Twierdzenia typu Ω

Na mocy Lematu 3.17. mamy

T(x) = i πω_E

X

n≤e^|x|

µ_E(n) pn + O€

g€ e^|x|ŠŠ

.

3.3. Twierdzenia typuΩ

Dlax≥ 0 kładziemy

J(x) := J (1, x) = cos

 2 Q_E

px



− 1.

Lemat 3.19. Dla 0< σ < 1 kładziemy

C_E(s) :=

Z∞

0

J(x)x^−s−1dx.

Całka ta jest zbie˙zna bezwzgl˛ednie niemal jednostajnie w pasie 0< σ < 1, definiuj ˛ac tam tym samym funkcj˛e holomorficzn ˛a.

Dowód. Niech 0< σ₁< σ₂ < 1 b˛ed˛adowolne i ustalone. Wyka˙zemy, ˙ze całka C_E jest zbie˙zna bez-wzgl˛ednie i jednostajnie w pasieσ₁≤ σ ≤ σ₂. Dlax≥ 0 mamy |J (x)| ≤ 2, za´s dla 0 ≤ x ≤ 1 mamy dodatkowo|J(x)|  x. Mamy równie˙z

∞

Z

0

|J (x)|x^−σ−1dx=

1

Z

0

|J (x)|x^−σ−1dx+

∞

Z

1

|J (x)|x^−σ−1dx.

W konsekwencji dlaσ ≤ σ₂< 1 mamy

1

Z

0

|J (x)|x^−σ−1dx

1

Z

0

x^−σdx 1

1− σ₂  1,

za´s dlaσ ≥ σ₁> 0

∞

Z

1

|J (x)|x^−σ−1dx

∞

Z

1

x^−σ−1dx 1 σ₁  1, a w konsekwencji

Z∞

0

|J (x)|x^−σ−1dx 1.

3.3. Twierdzenia typuΩ 63 Zatem dlaξ → ∞ mamy

Z∞

ξ

|J (x)|x^−σ−1dx−→ 0

jednostajnie dlaσ₁≤ σ ≤ σ2.

Lemat 3.20. Funkcja C_E ma przedłu˙zenie meromorficzne do C. Dokładnie mamy

C_E(s) = − pπ sQ^2s_E

Γ (1 − s) Γ ¹₂+ s
. W szczególno´sci, C_Enie ma zer w pasie 0< σ < 1. Ponadto mamy

|C_E(σ + i t)|  (2|t| + 2)^−12−2σ niemal jednostajnie w pasie 0< σ < 1.

Dowód. Z Lematu 1.18. mamy, ˙ze dla 0< σ < 2 funkcja

C(s) = Z∞

0

J Q²_E 4 x²

!

x^−s−1dx (3.49)

jest postaci

C(s) = −pπ s2^s

Γ 1 −₂^s
Γ ^1+s₂
. Podstawiaj ˛ac^Q

2 E

4 x²7→ ξ w całce (3.49) mamy x= 2

Q_Epξ dx= dξ

pξ Q_E i otrzymujemy

C(s) = Z∞

0

J(ξ )

 2 Q_Epξ

_−s−1 dξ pξ Q_E = 1

2

Q_E 2

s ∞

Z

0

J(ξ )ξ^−2s−1dξ =1 2

Q 2

s

C_Es 2

 .

W konsekwencji

C_E(s) = 2

 2 Q_E

_2s

C(2s) = −2pπ 2s2^2s

 2 Q_E

_2sΓ 1 −^2s₂

Γ ^1+2s₂
= −pπ sQ^s_E

Γ (1 − s) Γ ¹₂+ s
.

Druga cz˛e´s´c tezy lematu wynika z odpowiedniego oszacowania dla funkcjiC zawartego w Lemacie 1.18.

64 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ

Z Lematu 3.6. wynika, ˙ze funkcja ˜f jest dobrze okre´slona.

Lemat 3.21. Niech zachodzi (3.2), f(x)  x¹⁴g(x) oraz niech g(x)  loglog x, dla x → ∞. Wtedy hipoteza Riemanna dla funkcji F jest prawdziwa, wszystkie zera nietrywialne s ˛a pojedyncze oraz

1

F⁰(ρ)(γ + 2)log(γ + 2), γ ≥ 0. (3.52) Dowód. Dla³₄< σ < 1 mamy nast˛epuj˛ace oszacowanie

X∞ zało˙zenia Lematu 3.19. i w konsekwencji całka w (3.53) jest zbie˙zna niemal jednostajnie. Dlaσ < 1 kładziemy Na mocy Wniosku 2.5. ostatni szereg w (3.54) jest zbie˙zny, zatem dla ka˙zdego ustalonegoσ₃< 1 szereg definiuj ˛acyE(s) jest zbie˙zny bezwzgl˛ednie jednostajnie dla σ ≤ σ₃, a w konsekwencji dlaσ < 1 funkcja E jest holomorficzna. Ponadto z (3.54) wynika równie˙z, ˙ze

E(s)  1

1− σ, dla σ < 1. (3.55)

3.3. Twierdzenia typuΩ 65

Poniewa˙z zachodzi (3.2) zatem z Lematu 3.6. wnosimy, ˙ze ℜr1(x) =X

n>x

µ_E(n)J (n, x)  x^1/4g(x) dla x → ∞,

a poniewa˙z f(x)  x^1/4g(x) oraz g(x)  loglog x, dla x → ∞, mamy

f˜(x) = f (x) + ℜr₁(x)  x^1/4g(x)  x^1/4log logx dla x→ ∞.

Zatem z Lematu 1.17. wnosimy, ˙ze transformata Mellina funkcji ˜f jest holomorficzna dlaσ >¹₄, za´s (3.56) i Lemat 3.20 ustanawia jej przedłu˙zenie meromorficzne do półpłaszczyznyσ < 1. Z Lematu 1.17. i (3.56) wnosimy, ˙ze funkcja _F(s+1/4)^CE(s) − E(s) jest holomorficzna w pasie ¹₄< σ < 1. Z Lematu 3.20.

wiemy, ˙ze funkcjaC_E nie ma zer w pasie 0< σ < 1, zatem funkcja _F(s+1/4)¹ jest holomorficzna w pasie

1

4 < σ < 1 i w konsekwencji spełniona jest hipoteza Riemanna dla F . Z Lematu 1.17. dla funkcji ˜f wynika równie˙z, ˙ze

Z∞

66 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ jednostajnie dla¹₄< σ < 1. Na mocy (3.56) oraz (3.55) mamy zatem

C_E s−¹₄
F(s)  1

σ −¹₂log 1 σ −¹₂

! +

     E

 s−1

4

   

 1

σ −¹₂log 1 σ −¹₂

!

+ 1

σ −⁵₄

jednostajnie dla¹₂< σ <⁵₄, a w pasie ¹₂< σ < 1 C_E s−¹₄

F(s)  1

σ −¹₂log 1 σ −¹₂

!

jednostajnie, zatem wszystkie zeraF s ˛a pojedyncze, oraz mamy 1

F(s) 1

σ −¹₂
 

CE s−¹₄
  

log 1

σ −¹₂

! 1

2< σ < 1.

