + β + + β

,

^{= γ + γ} ( ⁺ ) ^{+ γ + γ} ( ⁺

2

) ⁺

2 1 2 1 2 4 2 2 3 3 1 1 3 2 4 1

4

A A A A A A A A A A

K

+ γ

₅

( ^tr A

₂

) A

₂

+ γ

₆

( ^tr A

₂

) A

₁²

+ [ γ

₇

^tr A

₃

+ γ

₈

^tr ( A

₂

A

₁

) ] A

₁, (A4.133) gdzie:

γ β

α ,, – stałe materiałowe.

Równanie nieściśliwej cieczy różniczkowej stopnia drugiego w postaci od-powiadającej zależności (A4.129) przyjmuje formę:

( ) ^{t p} I

₀

A

_{1 1}

A

_{2 2}

A

₁²

S = + η + α + α

; tr

A

₁

= 0

, (A4.134) lub

( )

t = pI+η₀A₁+η₀θA₂+η₀

(

θ₁+θ₂

)

A₁²

S , (A4.135)

gdzie:

2 1 0,α ,α

η – stałe materiałowe wyznaczane doświadczalnie.

2 1, θ

θ – stałe czasowe.

Często, ze względu na prostotę, wykorzystywana jest tzw. nieściśliwa ciecz Reinera-Rivlina będąca uogólnieniem równania Stokesa:

( ) ^{t p} I

₁

D

₂

D

²

S = + α + α

; trD = 0 (A4.136)

gdzie:

2 1,α

α – współczynniki skalarne, funkcje niezmienników tr D² oraz tr

D

³.

Model ten uwzględnia nieliniową zależność lepkości oraz efekty dotyczące naprężeń normalnych. Równanie (A4.134) jest formalnie podobne do zależno-ści (A4.52-A4.54) dla niezależno-ściśliwej cieczy Stokesa. W wyniku aproksymacji stopnia drugiego dla powolnych przepływów cieczy prostej (płynu prostego) o zanikającej pamięci, otrzymuje się inną postać równania (A4.134) w formie:

2 2 2 1 0

0

I 2 D A D

S = α + η + α + α

, (A4.137)

gdzie:

A1 – tensorowa zmienna kinematyczna, A1 = D, – tensor D² posiada macierz:

[ ] [ ^D

²

= ^D

_ik

^D

_kj

]

, (A4.138) – tensor A2 posiada macierz:

[ ]

₂

= _ ^ D

_ij

+ L

_ki

D

_kj

+ L

_kj

D

_ik

_ ^ dt

A d

. (A4.139)

Tensory L oraz D określone są zależnościami (A4.14-A4.16).

Dla określenia sensu fizycznego współczynnika

α

₀ wyznaczony zostanie ślad tensora S jako:

2 2 2 1

0

tr tr

3

tr S = α + α A + α D

. (A4.140)

Uwzględniając nieściśliwość, tj. trD = 0, zgodnie z (A4.37), będzie:

trS = – 3 p. (A4.141)

Wykorzystując powyższe w zależności (A4.140), otrzymuje się:

) D A

(

_{1 2 2} ²

0

tr tr

3 - 1 p

- α + α

=

α

, (A4.142)

zatem zależność na tensor naprężeń będzie:

Równanie w podanej postaci jest reologicznym równaniem płynu stopnia drugiego (cieczy typu różniczkowego stopnia drugiego) opisującym własności reologiczne płynów nienewtonowskich z zanikającą pamięcią.

Ciecze typu szybkościowego

Dla przepływu opisywanego ogólnym równaniem ośrodka prostego w po-staci:

F – historia gradientu deformacji, funkcje S(s) i F(s) spełniają równanie:

 

Równanie to określa ciecze (ośrodki) typu szybkościowego rzędu n.

Specyficzną kategorię stanowią ośrodki hygrosteryczne, łączące własności cieczy oraz ciała stałego, opisywane zależnością:

( ρ )

D

– symbol pierwszej pochodnej Zaremby-Jaumanna,

S )

– tzw. pochodna Zaremby-Jaumanna tensora naprężenia określona jako:

Wykorzystując powyższe równanie dla tzw. ośrodków hygrosterycznych, dla izotropowości funkcji

ψ

oraz jej liniowości względem tensora prędkości deformacji D, można określić tzw. ośrodki hyposprężyste [64] opisujące prze-pływy ciał o własnościach plastycznych oraz dla pewnych założeń uogólniają-cych ciał wykazująuogólniają-cych własności sprężysto-plastyczno-lepkie.

Ciecze typu mieszanego

Ośrodki typu mieszanego łączą w sobie własności oraz budowę równań konstytutywnych przedstawionych uprzednio. Spośród możliwych kombinacji do najczęściej stosowanych należą ciecze typu całkowo – różniczkowego (Gre-ena – Rivlina) oraz całkowo – szybkościowego (Oldroyd oraz Green i Rivlin).

Do cieczy typu mieszanego (całkowo – szybkościowego) należy model

Teoria cieczy prostych nie ujmuje materiałów opisywanych prawem potę-gowym, skądinąd bardzo popularnych i o względnie prostych zależnościach między podstawowymi własnościami reologicznymi.

W dokumencie Projektowanie i podstawy teorii formowania kształtek kulistych z ciasta (Stron 186-192)