Zadanie 4.4 Obliczy´c wyznacznik Wro´nskiego dla pary funkcji f1(t) = (t, 0) i f2(t) = (t2, 0).
Rozwi ˛azanie:
Niech
X(t) = t t2 0 0
. Elementarny rachunek pokazuje, ˙ze
det X(t) =
t t2 0 0
= 0.
Z drugiej strony funkcje f1i f2s ˛a niezale˙zne liniowo na całej prostej. Przykład ten pokazuje, ˙ze zwi ˛azek pomi˛edzy liniow ˛a niezale˙zno´scia funkcji a niezerow ˛a war-to´sci wyznacznika Wro´nskiego jest prawdziwa jedynie, gdy rozpatrywane funkcje s ˛a rozwi ˛azaniami pewnego układu liniowych równa´n ró˙zniczkowych.
4.2. UKŁADY O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 43
2) λ2= 2. Szukamy wektora, takiego ˙ze (R − 2I)v2=−6 −3
6 3
v2 = 0.
St ˛ad
v2 = c
1
−2
i otrzymujemy rozwi ˛azanie
x2(t) = e2t
1
−2
.
Rozwi ˛azania zagadnienia pocz ˛atkowego poszukujemy w postaci kombinacji linio-wej x(t) = c1x1(t) + c2x2(t). Wtedy warunkowi pocz ˛atkowemu odpowiada rów-nanie c1(−1, 1) + c2(1, −2) = (4, −5). Znajduj ˛ac z tego równania warto´sci c1i c2
otrzymujemy poszukiwane rozwi ˛azanie zagadnienia pocz ˛atkowego x(t) =
3e−t+ e2t
−3e−t− 2e2t
. Zadanie 4.6 Znale´z´c rozwi ˛azanie fundamentalne układu
x0 = Rx, gdzie
R =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
. Rozwi ˛azanie:
Znajdujemy wielomian charakterystyczny
p(λ) = det
−λ 1 1
1 −λ 1
1 1 −λ
= −(λ + 1)2(λ − 2).
Warto´sciami własnymi s ˛a: λ1 = −1 (pierwiastek podwójny), λ2 = 2. Znajdziemy wektory własne odpowiadaj ˛ace tym warto´sciom własnym.
1) λ1= −1. Jest to pierwiastek dwukrotny. Szukamy wektora własnego
(R + I)v1=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
v1 = 0.
Otrzymujemy tylko jeden zwi ˛azek na współrz˛edne tego wektora. St ˛ad istniej ˛a dwa liniowo niezale˙zne wektory własne
v1 = c
−1 1 0
oraz
v2 = c
0 1
−1
. Oznacza to, ˙ze funkcje
x1(t) = e−t
−1 1 0
oraz
x2(t) = e−t
0 1
−1
s ˛a rozwi ˛azaniami równania.
2) λ2 = 2. Szukamy wektora, takiego ˙ze
(R − 2I)v3=
−2 1 1
1 −2 1
1 1 −2
v3 = 0.
St ˛ad
v3 = c
1 1 1
i otrzymujemy rozwi ˛azanie
x3(t) = e2t
1 1 1
. Macierz fundamentalna ma wi˛ec posta´c
X(t) =
−e−t 0 e2t e−t e−t e2t 0 −e−t e2t
. Zadanie 4.7 Znale´z´c rozwi ˛azanie fundamentalne układu
x0 = Rx, gdzie
R =−7 1
−2 −5
. Rozwi ˛azanie:
Znajdujemy wielomian charakterystyczny
p(λ) = λ2+ 12λ + 37 = (λ + 6 − i)(λ + 6 + i).
4.2. UKŁADY O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 45
Warto´sciami własnymi s ˛a: λ1= −6 + i, λ2= −6 − i.
Poszukujemy wektora własnego dla λ1
(R + (6 − i)I)v1 =−1 − i 1
−2 1 − i
v1 = 0.