Aby zako´nczy´c dowód wystarczy wykaza´c oszacowanie (3.52). Kład ˛acs= σ +iγ,¹₂< σ < 1, gdzie γ ≥ 0 oznacza cz˛e´s´c urojon ˛a zera nietrywialnego funkcjiF , na mocy Lematu 3.20. i powy˙zszego równania mamy

1

F(s)(γ + 2)^2σ

σ −¹₂ log 1 σ −¹₂

!

. (3.57)

Z twierdzenia Cauchy’ego mamy dlaw∈ [ρ, 3/4 + iγ ] 

 F

00(w)   

Z

|ξ −w|=r

|F(ξ )|

|ξ − w|³ 

dξ  ≤ max

|ξ −w|=r|F(ξ )| 1 2π

Z

|ξ −w|=r

 dξ 

|ξ − w|³= max

|ξ −w|=r|F(ξ )| 1 r².

Ustalmy r ,ε₁, 0 < r < ¹₂, 0< ε₁ < 1/10. Poniewa˙z okr˛ag |ξ − w| = r jest całkowicie zawarty w półpłaszczy´znieσ ≥¹₂− r > 0, zatem z Lematu 1.28. mo˙zemy oszacowa´c i_F(σ) ≤ ¹₂+ r na tym okr˛egu.

Poniewa˙z dla takichξ mamy |ℑξ | ≤ γ + r zatem

|ξ −w|=rmax |F(ξ )|  (γ + r )^{12+r +ε/2}(γ + 2)^{12+r +ε/2}

dla dowolnegoε > 0, a w konsekwencji

|ξ −w|=rmax |F(ξ )| 1

r² (γ + 2)^{12+r +ε/2}

r² .

St ˛ad, bior ˛acr= ε₁/2 dostajemy

F⁰⁰(w) _ε1(γ + 2)^12+ε1, przy 0≤ γ → ∞.

Kład ˛ac

s := ρ + min

¨  F⁰(ρ) (γ + 2), 1

(γ + 2)

«

(3.58)

3.3. Twierdzenia typuΩ 67 z twierdzenia Taylora z reszt ˛a Lagrange’a wnosimy, ˙ze istniejew∈ [ρ, s] takie, ˙ze

F(s) = F⁰(ρ)(s − ρ) + F⁰⁰(w)(s − ρ)². (3.59) Poniewa˙z mamy

  F

0(ρ) 

 | s − ρ| =   F

0(ρ)       

min

¨  F⁰(ρ) (γ + 2), 1

(γ + 2)

«    

= min ( 

F⁰(ρ)² (γ + 2) ,

 F⁰(ρ) (γ + 2)

)

oraz

  F

00(w)   | s − ρ|

2_ε1 (γ + 2)^12+ε1     

min

¨  F⁰(ρ) (γ + 2), 1

(γ + 2)

«    

2

=

(γ + 2)^12+εmin ( 

F⁰(ρ)² (γ + 2)², 1

(γ + 2)² )

= min ( 

F⁰(ρ)²

(γ + 2)^32−ε1, 1 (γ + 2)^32−ε1

) ,

dla ustalonego 0< ε₁< ₁₀¹, zatem drugi składnik sumy (3.59) jest mniejszy, co do modułu, od pierwszego i w konsekwencji

F(s) s F⁰(ρ)(s − ρ), dla 0 ≤ γ → ∞.

Poniewa˙zs− ρ = σ −¹₂mamy, wci ˛a˙z dlas okre´slonego jak w (3.58), ˙ze

F(s) s F⁰(ρ)

 σ −1

2

 ,

a dalej, z (3.57), mamy

1

F⁰(ρ)(γ + 2)^2σlog 1 σ −¹₂

!

. (3.60)

Załó˙zmy, ˙ze

1

|F⁰(ρ)| ≥(γ + 2)log(γ + e), (3.61)

gdy˙z w przeciwnym wypadku zachodzi (3.52). Mamy wtedy _|F0¹(ρ)| ≥ 2 log e > 1 i

F⁰(ρ) < 1, a w konsekwencji

σ −1 2= min

¨  F⁰(ρ) (γ + 2), 1

(γ + 2)

«

=  F⁰(ρ)

(γ + 2), (3.62)

zatem z (3.60) mamy 1

F⁰(ρ)(γ + 2)(γ + 2)^2σ−1log

‚(γ + 2)

|F⁰(ρ)|

Œ

= (γ + 2)(γ + 2)^2σ−1 log(γ + 2) − log|F⁰(ρ)|
.

Poniewa˙z|F⁰(ρ)| < 1, z (3.62) mamy, ˙ze

(γ + 2)^2σ−1= e(2σ−1)log(γ+2)= e2(σ−1/2)log(γ+2)= e^{2|F 0(ρ)|(γ+2)log(γ+2)}< e^|F0(ρ)|log2< 2, dla γ ≥ 0.

68 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ Zatem

1

F⁰(ρ)(γ + 2)(γ + 2)^2σ−1 

log (γ + 2) − log |F

0(ρ)|

  

(γ + 2) 

log (γ + 2) +   log |F

0(ρ)|⁻¹    

 . (3.63) Z (3.61) wnosimy, ˙ze

  log |F

0(ρ)|⁻¹ 

 ≥ log (γ + 2) . Wtedy z (3.63) otrzymujemy

1

F⁰(ρ)(γ + 2)     

log     

1 F⁰(ρ)

          .

Poniewa˙z|F⁰(ρ)| < 1, kład˛ac t =    

1 F⁰(ρ)

  

> 1 mamy nast˛epuj˛acy ci˛ag implikacji t

logt  γ + 2 ⇒p

t  γ + 2 ⇒ log t  log(γ + 2).

Zatem

t(γ + 2)log(γ + 2) i w konsekwencji

1

F⁰(ρ)(γ + 2)log(γ + 2).

Dlaℑz > 0, kładziemy

G(F, z) = e^z2

z

Z

z+i∞

m(F, w)e^−wdw, (3.64)

gdziem(F, w) jest zdefiniowana przez (2.3). Poniewa˙z F jest przesuni˛et˛afunkcj˛aL krzywej eliptycznej nad Q na mocy (1.25), (2.2) oraz (2.16) mamy

κ_F = −1 4 υ_F = 1.

Lemat 3.22. Niech x₀, x₁i y₀> 0 b˛ed ˛adowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech x₀≤ ℜw ≤ x₁i ℑw ≥ y₀. Wtedy dlaσ =³₂iσ = −¹₄oraz t ≥ 0 mamy nast˛epuj ˛ace oszacowanie

e^{s w}

F(s) _x0,x1 e^{−t v}. (3.65)

Ponadto dla w z tak okre´slonego obszaru mamy

m(F, w) _x0,x1,y0e^−t0v, (3.66)

3.3. Twierdzenia typuΩ 69 gdzie t₀> 0 jest ustalone i zale˙zne od F .

Dowód. Na prostych ³₂+ i t oraz −¹₄+ i t na mocy Wniosku 2.5. oraz (2.12) odpowiednio, mamy 1/F (s)  1. Zatem na prostej³₂+ i t mamy

e^{s w}

F(s) |e^{s w}|= e^{32u−t v}≤ e^{32x0−t v} _x0e^{−t v}. Na prostej−¹₄+ i t analogicznie mamy

e^{s w}

F(s)  |e^{s w}|= e^{−14u−t v}_x1 e^{−t v}

co dowodzi (3.65). Poniewa˙zv> 0 zatem m(F, w) jest równa całce (2.3). Niech t₀:= ^γ₂¹, gdzieγ₁oznacza cz˛e´s´c urojon ˛a zera nietrywialnego funkcjiF le˙z ˛acego najni˙zej ponad osi ˛a rzeczywist ˛a. Ze wzgl˛edu na rozmieszczenie zer funkcjiF (cf. (1.27)) z twierdzenia Cauchy’ego o reziduach mamy, ˙ze

m(F, w) = 1 2πi

Z

C⁰

e^{s w} F(s)ds,

gdzie konturC⁰składa si˛e z półprostej −¹₄+ i∞,−¹₄+ i t₀, odcinka −¹₄+ i t₀,³₂+ i t₀ oraz półpro-stej₃

