Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇²,który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²,

do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:





 x

= r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x =

r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ,

y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y

= r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ,

y =

r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ,

z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z

= r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ,

z =

r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby dokonać separacjiczęści radialnej i kątowej w równaniu Schr¨odingera dla sferycznie symetrycznej energii potencjalnej przetransformujemy operator ∇², który we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇² = ~∇ · ~∇ =

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z², do współrzędnych sferycznych.

Zróżniczkujmy związki transformacyjne pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a sferycznymi:







x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby odwrócić te związki obliczmy kombinację

r sin θ ∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby odwrócić te związki obliczmy kombinację

r sin θ ∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby odwrócić te związki obliczmy kombinację

r sin θ ∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Aby odwrócić te związki obliczmy kombinację

r sin θ ∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ = r

cos ϕ ∂

∂x + sin ϕ ∂

∂y

Obliczmy kombinację sin θ sin ϕ

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ

+ cos ϕ ∂

∂ϕ

= sin θ sin ϕ

r cos ϕ ∂

∂x + r sin ϕ ∂

∂y

+ cos ϕ

−r sin θ sin ϕ ∂

∂x + r sin θ cos ϕ ∂

∂y

= r sin θsin²ϕ + cos²ϕ ∂

∂y =r sin θ ∂

∂y.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ = r

cos ϕ ∂

∂x + sin ϕ ∂

∂y

Obliczmy kombinację sin θ sin ϕ

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ

+ cos ϕ ∂

∂ϕ

= sin θ sin ϕ

r cos ϕ ∂

∂x + r sin ϕ∂

∂y

+ cos ϕ

−r sin θ sin ϕ ∂

∂x + r sin θ cos ϕ ∂

∂y

= r sin θsin²ϕ + cos²ϕ ∂

∂y =r sin θ ∂

∂y.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ = r

cos ϕ ∂

∂x + sin ϕ ∂

∂y

Obliczmy kombinację sin θ sin ϕ

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ

+ cos ϕ ∂

∂ϕ

= sin θ sin ϕ

r cos ϕ ∂

∂x + r sin ϕ∂

∂y

+ cos ϕ

−r sin θ sin ϕ ∂

∂x + r sin θ cos ϕ ∂

∂y

= r sin θsin²ϕ + cos²ϕ ∂

∂y =r sin θ ∂

∂y.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ = r

cos ϕ ∂

∂x + sin ϕ ∂

∂y

Obliczmy kombinację sin θ sin ϕ

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ

+ cos ϕ ∂

∂ϕ

= sin θ sin ϕ

r cos ϕ ∂

∂x + r sin ϕ∂

∂y

+ cos ϕ

−r sin θ sin ϕ ∂

∂x + r sin θ cos ϕ ∂

∂y

= r sin θsin²ϕ + cos²ϕ ∂

∂y =r sin θ ∂

∂y.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ = r

cos ϕ ∂

∂x + sin ϕ ∂

∂y

Obliczmy kombinację sin θ sin ϕ

r sin θ ∂

∂r + cos θ ∂

∂θ

+ cos ϕ ∂

∂ϕ

= sin θ sin ϕ

r cos ϕ ∂

∂x + r sin ϕ∂

∂y

+ cos ϕ

−r sin θ sin ϕ ∂

∂x + r sin θ cos ϕ ∂

∂y

= r sin θsin²ϕ + cos²ϕ ∂

∂y =r sin θ ∂

∂y.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Dzieląc obustronnie przez r sin θ otrzymamy

∂

Transformacja do współrzędnych sferycznych

co po uproszczeniu daje

∂

∂x = sin θ cos ϕ∂

∂r +1

r cos θ cos ϕ ∂

∂θ − sin ϕ r sin θ

∂

∂ϕ. Skorzystajmy z równania

∂

∂r = sin θ cos ϕ ∂

∂x + sin θ sin ϕ ∂

∂y + cos θ ∂

∂z,

⇒

cos θ ∂

∂z = ∂

∂r − sin θ cos ϕ ∂

∂x − sin θ sin ϕ ∂

∂y. Zadanie. Pokazać, że po prostych obliczeniach otrzymamy cos θ ∂

∂z = cos²θ ∂

∂r −1

r sin θ cos θ ∂

∂θ ⇒ ∂

∂z = cos θ ∂

∂r −sin θ r

∂

∂θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

co po uproszczeniu daje

∂

∂x = sin θ cos ϕ∂

∂r +1

r cos θ cos ϕ ∂

∂θ − sin ϕ r sin θ

∂

∂ϕ. Skorzystajmy z równania

∂

∂r = sin θ cos ϕ ∂

∂x + sin θ sin ϕ ∂

∂y + cos θ ∂

∂z,

⇒ cos θ ∂

∂z =

∂

∂r − sin θ cos ϕ ∂

∂x − sin θ sin ϕ ∂

∂y. Zadanie. Pokazać, że po prostych obliczeniach otrzymamy cos θ ∂

∂z = cos²θ ∂

∂r −1

r sin θ cos θ ∂

∂θ ⇒ ∂

∂z = cos θ ∂

∂r −sin θ r

∂

∂θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

co po uproszczeniu daje

∂

∂x = sin θ cos ϕ∂

∂r +1

r cos θ cos ϕ ∂

∂θ − sin ϕ r sin θ

∂

∂ϕ. Skorzystajmy z równania

∂

∂r = sin θ cos ϕ ∂

∂x + sin θ sin ϕ ∂

∂y + cos θ ∂

∂z,

⇒ cos θ ∂

∂z = ∂

∂r − sin θ cos ϕ ∂

∂x − sin θ sin ϕ ∂

∂y.