Wektor ten ma posta´c (pomijamy stał ˛a) v1 =
1 1 + i
=1 1
+ i0
1
. Otrzymujemy wtedy
z1(t) = e−6t
cos t1 1
− sin t0 1
= e−6t
cos t cos t − sin t
,
z2(t) = e−6t
cos t0 1
+ sin t1 1
= e−6t
sin t sin t + cos t
. Z z1(t) i z2(t) otrzymujemy macierz fundamentaln ˛a
X(t) =
e−6tcos t e−6tsin t e−6t(cos t − sin t) e−6t(cos t + sin t)
. Zadanie 4.8 Znale´z´c rozwi ˛azanie fundamentalne układu
x0 = Rx, gdzie
R =
3 4 −10 2 1 −2 2 2 −5
. Rozwi ˛azanie:
Znajdujemy wielomian charakterystyczny
p(λ) = det
3 − λ 4 −10
2 1 − λ −2
2 2 −5 − λ
= −(λ + 1)2(λ − 1).
Warto´sciami własnymi s ˛a: λ1 = −1 (pierwiastek podwójny), λ2 = 1. Znajdziemy wektory własne odpowiadaj ˛ace tym warto´sciom własnym.
1) λ1= −1. Jest to pierwiastek dwukrotny. Szukamy wektora własnego
(R + I)v1 =
4 4 −10 2 2 −2 2 2 −4
v1 = 0.
Otrzymujemy dwa zwi ˛azki na współrz˛edne tego wektora. St ˛ad istnieje jeden linio-wo niezale˙zny wektor własny
v1 = c
−1 1 0
.
Oznacza to, ˙ze funkcja
x1(t) = e−t
−1 1 0
jest rozwi ˛azaniem równania. Drugiego niezale˙znego liniowo rozwi ˛azania b˛edzie-my poszukiwa´c w postaci wektora v2, takiego ˙ze
(R + I)v2 = v1,
4 4 −10
2 2 −2
2 2 −4
v2 =
−1 1 0
. Z rozwi ˛azania tego równania otrzymujemy
v2 =
1 0
1 2
. Oznacza to, ˙ze funkcja
x2(t) = e−t(v2+ t(R + I)v2) = e−t
1 0
1 2
+ t
−1 1 0
= e−t
1 − t
t
1 2
, jest rozwi ˛azaniem równania.
2) λ2 = 1. Szukamy wektora, takiego ˙ze
(R − I)v3 =
2 4 −10
2 0 −2
2 2 −6
v3 = 0.
St ˛ad
v3 = c
1 2 1
i otrzymujemy rozwi ˛azanie
x3(t) = et
1 2 1
.
4.2. UKŁADY O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 47
Macierz fundamentalna ma wi˛ec posta´c
X(t) =
−e−t (1 − t)e−t et e−t te−t 2et
0 e−t/2 et
.
Mathematicadostarcza wielu narz˛edzi do rozwi ˛azywania układów równa´n li-niowych. W kolejnych zadaniach zilustrujemy te mo˙zliwo´sci na prostych przykła-dach.
Zadanie 4.9 Znale´z´c rozwi ˛azanie ogólne układu x0 = Rx, gdzie
R =
5 3 −3 2 4 −5
−4 2 −3
. Rozwi ˛azanie:
Rozwi ˛a˙zemy to zadanie w programie Mathematica korzystaj ˛ac z DSolve. W tym celu zapisujemy równanie w postaci układu
x0 = 5x + 3y − 3z, y0 = 2x + 4y − 5z, z0 = −4x + 2y − 3z.
Rozwi ˛azanie otrzymujemy wykorzystuj ˛ac polecenie DSolve DSolve[{x’[t]==5*x[t]+3*y[t]-3*z[t],
y’[y]==2*x[t]+4*y[t]-5*z[t], z’[t]==-4*x[t]+2*y[t]-3*z[t]}, {x[t],y[t],z[t]},t]
Mathematicapodaje nam wynik zale˙zny od 3 dowolnych parametrów {{x[t]− >1
3e−t(1 + 2e9t)C[1] + 1
3e−t(−1 + e9t)C[2] −1
3e−t(−1 + e9t)C[3], y[t]− > 2
27e−t(−7 + 7e9t− 36t)C[1] + 1
27e−t(20 + 7e9t+ 72t)C[2]−
1
27e−t(−7 + 7e9t+ 72t)C[3], z[t]− > − 4
27e−t(−1 + e9t+ 18t)C[1] − 2
27e−t(−1 + e9t− 36t)C[2]+
1
27e−t(25 + 2e9t− 72t)C[3]
Zadanie 4.10 Znale´z´c rozwi ˛azanie zagadnienia pocz ˛atkowego dla układu x0 = Rx,
z warunkiem pocz ˛atkowym x(0) = (1, 1), gdzie R =2 0
3 2
. Rozwi ˛azanie:
Podobnie jak poprzednio przepisujemy równanie w postaci układu x0 = 2x,
y0 = 3x + 2y.