2+ i t₀,³₂+ i∞
. Na półprostych konturu C⁰wykazali´smy ju˙z, ˙ze zachodzi (3.65). Zatem

3 2+i∞

Z

3 2+i t0

    

e^{s w} F(s)

    

ds_x0 1

ve^−t0v_x0,y0 e^−t0v,

podobnie

−¹₄+i∞

Z

−¹₄+i t0

    

e^{s w} F(s)

    

ds_x1 1

ve^−t0v_x1,y0 e^−t0v.

Poniewa˙z dlas na odcinku−¹₄+ i t₀,³₂+ i t₀ mamy 

   

e^{s w} F(s)

    

 |e^{s w}|= e^{σ u−t0v}_x0,x1e^−t0v

zatem otrzymujemy oszacowanie funkcjim(F,·).

Lemat 3.23. Całka (3.64) jest zbie˙zna bezwzgl˛ednie niemal jednostajnie w półpłaszczy´znieℑz > 0. W szcze-gólno´sci funkcja G(F,·) jest dobrze okre´slona i holomorficzna w tej półpłaszczy´znie. W ka˙zdym domkni˛etym obszarzeℑz ≥ ℑz₀> 0 i ℜz₀≤ ℜz ≤ ℜz₁funkcja G(F, z) jest oszacowana przez O_z0,z1 e^−t0ℑz
, gdzie t₀> 0 jest ustalone i zale˙zne od F .

70 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ Dowód. Ustalmy x₀,y₀> 0, z₀= x₀+ iy₀oraz niechv≥ y ≥ y₀> 0 i x₀≤ u = x ≤ x₁= ℜz₁. Na mocy (3.66) mamy

x+i∞

Z

x+iy

 

 m (F , w )e

−w 

 |dw | x₀,x₁,y₀

Z∞

y

e^−t0ve^−xdv_x0,x1,y0 Z∞

y

e^−t0vdv_x0,x1,y0 e^−t0y.

Zatem całka (3.64) spełnia wymagane oszacowanie i w konsekwencji jest ona bezwzgl˛ednie niemal jednostajnie zbie˙zna zatem funkcjaG jest holomorficzna.

Lemat 3.24. Funkcja G(F,·) przedłu˙za si˛e analitycznie wzdłu˙z ka˙zdej drogi kawałkami gładkiej P z punktu z₁do z₂, le˙z ˛acej na płaszczy´znie zespolonej, nie przechodz ˛acej przez ani jeden punkt z= log n, n ≥ 1, µ_E(n) 6= 0, zgodnie ze wzorem

G(F, z₂) = e^z22







z₁

Z

z₁+i∞

+ Z

P





 m (F,w)e^−wdw. (3.67)

Dla

z= log n + δe^iθ, 0< θ < π, 0 < δ < 1 2log

 1+ 1

n



, µ_E(n) 6= 0 (3.68) mamy

G(F, z) = µ_E(n) 2πip

nlog 1

δ + O_n(1).

Dowód. W przypadku, gdy drogaP jest zawarta w górnej półpłaszczy´znie, prawdziwo´s´c (3.67), tj.

mo˙zliwo´s´c przesuni˛ecia konturu, wynika z oszacowania (3.66) w Lemacie 3.22. i faktu, ˙ze funkcja m(F,·) jest holomorficzna w górnej półpłaszczy´znie. Wiemy, ˙ze funkcja m(F,·) posiada przedłu˙zenie analityczne do funkcji meromorficznej, której jedynymi osobliwo´sciami s ˛a bieguny pojedyncze w punktachw= log n, µ_E(n) 6= 0. St˛ad dla ka˙zdej drogi omijaj˛acej te punkty wzór (3.67) zadaje wymagane przedłu˙zenie. Reziduum funkcjim(F, w) w punkcie w = log n, na mocy Twierdzenia 2.1., jest równe

wRes=log n= −µ_E(n) 2πi , zatem dla

|w − log n| <1 2log

 1+ 1

n



(3.69) mamy

m(F, w) = −µ_E(n) 2πi

1

w− log n + h_n(w), (3.70)

3.3. Twierdzenia typuΩ 71

Na mocy (3.70) mamy zatem, ˙ze

G(F, z) = −µ_E(n)e^z2

Poniewa˙z funkcja

e^−w− e^{− log n} w− log n

jest holomorficzna w punkciew= z zatem druga całka w (3.71) jest oszacowana przez O_n(1). Dalej mamy

72 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ

Lemat 3.25. [25, Theorem 1.4] Dla |ℑw| < 2π oraz w 6= log n dla wszystkich n takich, ˙ze µ_E(n) 6= 0, mamy

m(F, w) = − 1 2ω_EQ_E

X∞ n=1

µ_E(n)

n B(n, w) −1

2(R(F, w) − iR^∗(F, w))+

1 2i

€H(F, w) + H(F, w)Š

−e^32w

2πim₀(F, w) − 1

2i(m₁(F, w) + m₁(F, w)), gdzie m₁(F, w) = m₁(F, w), H(F, w) = H(F, w),

B(n, w) = H⁽²⁾₁

‚ 2 Q_E

e^–w/2 pn

Œ

−2i π

‚ 2 Q_E

e^–w/2 pn

Œ₋₁ ,

m₀(F, w) =X^∞

n=1

µ_E(n) n^3/2

1 w− log n, m₁(F, w) = 1

2πi Z

C

(tg(πs) − i) e^{s w} F(s)ds,

H(F, w) = 1 2πi

3 2+i∞

Z

3 2

(tg(πs) − i) e^{s w} F(s)ds,

R(F, w) =X

F(β)=0 0<β<1

Ress=β

e^{s w} F(s),

R^∗(F, w) =X

F(β)=0 0<β<1 β6=¹₂

Ress=β



tg(πs)e^{s w} F(s)

 + Res

s=¹₂



tg(πs)e^{s w} F(s)

 .

Lemat 3.26. Dla z= x ≤ −1 mamy

G(F, z) = e^−|x|/2

−|x|

Z

i

m(F, w)e^−wdw+ O€ e^−|x|/2Š

.

Ponadto G(F, x) mo˙zemy wtedy zapisa´c w postaci

G(F, x) = G₁(F, x) +X⁸

j=2

G_j(F, x) + O€ e^−|x|/2Š

,

3.3. Twierdzenia typuΩ 73 gdzie funkcja G₁(F, x) jest okre´slona w (3.7) oraz

G₂(F, x) = −e^−|x|/2 2

−|x|

Z

i

R(F, w)e^−wdw,

G₃(F, x) =i 2e^−|x|/2

−|x|

Z

i

R^∗(F, w)e^−wdw,

G₄(F, x) =e^−|x|/2 2i

−|x|

Z

i

H(F, w)e^−wdw,

G₅(F, x) =e^−|x|/2 2i

−|x|

Z

i

H(F, w)e^−wdw,

G₆(F, x) = −e^−|x|/2 2πi

−|x|

Z

i

m₀(F, w)e^w2dw,

G₇(F, x) = −e^−|x|/2 2i

−|x|

Z

i

m₁(F, w)e^−wdw,

G₈(F, x) = −e^−|x|/2 2i

−|x|

Z

i

m₁(F, w)e^−wdw.

