Testy nieparametryczne

• Są stosowane, gdy zmienne losowe nie mają rozkładu normalnego.

• Nie wymagają założeń odnośnie rozkładu populacji, z której losowana jest próba

• Są mniej wrażliwe na obserwacje odstające

Testy nieparametryczne

Test chi-kwadrat:

• test zgodności – porównanie dopasowania rozkładu z próby do określonego rozkładu teoretycznego (test dla jednej próby)

• test niezależności – zbadanie poziomu istotności różnicy pomiędzy rozkładami prób z dwóch

populacji (test dla dwóch prób)

Testy nieparametryczne

Test zgodności chi-kwadrat:

E_i – liczebność eksperymentalna w kategorii i

Testy nieparametryczne

Przykład 1:

Z piśmiennictwa wynika, że stosowany od lat lek A daje całkowite wyleczenie w 25% wszystkich przypadków,

poprawę stanu zdrowia w 30% oraz brak efektów w 45%

wszystkich przypadków. Testowany nowy lek B, na 70

pacjentów dał całkowite wyleczenie w przypadku 22 osób, poprawę zdrowia w przypadku 28 osób i brak efektów w pozostałych przypadkach.

Czy nowy lek jest skuteczniejszy?

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne

Test:

dla ν = 3 - 1 i α = 0,05 z tablic Ponieważ

więc hipotezę H₀ odrzucamy

991

2 5

kr  ,



2 2



kr





Testy nieparametryczne

Przykład 3 (na podstawie D. Schwartz, P.Lazar Elementy statystyki medycznej i biologicznej):

Pewna odmiana myszy wykazuje zachorowania na nowotwory ze stałym procentem 20%. W próbie 100 myszy, karmionych zgodnie z ordynowaną dietą, zaobserwowano 34 przypadki nowotworów. Czy dieta chroni przed nowotworami?

Wynik chore myszy zdrowe myszy Razem

Proporcje teoretyczne Wynik teoretyczny Wynik obserwowany

Testy nieparametryczne

Przykład 3 (na podstawie D. Schwartz, P.Lazar Elementy statystyki medycznej i biologicznej):

Pewna odmiana myszy wykazuje zachorowania na nowotwory ze stałym procentem 20%. W próbie 100 myszy, karmionych zgodnie z ordynowaną dietą, zaobserwowano 34 przypadki nowotworów. Czy dieta chroni przed nowotworami?

Wynik chore myszy zdrowe myszy Razem

Proporcje teoretyczne 20% 80% 100%

Wynik teoretyczny 20 80 100

Wynik obserwowany 34 66 100

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne

Test:

dla ν = 2 - 1 i α = 0,05 z tablic Ponieważ

więc różnice są istotne statystycznie

841

2 3

kr  ,



2 2



kr





Testy nieparametryczne

Test niezależności chi-kwadrat (dla tablicy większej niż czteropolowa):

liczba stopni swobody

 

Testy nieparametryczne

Test niezależności chi-kwadrat:

• liczebność teoretyczna:



Testy nieparametryczne

Test niezależności chi-kwadrat:

• liczebność w wartościach absolutnych,

• minimalna, dopuszczalna liczebność dowolnej kategorii wynosi 1,

• maksymalnie 1/5 kategorii może mieć wartość mniejszą od 5

Testy nieparametryczne

Przykład 1 (na podstawie D. Schwartz, P.Lazar Elementy statystyki medycznej i biologicznej):

Grupa 348 dzieci została podzielona losowo na dwie podgrupy.

Jedna została zaszczepiona szczepionką BCG firmy A a druga

szczepionką BCG firmy B. Wyniki obserwacji reakcji na szczepionki zawiera tabela.

Czy szczepionki działają tak samo?

szczepionka reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie ropień razem

A 12 156 8 1 177

B 29 135 6 1 171

razem 41 291 14 2 348

Testy nieparametryczne

Przykład 1:

Tworzymy tabele rozkładów teoretycznych dla całości i obu podgrup.

grupa 171 osób reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie ropień razem ilość 171 · 41/348 171 · 291/348 171 · 14/348 171 · 2/348 171 grupa 177 osób reakcja lekka reakcja

średnia

owrzodzenie ropień razem ilość 177 · 41/348 177 · 291/348 177 · 14/348 177 · 2/348 177

reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie ropień razem proporcje w całej

grupie

41/348 291/348 14/348 2/348 1

Testy nieparametryczne

Przykład 1:

Tworzymy tabele rozkładów teoretycznych dla całości i obu podgrup.