Rozwi ˛azanie zagadnienia Cauchy’ego znajdujemy za pomoc ˛a polecenia DSolve DSolve[{x’[t]==2*x[t],y’[t]==3*x[t]+2*y[t],
x[0]==1,y[0]==1}, {x[t],y[t]},t]
W wyniku otrzymujemy rozwi ˛azanie zagadnienia pocz ˛atkowego {{x[t]− > e2t, y[t]− > e2t(1 + 3t)}}
Mathematicapozwala w bardzo efektywny sposób znajdowa´c rozwi ˛azania fun-damentalne układów równa´n liniowych. Słu˙z ˛a do tego dwa polecenia: MatrixExp oraz Eigensystem.
Zadanie 4.11 Znale´z´c rozwi ˛azanie fundamentalne dla układu x0 = Rx,
gdzie
R =
−1 2 2
2 2 2
−3 −6 −6
. Rozwi ˛azanie:
Zaczynamy od zdefiniowania macierzy układu ra={{-1,2,2},{2,2,2},{-3,-6,-6}};
Wystarczy teraz wykona´c polecenie MatrixExp[ra t]
aby otrzyma´c rozwi ˛azanie fundamentalne
{{e−3t(−1 + 2et), 2e−3t(−1 + et), 2e−3t(−1 + et)}, {e−2t(−1 + e2t), {e−2t(−1 + 2e2t), e−2t(−1 + e2t)}, {−1 + e−3t, e−3t(2 − 2e3t), e−3t(2 − e3t)}}
4.2. UKŁADY O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 49
Rozwi ˛a˙zemy teraz poprzednie zadanie wykorzystuj ˛ac polecenie Eigensystem.
Zadanie 4.12 Znale´z´c rozwi ˛azanie fundamentalne dla układu x0 = Rx,
gdzie
R =
−1 2 2
2 2 2
−3 −6 −6
. Rozwi ˛azanie:
Podobnie jak poprzednio definiujemy macierz układu ra={{-1,2,2},{2,2,2},{-3,-6,-6}};
Korzystaj ˛ac z polecenia Eigensystem znajdujemy warto´sci własne i wektory własne macierzy ra.
{roots,vectors}=Eigensystem[ra]
Jako wynik otrzymujemy
{{-3,-2,0},{{-1,0,1},{-2,1,0},{0,-1,1}}}
W pierwszym nawiasie klamrowym znajduj ˛a si˛e warto´sci własne, a nast˛epnie od-powiadaj ˛ace im wektory własne. Aby otrzyma´c macierz fundamentaln ˛a nale˙zy wy-kona´c polecenie
Transpose[Exp[roots t]*vectors]
W wyniku otrzymamy rozwi ˛azanie jako zbiór 3 wektorów {{−e−3t, −2e−2t, 0}, {0, e−2t, −1}, {e−3t, 0, 1}}
Zauwa˙zmy, ˙ze to rozwi ˛azanie ró˙zni si˛e od rozwi ˛azania z zadania 4.11. Rozwi ˛azanie otrzymane w zadaniu 4.11 miało oczekiwane cechy eksponenty macierzy, tj. dla t = 0 dawało macierz identyczno´sciow ˛a. Otrzymana powy˙zej macierz nie ma tej własno´sci. Wystarczy jednak wykona´c jedn ˛a dodatkow ˛a operacj˛e, aby otrzyma´c identyczny wynik
W[t_]=Transpose[Exp[roots t]*vectors];
W[t].Inverse[W[0]]//MatrixForm
Teraz otrzymujemy ju˙z macierz o tej własno´sci, ˙ze dla t = 0 daje macierz iden-tyczno´sciow ˛a.
Nast˛epne kilka zada´n pokazuje jak rozwi ˛azuje si˛e niejednorodne równania li-niowe korzystaj ˛ac z wielowymiarowej wersji metody uzmienniania stałych.
Zadanie 4.13 Znale´z´c rozwi ˛azanie ogólne układu x0= Rx + f, gdzie
R =1 2
2 1
, f =2e4t e4t
. Rozwi ˛azanie:
Znajdujemy wielomian charakterystyczny p(λ) = det1 − λ 2
2 1 − λ
= (λ + 1)(λ − 3).