Dowód. Z Lematu 3.24. mamy

G(F, x) = e^−|x|/2







i

Z

i∞

+

−|x|

Z

i





 m (F,w)e^−wdw,

gdzie całkujemy wpierw po półprostej urojonej(i∞, i] a nast˛epnie po odcinku [i,−|x|]. Poniewa˙z

e^−|x|/2

i

Z

i∞

m(F, w)e^−wdw= e^−|x|/2e^−i/2G(F, i)  e^−|x|/2,

zatem

G(F, x) = e^−|x|/2

−|x|

Z

i

m(F, w)e^−wdw+ O€ e^−|x|/2Š

. (3.72)

Druga cz˛e´s´c tezy Lematu jest natychmiastow˛a konsekwencj ˛a Lematu 3.25. i formuły (3.72).

Lemat 3.27. Niech zachodzi (3.2) oraz f(x)  x^1/4g(x), gdzie x → +∞, dla pewnej funkcji g ∈ G, gdzie g(x)  loglog x dla x → +∞. Wtedy dla x ≤ −1 mamy

G(F, x) = G₁(F, x) + C₆|x| + O(1),

74 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ gdzie

C₆= −iπ Res

s=¹₂

1

F(s). (3.73)

Dowód. Z definicji (cf. Lematy 3.25. oraz 3.26.) mamy

G₆(F, x) = −e^−|x|/2 2πi

−|x|

Z

i

X∞ n=1

µ_E(n) n^3/2

e^w2

w− log ndw.

Dlaw∈ K ( C, gdzie K jest dowolnym zbiorem zwartym nie zawieraj ˛acym punktów logn, mamy e^−w

w− log n _K1,

przy czym stała w symbolu Winogradowa nie zale˙zy odn. Na mocy Wniosku 2.5. mamy zatem X∞

n=1

|µ_E(n)|

n^3/2 max

w∈K

    

e^−w w− log n

    

_K1.

Z Lematu 1.5. wnosimy zatem, ˙ze szereg X∞ n=1

µ_E(n) n^3/2

e^−w w− log n

jest zbie˙zny niemal jednostajnie na C \ {w ∈ C | w = log n, n= 1,2,...}. Zatem z Lematu 1.8. mamy

G₆(F, x) = −e^−|x|/2 2πi

X∞ n=1

µ_E(n) n^3/2

−|x|

Z

i

e^w2

w− log ndw=

−e^−|x|/2 2πi







−|x|

Z

i

e^w2

w dw+X^∞

n=2

µ_E(n) n^3/2

−|x|

Z

i

e^w2 w− log ndw





. (3.74)

Dlan≥ 2 funkcja

e^w2 w− log n jest holomorficzna dlau≤ 0, zatem z Lematu 1.12. mamy

−|x|

Z

i

e^w2

w− log ndw=







0

Z

i

+

−|x|

Z

0





 e^w2

w− log ndw, (3.75)

3.3. Twierdzenia typuΩ 75 gdzie drogi całkowania to odcinki[i,0] oraz [0,−|x|]. Stosuj˛ac (3.75) do (3.74) mamy

e^−|x|/2 zatem z Wniosku 2.5. mamy

O

Funkcjae^w2/w jest holomorficzna dla w 6= 0, zatem

−|x|

Ponadto 



76 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ Zatem

G₆(F, x)  e^−|x|/2







1+X^∞

n=2

|µ_E(n)|

n^3/2        

−|x|

Z

0

e^w2 w− log ndw

       







 e^−|x|/2

‚ 1+X^∞

n=2

|µ_E(n)|

n^3/2logn

Œ

 e^−|x|/2.

Z definicji funkcjiG₇(cf. Lematy 3.25. oraz 3.26.) mamy

G₇(F, x) = −e^−|x|/2 2i

−|x|

Z

i

1 2πi

Z

C

(tg(πs) − i) e^{s w}

F(s)e^−wdsdw.

Z Lematu 3.21. wynika, ˙ze wszystkie zera nietrywialne funkcjiF s ˛a pojedyncze, zatem dlaγ > 0 mamy

Ress=ρ(tg(πs) − i) e^{s w}

F(s)= (tg(πρ) − i) e^ρw F⁰(ρ). Poniewa˙z dla ka˙zdego ustalonegoσ oraz t > 0 mamy

tg(σ + i t) = i + O€ e^−2tŠ

, gdy t→ ∞, (3.76)

a z Lematu 3.21. wynika, ˙ze spełniona jest hipoteza Riemanna dla funkcjiF oraz ¹

F⁰(ρ) (γ + 2)log(γ + 2) zatem dla dowolnychu, u₀takich, ˙zeu≤ u₀, mamy

(tg(πρ) − i) e^ρw

F⁰(ρ) e^−2πγ 

e(¹2+iγ)^(u+iv) 

 (γ + 2) log (γ + 2) u₀e^−(v+2π)γ(γ + 2)log(γ + 2).

Z Lematu 2.7. wnosimy, ˙ze dla ka˙zdegok= 0,1,2,... mamy N_F(k) − N_F(k + 1) = O_F(log k).

W konsekwencji dla takichk mamy

X

k<γ≤k+1

    

(tg(πρ) − i) e^ρw F⁰(ρ)

    

_u0 X

k<γ≤k+1

e^−(v+2π)γ(γ + 2)log(γ + 2) _u0

e−(v+2π)(k+1)(k + 3)log²(k + 3), a dalej dlav> −2π + ε, dla dowolnego ε > 0, mamy

X∞ k=0

X

k<γ≤k+1

    

(tg(πρ) − i) e^ρw F⁰(ρ)

    

_u0 X∞ k=0

e−(v+2π)(k+1)(k + 3)log²(k + 3) _u01.

Zatem dlav> −2π szereg

X

γ>0

(tg(πρ) − i) e^ρw F⁰(ρ)

3.3. Twierdzenia typuΩ 77 jest zbie˙zny bezwzgl˛ednie niemal jednostajnie wzgl˛edemw, a z Lematów 1.12. oraz 1.26.

m₁(F, w) =X

γ>0

(tg(πρ) − i) e^ρw F⁰(ρ). Zatem

G₇(F, x) = −e^−|x|/2 2i

−|x|

Z

i

X

γ>0

(tg(πρ) − i) e^ρw F⁰(ρ)dw, a w konsekwencji, z Lematu 1.8., mamy

G₇(F, x) = −e^−|x|/2 2i

X

γ>0

(tg(πρ) − i) 1 F⁰(ρ)

−|x|

Z

i

e^(ρ−1)wdw=

− 1 2i

X

γ>0

(tg(πρ) − i)

(ρ − 1) F⁰(ρ)e^{−iγ |x|}+ e^−|x|/2 2i

X

γ>0

(tg(πρ) − i)

(ρ − 1) F⁰(ρ)e^{−γ −i/2}. Ze wzgl˛edu na oszacowanie ¹

F⁰(ρ) (γ + 2)log(γ + 2) oraz (3.76) mamy (tg(πρ) − i)

ρF⁰(ρ)  e^−2πγ(γ + 2)log(γ + 2)

γ  e^−2πγlog(γ + 2).