grupa 171 osób reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie ropień razem

ilość 20,1 143,0 6,9 1,0 171

grupa 177 osób reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie ropień razem

ilość 20,9 148,0 7,1 1,0 177

reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie ropień razem proporcje w całej

grupie

0,118 0,836 0,040 0,006 1

Testy nieparametryczne

Przykład 1:

Ponieważ ¼ grup jest mniej liczna niż 5, więc łączymy grupy owrzodzenie i ropień – dane teoretyczne i empiryczne

grupa 171 osób reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie lub ropień

razem

ilość 20,1 143,0 7,9 171

grupa 177 osób reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie lub ropień

razem

ilość 20,9 148,0 8,1 177

Testy nieparametryczne

Przykład 1:

Ponieważ ¼ grup jest mniej liczna niż 5, więc łączymy grupy owrzodzenie i ropień dla danych teoretycznych i empirycznych

szczepionka reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie lub ropień

razem

A 20,9 148,0 8,1 177

B 20,1 143,0 7,9 171

szczepionka reakcja lekka reakcja średnia

owrzodzenie lub ropień

razem

A 12 156 9 177

B 29 135 7 171

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne

Test:

liczba stopni swobody:

991

więc hipoteza o jednakowym działaniu szczepionki A i B musi zostać odrzucona

Testy nieparametryczne

Przykład 3 (na podstawie D. Schwartz, P.Lazar Elementy statystyki medycznej i biologicznej):

Tabela zawiera wyniki badania 298 osób ze stwierdzonym nowotworem żołądka.

Czy istnieje związek pomiędzy umiejscowieniem nowotworu i płcią?

odźwiernik trzon żołądka wpust

mężczyźni 53 66 75

kobiety 48 33 23

Testy nieparametryczne

Przykład 3 (na podstawie D. Schwartz, P.Lazar Elementy statystyki medycznej i biologicznej):

Tabela zawiera wyniki badania 298 osób ze stwierdzonym nowotworem żołądka.

Czy istnieje związek pomiędzy umiejscowieniem nowotworu i płcią?

odźwiernik trzon żołądka wpust razem

mężczyźni 53 66 75 194

kobiety 48 33 23 104

razem 101 99 98 298

Testy nieparametryczne

Przykład 3 (na podstawie D. Schwartz, P.Lazar Elementy statystyki medycznej i biologicznej):

Rozkład teoretyczny

odźwiernik trzon żołądka wpust razem

65,75 64,45 63,80 194

35,25 34,55 34,20 104

proporcje 0,339 0,332 0,329

Testy nieparametryczne

Przykład 3 (na podstawie D. Schwartz, P.Lazar Elementy statystyki medycznej i biologicznej):

Rozkład empiryczny i teoretyczny

odźwiernik trzon żołądka wpust

mężczyźni 65,75 64,45 63,80

kobiety 35,25 34,55 34,20

odźwiernik trzon żołądka wpust

mężczyźni 53 66 75

kobiety 48 33 23

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne

Test:

liczba stopni swobody:

991

więc hipoteza o braku związku pomiędzy umiejscowieniem nowotworu i płcią musi zostać odrzucona

Testy nieparametryczne

Test niezależności chi-kwadrat (dla tablicy czteropolowej):

(z poprawką Yates’a)



^{a c}

 

^{b d}

 

^{a b}

 

^{c d}



cecha A

razem odmiana I odmiana II

cecha B

odmiana I a b a+b

odmiana II c d c+d

razem a+c b+d n=a+b+c+d

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne

Test mediany

Alternatywa dla testu parametrycznego dla

dwóch średnich z małych prób - stosowany, gdy warunek normalności rozkładu zmiennej w

badanych dwóch populacjach i równości

odchyleń standardowych nie jest spełniony.

Testy nieparametryczne

Test mediany

1. wyznaczyć medianę dla obu połączonych prób losowych

2. stworzyć tablicę czteropolową:

3. przeprowadzić test niezależności chi-kwadrat

Liczba elementów

próba ≤ Me > Me

I n₁₁ n₁₂

II n₂₁ n₂₂

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya:

• badane są dwie populacje

• nieparametryczna alternatywa dla testu t-Studenta

• porównuje rangi zmiennych zamiast ich wartości

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya:

• zmienna losowa jest zmienną ilościową lecz nie ma rozkładu normalnego

lub

• zmienna losowa wyrażona jest w skali porządkowej

• wariancje nie różnią się od siebie w istotny statystycznie sposób

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya:

zakłada się zgodność rozkładów w porównywanych populacjach,

stąd:

średnia ranga każdej z prób nie różni się w

sposób istotny statystycznie od średniej rangi z połączonych prób

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya:

• rangujemy połączone próby

• obliczamy sumę rang R dla wybranej próby

• wyznaczamy statystykę U ⁱ U’ ^{dla prób}

• wybieramy większą ze statystyk U

• porównujemy z wartością krytyczną z tablic:

U ≥ U_kryt – H₀ odrzucamy

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya:

n₁ – liczebność próby 1,

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya dla n_i > 20

Tabele wartości krytycznych rozkładu U są

ograniczone do wielkości mniejszej z prób do 20 pomiarów i wielkości większej z prób do 40

pomiarów

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya dla n_i > 20

Dla dużych prób rozkład U dąży do rozkładu normalnego

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya dla n_i > 20

• wyznaczamy statystykę U

• wybieramy większą ze statystyk U

• obliczamy statystykę z

• wyznaczamy wartość krytyczną dla rozkładu normalnego dla przyjętego poziomu istotności

• porównujemy z z wartością krytyczną z_kryt

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya dla n_i > 20

gdzie:

wartość średnia rozkładu U:

błąd standardowy:

U

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya dla n_i > 20

dla rang wiązanych, błąd standardowy:

 

Testy nieparametryczne

Test U-Manna-Whitneya dla n_i > 20

uwzględniając korektę na ciągłość:

U

mU

z U



5 ,

 0

 

Testy nieparametryczne

Gdy liczebności obu prób są jednakowe to test U-Manna-Whitneya jest tożsamy z

testem Wilcoxona

Testy nieparametryczne

Test Kruskala-Wallisa:

• badanych jest więcej niż dwie populacje

• nieparametryczna alternatywa dla ANOVA

• porównuje rangi zmiennych zamiast ich wartości

Testy nieparametryczne

Test Kruskala-Wallisa:

• zmienna losowa jest zmienną ilościową lecz nie ma rozkładu normalnego

lub

• zmienna losowa wyrażona jest w skali porządkowej

• wariancje nie różnią się od siebie w istotny statystycznie sposób

Testy nieparametryczne

Test Kruskala-Wallisa

zakłada się zgodność rozkładów we wszystkich porównywanych populacjach

Testy nieparametryczne

Test Kruskala-Wallisa:

r – liczba prób

n_i – liczebność i-tej próby,

R_i – suma rang z i-tej próby w łącznej próbie, N – liczebność połączonych prób

)

Testy nieparametryczne

Test Kruskala-Wallisa:

statystyka H ma rozkład o r -1 stopniach swobody



2

Testy nieparametryczne

Test znaków:

• testujemy, czy dwie próby pochodzą z tej samej populacji

• wyniki z dwóch prób tworzą pary

• rozkład obserwowanego zjawiska nie jest normalny

• zmienna losowa ma charakter ciągły

Testy nieparametryczne

Test znaków:

• liczymy różnice wartości dla każdej z par

• liczymy znaki „+” i „-” pomijając przypadki, gdy różnica jest równa 0

• do dalszej analizy bierzemy pod uwagę mniejszą z liczb znaków „+” lub „-”

• porównujemy uzyskaną w teście liczbę r ^{z liczbą} r_α z tablicy rozkładu liczby znaków (odrzucamy H₀, gdy r ≤ r_α)

Testy nieparametryczne

Przykład 1 (na podstawie D. Miller, St. Orzeszyna Elementy statystyki medycznej): Tabela zawiera wyniki badania masy ciała 15 osób przed kuracją odchudzającą i po kuracji.

Czy kuracja działa?

Testy nieparametryczne

Przykład 1 (na podstawie D. Miller, St. Orzeszyna Elementy statystyki medycznej):

pacjent przed kuracją po kuracji znak różnicy

1 96 90 +

Testy nieparametryczne

Przykład 1 (na podstawie D. Miller, St. Orzeszyna Elementy statystyki medycznej): Przyjęty poziom istotności α = ^0,05.

Liczba znaków „-”, r = 2.

Z tablicy rozkładu liczby znaków dla n = 15, r_α ^{= 3.}

Ponieważ r ^< r_α , więc kuracja działa

W dokumencie Dane. Charakteryzują obserwacje jednej lub wielu zmiennych Są uzyskiwane z próby, reprezentującej populację Mają różne formy (postacie) (Stron 142-196)