Zadanie. Pokazać, że po prostych obliczeniach otrzymamy cos θ ∂

∂z = cos²θ ∂

∂r −1

r sin θ cos θ ∂

∂θ ⇒ ∂

∂z = cos θ ∂

∂r −sin θ r

∂

∂θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

co po uproszczeniu daje

∂

∂x = sin θ cos ϕ∂

∂r +1

r cos θ cos ϕ ∂

∂θ − sin ϕ r sin θ

∂

∂ϕ. Skorzystajmy z równania

∂

∂r = sin θ cos ϕ ∂

∂x + sin θ sin ϕ ∂

∂y + cos θ ∂

∂z,

⇒ cos θ ∂

∂z = ∂

∂r − sin θ cos ϕ ∂

∂x − sin θ sin ϕ ∂

∂y. Zadanie. Pokazać, że po prostych obliczeniach otrzymamy

cos θ ∂

∂z = cos²θ ∂

∂r −1

r sin θ cos θ ∂

∂θ

⇒ ∂

∂z = cos θ ∂

∂r −sin θ r

∂

∂θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

co po uproszczeniu daje

∂

∂x = sin θ cos ϕ∂

∂r +1

r cos θ cos ϕ ∂

∂θ − sin ϕ r sin θ

∂

∂ϕ. Skorzystajmy z równania

∂

∂r = sin θ cos ϕ ∂

∂x + sin θ sin ϕ ∂

∂y + cos θ ∂

∂z,

⇒ cos θ ∂

∂z = ∂

∂r − sin θ cos ϕ ∂

∂x − sin θ sin ϕ ∂

∂y. Zadanie. Pokazać, że po prostych obliczeniach otrzymamy cos θ ∂

∂z = cos²θ ∂

∂r −1

r sin θ cos θ ∂

∂θ ⇒ ∂

∂z =

cos θ ∂

∂r −sin θ r

∂

∂θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

co po uproszczeniu daje

∂

∂x = sin θ cos ϕ∂

∂r +1

r cos θ cos ϕ ∂

∂θ − sin ϕ r sin θ

∂

∂ϕ. Skorzystajmy z równania

∂

∂r = sin θ cos ϕ ∂

∂x + sin θ sin ϕ ∂

∂y + cos θ ∂

∂z,

⇒ cos θ ∂

∂z = ∂

∂r − sin θ cos ϕ ∂

∂x − sin θ sin ϕ ∂

∂y. Zadanie. Pokazać, że po prostych obliczeniach otrzymamy cos θ ∂

∂z = cos²θ ∂

∂r −1

r sin θ cos θ ∂

∂θ ⇒ ∂

∂z = cos θ ∂

∂r −sin θ r

∂

∂θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

co po uproszczeniu daje

∂

∂x = sin θ cos ϕ∂

∂r +1

r cos θ cos ϕ ∂

∂θ − sin ϕ r sin θ

∂

∂ϕ. Skorzystajmy z równania

∂

∂r = sin θ cos ϕ ∂

∂x + sin θ sin ϕ ∂

∂y + cos θ ∂

∂z,

⇒ cos θ ∂

∂z = ∂

∂r − sin θ cos ϕ ∂

∂x − sin θ sin ϕ ∂

∂y. Zadanie. Pokazać, że po prostych obliczeniach otrzymamy cos θ ∂

∂z = cos²θ ∂

∂r −1

r sin θ cos θ ∂

∂θ ⇒ ∂

∂z = cos θ ∂

∂r −sin θ r

∂

∂θ.

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Zadanie. Korzystając z powyższych wzorów pokazać, że

∇² = ∂²

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Zadanie. Korzystając z powyższych wzorów pokazać, że

∇² = ∂²

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Zadanie. Korzystając z powyższych wzorów pokazać, że

∇² = ∂²

Transformacja do współrzędnych sferycznych

Zadanie. Korzystając z powyższych wzorów pokazać, że

∇² = ∂²

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x =

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x = − i ~

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x = − i ~

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x = − i ~

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x = − i ~

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x = − i ~

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x = − i ~

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

Transformacja do współrzędnych sferycznych

kartezjańskie składowe operatora orbitalnego momentu pędu wyrażają się wzorami:

L_x = − i ~

a kwadrat operatora orbitalnego momentu pędu wyraża się wzorem:

W dokumencie Separacja równania Schr¨odingera we współrzędnych sferycznych (Stron 123-200)