Ponownie z Lematu 2.7. mamy

N_F(k) − N_F(k + 1) = O_F(log k).

W konsekwencji, dlak= 0,1,2,..., mamy

X

k<γ≤k+1

    

(tg(πρ) − i) ρF⁰(ρ)

    

 e^−2πklog²(k + 3),

a dalej

X∞ k=0

X

k<γ≤k+1

    

(tg(πρ) − i) ρF⁰(ρ)

    

 X∞ k=0

e^−2πklog²(k + 3)  1.

Poniewa˙zρ − 1 = −¹₂+ iγ = −ρ mamy st˛ad e^−|x|/2

2i X

γ>0

(tg(πρ) − i)

(ρ − 1) F⁰(ρ)e^{−γ −i/2}= O€ e^−|x|/2Š

oraz

−1 2i

X

γ>0

(tg(πρ) − i)

(ρ − 1) F⁰(ρ)e^{−iγ |x|}= O(1), a zatem

G₇(F, x) = O(1).

78 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ Analogicznie mamy

G₈(F, x) = O(1).

Dla dowolnegoT > 0 mamy

−|x|

Z

i

3 2+iT

Z

3 2

(tg(πs) − i)e^(s−1)w

F(s) dsdw=

3 2+iT

Z

3 2

−|x|

Z

i

(tg(πs) − i)e^(s−1)w F(s) dwds

poniewa˙z funkcja

(tg(πs) − i)e^(s−1)w F(s)

jest ci ˛agła w obszarze całkowania. Na mocy Lematu 3.22. oraz (3.76) mamy

(tg(πs) − i)e^(s−1)w

F(s) _xe^−2πte^{−t v}= e^−(v+2π)t. Zatem dlav> −2π oraz dla dowolnego T > 0 mamy

3 2+i∞

Z

3 2+iT

    

(tg(πs) − i)e^(s−1)w F(s)

      ds

_x 1

v+ 2πe^−T(v+2π).

W konsekwencji całka

3 2+i∞

Z

3 2

(tg(πs) − i)e^(s−1)w F(s) ds

jest zbie˙zna bezwzgl˛ednie niemal jednostajnie wzgl˛edemw dla v> −2π [24, cf. (3.33)]. Zatem z Lematu 1.10. mamy

G₄(F, x) = −e^−|x|/2 4π

−|x|

Z

i

3 2+i∞

Z

3 2

(tg(πs) − i)e^(s−1)w

F(s) dsdw= −e^−|x|/2 4π

3 2+i∞

Z

3 2

(tg(πs) − i) F(s)

−|x|

Z

i

e^(s−1)wdwds.

3.3. Twierdzenia typuΩ 79 Dalej z (3.76) oraz Wniosku 2.5. mamy

G₄(F, x) = −e^−|x|/2 4π

3 2+i∞

Z

3 2

(tg(πs) − i) F(s)

e^{−(s−1)|x|}− e^(s−1)i s− 1 ds

e^−|x|/2

3 2+i∞

Z

3 2

e^−2πte^{−(σ−1)|x|}+ e^−t

|s − 1| |ds| =

e^−|x|/2

3 2+i∞

Z

3 2

e^−2πte^−|x|/2+ e^−t

|s − 1| |d s|  e^−|x|/2, dla|x| → ∞.

Rozumuj ˛ac analogicznie jak powy˙zej otrzymujemyG₅(F, x)  e^−|x|/2. Poniewa˙z spełniona jest hipoteza Riemanna dla funkcjiF mamy zatem

R(F, w) = Res

s=¹₂

e^{s w}

F(s)= e^w2 Res

s=¹₂

1 F(s) i w konsekwencji

G₂(F, x) = −e^−|x|/2 2

−|x|

Z

i

R(F, w)e^−wdw= −e^−|x|/2 2 Res

s=¹₂

1 F(s)

−|x|

Z

i

e^−w2dw=

e^−|x|/2 Res

s=¹₂

1 F(s)

!

€e^|x|/2− e^−i/2Š

 1.

DlaR^∗(F, w) mamy

R^∗(F, w) =







e^w2 Res_s=¹

2

tg(πs)

F(s) + we^w2 Res_s=¹

2

(^s−12)^tg(πs)

F(s) , gdyF ¹₂

= 0

e^w2

F(¹2)Res_s=¹

2tg(πs), gdyF ¹₂
6= 0.

Zatem w przypadku, gdyF ¹₂
6= 0 mamy

G₃(F, x) = i 2e^−|x|/2

−|x|

Z

i

R^∗(F, w)e^−wdw= i 2

e^−|x|/2 F ¹₂
Res

s=¹₂tg(πs)

!^−|x|

Z

i

e^−w2dw e^−|x|/2e^|x|/2= 1.

Poniewa˙z mamy

lim

s→¹₂

 s−1

2



tgπs = −π zatem

Res

s=¹₂

s−¹₂
tg(πs)

F(s) = −π Res

s=¹₂

1 F(s).

80 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ W przypadku, gdyF ¹₂

= 0 mamy

G₃(F, x) = i 2e^−|x|/2





Res

s=¹₂

tg(πs) F(s)

−|x|

Z

i

e^−w2dw+ Res

s=¹₂

s−¹₂
tg(πs) F(s)

−|x|

Z

i

w e^−w2dw





 =

e^−|x|/2





C₇

−|x|

Z

i

e^−w2dw+1 2C₆

−|x|

Z

i

w e^−w2dw





 = e^−|x|/2



−2C₇€

e^|x|/2− e^−i/2Š

− C₆



e^−w2(w + 2)  

−|x|

i

‹‹=

− 2C₇+ C₆|x| + 2C₇e^−i/2e^−|x|/2+ C₆e^−|x|/2(i + 2)e^−i/2− 2C₆= C₆|x| + O(1).

Lemat 3.28. Niech zachodzi (3.2), f(x)  x^1/4g(x), dla x → +∞, gdzie g ∈ G oraz g(x)  loglog x, dla x→ +∞. Wtedy dla x ≤ −1 mamy

C⁻¹G(F, x) = e^−|x|/4X^∞

n=1

µ_E(n)K€

n, e^|x|Š + i

Cπω_E X

n≤e^|x|

µ_E(n)

n^1/2 + e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n)

n^1/4 + C⁻¹C₆|x| + O€ g€

e^|x|ŠŠ

,

dla|x| → ∞, gdzie C jest stał ˛a z Lematu 3.18.

Dowód. Przy zało˙zeniu (3.2) na mocy Lematu 3.18. mamy

C⁻¹G₁(F, x) = e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µE(n)K(n, e^|x|)+ i Cπω_E

X

n≤e^|x|

µ_E(n)

n^1/2 +e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n) n^1/4 +O€

g€ e^|x|ŠŠ

.

Na mocy Lematu 3.27. mamy

C⁻¹G(F, x) = e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n)K(n, e^|x|) + i Cπω_E

X

n≤e^|x|

µ_E(n) pn +

e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n) n^1/4 +C₆

C|x| + O€ g€

e^|x|ŠŠ

.