Warto´sciami własnymi s ˛a: λ1 = −1, λ2 = 3. Znajdziemy wektory własne odpo-wiadaj ˛ace tym warto´sciom własnym.
1) λ1 = −1. Wektor własny v1 =
1
−1
i rozwi ˛azaniem jest funkcja
x1(t) = e−t
1
−1
. 2) λ2 = 3. Wektor własny
v2 =1 1
i otrzymujemy rozwi ˛azanie
x2(t) = e3t1 1
. Otrzymujemy st ˛ad macierz fundamentalna układu X(t) =e3t e−t e3t −e−t
.
Poszukujemy teraz rozwi ˛azania szczególnego równania niejednorodnego xp(t) = Xu, gdzie funkcja u spełnia równanie u0 = X−1f . Pierwszym krokiem jest znale-zienie macierzy odwrotnej X−1. Obliczamy wyznacznik macierzy det X = −2e2t. St ˛ad
X−1(t) = − 1 2e2t
−e−t −e−t
−e3t e3t
,
X−1f = − 1 2e2t
−e−t −e−t
−e3t e3t
2e4t e4t
= 1 2
3et e5t
.
4.2. UKŁADY O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH 51
Całkuj ˛ac równanie u0 = X−1f otrzymujemy u(t) = 1
10
15et e5t
, czyli
xp(t) = Xu = 1 10
e3t e−t e3t −e−t
15et e5t
= 1 5
8e4t 7e4t
.
Rozwi ˛azanie ogólne jest dane wzorem x(t) = X(t)C + xp(t), gdzie C jest wek-torem dowolnych współczynników.
Zadanie 4.14 Znale´z´c rozwi ˛azanie ogólne układu x0 = Rx + f, gdzie
R =
2 −1 −1
1 0 −1
1 −1 0
, f =
et
0 e−t
. Rozwi ˛azanie:
Znajdujemy wielomian charakterystyczny
p(λ) = det
2 − λ −1 −1
1 −λ −1
1 −1 −λ
= −λ(λ − 1)2.
Warto´sciami własnymi s ˛a: λ1 = 0, λ2 = 1 (pierwiastek podwójny). Znajdziemy wektory własne odpowiadaj ˛ace tym warto´sciom własnym.
1) λ1= 0. Wektor własny
v1 =
1 1 1
i rozwi ˛azaniem jest funkcja
x1(t) =
1 1 1
. 2) λ2= 1. Znajdujemy 2 wektory własne
v2 =
1 1 0
, v3 =
1 0 1
i otrzymujemy rozwi ˛azania
x2(t) =
et et 0
, x3(t) =
et
0 et
. Otrzymujemy st ˛ad macierz fundamentaln ˛a układu
X(t) =
1 et et 1 et 0 1 0 et
.
Poszukujemy teraz rozwi ˛azania szczególnego równania niejednorodnego xp(t) = Xu, gdzie funkcja u spełnia równanie u0 = X−1f . Pierwszym krokiem jest znale-zienie macierzy odwrotnej X−1. Obliczamy wyznacznik macierzy det X = −e2t. St ˛ad
X−1(t) = − 1 e2t
e2t −e2t e2t
−et 0 et
−et et 0
,
X−1f = − 1 e2t
e2t −e2t e2t
−et 0 et
−et et 0
et
0 e−t
=
e−t− et 1 − e−2t
1
. Całkuj ˛ac równanie u0 = X−1f otrzymujemy
u(t) =
−e−t− et t −12e−2t
t
, czyli
xp(t) = Xu =
1 et et 1 et 0 1 0 et
−e−t− et t − 12e−2t
t
=
et(2t − 1) − 12e−t et(t − 1) − 12e−t
et(t − 1) − e−t
. Rozwi ˛azanie ogólne jest dane wzorem x(t) = X(t)C + xp(t), gdzie C jest wek-torem dowolnych współczynników.
Zadanie 4.15 Znale´z´c w programie Mathematica rozwi ˛azanie szczególne układu x0= Rx + f,
gdzie
R =
0 1 0
0 0 1
−3 112 32
, f =
t − 1
2 et
. Rozwi ˛azanie:
Zaczynamy od zdefiniowania macierzy układu