Przy zało˙zeniu (3.2) z Lematu 3.6. mamy

e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n)K(n, e^|x|) = e^−|x|/4X^∞

n=1

µ_E(n)K(n, e^|x|) + O€ g€

e^|x|ŠŠ

.

3.3. Twierdzenia typuΩ 81

Dowód. Poniewa˙z spełnione s ˛a zało˙zenia Lematu 3.21. zatem zachodzi hipoteza Riemanna dla funkcji F , wszystkie zera nietrywialne s ˛a pojedyncze oraz zachodzi (3.52). W konsekwencji dlau₀≤ u ≤ u₁ mamy

Z Lematu 2.7. mamy

N_F(k) − N_F(k + 1) = O_F(log k).

W konsekwencji dla takichk= 0,1,2,... mamy X

jest zbie˙zny bezwzgl˛ednie niemal jednostajnie. Ponadto z[24, cf. Lemat 2.6]

m(F, w) =X

γ>0

e^ρw

F⁰(ρ), dlav> 0.

Dalej mamy

X

82 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ i w konsekwencji

X

Z Lematu 2.7. mamy

X

k<γ≤k+1

e^{−γ y}

yγ (γ + 2)log(γ + 2) e^−ky

yk (k + 3)log²(k + 3), a zatem

X∞

Poniewa˙z szereg (3.77) jest zbie˙zny bezwzgl˛ednie niemal jednostajnie, zatem z Lematu 1.8. mamy, ˙ze

z

dla ka˙zdegoT > 0. Zatem z Lematu 1.9. otrzymujemy

G(F, z) = e^2z

W konsekwencji

tlim→∞ a zatem

G(F, z) = −X

γ>0

e^{iγ z} ρF⁰(ρ).

Dlaℑz > 0 kładziemy

G(F, z) :=˜ 1

CG(F,−z) = 1

CG(F,−z).

3.3. Twierdzenia typuΩ 83 Poniewa˙z funkcjaF jest funkcj ˛a rzeczywist ˛a na osi rzeczywistej (cf. (1.24)), zatem przy zało˙zeniach Lematu 3.29. mamy

G(F, z) = −˜ 1 C

X

γ>0

1

ρF⁰(ρ)e^{iγ z}. (3.78)

Lemat 3.30. Niech zachodzi (3.2), f(x)  x^1/4g(x), gdzie g ∈ G oraz g(x)  loglog x. Wtedy funkcja G(F,·) nale˙zy do klasy A.˜

Dowód. Z (3.78) wida´c, ˙ze funkcja ˜G(F,·) jest wymaganej postaci. Na mocy Lematu 3.21. mamy, ˙ze 1

F⁰(ρ)(γ + 2)log(γ + 2), zatem wobec Lematu 2.7. mamy

X

k<γ≤k+1

    

1 ρ²ρF⁰(ρ)

    

 X

k<γ≤k+1

log(γ + 2)

(γ + 2)² log²(k + 3) (k + 2)² . St ˛ad

X∞ k=0

X

k<γ≤k+1

    

1 ρ²ρF⁰(ρ)

    

 X∞ k=0

log²(k + 3) (k + 2)²  1.

Zatem spełniony jest warunek (1) klasy A ze stał ˛aB( ˜G) = 2. Na mocy Lematu 3.28. spełniony jest warunek (2) ze stał ˛aL₀= 1, poniewa˙z dla x ≥ 1

y→0lim⁺ℜ€

G(F, x + iy)Š =˜ ℜ€

G(F, x)Š = ℜ˜ 

C⁻¹G(F,−x)

= ℜ

C⁻¹G(F,−x)

= e^−|x|/4

X∞ n=1

µ_E(n)J (n, e^|x|) + ℜ

 i

Cπω_E

 X

n≤e^|x|

µ_E(n)

n^1/2 + e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n) n^1/4 + ℜ

C₆ C



|x| + O€ g€

e^|x|ŠŠ

.

Z Lematu 3.24. wynika, ˙ze funkcja ˜G jedyne osobliwo´sci ma w punktach z = −^logn

C , gdzie n ≥ 1 orazµ_E(n) 6= 0, zatem dla x ≥ 1 funkcja jest holomorficzna. Z Lematu 3.23. wynika oczekiwane oszacowanie dlay > 0, zatem przez ci˛agło´s´c funkcji ˜G dla x ≥ 1 warunek (3) jest spełniony ze stał ˛a L₀= 1. Przyjmuj˛ac x₁= −log n, n ≥ 1 taki, ˙ze µ_E(n) > 0, oraz x₁⁰= −log m, m ≥ 1 taki, ˙ze µ_E(m) < 0 i kład ˛acφ(δ) = log _δ¹
oraz parametryθ₁,θ₂,θ⁰₁,θ⁰₂tak by 0< θ₁< θ₂< π, 0 < θ⁰₁< θ₂⁰ < π, na mocy Lematu 3.24. wnosimy, ˙ze dla takich parametrów spełniony jest warunek (4). Warunek (5) jest spełniony poniewa˙z dla funkcjiF spełniona jest formuła Riemanna–von Mangoldta (1.21).

Lemat 3.31. Niech zachodzi (3.2), f(x)  x^1/4g(x), gdzie g ∈ G. Je˙zeli g(x) = o(logloglog x), to

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) + Ep xX

n≤x

µ_E(n)

pn + Dx^1/2logx= Ω_± p

x log log log x

84 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ dla x→ ∞, gdzie

E := ℜ

 i

Cπω_E



= − v u

t 2

Q_Eπ < 0 (3.79)

oraz

D := ℜ

C₆ C



=







ω_EπÇ

2π Q_E

1

F⁰(¹2), gdy F ¹₂

= 0 0, gdyF ¹₂
6= 0.

(3.80)

Dowód. Na mocy Lematu 3.30.

G(F, x) ∈ A.˜ Na mocy Lematu 3.28.

ℜ ˜G(F, x) = e^−|x|/4X^∞

n=1

µ_E(n)J€

n, e^|x|Š +

E X

n≤e^|x|

µ_E(n)

pn + e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n)

n^1/4 + D|x| + O€ g€

e^|x|ŠŠ

.

Z Lematu 3.2. mamy

e^−|x|/4 X

n≤e^|x|

µ_E(n) n^1/4  g€

e^|x|Š

, gdy|x| → ∞, zatem

ℜ ˜G(F, x) = e^−|x|/4X^∞

n=1

µ_E(n)J€

n, e^|x|Š + E X

n≤e^|x|

µ_E(n)

pn + D|x| + O€ g€

e^|x|ŠŠ

.

Z Lematu 1.15. wnosimy, ˙ze

ℜ ˜G(F, x) = Ω_±

‚ log

‚ logx b₀(loglog x)³

ŒŒ

= Ω_±(loglog x).

Zatem

e^|x|/4 X∞ n=1

µ_E(n)J€

n, e^|x|Š + Ee^|x|/2 X

n≤e^|x|

µ_E(n) pn +

De^|x|/2|x| + O€

e^|x|/2g€

e^|x|ŠŠ = Ω_±€

e^|x|/2log logxŠ . Poniewa˙zg(x) = o(logloglog x) zatem

e^|x|/4 X∞ n=1

µ_E(n)J€

n, e^|x|Š + Ee^|x|/2 X

n≤e^|x|

µ_E(n)

pn + De^|x|/2|x| = Ω_±€

e^|x|/2log logxŠ

i zmieniaj ˛ac skal˛e z wykładniczej na liniow˛a otrzymujemy pierwsz ˛a cz˛e´s´c tezy lematu. Poniewa˙z funkcja, gdyF ¹₂

= 0, to przy zało˙zeniach niniejszego lematu, z Lematu 3.21. wnosimy, ˙ze F^{0 1}₂
6= 0, a w

3.3. Twierdzenia typuΩ 85 konsekwencji z (3.73) mamy

D= ℜ Poniewa˙z mamy

Res

zatem otrzymujemy dokładn ˛a warto´s´c stałej D.

Lemat 3.32. Niech zachodzi (3.2), f(x)  x^1/4g(x), gdzie g ∈ G oraz g(x)  loglog x, dla x → ∞.

Niech ponadto F ¹₂

= 0. Wtedy F^{0 1}₂

> 0.

Dowód. Poniewa˙z zachodzi (3.2) oraz f(x)  x^1/4g(x)  x^1/4log logx zatem na mocy Lematu 3.21.

zachodzi hipoteza Riemanna dla funkcjiF oraz wszystkie zera nietrywialne s ˛a pojedyncze. Zatem F^{0 1}₂
6= 0 oraz R 3 F (σ) 6= 0 dla σ > ¹₂ i w konsekwencji F(σ) ma stały znak dla σ > ¹₂. Zatem przy powy˙zszych zało˙zeniachF^{0 1}₂

> 0 wtedy i tylko wtedy, gdy F (σ) > 0 dla pewnego σ >¹₂. Aby

gdzie|α_j(p)| ≤ 1. Poniewa˙z F (σ) ∈ R zatem współczynniki a_F szeregu Dirichleta funkcjiF s ˛a rzeczy-wiste. St ˛ad alboα_j(p) ∈ R, albo α₁(p) = α₂(p). W pierwszym przypadku mamy

W drugim

‚

86 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ Wniosek 3.33. Niech zachodzi (3.2), f(x)  x^1/4g(x), gdzie g ∈ G oraz g(x)  loglog x. Je˙zeli F ¹₂

= 0, to wtedy

sgnD= sgnω_E. Dowód. Z Lematu 3.32. wnosimy, ˙ze F^{0 1}₂

> 0, a zatem na mocy (3.80) i (3.81) otrzymujemy tez˛e.

Lemat 3.34. Niech zachodzi (3.2) dla pewnej funkcji g∈ G. Dla tej funkcji g mamy wtedy, ˙ze X

n≤x

µ_E(n)

n^1/4  x^1/4g(x), dla |x| → ∞ (3.82) oraz

X

n≤x

µ_E(n)x n

1/4

cos

 2 Q_E

Èx n



− x^1/4X

n≤x

µ_E(n)J (n, x) = O p

x g(x)
, (3.83) dla|x| → ∞. Ponadto, je˙zeli zachodzi

X

n≤x

µ_E(n)x n

1/4

cos

 2 Q_E

Èx n



p

x g(x), (3.84)

dla|x| → ∞, to wtedy dla ka˙zdej stałej rzeczywistej a 6= 0 zachodzi

x^1/4 X∞ n=1

µE(n)J€ n, a²xŠ

a

px g(x), |x| → ∞

oraz

X

n≤x

µ_E(n)x n

_1/4 cos

 a

Èx n



_ap

x g(x), (3.85)

dla|x| → ∞.

Dowód. Z Lematu 3.2. dlaα =¹₄mamy (3.82). Ponadto mamy, ˙ze

X

n≤x

µ_E(n)x n

1/4

cos

 2 Q_E

Èx n



− x^1/4X

n≤x

µ_E(n)J (n, x) =X

n≤x

µ_E(n)x n

1/4

,

a zatem z (3.82) wnosimy, ˙ze zachodzi (3.83). Załó˙zmy równie˙z, ˙ze zachodzi (3.84). Poniewa˙z zachodzi (3.2) z Lematu 3.6. mamy, ˙ze

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) p

x g(x), dla |x| → ∞.

Podstawiaj ˛acb x za x w powy˙zszej formule, gdzie b> 0 jest dowoln˛astał˛a, mamy

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, b x) _bp

x g(x), dla |x| → ∞.

Poniewa˙z zachodzi (3.2) zatem z Lematu 3.6. wynika, ˙ze x^1/4X

n>x

µ_E(n)J (n, b x) _b p

x g(x), dla |x| → ∞

3.3. Twierdzenia typuΩ 87 i, po odj˛eciu stronami, dostajemy

x^1/4X

n≤x

µ_E(n)J (n, b x) _bp

x g(x), dla |x| → ∞.

Z

X

n≤x

µ_E(n)x n

1/4

cos

 a

Èx n



− x^1/4X

n≤x

µ_E(n)J (n, b x) =X

n≤x

µ_E(n)

b x n

1/4

,

gdziea := ±p

b , oraz z (3.82) wnosimy, ˙ze zachodzi (3.85).

Twierdzenie 3.1. Dla ka˙zdej funkcji g ∈ G takiej, ˙ze g (x) = o(logloglog x) mamy X

n≤x

µ_E(n) = Ω p x g(x)

lub

∀_a6=0 X

n≤x

µ_E(n)x n

1/4

cos

 a

Èx n



= Ω p x g(x)

lub

ω_EX

n≤x

µ_E(n) Èx

n=







Ω_± p

x log log log x
, gdy F ¹₂
6= 0 Ω₊ p

x log x
, gdy F ¹₂

= 0.

Dowód. Niech zachodzi (3.2), gdy˙z w przeciwnym wypadku otrzymujemy pierwszy człon alternatywy.

Niech zachodzi (3.84), gdy˙z w przeciwnym wypadku z Lematu 3.34. wnosimy, ˙ze zachodzi drugi człon alternatywy. Aby zako´nczy´c dowód wyka˙zemy, ˙ze powy˙zsze zało˙zenia implikuj ˛a trzeci człon alternatywy. Z (3.83) mamy, ˙ze

x^1/4X

n≤x

µ_E(n)J (n, x) p

x g(x), dla |x| → ∞.

St ˛ad z Lematu 3.6. wynika, ˙ze

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) p

x g(x), dla |x| → ∞.

Z zało˙zenia g(x) = o(logloglog x) wnosimy, ˙ze

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) = o p

x log log log x
, dla |x| → ∞. (3.86)

Je˙zeliF ¹₂
6= 0, to D = 0 i z Lematu 3.31. mamy

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) + EX

n≤x

µ_E(n) Èx

n= Ω_± p

x log log log x
,

zatem z (3.86) mamy

EX

n≤x

µ_E(n) Èx

n= Ω_± p

x log log log x

88 Rozdział 3. TWIERDZENIA TYPUΩ dlax→ ∞. Je˙zeli F ¹₂

= 0, to D 6= 0 i z Lematu 3.31. oraz (3.86) mamy

EX

n≤x

µ_E(n) Èx

n+Dp

x log x= Ω_± p

x log log log x
,

a zatem

E D

X

n≤x

µ_E(n) Èx

n+p

x log x= Ω_± p

x log log log x
. St ˛ad mamy

E D

X

n≤x

µ_E(n) Èx

n= Ω₋ p x log x
czyli

−E D

X

n≤x

µ_E(n) Èx

n = Ω₊ p

x log x
.

Z (3.79) oraz Wniosku 3.33. mamy, ˙ze

sgn



−E D



= sgnω_E.

Twierdzenie 3.2. Dla ka˙zdej funkcji g∈ G takiej, ˙ze g (x) = o(logloglog x) mamy X

n≤x

µ_E(n) Èx

n= Ω p x g(x)

lub

∀_a6=0 X

n≤x

µ_E(n)x n

1/4

cos

 a

Èx n



= Ω p

x g(x)
.

Dowód. Dowód przeprowadzimy stosuj ˛acreductio ad absurdum. Niech zachodzi X

n≤x

µ_E(n) Èx

np

x g(x), dla |x| → ∞,

dla g ∈ G oraz g (x) = o(logloglog x), gdy˙z w przeciwnym przypadku zachodzi pierwszy człon alternatywy. Z Lematu 3.3 wnosimy, ˙ze zachodzi (3.2), a zatem zachodz ˛a równie˙z oszacowania (3.82) oraz (3.83). Niech zachodzi zatem (3.84), gdy˙z w przeciwnym przypadku z Lematu 3.34. wnosimy,

˙ze zachodzi drugi człon alternatywy. W konsekwencji z (3.83) otrzymujemy, ˙ze f(x)  x^1/4g(x). Z Lematu 3.31. wnosimy, ˙ze

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) + Dp

x log x= Ω_± p

x log log log x
.

Je˙zeliF ¹₂
6= 0 i w konsekwencji D = 0, to mamy

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) = Ω_± p

x log log log x
,

3.3. Twierdzenia typuΩ 89 co prowadzi do sprzeczno´sci na mocy Lematu 3.34. Je˙zeliF ¹₂

= 0 i w konsekwencji D 6= 0, to mamy

x^1/4 X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) + Dp

x log x= Ω_± p

x log log log x
,

a zatem

x^1/4 D

X∞ n=1

µ_E(n)J (n, x) = Ω₋ p

x log x
, co znów prowadzi do sprzeczno´sci na mocy Lematu 3.34.

Bibliografia

[1] A. Akbary, M.R. Murty, Uniform distribution of zeros of Dirichlet series, w ’Anatomy of Integers’, CRM Proceedings & Lecture Notes 46, AMS, Providence, RI, 2008, 143–158.

[2] K. Bartz, On some complex explicit formulæ connected with the Möbius function. I, Acta Arith. 57 (1991), no.

4, 283–293.

[3] C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor, On the modularity of elliptic curves over Q, Journal of AMS (4) 14 (2001), 843–939.

[4] J. B. Conrey, A. Ghosh, On the Selberg class of Dirichlet series: small degries, Duke Math. J. 72 (1993), 673–693.

[5] P. Deligne, La conjecture de Weil. I, Publicationes mathématique de’l I.H.É.S. 43 (1974), 273–307.

[6] P. Deligne, J.-P. Serre, Formes modulaires de poids 1, Annales scientifiques de l’É.N.S. (4) 7 (1974), 507–530.

[7] A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, vol. I, McGraw–

–Hill, New York, 1953.

[8] A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher transcendental functions, vol. II, McGraw–

–Hill, New York, 1953.

[9] K. Gierszewski, On some complex explicit formulæ connected with Dirichlet coefficients of inverses of special type L-functions from the Selberg class, uka˙ze si˛e w Functiones et Approximatio.

[10] K. Gierszewski, On some complex explicit formulæ connected with Dirichlet coefficients of inverses of special type L-functions from the Selberg class,

http://ssdnm.mimuw.edu.pl/pliki/prace-studentow/st/pliki/karol-gierszewski-3.pdf.

[11] J. Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la S.

M. F., tome 24 (1896), 199–220.

[12] E. Hecke, Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. I., Math.

Ann., 114 (1937), 1–28.

[13] A. E. Ingham, On two conjectures in the theory of numbers, Amer. J. Math. 64 (1942) 313–319.

[14] H. Iwaniec, E. Kowalski, Analytic Number Theory, Colloquium Publications Vol. 53, AMS, Providance, RI, 2004

[15] H. Jacquet, J. A. Shalika, A Non-Vanishing Theorem for Zeta Functions of GL_n, Inventiones Math. 38 (1976), 1–16

[16] J. Kaczorowski, Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg class, Analytic Number Theory eds. A. Perelli

& C. Viola, 133–209, Springer-Verlag, 2006.

[17] J. Kaczorowski, Results on the Möbius function, J. London Math. Soc. (2) 75 (2007), 509–521.

[18] J. Kaczorowski, A. Perelli, On the prime number theorem for the Selberg class, Arch. Math. 80 (2003), 255–263.

[19] J. Kaczorowski, A. Perelli, On the structure of the Selberg class, I: 0 ¶ d ¶ 1, Acta Math. 182 (1999), 207–241.

[20] J. Kaczorowski, A. Perelli, On the structure of the Selberg class, II: invariants and conjectures, J. reine angew.

Math. 524 (2000), 73–96.

[21] J. Kaczorowski, A. Perelli, On the structure of the Selberg class, VII: 1 < d < 2, Annals of Mathematics 173 (2011), 1397–1441.

[22] J. Kaczorowski, K. Wiertelak, Ω-estimates for a class of arithmetic error terms, Math. Proc. Camb. Phil. Soc.

(3) 142 (2007), 385–394.

[23] R. B. Paris, D. Kaminski, Asymptotics and Mellin–Barnes Integrals, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications Vol. 85, Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

[24] A. Łydka, Formuły dokładne zwi ˛azane z funkcj ˛aMöbiusa krzywej eliptycznej, rozprawa doktorska,

[25] A. Łydka, On complex explicit formulæ connected with the Möbius function of an elliptic curve, uka˙ze si˛e w Canadian Mathematical Bulletin.

[26] F. Mertens, Über eine zahlentheoretische Function, Sitsunberichte Akad. Wiss. Wien IIa 106 (1897), 761–830.

[27] N. Ng, The distribuition of the summatory function of the Möbius function, Proc. London Math. Soc. (3) 89 (2004) 361–389.

[28] A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele, Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math. 357 (1985), 138–160.

[29] K. Prachar, Primzahlverteilung, Springer-Verlag, Berlin–Götingen–Heidelberg, 1957.

[30] R. Taylor, A. Wiles, Ring–theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141 (1995), 553–572.

[31] G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1922.

[32] A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics 141 (1995), 443–551.

[33] M.-F. Vignéras, Facteurs gamma et équations fonctionnelles, Modular Functions of One Complex Variable eds. J.-P. Serre & D. B. Zagier, Springer Lect. Notes Math. 627 (1977), 79–103.

[34] T. J. Stieltjes, Lettre à Hermite de 11 juillet 1885, Lettre 79, Correspondance d’Hermite et Stieltjes eds. B.

Baillaud et H. Bourget, 160–164, Paris, 1905.

[35] E. C. Titchmarch, The Theory of Functions, Oxford University Press, Oxford, 1939.

[36] E. C. Titchmarch, The theory of the Riemann zeta function, Clarendon Press, Oxford, 1951.

W dokumencie Oszacowania dolne dla współczynników Dirichleta odwrotności funkcji z wybranych podklas klasy Selberga (Stron 76-106)